高一秋季平面向量的線性運(yùn)算初稿尖子班

1、第10講 平面向量 的線性運(yùn)算滿分晉級(jí) 向量3級(jí)平面向量的數(shù)量積與坐標(biāo)運(yùn)算向量1級(jí)向量基本概念及運(yùn)算向量2級(jí)平面向量的線性運(yùn)算10.1共線向量知識(shí)點(diǎn)睛一、向量的概念與表示1向量的概念：數(shù)學(xué)中，把既有大小，又有方向的量叫做向量2向量的表示：幾何表示法：用有向線段表示向量，有向線段的方向表示向量的方向，線段的長(zhǎng)度表示向量的長(zhǎng)度字母表示法：，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；也可以用，來(lái)表示線段的長(zhǎng)度也叫做有向線段的長(zhǎng)度，記作3零向量：長(zhǎng)度等于零的向量，叫做零向量記作：；零向量的方向是任意的單位向量：長(zhǎng)度等于個(gè)單位的向量，叫做單位向量4相等向量：同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量，或相等向量5向量共線或平行：方

2、向相同或相反的向量叫做平行向量向量平行于向量，記作任一組平行的向量都可以移動(dòng)到同一直線上，因此平行向量也叫做共線向量規(guī)定：零向量與任意向量平行<教師備案> 因?yàn)槲覀冄芯康南蛄慷际亲杂上蛄?，也就是不考慮起點(diǎn)位置的向量，所以用有向線段表示向量時(shí)，可以任意選取有向線段的起點(diǎn)同時(shí)，因?yàn)槿魏我唤M平行向量都可以移動(dòng)到同一直線上，因此平行向量與共線向量是等價(jià)的，在同一直線上的向量也是平行向量，要避免將向量的平行、共線與平面幾何中的直線、線段的平行和共線相混淆可以通過(guò)下面的正誤判斷進(jìn)一步說(shuō)明向量的概念與表示：練習(xí)1：判斷下列各命題是否正確 零向量沒(méi)有方向； 若，則； 單位向量都相等； 向量就是有向

3、線段； 兩相等向量若共起點(diǎn)，則終點(diǎn)也相同； 若，則； 若，則； 當(dāng)且時(shí)； 若四邊形是平行四邊形，則，正確的命題有_【解析】 正確的命題有：分析：不正確，零向量方向任意；不正確，說(shuō)明模相等，但方向可能不同；不正確，單位向量的模為，方向很多不正確，向量只與方向及模的大小有關(guān)，而與起點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，但有向線段不僅與方向、長(zhǎng)度有關(guān)，也與起點(diǎn)的位置有關(guān)，只是我們通常用有向線段表示一個(gè)向量；正確；正確，向量相等有傳遞性；不正確，因若，則不共線的向量也有，；不正確，當(dāng)，且方向相反時(shí)，由得到；不正確應(yīng)該是，二、向量的運(yùn)算1向量的加法： 三角形法則：，和的和（或和向量） 平行四邊形法則：，不共線，以，為鄰邊作平行四

4、邊形，則 多邊形法則：已知個(gè)向量，依次把這個(gè)向量首尾相連，以第一個(gè)向量的始點(diǎn)為始點(diǎn)，第個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量叫做這個(gè)向量的和向量 向量的運(yùn)算性質(zhì)：向量加法的交換律：；向量加法的結(jié)合律：關(guān)于：2向量的減法： 相反向量：與向量方向相反且等長(zhǎng)的向量叫做的相反向量，記作 差向量：如果把兩個(gè)向量的始點(diǎn)放在一起，則這兩個(gè)向量的差是以減向量的終點(diǎn)為始點(diǎn)，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量<教師備案> 通過(guò)向量的加法與減法運(yùn)算可以插入任何字母，如字母可以通過(guò)直接插入向量中，這在向量相關(guān)的證明與關(guān)系的推導(dǎo)中常常用到在向量問(wèn)題中，以上結(jié)論類似于“換底公式”，可以將所有向量換成以同一個(gè)起點(diǎn)出發(fā)的向量，這個(gè)起點(diǎn)

