設(shè)計高中數(shù)學(xué)人教B必修五解三角形 復(fù)習(xí)

1、教學(xué)設(shè)計整體設(shè)計教學(xué)分析首先了解新課標(biāo)對本章的定位解三角形作為三角系列的最后一章，突出了基礎(chǔ)性、選擇性與時代性本章重在研究三角形邊角之間的數(shù)量關(guān)系，如正弦定理、余弦定理等正弦定理、余弦定理更深刻地反映了三角形的度量本質(zhì)，成為解三角形的主要工具本章的數(shù)學(xué)思想方法是一條看不見的暗線，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓在初中，教科書著重從空間形式定性地討論三角形中線段與角之間的位置關(guān)系，本章主要是定量地揭示三角形邊、角之間的數(shù)量關(guān)系，從而較清晰地解決了三角形的確定性問題本章對兩個定理的推導(dǎo)引入中十分強調(diào)這一量化思想方法，并選擇了更有教育價值的正弦定理和余弦定理的證明方法本章中融合了學(xué)生已學(xué)過的大部分幾何知識，

2、將解三角形作為幾何度量問題來處理，突出幾何背景，為學(xué)生理解數(shù)學(xué)中的量化思想，進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定了基礎(chǔ)三維目標(biāo)1熟練掌握三角形中的邊角關(guān)系2通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求對全章有一個清晰的認(rèn)識，熟練掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明確解斜三角形知識在實際中的廣泛應(yīng)用，熟練掌握由實際問題向解斜三角形類型問題的轉(zhuǎn)化，逐步提高數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力3注重思維引導(dǎo)及方法提煉，展現(xiàn)學(xué)生的主體作用，關(guān)注情感的積極體驗，加強題后反思環(huán)節(jié)，提升習(xí)題效率，激發(fā)學(xué)生鉆研數(shù)學(xué)的熱情、興趣和信心重點難點教學(xué)重點：掌握正、余弦定理及其推導(dǎo)過程并且能用它們解斜三角形教學(xué)難點：正弦定理、余弦定理的靈活運用，及將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并

3、正確地解出這個數(shù)學(xué)問題課時安排1課時教學(xué)過程導(dǎo)入新課(直接引入)本節(jié)課我們將對全章的知識、方法進行系統(tǒng)的歸納總結(jié)；系統(tǒng)掌握解三角形的方法與技巧由此展開新課的探究推進新課 (1)本章我們學(xué)習(xí)了哪些知識內(nèi)容？請畫出本章的知識結(jié)構(gòu)圖.(2)解斜三角形要用到正弦定理、余弦定理，那么正弦定理、余弦定理都有哪些應(yīng)用？(3)在解三角形時應(yīng)用兩個定理要注意些什么問題？若求一個三角形的角時，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理，怎樣選擇較好？(4)本章中解三角形的知識主要應(yīng)用于怎樣的一些問題？(5)總結(jié)從初中到高中測量河流寬度和物體高度的方法.活動：教師引導(dǎo)學(xué)生畫出本章知識框圖，教師打出課件演示：從圖中我們很清晰

4、地看出本章我們學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理以及應(yīng)用這兩個定理解三角形，由于本章內(nèi)容實踐性很強，之后又重點研究了兩個定理在測量距離、高度、角度等問題中的一些應(yīng)用教師與學(xué)生一起回憶正弦定理、余弦定理的內(nèi)容及應(yīng)用如下：正弦定理、余弦定理：，a2b2c22bccosA，b2c2a22accosB，c2a2b22abcosC.正弦定理、余弦定理的應(yīng)用：利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角(從而進一步求出其他的邊和角)利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題已知三邊，求三個角；已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角在

5、求解一個三角形時，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理，要盡量選擇運算量較小，不產(chǎn)生討論的方法求解若求邊，盡量用正弦定理；若求角，盡量用余弦定理除了正弦定理、余弦定理外，我們還學(xué)習(xí)了三角形面積公式SbcsinAacsinBabsinC，利用它我們可以解決已知兩邊及其夾角求三角形的面積教師利用多媒體投影演示課件如下：解斜三角形時可用的定理和公式適用類型備注余弦定理a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2b2a22bacosC(1)已知三邊(2)已知兩邊及其夾角類型(1)(2)有解時只有一解正弦定理2R(3)已知兩角和一邊(4)已知兩邊及其中一邊的對角類型(3)在有解時只有一解，類型

