高數答案下習題冊答案 第六版下冊 同濟大學數學系 編

1、 第八章 多元函數的微分法及其應用 1 多元函數概念 一、設.二、求下列函數的定義域：1、 2、 三、求下列極限： 1、 （0） 2、 () 四、證明極限 不存在.證明：當沿著x軸趨于（0，0）時，極限為零，當沿著趨于（0，0）時，極限為, 二者不相等，所以極限不存在五、證明函數 在整個xoy面上連續(xù)。 證明：當時，。當時， ，所以函數在（0，0）也連續(xù)。所以函數 在整個xoy面上連續(xù)。六、設且當y=0時，求f(x)及z的表達式. 解：f(x)=，z 2 偏導數1、設z= ,驗證 證明：，2、求空間曲線在點（）處切線與y軸正向夾角()3、設, 求 ( 1)4、設, 求 ， ， 解： ， 5、設

2、，證明 : 6、判斷下面的函數在(0,0) 處是否連續(xù)？是否可導（偏導）？說明理由 連續(xù)； 不存在， 7、設函數 f(x,y)在點（a,b）處的偏導數存在，求 （2fx(a,b)） 3 全微分1、單選題（1）二元函數f(x,y)在點(x,y)處連續(xù)是它在該點處偏導數存在的 _ (A) 必要條件而非充分條件 （B）充分條件而非必要條件 （C）充分必要條件 （D）既非充分又非必要條件 （2）對于二元函數f(x,y)，下列有關偏導數與全微分關系中正確的是_ (A) 偏導數不連續(xù)，則全微分必不存在 （B）偏導數連續(xù)，則全微分必存在 （C）全微分存在，則偏導數必連續(xù) （D）全微分存在，而偏導數不一定存在

3、2、求下列函數的全微分：1） 2） 解： 3） 解：3、設， 求 解： =4、設 求： 5、討論函數在（0，0）點處的連續(xù)性 、偏導數、 可微性解： 所以在（0，0）點處連續(xù)。 ，所以可微。 4 多元復合函數的求導法則1、 設，求 解：=2、 設，求 3、 設， 可微，證明 4、 設，其中具有二階連續(xù)偏導數，求， 解： , , = ,5、 設，其中具有二階連續(xù)偏導數、具有二階連續(xù)導數，求解： ， 6、 設，求解：。7、設，且變換 可把方程=0 化為 ， 其中具有二階連續(xù)偏導數，求常數的值 證明： 得： a=38、設函數f(x,y)具有連續(xù)的一階偏導數，f(1,1)=1,又， 求 和 (1) ,

4、 (a+ab+ab2+b3) 5 隱函數的求導公式1、 設，求解：令，2、 設由方程確定，其中可微，證明 3、 設由方程所確定，其中可微，求 4、 設，求， ( ，)5、 設由方程所確定，可微，求解：令 ，則6、設由方程所確定，求 ()7、設z=z(x,y)由方程 所確定，求, , , 6 微分法在幾何中的應用1、 求螺旋線 在對應于處的切線及法平面方程解：切線方程為 法平面方程2、 求曲線 在（3，4，5）處的切線及法平面方程 解：切線方程為 ，法平面方程：3、 求曲面在（1，-1，2）處的切平面及法線方程 解：切平面方程為 及法線方程4、 設可微，證明由方程所確定的曲面在任一點處的切平面與

5、一定向量平行證明：令，則 ，所以在（）處的切平面與定向量（）平行。5、 證明曲面）上任意一點處的切平面在三個坐標軸上的截距的平方和為證明：令，則 在任一點處的切平面方程為 在在三個坐標軸上的截距分別為在三個坐標軸上的截距的平方和為證明曲面上任意一點處的切平面都通過原點7、設F(x,y,z)具有連續(xù)偏導數，且對任意實數t, 總有 k為自然數，試證：曲面F(x,y,z)=0上任意一點的切平面都相交于一定點 證明 ： 兩邊對t 求導，并令t=1 設是曲面上任意一點，則過這點的切平面為： +=0 此平面過原點（0，0，0） 7 方向導數與梯度1、 設函數， 1）求該函數在點（1，3）處的梯度。2）在點