5、通過(guò)根據(jù)題目要證明的結(jié)論選定，從而找到變形的方向（為了方便起見(jiàn)，我們?cè)诖酥v中稱此做法為“向量的換底公式”）向量有一講預(yù)習(xí)講義：向量基本概念與運(yùn)算，其中本講的基礎(chǔ)知識(shí)與一些簡(jiǎn)單的例題，如果班上學(xué)生進(jìn)度較慢，老師可以結(jié)合預(yù)習(xí)講義多講些簡(jiǎn)單題3數(shù)乘向量：時(shí)，與方向相同；時(shí)，與方向相反；時(shí)，；且；4向量共線的條件 平行向量基本定理：向量與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使 單位向量：的單位向量記作，是指與方向相同，長(zhǎng)度為的向量，<教師備案>向量共線的兩種常見(jiàn)形式： 如果，則；反之，如果，且，則一定存在唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)，使； 平面向量共線當(dāng)且僅當(dāng)存在不全為零的實(shí)數(shù)，使得由此知，若不共線，且，則一

6、定有同樣的，若不共線，且，則一定有例：若向量不共線，且，則一定有講完這塊就可以讓學(xué)生練例1了經(jīng)典精講<教師備案> 例1是對(duì)平行向量基本定理的應(yīng)用，用這個(gè)定理可以推導(dǎo)出平面向量基本定理，是向量關(guān)系的基礎(chǔ)我們講的向量是自由向量，起點(diǎn)可以自由移動(dòng)，但一旦起點(diǎn)選定，終點(diǎn)就也確定了，所以有共同點(diǎn)（起點(diǎn)或終點(diǎn)）的共線向量可以推導(dǎo)出起點(diǎn)或終點(diǎn)是否共線的關(guān)系，這也是“向量的換底公式”的基本想法，通過(guò)這種變形可以判斷三點(diǎn)是否共線如：已知非零向量、，滿足，求證：、三點(diǎn)共線解析：選定為起點(diǎn)，應(yīng)用“向量的換底公式”：于是故、三點(diǎn)共線【例1】 已知向量不共線，且，則_，_已知向量，且，則、四點(diǎn)中，一定共線的

7、三點(diǎn)是_設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，若，且、 三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值等于 由題意知與共線，又有公共點(diǎn)，、三點(diǎn)共線由于、三點(diǎn)共線，故，又，故由，可解得<教師備案> 向量可以用有向線段表示，向量可以表示平面幾何圖形中的一些關(guān)系，向量的運(yùn)算也有明確的幾何意義，例2是我們熟悉的幾何圖形中的一些向量關(guān)系【例2】 設(shè)為平行四邊形的對(duì)稱中心，則等于（ ）ABCD已知正六邊形，在下列表達(dá)式：；中，與相等的有（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)【解析】 B；取的中點(diǎn)，連接，如圖，則第題： 第題： D；故答案為D10.2平面向量的分解技巧知識(shí)點(diǎn)睛平面向量基本定理：如果和是一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行的向量，那么對(duì)該

8、平面內(nèi)的任一向量，存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)，使基底：我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記作叫做向量關(guān)于基底的分解式<教師備案> 平面向量基本定理可以將很多向量統(tǒng)一起來(lái)，相當(dāng)于將所有的向量化到統(tǒng)一的形式，這樣就可以找到各個(gè)向量的之間的關(guān)系或進(jìn)行各種運(yùn)算在很多問(wèn)題中，我們都是先選定一組基底，將所有向量寫(xiě)成關(guān)于基底的分解式，就可以進(jìn)行運(yùn)算及判斷關(guān)系了例3是平面向量中經(jīng)常遇到的一個(gè)結(jié)論，鋪墊是它的特殊情形，利用例3的結(jié)論可以很快得到很多三點(diǎn)共線的結(jié)論，在后面有相應(yīng)的應(yīng)用利用例3，也可以很快判斷出共線三點(diǎn)的長(zhǎng)度的比例關(guān)系經(jīng)典精講【鋪墊】如圖，已知，用表示，則等于（）ABCD【

