高一秋季平面向量數(shù)量積與坐標運算初稿目標班

1、第11講 平面向量的數(shù) 量積與坐標運算向量3級平面向量的數(shù)量積與坐標運算滿分晉級向量2級平面向量的線性運算向量1級向量基本概念及運算11.1平面向量數(shù)量積運算知識點睛1兩個非零向量的夾角：已知兩個非零向量，作，則稱作向量和向量的夾角，記作，并規(guī)定當時，稱（備注：向量在軸上的正射影仍然是向量，射影在軸上的坐標稱為向量在軸上的數(shù)量或向量在軸方向上的數(shù)量）2向量數(shù)量積（內(nèi)積）：的數(shù)量積記作，定義為（備注：兩個向量的數(shù)量積就等于一個向量的模長乘以另一個向量在這個向量方向上的投影的數(shù)量，這就是向量數(shù)量積的幾何意義，我們會在考點2中展開）以數(shù)量積的定義，我們可以判斷兩個向量是否垂直：（規(guī)定，零向量與任何向

2、量都垂直）；計算任一向量的模長：，即；計算兩個向量的夾角：（）3向量的數(shù)量積滿足的運算律：交換律：；與數(shù)乘的結(jié)合律：；注意：數(shù)量積本身不滿足結(jié)合律！對加法的分配律：練習(xí)1：設(shè)為平面向量，下面的命題中正確的是_若，則或若，則；對非零向量，有正確，不正確，不一定有或，不正確中，不正確，不正確中，正確經(jīng)典精講考點1：向量數(shù)量積、模長及夾角的基本求法由向量的數(shù)量積定義，我們知道：如果有兩個向量的模長與夾角，那么可以計算它們的數(shù)量積；如果有兩個向量的模長與它們數(shù)量積，也可以計算它們的夾角的余弦值同樣地，有其中一個向量的模長，以及兩個向量的夾角與數(shù)量積，也可以計算出另一個向量的模長即知任何三個量可以求剩下

3、的一個量如已知，知道其中任何三個量，都可以求出第四個有了向量的數(shù)量積的運算法則，這個問題的變形構(gòu)成了向量的基本求值問題：已知向量的模長及其夾角，也可以求的線性組合得到的向量的數(shù)量積與模長如鋪墊與例1其實，給出與向量相關(guān)的任何三個信息（互相獨立的），都可以得到三個等式，從而確定兩個向量的模長與夾角三個量，計算得到其它相關(guān)的量學(xué)生最初會不太明確化簡的方向，給出的三個信息可能會朝不同的方向化簡，從而無法得到結(jié)論，其實，只要化簡的方向統(tǒng)一，所有的信息都轉(zhuǎn)化到兩個向量對應(yīng)的模長、夾角與數(shù)量積，即四個量中的三個就能得統(tǒng)一的結(jié)論另外要明確，求模長利用、求夾角利用、證明垂直利用可以通過鋪墊進行講解，再讓學(xué)生練

4、例1，例1都是常見的基本問題，例2難度更大，需要進一步挖掘條件求解【鋪墊】 已知，則_，_ 已知向量與的夾角為，則_ 已知，則向量與向量的夾角是_，解得（舍去）或，且，【例1】 已知，的夾角為60°，則_， （2019新課標13）已知向量夾角為，且，則_（目標班專用）已知向量，滿足，則_的夾角為，從而【鋪墊】若非零向量和，滿足，則與的夾角為_法一：向量運算的幾何意義由減法的幾何意義知，夾角為法二：代數(shù)計算記，則，故【例2】 若向量、滿足，則_（2019安徽13）若非零向量滿足，則與的夾角的余弦值為_已知與均為單位向量，其夾角為，若，則的取值范圍為_（目標班專用）（2019浙江理17）