6、（1，3）處沿著方向的方向導數，并求方向導數達到最大和最小的方向解：梯度為 , 方向導數達到最大值的方向為，方向導數達到 最小值的方向為。2、 求函數在（1，2，-1）處沿方向角為的方向導數，并求在該點處方向導數達到最大值的方向及最大方向導數的值。解：方向導數 為，該點處方向導數達到最大值的方向即為梯度的方向 ，此時最大值為 3、 求函數在（1，1，-1）處沿曲線在（1，1，1）處的切線正方向（對應于t增大的方向）的方向導數。解：，該函數在點（1，1，-1）處的方 向導數為，4、求函數在（1，1，-1）處的梯度。解：， 8 多元函數的極值及求法 1、求函數的極值。 答案：（，）極小值點 2求函

7、數的極值 答案：極小值 3. 函數在點（1，1）處取得極值，求常數a (-5) 4、 求函數在條件下的條件極值解： ，極小值為5、 欲造一個無蓋的長方體容器，已知底部造價為3元/平方，側面造價均為1元/平方，現想用36元造一個容積最大的容器，求它的尺寸。（長和寬2米，高3米）6、 在球面（）上求一點，使函數 達到極大值，并求此時的極大值。利用此極大值證明 有證明：令令，解得駐點。所以函數在處達到極大值。極大值為。即，令得。 7、求橢球面被平面x+y+z=0截得的橢圓的長半軸與短半軸的 長度解： ， 長半軸 ， 短半軸 第八章 自測題一、選擇題：（每題2分，共14分）1、設有二元函數 則 A、存

8、在；B、不存在；C、存在， 且在(0,0)處不連續(xù)；D、存在， 且在(0,0)處連續(xù)。2、函數在各一階偏導數存在且連續(xù)是在連續(xù)的 A、必要條件； B、充分條件；C、充要條件； D、既非必要也非充分條件。3、函數 在(0,0)點處 A、極限值為1； B、極限值為-1；C、連續(xù)； D、無極限。4、在處，存在是函數在該點可微分的 （A）必要條件； （B）充分條件； （C）充要條件； （D）既非必要亦非充分條件。5、點是函數的 （A）極小值點； （ B）駐點但非極值點；（C）極大值點； （D）最大值點。6、曲面在點P(2,1,0)處的切平面方程是 （A）； （B）；（C）； （D）7、已知函數均有一階

9、連續(xù)偏導數，那么 (A); (B) ;(C) ; (D) 二、填空題：（每題分，共18分）1、 （ 0 ）、設，則（ ）、設則( 0 )、設，則在點處的全微分.、曲線在點處的切線方程為( )、曲線在點(1,1,1)處的切線方程為( )三、計算題（每題6分）1、設，求的一階偏導數 ， 。2、設，求此函數在點處的全微分。并求該函數在該點處沿著從 P到方向的方向導數( ，)、設具有各二階連續(xù)偏導數，求解：、設 求和。 不存在，故不存在，同理，也不存在。 當時，有 、設由方程所確定，求 ( )、設，具有連續(xù)的二階偏導數，可導，求 、設確定函數，求。 、設，式中二階可導，求解：記，則，類似地，有四、（分

10、）試分解正數為三個正數之和，而使它們的倒數和為最小。設三個正數為，則，記，令則由 解出。五、證明題：（分）試證：曲面上任一點處的切平面都平行于一條直線，式中連續(xù)可導。證明：曲面在任一點處的切平面的法向量為定直線L的方向向量若為，則，即則曲面上任一點的切平面平行于以(1,1,1)為方向的定直線。第九章 重積分 1 二重積分的概念與性質1、 由二重積分的幾何意義求二重積分的值 其中D為： ( =)2、 設D為圓域若積分=，求a的值。解： = 3、 設D由圓求 解：由于D的面積為, 故=4、設D：， ，比較, 與的大小關系解：在D上， ,故5、 設f(t)連續(xù)，則由平面 z=0，柱面 和曲面所圍的