9、解析】 B方法一：本題結(jié)論可以推廣為，當(dāng)時(shí)，方法二：過(guò)點(diǎn)分別作的平行向量，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖，由平面向量基本定理得：，又，同理，【例3】 已知、為平面內(nèi)四點(diǎn)， 若、三點(diǎn)在一條直線上，求證：存在一對(duì)實(shí)數(shù)、，使，且 若存在一對(duì)實(shí)數(shù)、，使，且，求證：、三點(diǎn)在一條直線上 若，求證：【解析】 由、三點(diǎn)共線知，存在常數(shù)，使得由要證明的結(jié)論知，選定為起點(diǎn)，即從而，令，則，由平面向量的分解定理知，唯一 由要證明的結(jié)論知，可選定為起點(diǎn)進(jìn)行變形，由，得，于是有，、三點(diǎn)共線 可選定為起點(diǎn)，由已知得，整理即得【點(diǎn)評(píng)】 本題充分展示了“向量的換底公式”對(duì)于整理方向的指導(dǎo)性對(duì)于我們目前研究的自由向量來(lái)說(shuō)，有以下三點(diǎn)要注

10、意：向量的起點(diǎn)是可以自由選擇的；在研究具體問(wèn)題時(shí)，我們通常選擇統(tǒng)一的起點(diǎn)；起點(diǎn)的選擇與研究的具體問(wèn)題有關(guān)（通常會(huì)選確定的點(diǎn)作為起點(diǎn)或者選擇信息量最多的點(diǎn)作為起點(diǎn)）本題的三小問(wèn)的證明并不困難，但本題的結(jié)論是很強(qiáng)大的，靈活運(yùn)用本題的結(jié)論可以快速解決很多向量問(wèn)題下面就這個(gè)結(jié)論進(jìn)行一些說(shuō)明供老師選用，對(duì)于班上學(xué)生程度較好的，可以進(jìn)行選擇講解：結(jié)論一：若有，則由知點(diǎn)在直線上結(jié)論二：在線段上（不包括端點(diǎn)）而，即符號(hào)不同時(shí)，點(diǎn)不在線段上，且可以根據(jù)的正負(fù)判斷出點(diǎn)在射線還是在射線上結(jié)論三：是有明確的意義的，事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在直線 上；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在邊的中位線所在的直線上；當(dāng)時(shí)，在射線上取一點(diǎn)，使得，過(guò)點(diǎn)作的平行線

11、，所有滿足條件的點(diǎn)就在此平行線上，如下圖也即的值決定了點(diǎn)在與平行的哪條直線上，越大，直線與點(diǎn)的距離越大思考：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的位置在哪？在過(guò)點(diǎn)與平行的直線上；當(dāng)，點(diǎn)的位置在哪？在直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線上當(dāng)時(shí)，點(diǎn)所在的直線在直線的與點(diǎn)不同的一側(cè)要進(jìn)一步確定點(diǎn)的位置，還需要與的比值，即下面的結(jié)論四事實(shí)上，這個(gè)結(jié)論與直線的方程很類似，當(dāng)是互相垂直的單位向量時(shí)，就相當(dāng)于點(diǎn)在基底下的坐標(biāo)，故此時(shí)就對(duì)應(yīng)直線；同樣的，為常數(shù)就表示與此直線平行的直線當(dāng)只是不共線的任意向量時(shí)，也是類似的同樣的，類比坐標(biāo)，我們知道時(shí)，表示的點(diǎn)在第一象限，即由射線圍成的一個(gè)區(qū)域內(nèi)而當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的是另一個(gè)象限，即由射線與的反向延長(zhǎng)線對(duì)應(yīng)的區(qū)域內(nèi)