6、(4)可有兩解、一解和無解三角形面積公式SbcsinAacsinBabsinC(5)已知兩邊及其夾角教師點撥學(xué)生，以上這些知識與初中的邊角關(guān)系、勾股定理等內(nèi)容構(gòu)成三角形內(nèi)容的有機整體實際上，正弦定理只是初中“三角形中大角對大邊，小角對小邊”的邊角關(guān)系的量化余弦定理是初中“已知兩邊及其夾角，則這兩個三角形全等”的量化，又是勾股定理的推廣本章的應(yīng)用舉例也是在初中學(xué)習(xí)的一些簡單測量的基礎(chǔ)上，應(yīng)用了正弦定理、余弦定理解關(guān)于斜三角形的問題在應(yīng)用兩個定理等知識解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的問題時，需注意以下幾點：在利用正弦定理求角時，由于正弦函數(shù)在(0，)內(nèi)不嚴(yán)格單調(diào)，所以角的個數(shù)可能不唯一，這時應(yīng)注意借

7、助已知條件加以檢驗，務(wù)必做到不漏解，不多解在運用正弦定理與余弦定理進行有關(guān)三角形內(nèi)角證明時，余弦定理會省去取舍的麻煩，但同時要注意在根據(jù)三角函數(shù)求角時，應(yīng)先確定其范圍在進行邊角，角邊轉(zhuǎn)換時，注意運用正弦定理和余弦定理的變形形式討論結(jié)果：(1)、(2)、(5)略(3)在應(yīng)用兩個定理求解時，注意與平面幾何知識的融合若求解一個三角形時兩個定理都可用，則求邊宜選正弦定理，求角宜選余弦定理，但要具體問題具體分析，從中選擇最優(yōu)解法(4)本章知識主要應(yīng)用測量、航海、建筑等在日常生活中與三角形有關(guān)的問題例1判斷滿足下列條件的三角形形狀(1)acosAbcosB；(2)sinC.活動：教師與學(xué)生一起探究判定三角

8、形形狀的方法有哪些學(xué)生思考后可得出確定三角形的形狀主要有兩條途徑：(1)化邊為角，(2)化角為邊鼓勵學(xué)生盡量一題多解，比較各種解法的優(yōu)劣解：(1)方法一：用余弦定理，得a×b×.c2(a2b2)a4b4(a2b2)(a2b2)a2b2或c2a2b2.三角形是等腰三角形或直角三角形方法二：用正弦定理，得sinAcosAsinBcosB，sin2Asin2B.A、B為三角形的內(nèi)角，2A2B或2A2B180°.AB或AB90°.因此三角形為等腰三角形或直角三角形(2)方法一：先用正弦定理，可得c，即c·cosAc·cosBab.再用余弦定理

9、，得c·c·ab.化簡并整理，得a3b3a2bab2ac2bc20，(ab)(a2b2c2)0.a0，b0，a2b2c20，即a2b2c2.三角形為直角三角形方法二：sinAsin(BC)，sinBsin(AC)，原式可化為sinC·cosAcosB·sinCsinAsinBsin(BC)sin(AC)sinB·cosCcosB·sinCsinA·cosCcosA·sinC.sinB·cosCsinA·cosC0，即cosC(sinAsinB)0.0°A180°，0°

10、;B180°，sinAsinB0.cosC0.又0°C180°，C90°.三角形為直角三角形點評：第(1)題中的第2種解法得出sin2Asin2B時，很容易直接得出2A2B，所以AB.這樣就漏掉了一種情況，因為sin2Asin2B中有可能推出2A與2B兩角互補，這點應(yīng)引起學(xué)生注意第(2)題中繞開正、余弦定理通過三角函數(shù)值的符號判定也是一種不錯的選擇，但學(xué)生不易想到，因此熟悉三角形中sinAsin(BC)，cosAcos(BC)等常見結(jié)論對解三角形大有益處 變式訓(xùn)練ABC的三內(nèi)角A、B、C的對邊邊長分別為a、b、c.若ab，A2B，則cosB等于()A.