5、設(shè)為單位向量，非零向量，若的夾角為，則的最大值等于_法一：幾何意義由向量加法的平行四邊形法則知，從而法二：代數(shù)計算其實由記，則，解得，故，故即，又，故有非常明確的幾何意義：要想得與相關(guān)的式子，需要計算，由已知條件得將它整理成關(guān)于的一元二次方程得：，要使得存在，此方程判別式，得，故所求最大值為【備選】若向量與不共線，且，則向量與的夾角為_【解析】 ；，所以向量與垂直考點2：數(shù)量積的應(yīng)用<教師備案> 數(shù)量積具有明確的幾何意義，兩個向量的數(shù)量積等于一個向量的模長乘以另一個向量在這個向量方向上的投影的數(shù)量所以如果兩個向量的模長一定，當兩個向量方向相同時，數(shù)量積最大；方向相反時，數(shù)量積最小又

6、因為向量加法也有明確的幾何意義，符合平行四邊形法則，所以兩個模長一定的向量，當它們的方向相同時，它們的和的模長也有最大值；當它們的方向相反時，它們的和的模長也有最小值，這既可以由數(shù)量積對模長進行計算得到，也可以直接由幾何意義理解，可以結(jié)合下面的鋪墊講解這兩個性質(zhì)，這兩個性質(zhì)的應(yīng)用并不簡單，講完鋪墊可以讓學(xué)生思考例3備注：所有平面幾何圖形中的向量問題都放到板塊三平面幾何中的向量問題中處理【鋪墊】設(shè)為單位向量，則的最大值為_，最小值為_；的最大值為_，當方向相同時取最大值，方向相反時取最小值；由的意義知，當方向相同時，有最大值，也可以通過代數(shù)計算由得到【例3】 設(shè)為單位向量，的夾角為，則的最大值為

7、_（目標班專用）設(shè)、是單位向量，且，則的最小值為_ (2019湖南理6)已知是單位向量，若向量滿足，則的取值范圍是_，因此當與方向相同時，取得最大值為，是單位向量，是長度為的向量，為單位向量，故的最大值為，當與方向相同的取到從而所求最小值為因為是單位向量，故是一個模長為的向量，如圖，將與用共起點的有向線段表示，易知用代數(shù)分析：可記，則，且，故當與方向相同時，有最大值；當與方向相反時，有最小值，且中間值都能取到，從而得范圍11.2向量的坐標運算考點3：向量的坐標運算與平行垂直關(guān)系知識點睛<教師備案> 由平面向量基本定理知，任意兩個不共線的向量都可以構(gòu)成一個基底；而由前一板塊我們知道，

8、隨便取一組基底，去計算由基底線性表出的向量的數(shù)量積是一件輕松的事情，如上一板塊的鋪墊題：已知，計算_要想讓數(shù)量積的計算變得簡單，我們希望交叉項消失，這就是正交的概念，即構(gòu)成基底的兩個向量是互相垂直的；再進一步，如果，計算會更容易，即交基底進行正交化，取互相垂直的單位向量為基底，這便是標準正交基如果取定一組標準正交基，那么，那么而在標準正交基下，將分解的系數(shù)直接記為坐標（有序?qū)崝?shù)對），就得到了相應(yīng)的坐標運算的結(jié)論，如下：已知，則：；經(jīng)典精講【鋪墊】已知兩個向量，若，則的值是_；若向量與向量方向相反，且，則_若，則的值是_【解析】 ；，解得；，解得【例4】 已知向量，若向量與向量平行，則實數(shù)_；若

9、（），則_，_已知向量，向量垂直于向量，向量平行于，則_（2019山東理12）定義平面向量之間的一種運算“”如下：對任意的，令，下面說法錯誤的是（ ）A若與共線，則 BC對任意的，有 D（目標班專用）已知向量，定義新運算，其中等式右邊是通常的加法和乘法運算，如果對于任意向量，都有成立，則向量_設(shè)，得又，即聯(lián)立、得，從而 B對A，與共線，從而，正確；對B，故B錯誤；對C，故C正確；對D，左邊，右邊左邊，故D正確 ；由題意知對任意恒成立，故【備選】 ，且，試用向量方法求的最值【解析】 設(shè)，則，當時，有最大值，此時方向相同；當時，有最小值，此時方向相反11.3平面幾何中的向量問題考點4：平面圖形中的