12、這有助于我們對(duì)這個(gè)結(jié)論的理解與應(yīng)用結(jié)論四：的比值決定了點(diǎn)在上的位置，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上當(dāng)時(shí)，點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)事實(shí)上，由例3知，這對(duì)于時(shí)，也同樣成立再比如，在中，若于點(diǎn)，如圖，則，故，為某常數(shù)再由結(jié)論三知，因?yàn)槿c(diǎn)共線，故，從而，即利用這個(gè)比值，可以快速得到華山論劍的結(jié)論用這個(gè)結(jié)論可以快速解決一些問(wèn)題，如下面的例題：如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線，于不同的兩點(diǎn)，若，則的值為_(kāi)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，法一：；三點(diǎn)不共線，且三點(diǎn)共線，存在，故，整理得法二：（用到了例3的結(jié)論），三點(diǎn)在一條直線上，即得<教師備案> 由平面向量基本定理知，平面內(nèi)任何兩個(gè)不共線的向量都可以作為基底，其它任何向

13、量都可以由基底線性表示出來(lái)，且表示方法唯一，已經(jīng)給出相關(guān)點(diǎn)的位置關(guān)系，如何通過(guò)這些幾何關(guān)系確定一個(gè)向量對(duì)于這組基底的分解式系數(shù)，是下面的鋪墊與例4要說(shuō)的【鋪墊】中，交于，邊上的中線交于，設(shè)，用、表示向量、由，得又是的中線，得又【例4】 在平行四邊形中，與交于點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)若，則（ ）ABCD如圖，兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一起，若，則_，_（2019北京理）向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若，則 第題 第題 第題【解析】 B法一：由為的中點(diǎn)可知，設(shè)，解得：，法二：由于，則，（例3的結(jié)論）將，代入即可以下同解法一作交延長(zhǎng)線于，設(shè)，由，解得，故，記方向水平向右與豎直向上

14、的單位向量為，并取之為基底，由得，又不共線，故，解得，故學(xué)完坐標(biāo)運(yùn)算后，本題直接通過(guò)坐標(biāo)也可以得到比值，但其實(shí)坐標(biāo)就是取一組單位正交基底后得到的，本質(zhì)完全相同<教師備案> 給出平面上一些向量的關(guān)系，如何確定相關(guān)的點(diǎn)的位置，是例5的內(nèi)容其中備選的題是要通過(guò)向量關(guān)系確定交點(diǎn)的位置，難度較大，可供目標(biāo)班選講【例5】 已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)成立時(shí)，點(diǎn)位于（ ）A的邊上 B的邊上C的內(nèi)部 D的外部設(shè)是內(nèi)部一點(diǎn)，且，則與的面積之比為 已知是平面上不共線的三點(diǎn)，是三角形的重心，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)一定為三角形的（）A邊中線的中點(diǎn)B邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）C重心D邊的中點(diǎn)【解析】 D；要確定點(diǎn)的位置

15、，需要將條件中的式子化成以的某頂點(diǎn)為起點(diǎn)的向量關(guān)系式，比如取為起點(diǎn)，有，從而有由知，點(diǎn)在的外部；點(diǎn)評(píng)：要是利用例3后面的結(jié)論，由知，系數(shù)和為，故點(diǎn)必在過(guò)點(diǎn)與平行的直線上選定為起點(diǎn)，已知的式子可以整理為，于是，如圖，取的中點(diǎn)，則，故，即為的中點(diǎn)，點(diǎn)評(píng)：利用例3后面的結(jié)論，由知，點(diǎn)在邊的中線上；由知點(diǎn)在與邊平行的的中位線上，即為邊中線的中點(diǎn) B；由選項(xiàng)知，本題應(yīng)該選擇為起點(diǎn)，于是得：，從而，即，取邊的中點(diǎn)，則，從而，即點(diǎn)為三角形中邊上的中線的一個(gè)三等分點(diǎn)，且點(diǎn)不是重心點(diǎn)評(píng)：由，知點(diǎn)在邊的中線上；由知，是中線上靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)，且不是重心10.3三角形的三顆心知識(shí)點(diǎn)睛已知，角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為， 三

