多元函數(shù)積分概念二重積分計算

1、將一元函數(shù)積分學中的將一元函數(shù)積分學中的“分、勻、合、精分、勻、合、精”思想推廣，運用到多元函數(shù)情形。思想推廣，運用到多元函數(shù)情形。第第1節(jié)節(jié) 多元數(shù)量函數(shù)積分的多元數(shù)量函數(shù)積分的概念和性質(zhì)概念和性質(zhì)1.曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 曲頂柱體曲頂柱體：以：以xoy平面上的閉區(qū)域平面上的閉區(qū)域D為底，為底，以以D的邊界曲線為準線，母線平行于的邊界曲線為準線，母線平行于z軸的柱軸的柱面為側(cè)面，面為側(cè)面，并并以以z=f(x,y) 為頂?shù)目臻g立體。為頂?shù)目臻g立體。一一. 兩個實例：兩個實例： 如何求此曲頂柱體的體積如何求此曲頂柱體的體積V？微元法思想微元法思想分分： 把把 D 任意分成任意分成 n 個

2、小區(qū)域個小區(qū)域 (同時用同時用 表示第表示第 i 個小區(qū)域的面積），分別個小區(qū)域的面積），分別以以 的邊界為準線作母線平行于的邊界為準線作母線平行于 z 軸的柱面，軸的柱面，則原曲頂柱體分成了則原曲頂柱體分成了 n 個小的曲頂柱體。個小的曲頂柱體。n ,21i i 勻勻： 任取任取 ， 則以則以 為底的小曲頂柱為底的小曲頂柱體體積體體積:i,iii ,iiiivf yxzDo,zf x yi 1,niiiiVf 合合：精精：區(qū)域中任意兩點距離的最大值稱為該區(qū)域：區(qū)域中任意兩點距離的最大值稱為該區(qū)域的直徑，記的直徑，記1 maxii nd 的的直直徑徑01lim,niiidiVf 則：則： 設有

3、一物體對應于空間曲面設有一物體對應于空間曲面S， (x,y,z) 為密為密度函數(shù)度函數(shù)(連續(xù)連續(xù))，現(xiàn)要求該物體的質(zhì)量現(xiàn)要求該物體的質(zhì)量 m。2. 質(zhì)量：質(zhì)量：分分：把：把S任意分成任意分成n 小塊小塊 ， 表示表示 第第 i 小塊曲面的面積。小塊曲面的面積。iS niSi,1 勻勻：任?。喝稳?，則第，則第 i小塊曲面的質(zhì)量小塊曲面的質(zhì)量,iiiiS ,iiiiimS 精精：01lim,niiiidimS 1,niiiiimS 合合：11 1,2, ),1, ),max()0,kkkkkk nnkkkkkfnknkndffMMMdf 設設 是是一一個個有有界界的的可可度度量量的的幾幾何何形形

4、體體， 函函數(shù)數(shù)是是定定義義在在 上上的的數(shù)數(shù)量量值值函函數(shù)數(shù)。將將 任任意意分分割割成成 個個小小部部分分（其其度度量量仍仍記記為為（記記的的直直徑徑 ，任任取取點點，作作和和式式。若若不不論論將將 如如何何分分割割，點點如如何何選選取取，當當時時該該和和式式有有確確定定的的極極限限，則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在幾幾何何體體，極極上上可可積積在在 上上限限為為的的積積分分值值記記01()()lim()nkkdkf M df M df M 為為 ，即即二二. 數(shù)量函數(shù)積分的概念數(shù)量函數(shù)積分的概念定義定義101,lim(,)nkkkdkDfx y df二重積分：二重積分：三重積分：三重積分：01( ,