11、立體的體積，可用二重積分表示為6、根據二重積分的性質估計下列積分的值 ()7、設f(x,y)為有界閉區(qū)域D：上的連續(xù)函數，求 解：利用積分中值定理及連續(xù)性有 2 二重積分的計算法1、設，其中D是由拋物線與直線y=2x，x=0所圍成的區(qū)域，則I=（ ） A ： B ： C ： D ： 2、設D是由不等式所確定的有界區(qū)域，則二重積分為 （ ）A ：0 B： C ： D： 13、設D是由曲線xy=1與直線x=1,x=2及y=2所圍成的區(qū)域，則二重積分 為（ ） A： B ： C ： D：4、 設f(x,y)是連續(xù)函數，則二次積分為（ ） A B C D 5、設有界閉域D1、D2關于oy軸對稱，f是域

12、D=D1+D2上的連續(xù)函數，則二重 積分為（ ） A B C D 6、設D1是由ox軸、oy軸及直線x+y=1所圍成的有界閉域，f是域D:|x|+|y|1 上的連續(xù)函數，則二重積分為（ ） A B C D 7、.設f(x,y)為連續(xù)函數，則為( ) A B C D 8、求 ，其中 由x=2,y=x,xy=1所圍成. ()9、設I=,交換積分次序后I為： I=10、改變二次積分的次序： = 11、設 D=(x,y)|0x1,0y1 ,求的值 解：=12設 I=,其中D是由x2+y2=Rx所圍城的區(qū)域，求I ()13、計算二重積分，其中D是圓域 解：=14、計算二重積分，其中D=(x,y)| 0x

13、1,0y1 解： =15、計算二重積分，D： 解：= 3 三重積分1、設是由x=0，y=0，z=0及x+2y+z=1所圍成的空間有界域，則為( ) A B C D 2、設是由曲面x2+y2=2z ,及z=2所圍成的空間有界域，在柱面坐標系下將三重積分表示為累次積分，I=（ ） A B C D 3、設是由所確定的有界閉域，求三重積分 解：=24、設是由曲面z=xy, y=x, x=1 及z=0所圍成的空間區(qū)域，求 (1/364) 5、設是球域：，求 (0) 6、計算 其中為：平面z=2與曲面所圍成的 區(qū)域 ()7、計算其中是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x2所圍成的閉區(qū)域(2/27) 8、

14、設函數f(u)有連續(xù)導數，且f(0)=0,求 解：= 4 重積分的應用1、(1)、由面積=2x, =4x,y=x,y=0所圍成的圖形面積為（ ） A B C D (2) 、位于兩圓與之間，質量分布均勻的薄板重心坐標是( ) A (0,) B (0,) C (0,) D (0,)(3)、由拋物面和平面x=2所圍成的質量分布均勻的物體的重心坐標是 （ ） A () B () C () D ()(4)、 質量分布均勻(密度為)的立方體所占有空間區(qū)域:,該立方體到oz軸的轉動慣量IZ=( ) A B C D 2、求均勻上半球體(半徑為R)的質心解：顯然質心在z軸上，故x=y=0,z= 故質心為(0,0

15、,)4、 曲面將球面分割成三部分，由上至下依次記 這三部分曲面的面積為 s1, s2, s3, 求s1:s2:s3 解： 5、求曲面包含在圓柱內部的那部分面積 解：6、求圓柱體包含在拋物面和xoy平面之間那部分立 體的體積 解： 第九章 自測題一、選擇題: （40分） 1、=( ) A B C D. 2、設為,當( )時,. A 1 B C D 3、設,其中由所圍成,則=( B ). A B; C D. 4、設是由三個坐標面與平面=1所圍成的空間區(qū)域,則 =( ). A B C D . 5 、設是錐面與平面所圍成的空間區(qū)域在第一卦限的部分,則=( ). A B C D . 6、計算,圍成的立體

16、,則正確的為( )和（） A B C D . 7、曲面包含在圓柱內部的那部分面積( ) A B C D . 8、由直線所圍成的質量分布均勻(設面密度為)的平面薄板,關于軸的轉動慣量=( ). A B C D 二、計算下列二重積分:（20分） 1、,其中是閉區(qū)域: ()2、,其中是由直線及圓周,所圍 成的在第一象 限內的閉區(qū)域 . () 3、,其中是閉區(qū) 域: ( )4、,其中:. ()三、作出積分區(qū)域圖形并交換下列二次積分的次序: （15分） 1、 () 2、 () 3、 ()四、計算下列三重積分:（15分） 1、:拋物柱面所圍成的區(qū)域 ()2、其中是由平面上曲線繞軸旋轉而成的曲面與 平面所圍