11、B. C. D.答案：B解析：由題意得2cosB，cosB.例2在ABC中，若ABC的面積為S，且2S(ab)2c2，求tanC的值活動：本題涉及三角形的面積，面積公式又是以三角形的三邊a、b、c的形式給出，從哪里入手考慮呢？教師可先讓學(xué)生自己探究，學(xué)生可能會想到將三角形面積公式代入已知條件，但三角形面積公式SabsinCacsinBbcsinA有三個，代入哪一個呢？且代入以后的下一步方向又是什么呢？顯然思路不明這時教師適時點撥可否化簡等式右邊呢？這樣右邊為(ab)2c2a2b2c22ab.用上余弦定理即得a2b2c22ab2abcosC2ab，這就出現(xiàn)了目標(biāo)角C，思路逐漸明朗，由此得到題目解

12、法解：由已知，得(ab)2c2a2b2c22ab2abcosC2ab2×absinC.2(1cosC)sinC，2×2cos22sin·cos.0°C180°，0°90°，即cos0.tan2.tanC.點評：通過對本題的探究，讓學(xué)生認(rèn)識到拿到題目后不能盲目下手，應(yīng)先制定解題策略，尋找解題切入口 變式訓(xùn)練在ABC中，tanA，tanB.(1)求角C的大??；(2)若AB邊的長為，求BC邊的長解：(1)C180°(AB)，tanCtan(AB)1.又0°C180°，C135°.(2)tan

13、A，sin2Acos2A1,0°A90°，sinA.由正弦定理，得，BCAB·.例3將一塊圓心角為120°，半徑為20 cm的扇形鐵片裁成一塊矩形，有如圖(1)、(2)的兩種裁法：讓矩形一邊在扇形的一條半徑OA上，或讓矩形一邊與弦AB平行，請問哪種裁法能得到最大面積的矩形？并求出這個最大值活動：本題是北京西城區(qū)的一道測試題，解題前教師引導(dǎo)學(xué)生回憶前面解決實際問題的方法步驟，讓學(xué)生清晰認(rèn)識到解決本題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，然后用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識來解決解：按圖(1)的裁法：矩形的一邊OP在OA上，頂點M在圓弧上，設(shè)MOA，則|MP|20sin，|OP|20cos

14、，從而S400sincos200sin2，即當(dāng)時，Smax200.按圖(2)的裁法：矩形的一邊PQ與弦AB平行，設(shè)MOQ，在MOQ中，OQM90°30°120°，(1)(2)由正弦定理，得|MQ|sin.又因為|MN|2|OM|sin(60°)40sin(60°)，所以S|MQ|·|MN|sinsin(60°)cos60°cos(260°) cos(260°)cos60°所以當(dāng)30°時，Smax.由于200，所以用第二種裁法可裁得面積最大的矩形，最大面積為 cm2.點評：正弦

15、定理、余弦定理在測量(角度、距離)、合理下料、設(shè)計規(guī)劃等方面有廣泛應(yīng)用從解題過程來看，關(guān)鍵是要找出或設(shè)出角度，實質(zhì)是解斜三角形，將問題涉及的有關(guān)量集中在某一個或者幾個三角形中，靈活地運用正弦定理、余弦定理來加以解決 變式訓(xùn)練設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，且acosB3，bsinA4.(1)求邊長a；(2)若ABC的面積S10，求ABC的周長l.解：(1)由acosB3與bsinA4，兩式相除，得··.又acosB3，知cosB0，則cosB，sinB.則a5.(2)由SacsinB10，得c5.由cosB，解得b2.故ABC的周長labc102.1在A

16、BC中，若b2a，BA60°，則A_.2在ABC中，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，設(shè)a、b、c滿足條件b2c2bca2，求A和tanB的值答案：130°解析：由正弦定理，知，2sinAsin(A60°)sinAcosA.tanA.0°A180°，A30°.2解：由余弦定理和已知條件，得cosA，0°A180°，A60°，且B180°AC120°C.由正弦定理和已知條件，得，tanB.所求A60°，tanB.課本本章小結(jié)鞏固與提高18.先由學(xué)生總結(jié)本節(jié)課對全章的復(fù)習(xí)都有哪