5、, )lim(,)nkkkkdkf x y z dVfV 其中其中 稱為稱為積分域積分域，f 稱為稱為被積函數(shù)被積函數(shù)，f(M)d 稱為稱為被積式被積式或或積分微元積分微元。幾種具體的類型：幾種具體的類型：d稱稱為為面面積積微微元元。dV稱稱為為體體積積微微元元。第一型曲線積分第一型曲線積分（對弧長的曲線積分）：（對弧長的曲線積分）：01( , , )lim(,)nkkkkCdkf x y z dsfs 01( , )lim(,)nkkkCdkf x y dsfs 第一型曲面積分第一型曲面積分 （對面積的曲面積分）：（對面積的曲面積分）：01( , , )lim(,)nkkkkdkSf x y

6、 z dSfS C稱為積分路徑。稱為積分路徑。01limnkdkd 的的度度量量1f 時時 ， 數(shù)量函數(shù)積分的幾何意義：數(shù)量函數(shù)積分的幾何意義：;DdD平平面面區(qū)區(qū)域域 的的面面積積dv空空間間立立體體的的體體積積；;SdSS曲曲面面 的的面面積積.CdsC曲曲線線 的的長長度度 當當 時，時， = 以以D為底為底, 以以 為頂?shù)那斨w的體積；為頂?shù)那斨w的體積； 0, yxf yxfz, Ddyxf , 數(shù)量函數(shù)積分的物理應用之一：數(shù)量函數(shù)積分的物理應用之一：f當當函函數(shù)數(shù)為為幾幾何何形形體體的的密密度度函函數(shù)數(shù)時時，()f M d 的的質(zhì)質(zhì)量量三三. 積分存在的條件和性質(zhì)積分存在的條件

7、和性質(zhì).必要條件必要條件: f 在在 上可積，則上可積，則f 在在 上有界。上有界。充分條件：充分條件：設設 是緊集且可度量，是緊集且可度量，f C( ), 則則f 在在 上可積。上可積。()()()()af Mbg M da f M db g M d 1.線性性質(zhì)線性性質(zhì)：2.可加性可加性12()()()f M df M df M d 1212, 其其中中且且與與無無公公共共內(nèi)內(nèi)點點。3.積分不等式積分不等式 若若 則則()()f M dg M d ,()(),Mf Mg M()()f MCP設設，則則至至少少存存在在一一點點，使使()lf M dL 的的度度量量的的度度量量5.中值定理中值

8、定理()( )f M df P 的的度度量量特別地，有特別地，有|()|()|f M df Md 若若 則則,(),Mlf ML的邊界為準線，母線平行于的邊界為準線，母線平行于 z軸軸的柱面為側(cè)面，的柱面為側(cè)面，D為底面，曲面為底面，曲面 12,Dx yaxb yxyyx 由二重積分的幾何意義知：以由二重積分的幾何意義知：以 xoy 平面上的平面上的區(qū)域區(qū)域為頂面的曲頂柱體的體積為為頂面的曲頂柱體的體積為( , )0,zf x yx yD,DVfx y d第第2節(jié)節(jié) 二重積分的計算二重積分的計算一一. 直角坐標系中二重積分的計算：直角坐標系中二重積分的計算：xbxaoyz)(1xy)(2xyD

9、 任取任取 ，過，過 x 軸作平行于軸作平行于yoz面的平面的平面，此平面與曲頂柱體之交為一曲邊梯形，設面，此平面與曲頂柱體之交為一曲邊梯形，設其面積為其面積為 ，則，則,xa b A x2121 ( ) ( ) ( ) ( ),( , )( , )byxayxDbyxayxVf x y df x y dy dxdxf x y dy 記記 21 ( ) ( )( )( , )byxayxVA x dxA xf x y dy而而先先y后后x的二次積分的二次積分(累次積分累次積分) 而該體積也可用定積分的方法求得而該體積也可用定積分的方法求得: )(2xy xAbxaoxyz)(1xyDX -型區(qū)

