高三數(shù)學(xué)全程復(fù)習(xí)08第八編立體幾何共77頁教學(xué)案新人教版

1、第八編 立體幾何§8.1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖基礎(chǔ)自測1.下列不正確的命題的序號是 .有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形的幾何體叫棱錐答案 2.如果圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么這個圓錐的頂角（圓錐軸截面中兩條母線的夾角）是 .答案 60°3.如果一個幾何體的三視圖如圖所示（單位長度：cm），則此幾何體的表面積是 cm2. 答案 (20+4) 4.（2008·寧夏文，14）一個六棱柱的底面是

2、正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的高為，底面周長為3，那么這個球的體積為 .答案 5.已知正三角形ABC的邊長為a,那么ABC的直觀圖ABC的面積為 .答案 a2謝謝您對我們的幫助支持！例1 下列結(jié)論不正確的是 （填序號）.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線答案 解析 錯誤.如圖所示，由兩個結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不一定 是棱錐.錯誤.如下圖，

3、若ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐.錯誤.若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形.由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長. 正確.例2 （14分）已知ABC的直觀圖ABC是邊長為a的正三角形，求原三角形ABC的面積.解 建立如圖所示的xOy坐標(biāo)系，ABC的頂點C在y軸上，AB邊在x軸上，OC為ABC的 高. 3分把y軸繞原點順時針旋轉(zhuǎn)45°得y軸，則點C變?yōu)辄cC，且OC=2OC，A、B點即為A、 B點，AB=AB. 6分已知AB=AC=a，在OAC中，由正弦定理得=， 9分所以O(shè)C=,所以原三角形ABC的高O

4、C=a， 12分所以SABC=×a×a=2. 14分例3 一個正三棱柱的三視圖如圖所示，求這個三棱柱的表面積和體積.解 由三視圖易知，該正三棱柱的形狀如圖所示：且AA=BB=CC=4cm,正三角形ABC和正三角形ABC的高為2cm.正三角形ABC的邊長為|AB|=4.該三棱柱的表面積為S=3×4×4+2××42sin60°=48+8(cm2).體積為V=S底·|AA|=×42sin60°×4=16(cm3).故這個三棱柱的表面積為（48+8）cm2,體積為16cm3.例4 棱長為2的正

5、四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖所示， 求圖中三角形（正四面體的截面）的面積.解 如圖所示，ABE為題中的三角形，由已知得AB=2，BE=2×=,BF=BE=,AF=,ABE的面積為S=×BE×AF=××=.所求的三角形的面積為.1.如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等，就稱它為“等腰四棱錐”，四條側(cè)棱稱為它的腰，以下四個命題中為真命題的是 （填序號）.等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或互補(bǔ)等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓等腰四棱錐的各頂點必在同一球面上答案 2.一個平面四邊形的斜二

6、測畫法的直觀圖是一個邊長為a的正方形,則原平面四邊形的面積等于 .答案 2a23.已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖（或稱主視圖）是一個底邊長為8、高為4的等 腰三角形，左視圖（或稱側(cè)視圖）是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形.（1）求該幾何體的體積V；（2）求該幾何體的側(cè)面積S.解 （1）由該幾何體的俯視圖、正視圖、左視圖可知，該幾何體是四棱錐，且四棱錐的底面ABCD是邊長為6和8的矩形，高VO=4，O點是AC與BD的交點.該幾何體的體積V=×8×6×4=64.（2）如圖所示，側(cè)面VAB中，VEAB，則VE=5SVAB=×AB×VE

7、=×8×5=20側(cè)面VBC中，VFBC，則VF=4.SVBC=×BC×VF=×6×4=12該幾何體的側(cè)面積S=2（SVAB+SVBC）=40+24.4.（2007·全國文，15）一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2 cm的球面上.如果正四棱柱的底面邊長為1 cm，那么該棱柱的表面積為 cm2.答案 2+4一、填空題1.利用斜二測畫法可以得到：三角形的直觀圖是三角形，平行四邊形的直觀圖是平行四邊形，正方形的直觀圖是正方形，菱形的直觀圖是菱形，以上正確結(jié)論的序號是 .答案 2.如圖所示，甲、乙、丙是三個幾何體圖形的三視圖，甲、乙