17、些收獲和提高？解決本章的基本問題都有哪些體會？可讓若干學(xué)生在課堂上介紹自己的復(fù)習(xí)心得教師進一步畫龍點睛，總結(jié)解題思路：(1)運用方程觀點結(jié)合恒等變形方法巧解三角形；(2)運用三角形基礎(chǔ)知識，正、余弦定理及面積公式與三角函數(shù)公式配合，通過等價轉(zhuǎn)化或構(gòu)建方程解答三角形的綜合問題，注意隱含條件的挖掘1鞏固與提高9122自測與評估17設(shè)計感想本教案設(shè)計注重了優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，進一步加深對知識的鞏固在此過程中，學(xué)生對思想方法的領(lǐng)悟也更具深刻性；注重對學(xué)生抽象思維、發(fā)散思維的培養(yǎng)訓(xùn)練通過一題多解訓(xùn)練了學(xué)生對事物現(xiàn)象選擇角度地觀察，從而把握事物的本質(zhì)本教案設(shè)計意圖還按照習(xí)題的內(nèi)容分類處理進行；注重了思維引導(dǎo)及方

18、法提煉，展現(xiàn)了學(xué)生的主體作用，關(guān)注學(xué)生愉悅情感的積極體驗，深挖了三角形本身內(nèi)在美的價值，意在激發(fā)學(xué)生強烈的探究欲望，培養(yǎng)學(xué)生積極的向上心態(tài)備課資料一、與三角形計算有關(guān)的定理1半角定理在ABC中，三個角的半角的正切和三邊之間有如下的關(guān)系：tan，tan，tan，其中p(abc)證明：tan，因為sin0，cos0，所以sin.因為p(abc)，所以abc2(pb)，abc2(pc)所以sin.而cos，所以tan.所以tan.同理，可得tan，tan.從上面的證明過程中，我們可以得到用三角形的三條邊表示半角的正弦和半角的余弦的公式：sin，cos.同理，可得sin，sin，cos，cos.2用三

19、角形的三邊表示它的內(nèi)角平分線設(shè)在ABC中(如圖)，已知三邊a、b、c，如果三個角A、B和C的平分線分別是ta、tb和tc，那么，用已知邊表示三條內(nèi)角平分線的公式是：ta；tb；tc，其中p(abc)證明：設(shè)AD是角A的平分線，并且BDx，DCy，那么，在ADC中，由余弦定理，得ta2b2y22bycosC，根據(jù)三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)，得，所以.因為xya，所以.所以y.將代入，得ta2b2()22b()cosCb2c22bca22a(bc)cosC因為cosC，所以ta2a2b2c22bc2a(bc)·(b2c22bca2)(abc)(bca)·2p·2(pa)&

20、#183;bcp(pa)所以ta.同理，可得 tb，tc.這就是已知三邊求三角形內(nèi)角平分線的公式3用三角形的三邊來表示它的外接圓的半徑設(shè)在ABC中，已知三邊a、b、c，那么用已知邊表示外接圓半徑R的公式是R .證明：因為R，SbcsinA，所以sinA.所以R .二、備選習(xí)題1在ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，abc335，則等于 ()A B C. D不是常數(shù)2ABC的周長等于20，面積是10，A60°，A的對邊為()A5 B6 C7 D83在ABC中，AB3，AC2，BC，則·等于()A B C. D.4已知在ABC中，B30°，b6，c6，則a_，

21、SABC_.5在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.若(bc)cosAacosC，則cosA_.6對ABC，有下面結(jié)論：滿足sinAsinB的ABC一定是等腰三角形；滿足sinAcosB的ABC一定是直角三角形；滿足c的ABC一定是直角三角形則上述結(jié)論正確命題的序號是_7在ABC中，D在邊BC上，且BD2，DC1，B60°，ADC150°，求AC的長及ABC的面積8在ABC中，已知角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且bcosBccosCacosA，試判斷ABC的形狀參考答案：1C解析：設(shè)a3k，則b3k，c5k.2C解析：abc20，bc20a，即b2c22bc40040aa2.b2c2a240040a2bc.又cosA，b2c2a2b