10、域：型區(qū)域：任一平行任一平行 y 軸的直線與軸的直線與D的邊界的的邊界的交點至多只有兩個。交點至多只有兩個。 上面假定上面假定 ，但實際上上公式對一，但實際上上公式對一般的般的 也成立。對各種不同類型的積分區(qū)也成立。對各種不同類型的積分區(qū)域域D，二重積分化為二次積分的情況總結如下：二重積分化為二次積分的情況總結如下： ,0fx y ,fx y21 ( ) ( ),( , )DDbxaxfx y dfx y dxdydxf x y dyDab xy2 xy1oyx xy2 xy1oyxDabddxdy（直直角角坐坐標標系系中中面面積積微微元元）Y -型區(qū)域：型區(qū)域：任一平行任一平行 x 軸的直線

11、與軸的直線與D的邊界的的邊界的交點至多只有兩個。交點至多只有兩個。21 ( ) ( ),( , )dxycxyDfx y dxdydyf x y dxDdc yx1 yx2oyxDcd yx1 yx2oyx123,DDDDf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdyoy1D3D2Dx22 11 001 12 0 0 12 01211218xDxxydxdydxxydyxydxxxdx22:1,0,0DxydxdyD xyxy例例1：計算計算解解oxy11x22:2,1DxdxdyDxyxyxy計計算算，由由直直線線及及雙雙曲曲線線圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域。解解:

12、 (法一法一) 先對先對y后對后對x積分積分22212212211231194xxDxxxdxdydxdyyyxxdxyxx dxoyxxy 1 yx2 x)1,1()21,2()2,2(1D例例212125212818333317591264ydydyyyy(法二法二) 先對先對x后對后對y積分積分oyxxy 1 yx2 x)1,1()21,2()2,2(1D22121122222221yDyxxdxdydydxyyxdydxy22:0,1,yDx edxdyDxyyx由由圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域21100111111032663t ytttte dttee dte 解解 由于由于 的原函數(shù)不能

13、用初等函數(shù)表示，故的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，故不能先對不能先對y積分積分2ye例例3 計算計算oyx1D12212200yyyDx edxdydyx edx22112300013yyyedyx dxy edy注意注意：在例：在例2中，法中，法1比法比法2簡便，在例簡便，在例3中，由中，由于被積函數(shù)中含有于被積函數(shù)中含有 ，只能先對，只能先對x積分。因此，積分。因此，在把二重積分化為二次積分時，選擇恰當?shù)姆e在把二重積分化為二次積分時，選擇恰當?shù)姆e分次序是非常重要的，而要計算二重積分，關分次序是非常重要的，而要計算二重積分，關鍵的是要化為二次積分。鍵的是要化為二次積分。2ye例例4 作出積分域，

14、并改變積分次序：作出積分域，并改變積分次序：402( , )xxdxf x y dy解解 原積分原積分=2220(1)( , )yydyf x y dx(4,2)yx2 2yx oyx12330010(2)( , )( , )yydyf x y dxdyf x y dx解解 原積分原積分2302( , )xxdxf x y dyyx 3oyxyx2 (2,1)221111(3)( , )xxdxf x y dy2201111101( ,)( ,)yyyydyf x y dxdyf x y dxoyx21 xy 21 xy 解解 原積分原積分sin20sin(4)( , )xxdxf x y d

15、y解解 原積分原積分1arcsin00arcsin12arcsin( , )( , )yyydyf x y dxdyf x y dxoyxxy sin 2sinxy 228DVRx dxdy222200223081683RRxRdxRx dyRxdxR例例5 求兩個底面半徑相同的正交圓柱體所圍成求兩個底面半徑相同的正交圓柱體所圍成的立體的體積。的立體的體積。22222222,0,0 xyRxzRDx yyRxxR設設兩兩個個圓圓柱柱面面方方程程分分別別為為解解oxyzDBCA二二. 極坐標系下二重積分的計算極坐標系下二重積分的計算cos (0 02sinxrryr，）則得極坐標系下的二重積分計