8、、丙對應(yīng)的標(biāo)號是 .長方體；圓錐；三棱錐；圓柱.答案 3.下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是 .答案 4.用若干個大小相同，棱長為1的正方體擺成一個立體模型，其三視圖如下：根據(jù)三視圖回答此立體模型的體積為 .答案 55.棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1的8個頂點都在球O的表面上，E、F分別是棱AA1、DD1的中點，則直線EF被球O截得的線段長為 .答案 6.（2008·湖北理）用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為 .答案 7.用小立方塊搭一個幾何體，使得它的正視圖和俯視圖如圖所示，這樣的幾何體至少要 個小立方塊.最多只能用 個小立方塊.

9、答案 9 148.如圖所示，E、F分別是正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的正投影可能是 .（把可能的圖的序號都填上） 答案 二、解答題9.正四棱臺AC1的高是17 cm，兩底面的邊長分別是4 cm和16 cm，求這個棱臺的側(cè)棱長和斜高.解 如圖所示，設(shè)棱臺的兩底面的中心分別是O1、O，B1C1和BC的中點分別是E1和E，連接O1O、E1E、O1B1、OB、O1E1、OE，則四邊形OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形.A1B1=4 cm，AB=16 cm，O1E1=2 cm，OE=8 cm，O1B1=2 cm，OB=8 cm，B1B2=O1O2+

10、（OB-O1B1)2=361 cm2，E1E2=O1O2+（OE-O1E1)2=325 cm2，B1B=19 cm，E1E=5cm.答 這個棱臺的側(cè)棱長為19 cm，斜高為5cm.10.圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，軸截面的面積等于392 cm2,母線與軸的夾角是45°，求這個圓臺的高、母線長和兩底面半徑.解 圓臺的軸截面如圖所示，設(shè)圓臺上下底面半徑分別為x cm,3x cm.延長AA1交OO1的延長線于S，在RtSOA中，ASO=45°, 則SAO=45°，SO=AO=3x，OO1=2x，又S軸截面=（6x+2x）·2x=392，x=7.故

11、圓臺的高OO1=14 (cm)，母線長l=O1O=14 (cm)，兩底面半徑分別為7 cm,21 cm.11.正四棱錐的高為，側(cè)棱長為，求側(cè)面上斜高（棱錐側(cè)面三角形的高）為多少？解 如圖所示，正棱錐S-ABCD中高OS=，側(cè)棱SA=SB=SC=SD=，在RtSOA中，OA=2，AC=4.AB=BC=CD=DA=2.作OEAB于E，則E為AB中點.連接SE，則SE即為斜高，則SOOE.在RtSOE中，OE=BC=，SO=，SE=，即側(cè)面上的斜高為.12. 如圖所示的幾何體中，四邊形AA1B1B是邊長為3的正方形，CC1=2，CC1AA1，這個幾何體是棱柱嗎？若是，指出是幾棱柱.若不是棱柱，請你試

12、用一個平面截去一部分，使剩余部分是一個棱長為2的三棱柱，并指出截去的幾何體的特征，在立體圖中畫出截面.解 這個幾何體不是棱柱；在四邊形ABB1A1中，在AA1上取點E，使AE=2；在BB1上取F使BF=2；連接C1E，EF，C1F，則過C1EF的截面將幾何體分成兩部分，其中一部分是棱柱ABCEFC1，其棱長為2；截去的部分是一個四棱錐C1EA1B1F.§8.2 空間幾何體的表面積與體積基礎(chǔ)自測1.（2008·山東）如圖是一個幾何體的三視圖,根據(jù)圖中數(shù)據(jù),可得該幾何體的表面積是 .答案 122.如圖所示，在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1上一點，且P

13、B1=A1B1，則多面體P-BCC1B1的體積為 .答案 3.如圖所示，一個空間幾何體的正視圖、左視圖是周長為4，一個內(nèi)角為60°的菱形，俯視圖是圓及其圓心，那么這個幾何體的表面積為 .答案 4.已知正方體外接球的體積為,那么正方體的棱長等于 .答案 5.（2008·福建，15）若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是 .答案 96.三棱錐SABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S為直角頂點的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，則三棱錐SABC的表面積是 .答案 3+例1 如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，BB1=

