數(shù)量積向量積溷合積

1、數(shù)量積向量積溷合積ab cos|baba ,Prcos|bjba ,Prcos|ajab ajbbabPr| .Pr|bjaa 數(shù)量積也稱為數(shù)量積也稱為“點積點積”、“內積內積”.結論結論 兩向量的數(shù)量積等于其中一個向量的兩向量的數(shù)量積等于其中一個向量的模和另一個向量在這向量的方向上的投影的模和另一個向量在這向量的方向上的投影的乘積乘積. .關于數(shù)量積的說明：關于數(shù)量積的說明：0)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 證證證證 ,2 ,2 數(shù)量積符合

2、下列運算規(guī)律：數(shù)量積符合下列運算規(guī)律：（1 1）交換律）交換律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 為數(shù)為數(shù)： ),()()(bababa 若若 、 為數(shù)為數(shù)： ).()()(baba ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設設 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 數(shù)量積的坐標表達式數(shù)量積的坐標表達式 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標表示式兩

3、向量夾角余弦的坐標表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知兩向量垂直的充要條件為由此可知兩向量垂直的充要條件為例例 1 1 已知已知4, 1 , 1 a，2 , 2, 1 b，求，求（1）ba ；（2）a與與b的夾角；的夾角；（3）a在在b上的投影上的投影.解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 例例 2 2 證明向量證明向量c與向量與向量acbbca)()( 垂直垂直.證證cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacab

4、c 0 cacbbca )()( 設設O為為一一根根杠杠桿桿L的的支支點點，有有一一力力F作作用用于于這這杠杠桿桿上上P點點處處力力F與與OP的的夾夾角角為為 ，力力F對對支支點點O的的力力矩矩是是一一向向量量M，它它的的模模|FOQM sin|FOP M的方向垂直于的方向垂直于OP與與F所決所決定的平面定的平面, 指向符合右手系指向符合右手系.實例實例二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積LFPQO 向量向量a與與b的的向量積向量積為為 bac sin|bac (其其中中 為為a與與b的的夾夾角角)定義定義c的的方方向向既既垂垂直直于于a，又又垂垂直直于于b，指指向向符符合合右右手手系系. .

5、關于向量積的說明：關于向量積的說明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量積也稱為向量積也稱為“叉積叉積”、“外積外積”.向量積符合下列運算規(guī)律：向量積符合下列運算規(guī)律：（1）.abba （2）分配律：）分配律：.)(cbcacba （3）若若 為數(shù)：為數(shù)： ).()()(bababa )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin , 0 )(0sin . 0sin| baba證證ba/ba/或或0 ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設設 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik

6、, ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量積的坐標表達式向量積的坐標表達式向量積還可用三階行列式表示向量積還可用三階行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出例例 3 3 求求與與kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的單單位位向向量量.解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kj例例 4 4 在在頂頂點點為為)2 , 1, 1( A、)2 , 6, 5( B和和)1,

7、3 , 1( C的的三三角角形形中中，求求AC邊邊上上的的高高BD.ABC解解D3, 4 , 0 AC0 , 5, 4 AB三角形三角形ABC的面積為的面積為|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |21BDS | AC|521225BD . 5| BD定義定義 設已知三個向量設已知三個向量a、b、c，數(shù)量，數(shù)量cba )(稱為這三個向量的稱為這三個向量的混合積混合積，記為，記為cba. .cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 設設,kcjcicczyx 混合積的坐標表達式混合積的坐標表達

8、式三、向量的混合積三、向量的混合積（1）向量混合積的幾何意義：）向量混合積的幾何意義： 向量的混合積向量的混合積cbacba )(是這樣是這樣的一個數(shù)，它的絕對值表的一個數(shù)，它的絕對值表示以向量示以向量a、b、c為棱的為棱的平行六面體的體積平行六面體的體積.acbba 關于混合積的說明：關于混合積的說明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac （3）三向量）三向量a、b、c共面共面. 0 cba 已已知知2 cba， 計計算算)()()(accbba .解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0