17、 ()五、（5分）求平面被三坐標面所割出的有限部分的面積 . ()六、（5分）設在上連續(xù),試證: = 第十章 曲線積分與曲面積分 1 對弧長的曲線積分1設 關于軸對稱，表示在軸上側的部分，當關于是偶函數時， A.0 B. C. D.ABC都不對2、設是以點為頂點的正方形邊界,則= A. 4 B.2 C. D. 3、有物質沿曲線：分布，其線密度為，則它 的質量 A. B. C. D.4求其中L為由所圍區(qū)域的整個邊界解：5其中L為雙紐線解：原積分=6 其中L為原積分=7其中L為球面與平面的交線解：將代入方程得于是L的參數方程：，又原積分=8、求均勻弧 的重心坐標， 2 對坐標的曲線積分一、選擇題1

18、.設關于軸對稱，表示在軸上側的部分，當關于是偶函數 時， A.0 B. C. D.ABC都不對2設為的正向，則 A.0 B.4 C.2 D.-23為的正向， A.2 B.-2 C.0 D. 二、計算1，其中由曲線從 到方向解： 2 其中是正向圓周曲線 解： 由奇偶對稱性，： 3其中為從點到的有向線段 解：方程：，三、過和的曲線族，求曲線使沿該曲線從到的積分的值最小解：。 最小，此時 四、空間每一點處有力，其大小與到軸的距離成反比，方向垂直指向軸，試求當質點沿圓周從點到時，力所作的功解：由已知五、將積分化為對弧長的積分,其中L 沿上半圓周解：，于是 3 格林公式及其應用一、選擇題1.若是上半橢圓

19、取順時針方向,則 = A.0 B. C. D 2. 設為的正向，則 A2 B.-2 C.0 D.3.設為曲線的正向，則A9 B.-18 C. -9 D.0 二、計算題1.設是圓取逆時針方向，則 解：將方程代入被積函數在由格林公式得 2其中為點到的拋物線 的弧段解：因故積分與路徑無關，取3求，為(1) (2) 正方形邊界的正向解：(1)直接用格林公式=0 (2) 設為圓周：取逆時針方向，其參數方程 原積分為所以4、驗證在面上是某函數的全微分，求出解：， 5、設曲線積分與路徑無關，其中具有連續(xù)的導數，且 ，計算的值解：取路徑：沿從到；再沿從到則或 4 對面積的曲面積分1、計算曲面積分 ，其中是平面

20、在第一卦限的部分 解：2、求曲面積分 ，其中是界于平面z=0和z=H之間的圓柱面 解： =23、求曲面積分 ，其中是錐面被柱面 所截得的有限部分 解：= 5 對坐標的曲面積分一、選擇題1.設關于面對稱反向，是在面的前側部分，若關于為偶函數，則（ ） A.0 B. C. D.ABC都不對2.設取上側,則下述積分不等于零的是（ ）A B C D 3.設為球面取外側,為其上半球面,則有（ ） A. B. C. D. 0二、計算1其中由及三個坐標面所圍成閉曲面的外側2其中為錐面被平面所截部分的外側 3.其中為被平面所截部分，其法向量與z軸成銳角 三、用兩類曲面積分之間的關系計算1 求其中是柱面在部分，

21、是的外法線的方向余弦 2其中為連續(xù)函數，為平面在第四卦限部分的上側 =四、試求向量穿過由及及所圍成圓臺外側面（不含上下底）的流量 6 高斯公式1. 設是拋物面介于及之間部分的下側，求 2設為取外側,求 3.設為平面在第一卦限部分的上側，則=4.求矢量場穿過曲面所圍成的閉曲面外側的通量 5. 求，其中有連續(xù)的二階導數，是 所圍立體的外側 6.求 ，其中是 及所圍曲面的外側7.，其中為取外側 7 斯托克斯公式 1、設為依參數增大方向的橢圓：，求 （0）2設為平面與坐標面交線，從z軸看去為逆時針方向，求 （2）3.設為圓周若從軸正向看依逆時針方向，則 （） 4、其中為圓周若從軸正向看依逆時針方向。5