14、c，并且abc0.求沿著長方體的表面自A到C1 的最短線路的長.解 將長方體相鄰兩個面展開有下列三種可能，如圖所示.三個圖形甲、乙、丙中AC1的長分別為：=，=，=，abc0,abacbc0. 故最短線路的長為.例2 如圖所示,半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸,旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體,求該幾何體的表面積(其中BAC=30°)及其體積.解 如圖所示,過C作CO1AB于O1,在半圓中可得BCA=90°,BAC=30°,AB=2R,AC=R,BC=R,CO1=R,S球=4R2,=×R×R=R2,=×R×R=R2,S幾

15、何體表=S球+=R2+R2=R2,旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體的表面積為R2.又V球=R3,=·AO1·CO12=R2·AO1=BO1·CO12=BO1·R2V幾何體=V球-（+）=R3-R3=R3.例3 如圖所示，長方體ABCDABCD中，用截面截下一個棱錐CADD，求棱錐CADD的體積與剩余部分的體積之比.解 已知長方體可以看成直四棱柱ADDABCCB.設(shè)它的底面ADDA面積為S，高為h，則它的體積為V=Sh.而棱錐CADD的底面面積為S，高是h,因此，棱錐CADD的體積VCADD=×Sh=Sh.余下的體積是Sh-Sh=Sh.所以棱錐CAD

16、D的體積與剩余部分的體積之比為15.例4 （14分）如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，DAB=60°，E為AB的中點，將ADE與BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱錐的外接球的體積. 解 由已知條件知，平面圖形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.折疊后得到一個正四面體.2分方法一 作AF平面DEC，垂足為F，F(xiàn)即為DEC的中心.取EC的中點G，連接DG、AG，過球心O作OH平面AEC.則垂足H為AEC的中心.4分外接球半徑可利用OHAGFA求得.AG=，AF=，6分在AFG和AHO中，根據(jù)三角形相似可知，AH=.OA=.10分外接球體

17、積為×OA3=··=.14分方法二 如圖所示，把正四面體放在正方體中.顯然，正四面體的外接球就是正方體的外接球.6分正四面體的棱長為1，正方體的棱長為，外接球直徑2R=·，10分R=，體積為·=.12分該三棱錐外接球的體積為.14分1.如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面為直角三角形，ACB=90°，AC=6，BC=CC1=.P是BC1上一動點，則CP+PA1的最小值是 .答案 52.如圖所示，扇形的中心角為90°，其所在圓的半徑為R，弦AB將扇形分成兩個部分，這兩部分各以AO為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積V1和

18、V2之比為 .答案 113.如圖所示，三棱錐ABCD一條側(cè)棱AD=8 cm，底面一邊BC=18 cm，其余四條棱的棱長都是17 cm，求三棱錐ABCD的體積.解 取BC中點M，連接AM、DM，取AD的中點N，連接MNAC=AB=CD=BD，BCAM，BCDM，又AMDM=M，BC平面ADM，BC=18，AC=AB=DB=DC=17.AM=DM=4，NMAD，MN=8.SADM=·MN·AD=·8·8=32.VABCD=VBADM+VCADM=×SADM×（BM+CM）=×32×18=192（cm3）.4.如圖所示，

19、已知正四棱錐SABCD中，底面邊長為a,側(cè)棱長為a.（1）求它的外接球的體積；（2）求它的內(nèi)切球的表面積.解 （1）設(shè)外接球的半徑為R，球心為O，則OA=OC=OS，所以O(shè)為SAC的外心，即SAC的外接圓半徑就是球的半徑.AB=BC=a，AC=a.SA=SC=AC=a，SAC為正三角形.由正弦定理得2R=，因此，R=a，V球=R3=a3.（2）設(shè)內(nèi)切球半徑為r，作SE底面ABCD于E，作SFBC于F，連接EF，則有SF=.SSBC=BC·SF=a×a=a2.S棱錐全=4SSBC+S底=（+1）a2.又SE=，V棱錐=S底h=a2×a=.r=,S球=4r2=a2.一

20、、填空題1. 如圖所示，E、F分別是邊長為1的正方形ABCD邊BC、CD的中點，沿線AF，AE，EF折起來，則所圍成的三棱錐的體積為 .答案 2.長方體的過一個頂點的三條棱長的比是123，對角線長為2，則這個長方體的體積是 .答案 483.已知三棱錐SABC的各頂點都在一個半徑為r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，AC=r，則球的體積與三棱錐體積的比值是 .答案 44.（2007·遼寧文，15）若一個底面邊長為，側(cè)棱長為的正六棱柱的所有頂點都在一個球的面上，則此球的體積為 .答案 45.已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積是 .答案 246.