16、角形的外心：外接圓的圓心，三邊中垂線的交點(diǎn)，滿足； 三角形的內(nèi)心：內(nèi)切圓的圓心，三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，滿足；（證明：法一：若，則由得：，即在的角平分線上，同理在與的角平分線上，故是內(nèi)心法二：因?yàn)榉謩e為方向上的單位向量，所以向量平分，設(shè)，從而，解得，于是，化簡(jiǎn)得：（由角平分線定理+向量的定比分點(diǎn)公式可以較快得到的值） 三角形的重心：三邊中線的交點(diǎn)，重心分中線比為，滿足（其實(shí)，點(diǎn)為三角形的重心；若點(diǎn)是所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，則點(diǎn) 是的重心）<教師備案> 一般我們只研究三角形的四心（重心、垂心、內(nèi)心、外心），其中垂心滿足的向量關(guān)系與向量的數(shù)量積相關(guān)，所以這里暫時(shí)不講，對(duì)于三角形的垂心，即三邊高

17、的交點(diǎn)，滿足經(jīng)典精講【鋪墊】當(dāng)非零向量滿足條件_時(shí)，向量平分向量和的夾角由向量加法的平行四邊形法則知，向量是向量和所構(gòu)成的平行四邊形的對(duì)角線，要對(duì)角線平分平行四邊形的一個(gè)角此平行四邊形為菱形，即【例6】 是平面內(nèi)一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的軌跡一定通過(guò)的（ ）A外心B內(nèi)心 C重心 D垂心已知點(diǎn)是的重心，那么_若為的外心，且，則的內(nèi)角等于_【解析】 B設(shè)為上的單位向量，為上的單位向量，則的方向?yàn)榈慕瞧椒志€的方向，又，的方向與方向相同，而，點(diǎn)在上移動(dòng)，點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的內(nèi)心設(shè)為為中點(diǎn)，以求角，故選為起點(diǎn)整理，得，于是由向量加法的平行四邊形法則知，四邊形為平行四邊形又因?yàn)闉橥庑?，?/p>

18、，從而四邊形為菱形，且【備選】已知點(diǎn)是的重心，過(guò)作直線與兩邊分別交于兩點(diǎn)，且設(shè)，則_法一：是的重心，即，（也可通過(guò)重心分中線的比為得到）三點(diǎn)共線，存在，使得于是，從而法二：特殊值法，考慮特殊情形，即此時(shí)有，故設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，證明：存在正實(shí)數(shù)，使得，且【解析】 法一：如圖所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)，則有為正實(shí)數(shù)，又，即（*）而，所以把（*）兩端同時(shí)乘以，則得令，則可知為正實(shí)數(shù)，且滿足又，于是：，于是；，故，得證法二：（利用例3后面的結(jié)論直接得到）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，記，又，故又，故，從而根據(jù)題目的證明結(jié)論，需要將上式整理成以為起點(diǎn)的向量得，從而，將系數(shù)取成即得證【點(diǎn)評(píng)】特別地，如果，則能得到為重心實(shí)戰(zhàn)演練【演練1】下列命題中正確的有_ 向量與是兩平行向量； 向量與是共線向量，則，四點(diǎn)必在同一直線上； 與共線，與共線，則與也共線； 平行向量的方向一定相同【解析】 正確；根據(jù)平行向量的定義； 錯(cuò)誤；向量與起點(diǎn)無(wú)關(guān)，故共線向量只能說(shuō)明直線與平行或重合； 錯(cuò)誤；可以為零向量，此時(shí)與不一定共線；若非零，則可得出與共線； 錯(cuò)誤；平行向量的方向可以相同或相反【演練2】設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線， 若，求證：、三點(diǎn)共線； 試確定實(shí)數(shù)，使和共線、共線又它們有公