9、 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba . 4 例例6例例 7 7 已知空間內不在一平面上的四點已知空間內不在一平面上的四點),(111zyxA、),(222zyxB、),(333zyxC、),(444zyxD, 求四面體的體積求四面體的體積.解解由由立立體體幾幾何何知知，四四面面體體的的體體積積等等于于以以向向量量AB、AC、AD為為棱棱的的平平行行六六面面體體的的體體積積的的六六分分之之一一.61ADACABV ,121212zzyyxxAB ,131313zzyyxxAC ,141414zzyyxxAD 14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyy

10、xxV 式中正負號的選擇必須和行列式的符號一致式中正負號的選擇必須和行列式的符號一致.向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積向量的向量積向量的向量積向量的混合積向量的混合積（結果是一個數(shù)量）（結果是一個數(shù)量）（結果是一個向量）（結果是一個向量）（結果是一個數(shù)量）（結果是一個數(shù)量）（注意共線、共面的條件）（注意共線、共面的條件）四、小結四、小結思考題思考題已已知知向向量量0 a，0 b，證證明明2222)(|bababa .思考題解答思考題解答)(sin|,2222bababa )(cos1|,222baba 22|ba )(cos|,222baba 22|ba .)(2ba 一一、 填填空空題題：1 1、

11、已已知知a= =3 3，b= =2 26 6，ba = =7 72 2, ,則則ba = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、 已已知知（ba,）= =32 ，且且a= =1 1，b= =2 2，則則 2)(ba = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3 3、ba 的的幾幾何何意意義義是是以以ba,為為其其鄰鄰邊邊的的_ _ _ _ _ _ _ _ _ _；4 4、 三三向向 量量cba,的的 混混 合合 積積 cba 的的 幾幾 何何 意意 義義 是是_ _ _ _ _ _ _；5 5、 兩兩向向量量的的的的內內積積為為零零的的充充分分必必要要條條件

12、件是是至至少少其其中中有有 一一個個向向量量為為_ _ _ _ _ _ _ _ _，或或它它們們互互相相 _ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、 兩兩向向量量的的外外積積為為零零的的充充分分必必要要條條件件是是至至少少其其中中有有一一 個個向向量量為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，或或它它們們互互相相_ _ _ _ _ _ _；練練 習習 題題7 7、設、設kjia23 ，kjib 2 , , 則則ba = _ = _， ba = _ = _ _ , , ba3)2( = _ = _, , ba2 = _ = _，),cos(ba = = _ _ ；8 8、設、設a

13、= =kji 32, ,kjib3 和和,2jic 則則 bcacba)()( =_ =_ ,_ , )()(cbba _ _ ,_ , cba )( = _ = _ ._ .二二、 已已 知知cba,為為 單單 位位 向向 量量 ， 且且 滿滿 足足0 cba，計計算算accbba . .三三、設設質質量量為為 1 10 00 0 千千克克的的物物體體從從點點)8,1,3(1M沿沿直直線線移移動動到到點點)2,4,1(2M計計算算重重力力所所作作的的功功（長長度度單單位位為為米米，重重力力方方向向為為Z軸軸負負方方向向）. .四、四、 設設 4,1,2,2,5,3 ba，問，問 與與怎樣的關

14、系怎樣的關系能使行能使行zba與與 軸垂直軸垂直 . .五、五、 應用向量證明：應用向量證明：1 1、 三角形的余弦定理；三角形的余弦定理；2 2、 直徑所對的圓周角是直角直徑所對的圓周角是直角 . .六、六、 已知已知cba,兩兩垂直，且兩兩垂直，且 cbascba 求求,3,2,1的長度的長度 與它和與它和cba,的夾角的夾角 . .七、七、 計算以向量計算以向量212eep 和和212eeq 為邊的三角為邊的三角形的面積，其中形的面積，其中1e和和2e是相互垂直的單位向量是相互垂直的單位向量 . .練習題答案練習題答案一、一、1 1、30 ； 2 2、3 3； 3 3、平行四邊形的面積；、平行四邊形的面積； 4 4、以、以cba,為鄰邊的平行六面體的體積；