21、一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是 .答案 7.（2008·四川理，15）已知正四棱柱的對角線的長為，且對角線與底面所成角的余弦值為，則該正四棱柱的體積等于 .答案 28.（2008·上海春招）已知一個凸多面體共有9個面，所有棱長均為1，其平面展開圖如圖所示，則該凸多面體的體積V= .答案 1+二、解答題9.一個正三棱臺的上、下底面邊長分別是3 cm和6 cm,高是 cm,（1）求三棱臺的斜高；（2）求三棱臺的側(cè)面積和表面積.解 （1）設(shè)O1、O分別為正三棱臺ABCA1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如

22、圖所示，則O1O=，過O1作O1D1B1C1，ODBC，則D1D為三棱臺的斜高；過D1作D1EAD于E，則D1E=O1O=，因O1D1=×3=,OD=×6=,則DE=OD-O1D1=-=.在RtD1DE中,D1D=.(2)設(shè)C、C分別為上、下底的周長，h為斜高，S側(cè)=（C+C）h= (3×3+3×6)×=(cm2),S表=S側(cè)+S上+S下=+×32+×62= (cm2).故三棱臺斜高為 cm,側(cè)面積為 cm2，表面積為 cm2.10.如圖所示，正ABC的邊長為4，D、E、F分別為各邊中點，M、N、P分別為BE、DE、EF的中

23、點，將ABC沿DE、EF、DF折成了三棱錐以后.（1）MNP等于多少度？（2）擦去線段EM、EN、EP后剩下的幾何體是什么？其側(cè)面積為多少？解 （1）由題意，折成了三棱錐以后，如圖所示，MNP為正三角形，故MNP=DAF=60°.（2）擦去線段EM、EN、EP后，所得幾何體為棱臺，其側(cè)面積為S側(cè)=SEADF側(cè)-SEMNP側(cè)=3××22-3××12=.11.如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=2，E是棱CC1上的點，且CE=CC1.（1）求三棱錐CBED的體積；（2）求證：A1C平面BDE.（1）解 CE=CC1

24、=，VCBDE=VEBCD=SBCD·CE=××1×1×=.(2)證明 連接AC、B1C. AB=BC，BDAC.A1A底面ABCD,BDA1A.A1AAC=A，BD平面A1AC.BDA1C.tanBB1C=,tanCBE=,BB1C=CBE.BB1C+BCB1=90°,CBE+BCB1=90°,BEB1C.BEA1B1，A1B1B1C=B1，BE平面A1B1C，BEA1C.BDBE=B，BE平面BDE，BD平面BDE，A1C平面BDE.12.三棱錐SABC中，一條棱長為a,其余棱長均為1，求a為何值時VSABC最大，并求最

25、大值.解 方法一 如圖所示，設(shè)SC=a，其余棱長均為1，取AB的中點H，連接HS、HC，則ABHC，ABHS，AB平面SHC.在面SHC中，過S作SOHC，則SO平面ABC.在SAB中，SA=AB=BS=1，SH=，設(shè)SHO=，則SO=SHsin=sin，VSABC=SABC·SO=××12×sin=sin.當(dāng)且僅當(dāng)sin=1，即=90°時，三棱錐的體積最大.a=SH=×=，Vmax=.a為時，三棱錐的體積最大為.方法二 取SC的中點D，可通過VSABC=SABD·SC，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的目標(biāo)函數(shù)的最大值問題，利用基本不等式或配

26、方法解決.§8.3 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系基礎(chǔ)自測1.給出下列四個命題：垂直于同一直線的兩條直線互相平行；垂直于同一平面的兩個平面互相平行；若直線l1、l2與同一平面所成的角相等，則l1,l2互相平行；若直線l1、l2是異面直線，則與l1、l2都相交的兩條直線是異面直線.其中假命題的個數(shù)是 .答案 42.對于平面和直線l，內(nèi)至少有一條直線與直線l （用“垂直”，“平行”或“異面”填空）.答案 垂直3.若三個平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個平面把空間分成 部分.答案 74.（2007·廣東理，12）如果一個凸多面體是n棱錐，那么這個凸多面體的所有頂點所確定