10、向量問題經(jīng)典精講<教師備案> 例5主要涉及對向量的運算與數(shù)量積的定義及幾何意義的理解，不需要選定基向量或建系去計算需要注意的是向量所成的角，必須將兩個向量調(diào)整成同起點的，首尾相接的向量尤其需要注意【鋪墊】 正三角形的邊長為，則_ 在中，則_【例5】 （2019西城一模理11）如圖，正六邊形的邊長為，則 在直角中，是斜邊上的高，則下列等式不成立的是（ ）A BC D（2019北京理13）已知正方形的邊長為，點是邊上的動點，則的值為_；的最大值為_在邊長為的等邊中，為邊上一動點，則的取值范圍是（目標班專用）如圖，在平行四邊形中，垂足為，且，則 C由向量數(shù)量積的幾何意義易知，A、B正確，

11、從而，C錯誤D中右邊，故D成立，由數(shù)量積的幾何意義知，表示在方向上的投影，長度即為，故；,由數(shù)量積的幾何意義知，表示在方向上的投影，投影的最大值為，故的最大值為利用向量數(shù)量積的幾何意義，等于乘以在向量方向上的投影的數(shù)量，結(jié)合圖形即得范圍由知，在上的射影長度是向量長度的倍，即<教師備案> 例6需要選定基向量或者建系去進行直接計算，這里的問題都涉及到比較特殊的幾何體，如正三角形、直角三角形、矩形、正方形等，一般存在直角的建系比較容易，不存在直角的直接選定兩個基向量比較容易【鋪墊】 在邊長為的正方形中，、分別為、的中點，則向量 在正三角形中，是上的點若，則 第題 第題 以為原點，所在直線

12、為坐標軸建系，從而，從而也可以直接選取基向量，直接計算，于是本題也可以利用向量的幾何意義，過點作邊垂線，交于點，由幾何關(guān)系知， 為邊的六等分點，從而【例6】 如圖，在邊長為的菱形中，為的中點，則_（2019江蘇）如圖，在矩形中，點為的中點，點在邊上，若，則的值是_（目標班選講）（2019上海理）在平行四邊形中，邊、的長分別為、，若、分別是邊、上的點，且滿足，則的取值范圍是 取為基向量，則，于是由，以為坐標原點，所在直線為軸，軸建立直角坐標系，則，故本題也可以不建系，直接用為基向量進行計算選定為基向量，令，則故<教師備案> 例6的幾何體與各點都是明確給出的，還有的時候，幾何體只滿足一

13、些限制條件，形狀并不確定，某些點是通過向量關(guān)系給出的，要求其中的某些不變量這就需要首先對已經(jīng)條件進行分析整理，尋找突破點，這類題難度更大，見例7【例7】 （2019北京東城二模理7）外接圓的半徑為，圓心為，且，則_在中，是的中點，點在上且滿足，則_（目標班專用）在中，點滿足條件，則_由，有，即的外心為邊的中點，故為直角又，故，又，故從而如圖，且，原式，又，第題： 第題：法一：建系算以為坐標原點，所在直線為軸，軸建立直角坐標系，則，不妨設(shè)，由知，解得，于是法二：選擇為起點整理，以為基向量，將表示成，由知：，從而由知，于是得法三：直接由數(shù)量積的幾何意義出發(fā)過點作的垂線，交的延長線于，如圖，由題意知

14、，故，【備選】如圖，在四邊形中，則的值為（ ） A B C D【解析】 C又，由可解得，又，又方向相同， 已知非零向量與滿足且，則為（ ）A三邊均不相等的三角形B直角三角形 C等腰非等邊三角形 D等邊三角形 在四邊形中，則四邊形的面積為 【解析】 D設(shè)為上的單位向量，為上的單位向量，則的方向為的角平分線的方向，而，為等腰三角形，綜上所述，為等邊三角形由已知可知，四邊形為平行四邊形又，即為與夾角平分線，則四邊形為菱形，又由，記的交點為，由，得到，從而實戰(zhàn)演練 【演練1】平面向量與的夾角為，則_由已知，【演練2】設(shè)平面向量，若，則_，則，從而，【演練3】在四邊形中，且，則四邊形為（ ）A矩形 B菱形 C直角梯形 D等腰梯形【解析】 B即一組對邊平行且相等，對角線互相垂直，該四邊形為菱形【演練4】在中，有命題：；若，則為等腰三角形；若，則為銳角三角形上述命題正確