16、算公式則得極坐標系下的二重積分計算公式:,cos , sinDDfx y dxdyf rrrdrd 作極坐標變換作極坐標變換oxDrrr r若區(qū)域若區(qū)域D可用極坐標的不等式可用極坐標的不等式 1212, ,rrrrr 表表示示，其其中中，在在上上連連續(xù)續(xù)，則則21 ( ) ( )( cos , sin )( cos , sin )Df rrrdrddf rrrdr oxD2( )rr1( )rr oxD2( )rr1( )rr ( ) 0( cos , sin )( cos , sin )r Df rrrdrddf rrrdr若區(qū)域若區(qū)域D可用極坐標的不等式可用極坐標的不等式 0, ,rr 表

17、表示示，其其中中在在上上連連續(xù)續(xù)，則則( )rroxD若區(qū)域若區(qū)域D可用極坐標的不等式可用極坐標的不等式 0,020,2 rr表表示示，其其中中r r在在上上連連續(xù)續(xù)，則則 2( ) 00( cos , sin )( cos , sin )r Df rrrdrddf rrrdrox( )rrD若區(qū)域若區(qū)域D可用極坐標的不等式可用極坐標的不等式1212,( )( )( ),( ) , arbrrrra b表表示示，其其中中在在上上連連續(xù)續(xù)，則則21 ( ) ( )( cos , sin )( cos , sin )brarDf rrrdrdrdrf rrdoxDab2( ) r1( ) r解解

18、令令cossinxryr ，則在極坐標系中，則在極坐標系中，22222220001221xyDDRRRedxdyedddedee 于是于是:0, 02,DR例例6: 計算計算22()222:xyDedxdyD xyR2222302:;:;00,0 xRxyRDDyRxy oxy1D2D3DRR2123DDD顯然顯然220 xye由于由于從而從而222222123xyxyxyDDDedxdyedxdyedxdy例例7: 計算反常積分計算反常積分20 xedx解解: 設設2221:0,0 xyRDxy22(1)4Re例例62(1)4Re例例6而而2222222000RRRxyxyxDedxdyed

19、xedyedx從而從而202xedx因此因此2222201144RRxReedxeR 4R 例例8: 將下列二次積分化為極坐標形式下的將下列二次積分化為極坐標形式下的 二次二次積分：積分：2200(1),RRxdxfx ydy2220000,cos, sinRRxRdxfx y dydfrrrdr解解orRxy積分區(qū)域：積分區(qū)域：D:221122xy在極坐標下，在極坐標下，D：220cos于是于是222210cos0tanxxxxydxfdyxdfrdr2210(2)xxxxydxfdyx解解oxcosry220:2xaDxyax xa 在極坐標下，將在極坐標下，將D分為二部分表示：分為二部分

20、表示：20442sin02 cos0cosarar及及于是于是222202sin4cos00,( cos , sin )aax xxadxf x y dydf rrrdr2 cos204( cos , sin )adf rrrdr2220(3),xaaaxxdxfx y dy解解ox2 cosra2sincosary在極坐標下，在極坐標下，D分為二部分表示：分為二部分表示：04421100cossinrr及及11224cos2sin0004dfrrdrdfrrdr于是于是01:01xDy112200dxf xydy112200(4)()dxfxydy解解1sinr1cosr11xoy例例9:

21、求求Bernoulli雙紐線雙紐線22 2222()2()xya xy圍成的面積圍成的面積A。解解: 雙紐線在極坐標下的方程為：雙紐線在極坐標下的方程為：4222222222cossin2cos22cos2ra ra rra20cos 20r35,4444 4 43 47 45 xoy 由由 的周期性得圖形的對稱性，而且當?shù)闹芷谛缘脠D形的對稱性，而且當 從從 增加到增加到 時，時， 由零增加到由零增加到 ，再減少，再減少到零，于是可得如圖所示的雙紐線圖形。到零，于是可得如圖所示的雙紐線圖形。 cos24 4 2r2a2 cos 2400240422cos 2DDaAdxdyrdrddrdrad2242sin 220aa4