27、的直線共有 條.這些直線中共有f(n)對異面直線，則f(4)= ;f(n)= .（答案用數(shù)字或n的解析式表示） 答案 8 n(n-2)5.如圖所示，在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點，G、H、I、J分別為AF、AD、BE、DE的中點，將ABC沿DE、EF、DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數(shù)為 .答案 60°例1 如圖所示，空間四邊形ABCD中，E、F、G分別在AB、BC、CD上，且滿足AEEB=CFFB=21，CGGD= 31，過E、F、G的平面交AD于H，連接EH.（1）求AHHD；（2）求證：EH、FG、BD三線共點. (1)解 =2，EFAC.EF平面ACD

28、.而EF平面EFGH，且平面EFGH平面ACD=GH，EFGH.而EFAC，ACGH.=3,即AHHD=31.（2）證明 EFGH,且=，=，EFGH，四邊形EFGH為梯形.令EHFG=P，則PEH，而EH平面ABD，PFG，F(xiàn)G平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，PBD.EH、FG、BD三線共點.例2 如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是A1B1，B1C1的中點.問：（1）AM和CN是否是異面直線？說明理由；（2）D1B和CC1是否是異面直線？說明理由.解 （1）不是異面直線.理由如下：M、N分別是A1B1、B1C1的中點.MNA1C1，又A1A D1D，而D1D C

29、1C，A1A C1C，四邊形A1ACC1為平行四邊形.A1C1AC，得到MNAC，A、M、N、C在同一個平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線.（2）是異面直線，證明如下：假設(shè)D1B與CC1在同一個平面D1CC1內(nèi)，則B平面CC1D1，C平面CC1D1.BC平面CC1D1，這與正方體ABCDA1B1C1D1中BC面CC1D1相矛盾.假設(shè)不成立，故D1B與CC1是異面直線.例3 （16分）如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面是邊長為2的菱形，DAB=60°，對角線AC與BD交于點O，PO平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60°.（1）求四棱錐的體積；（2）若E是PB的中點，求

30、異面直線DE與PA所成角的余弦值.解 （1）在四棱錐PABCD中，PO平面ABCD，PBO是PB與平面ABCD所成的角，即PBO=60°，2分在RtPOB中，BO=AB·sin30°=1，又POOB，PO=BO·tan60°=,底面菱形的面積S=2××2×2×=2.四棱錐PABCD的體積VPABCD=×2×=2.8分（2）取AB的中點F，連接EF，DF，E為PB中點，EFPA，DEF為異面直線DE與PA所成角（或其補(bǔ)角）.10分在RtAOB中，AO=AB·cos30°

31、;=OP，在RtPOA中，PA=6，EF=.12分在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF=DE=，由余弦定理得cosDEF= 14分=.所以異面直線DE與PA所成角的余弦值為.16分1.如圖，E、F、G、H分別是空間四邊形AB、BC、CD、DA上的點，且EH與FG相交于點O.求證：B、D、O三點共線.證明 EAB，HAD，E平面ABD，H平面ABD.EH平面ABD.EHFG=O，O平面ABD.同理可證O平面BCD，O平面ABD平面BCD，即OBD，所以B、D、O三點共線.2.在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是CD的中點，連接AE并延長與BC的延長線交于點F，連接BE并延長交AD的延長線

32、于點G，連接FG.求證：直線FG平面ABCD且直線FG直線A1B1.證明 由已知得E是CD的中點，在正方體中，由于A平面ABCD，E平面ABCD，所以AE平面ABCD.又AEBC=F，從而F平面ABCD.同理G平面ABCD，所以FG平面ABCD.因為EC AB，故在RtFBA中，CF=BC，同理DG=AD.又在正方形ABCD中，BCAD，所以CFDG，所以四邊形CFGD是平行四邊形，所以FGCD.又CDAB，ABA1B1，所以直線FG直線A1B1.3.如圖所示，等腰直角三角形ABC中，A=90°，BC=，DAAC，DAAB，若DA=1，且E為DA的中點.求異面直線BE與CD所成角的余

33、弦值.解 取AC的中點F，連接EF，BF，在ACD中，E、F分別是AD、AC的中點，EFCD，BEF即為異面直線BE與CD所成的角或其補(bǔ)角.在RtEAB中，AB=AC=1，AE=AD=，BE=， 在RtEAF中，AF=AC=，AE=，EF=，在RtBAF中，AB=1，AF=，BF=，在等腰三角形EBF中，cosFEB=，異面直線BE與CD所成角的余弦值為.一、填空題1.若直線a與b是異面直線，直線b與c是異面直線，則直線a與c的位置關(guān)系是 .答案 平行、相交或異面2.給出下列命題：若平面內(nèi)的直線a與平面內(nèi)的直線b為異面直線，直線c是與的交線，那么直線c至多與a、b中的一條相交；若直線a與b為異

34、面直線，直線b與c平行，則直線a與c異面；一定存在平面和異面直線a、b同時平行.其中正確命題的序號是 .答案 3.已知a，b是異面直線，直線c直線a,則c與b的位置關(guān)系 .一定是異面直線一定是相交直線不可能是平行直線不可能是相交直線答案 4.若P是兩條異面直線l、m外的任意一點，則說法錯誤的有 （填序號）.過點P有且僅有一條直線與l、m都平行過點P有且僅有一條直線與l、m都垂直過點P有且僅有一條直線與l、m都相交過點P有且僅有一條直線與l、m都異面答案 5.（2008·遼寧文）在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為棱AA1、CC1的中點，則在空間中與三條直線A1D1、EF、

35、CD都相交的直線有 條.答案 無數(shù)6.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為 .答案 7.如圖所示，在三棱錐CABD中，E、F分別是AC和BD的中點，若CD=2AB=4，EFAB，則EF與CD所成的角是 .答案 30°8.已知a、b為不垂直的異面直線,是一個平面，則a、b在上的射影可能是兩條平行直線；兩條互相垂直的直線；同一條直線；一條直線及其外一點.則在上面的結(jié)論中，正確結(jié)論的編號是 （寫出所有正確結(jié)論的編號）.答案 二、解答題9.如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點.求證：（1）E，C，

36、D1，F(xiàn)四點共面；（2）CE，D1F，DA三線共點.證明 （1）如圖所示，連接CD1，EF，A1B，E、F分別是AB和AA1的中點，EFA1B且EF=A1B，又A1D1 BC,四邊形A1BCD1是平行四邊形，A1BCD1，EFCD1，EF與CD1確定一個平面，E，F(xiàn)，C，D1，即E，C，D1，F(xiàn)四點共面.（2）由（1）知EFCD1，且EF=CD1，四邊形CD1FE是梯形，CE與D1F必相交，設(shè)交點為P，則PCE平面ABCD，且PD1F平面A1ADD1，P平面ABCD且P平面A1ADD1.又平面ABCD平面A1ADD1=AD，PAD，CE，D1F，DA三線共點.10.定線段AB所在的直線與定平面

37、相交，P為直線AB外的一點，且P不在內(nèi)，若直線AP、BP與分別交于C、D點，求證：不論P(yáng)在什么位置，直線CD必過一定點.證明 設(shè)定線段AB所在直線為l,與平面交于O點，即l=O.由題意可知，AP=C，BP=D，C，D.又APBP=P,AP、BP可確定一平面且C，D.CD=.A，B,l,O.O，即OCD.不論P(yáng)在什么位置，直線CD必過一定點.11.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為CC1、AA1的中點，畫出平面BED1F 與平面ABCD的交線.解 在平面AA1D1D內(nèi)，延長D1F，D1F與DA不平行，因此D1F與DA必相交于一點，設(shè)為P，則PFD1，PDA.又FD1平面

38、BED1F，AD平面ABCD，P平面BED1F，P平面ABCD.又B為平面ABCD與平面BED1F的公共點，連接PB，PB即為平面BED1F與平面ABCD的交線.如圖所示.12.如圖所示，在四面體ABCD中，E、F分別是線段AD、BC上的點，=，AB=CD=3，EF=，求AB、CD所成角的大小.解 如圖所示，在線段BD上取一點G，使=.連接GF、GE、EF.=，GEAB，且GE=AB=2，同理，GFCD，且GF=CD=1，在EGF中，cosEGF=-,EGF=120°.由GFCD,GEAB可知,AB與CD所成的角應(yīng)是EGF的補(bǔ)角為60°.§8.4 直線、平面平行的

39、判定及性質(zhì)基礎(chǔ)自測1.下列命題中，正確命題的個數(shù)是 .若直線l上有無數(shù)個點不在平面內(nèi)，則l;若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都平行；如果兩條平行直線中的一條直線與一個平面平行，那么另一條直線也與這個平面平行；若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點.答案 12.下列條件中，不能判斷兩個平面平行的是 （填序號）.一個平面內(nèi)的一條直線平行于另一個平面一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面答案 3.對于平面和共面的直線m、n，下列命題中假命題是 （填序號）.若m，mn，則n若m，n，則mn若m

40、，n，則mn若m、n與所成的角相等，則mn答案 4.已知直線a,b,平面，則以下三個命題：若ab,b,則a;若ab,a,則b;若a,b,則ab.其中真命題的個數(shù)是 .答案 05.如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，M、N分別是BC和A1B1的中點.求證：MN平面AA1C1.證明 設(shè)A1C1中點為F，連接NF，F(xiàn)C，N為A1B1中點，NFB1C1，且NF=B1C1，又由棱柱性質(zhì)知B1C1 BC，又M是BC的中點，NF MC，四邊形NFCM為平行四邊形.MNCF，又CF平面AA1C1，MN平面AA1C1，MN平面AA1C1.例1 如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，側(cè)面對角線AB1，B

41、C1上分別有兩點E，F(xiàn)，且B1E=C1F.求證：EF平面ABCD.證明 方法一 分別過E，F(xiàn)作EMAB于M，F(xiàn)NBC于N，連接MN.BB1平面ABCD，BB1AB，BB1BC，EMBB1，F(xiàn)NBB1，EMFN.又B1E=C1F，EM=FN，故四邊形MNFE是平行四邊形，EFMN.又MN平面ABCD，EF平面ABCD，所以EF平面ABCD.方法二 過E作EGAB交BB1于G，連接GF，則，B1E=C1F，B1A=C1B，F(xiàn)GB1C1BC，又EGFG=G，ABBC=B，平面EFG平面ABCD，而EF平面EFG，EF平面ABCD.例2 已知P為ABC所在平面外一點，G1、G2、G3分別是PAB、PC

42、B、PAC的重心.（1）求證：平面G1G2G3平面ABC；（2）求SSABC.（1）證明 如圖所示，連接PG1、PG2、PG3并延長分別與邊AB、BC、AC交于點D、E、F，連接DE、EF、FD，則有PG1PD=23， PG2PE=23，G1G2DE.又G1G2不在平面ABC內(nèi)，G1G2平面ABC.同理G2G3平面ABC.又因為G1G2G2G3=G2，平面G1G2G3平面ABC.（2）解 由（1）知=，G1G2=DE.又DE=AC，G1G2=AC.同理G2G3=AB，G1G3=BC.G1G2G3CAB，其相似比為13，SSABC=19.例3 （16分）如圖所示，平面平面，點A，C，點B，D,點

43、E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，且AEEB=CFFD.（1）求證：EF;（2）若E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角為60°，求EF的長.（1）證明 當(dāng)AB，CD在同一平面內(nèi)時，由，平面平面ABDC=AC，平面平面ABDC=BD，ACBD，2分AEEB=CFFD，EFBD，又EF,BD,EF.4分當(dāng)AB與CD異面時，設(shè)平面ACD=DH，且DH=AC.，平面ACDH=AC，ACDH，四邊形ACDH是平行四邊形，6分在AH上取一點G，使AGGH=CFFD，又AEEB=CFFD，GFHD，EGBH，又EGGF=G，平面EFG平面.EF平面EFG，EF.綜上，

44、EF.8分（2）解 如圖所示，連接AD，取AD的中點M，連接ME，MF.E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，MEBD，MFAC，且ME=BD=3，MF=AC=2，EMF為AC與BD所成的角（或其補(bǔ)角），EMF=60°或120°，12分在EFM中由余弦定理得，EF=，即EF=或EF=.16分1.如圖所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一點，且SA=SB=SC，SG為SAB上的高，D、E、F分別是AC、BC、SC的中點，試判斷SG與平面DEF的位置關(guān)系，并給予證明.解 SG平面DEF，證明如下：方法一 連接CG交DE于點H，如圖所示.DE是ABC的中位線，DEAB.在ACG中，D

45、是AC的中點，且DHAG.H為CG的中點.FH是SCG的中位線，F(xiàn)HSG.又SG平面DEF，F(xiàn)H平面DEF，SG平面DEF.方法二 EF為SBC的中位線，EFSB.EF平面SAB，SB平面SAB，EF平面SAB.同理可證，DF平面SAB，EFDF=F，平面SAB平面DEF，又SG平面SAB，SG平面DEF.2.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分別是BC、CC1、C1D1、A1A的中點.求證：（1）BFHD1；（2）EG平面BB1D1D；（3）平面BDF平面B1D1H.證明 （1）如圖所示，取BB1的中點M，易證四邊形HMC1D1是平行四邊形，HD1MC1.又MC1B

46、F，BFHD1.（2）取BD的中點O，連接EO，D1O，則OE DC，又D1G DC，OE D1G，四邊形OEGD1是平行四邊形，GED1O.又D1O平面BB1D1D，EG平面BB1D1D.（3）由（1）知D1HBF，又BDB1D1，B1D1、HD1平面HB1D1，BF、BD平面BDF，且B1D1HD1=D1，DBBF=B，平面BDF平面B1D1H.3.如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，若截面為平行四邊形.（1）求證：AB平面EFGH，CD平面EFGH.（2）若AB=4，CD=6，求四邊形EFGH周長的取值范圍.（1）證明 四邊形EFGH為平行四邊形，EFHG.HG平面A

47、BD，EF平面ABD.EF平面ABC，平面ABD平面ABC=AB，EFAB.AB平面EFGH.同理可證，CD平面EFGH. (2)解 設(shè)EF=x（0x4），由于四邊形EFGH為平行四邊形，.則=1-.從而FG=6-.四邊形EFGH的周長l=2(x+6-)=12-x.又0x4,則有8l12,四邊形EFGH周長的取值范圍是（8，12）.一、填空題1.下列命題，其中真命題的個數(shù)為 .直線l平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則l；若直線a在平面外，則a;若直線ab,直線b,則a；若直線ab,b,那么直線a就平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線.答案 12.寫出平面平面的一個充分條件 （寫出一個你認(rèn)為正確的即可）.答案 存

48、在兩條異面直線a,b,a,b,a,b3.對于不重合的兩個平面與，給定下列條件：存在平面，使得，都垂直于;存在平面，使得，都平行于;存在直線l,直線m,使得lm;存在異面直線l、m，使得l,l,m,m.其中，可以判定與平行的條件有 （寫出符合題意的序號）.答案 4.（2008·海南，寧夏文，12）已知平面平面,=l,點A,Al,直線ABl,直線ACl,直線m,m,則下列四種位置關(guān)系中,一定成立的是 .ABmACmABAC答案 5.（2008·湖南理，5）設(shè)有直線m、n和平面、.下列命題不正確的是 （填序號）.若m,n,則mn若m，n,m,n,則若，m，則m若,m,m,則m答案

49、 6.下列關(guān)于互不相同的直線m,l,n和平面，的四個命題：若m,l=A,點Am，則l與m不共面；若m,l是異面直線，l,m,且nl,nm,則n;若l,m,則lm;若l,m,lm=A,l,m,則.其中假命題的序號是 .答案 7.考察下列三個命題，在“ ”處都缺少同一個條件，補(bǔ)上這個條件使其構(gòu)成真命題（其中l(wèi),m為不同的直線，、為不重合的平面），則此條件為 . 答案 l8.如圖所示，ABCDA1B1C1D1是棱長為a的正方體，M，N分別是下底面的棱A1B1，B1C1的中點，P是上底面的棱AD上的一點，AP=，過P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ= .答案 a二、解答題9.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設(shè)Q是CC1上的點，問：當(dāng)點Q在什么位置時，平面D1B