22、 ,其中為曲線從軸正 向看依逆時針方向。6 ,其中為橢圓 若從x軸正向看，此橢圓依逆時針方向。第十章 自測題一、填空（每題4分，共20分）1、設平面曲線為下半圓周，則曲線積分 （）2、設為橢圓，其周長為,則(12)3、設為正向圓周在第一象限中的部分，則曲線積分（）4、設 是由錐面與半球面圍成的空間區(qū)域，是 的整個邊界的外側，則5、設為球面外側，則曲面積分 （0）二、選擇題（每題5分，共15分）1、 設是在第一卦限部分.則有 A B.C. D.2、設取上側，則下述積分不正確的是A B. C. D.3、設L是從點(0,0)沿折線、y=1-|x-1|至點A(2,0)的折線段，則曲線積分 為（ ） A

23、 0 B -1 C 2 D 2 三、計算（每題8分）1計算曲面積分，其中為錐面在柱體 內的部分 2、過和的曲線族，求曲線使沿該曲線從到的積分的值最小 解：。 最小，此時 3、計算曲線積分，其中是以為中心，為半徑的圓周（取逆時針方向） 解：設為圓周：取逆時針方向，其參數方程原積分為4、計算其中L是平面與柱面的交線，從z軸正向看上去為逆時針方向.（-24）5計算曲面積分 其中是曲面 的上側。 （-） 6計算曲面積分其中S是由曲面與兩平面圍成立體表面的外側 （） 7設S是橢球面的上半部分，點,為S在點P處切平面, 為點到切平面的距離,求 （）四、（9分）在變力作用下，質點由原點沿直線運動到橢球面 第

24、一卦限的點，問取何值時，力所作的功最大？求出的最大值。 （ 第十一章 無窮級數 1 常數項級數的概念和性質1、 設級數，則其和為（ ） A B C D 2、 若，則級數（ ） A 收斂且和為0 B 收斂但和不一定為0 C 發(fā)散 D 可能收斂也可能發(fā)散3 、若級數收斂于S，則級數（ ） A 收斂于2S B收斂于2S+ C收斂于2S- D發(fā)散4、若，,求 的值解： 所以5、若級數收斂，問數列是否有界 解：由于，故收斂數列必有界。6、若，求級數的值 解： 故7、求的值 解：故=8、求 的和 ( 2 常數項級數的審斂法一、用比較審斂法或極限形式的比較審斂法判別下列級數的收斂性1、 判定級數 的斂散性

25、解：由于,而級數發(fā)散，故發(fā)散3、 判定斂散性 收斂; 1, 發(fā)散4、 判定斂散性 (收斂); 二、用比值或根值審斂法判別下列級數的收斂性5、 判定級數的斂散性 解：1,所以發(fā)散6、 判定級數的斂散性 解：，所以收斂 7、 收斂 8、 ， 收斂三、判別下列級數是否收斂。如果收斂，是絕對收斂還是條件收斂？7、 （絕對收斂）10、 （條件收斂）四、判定是否收斂，若收斂，是絕對收斂還是條件收斂解：|，用比值判別法知,所以絕對收斂 3 冪級數1、設冪級數在x=3處收斂，則該級數在x=-1點處（ ）A 絕對收斂 B 條件收斂 C發(fā)散 D 可能收斂也可能發(fā)散2、級數的收斂域 （0，43、 求冪級數的收斂半徑

26、 （）4、若級數在x=-2處收斂，則此級數在x=5處是否收斂，若收斂，是否絕對收斂 （絕對收斂 ）5、求冪級數的收斂域解：首先判斷其收斂區(qū)間為（-7，-3），當x=-7、-3時，級數發(fā)散，所以級數的收 斂域為（-7，-3）6、求冪級數的收斂域解：首先求得收斂區(qū)間為（-3，3），而級數在x=-3處發(fā)散，在x=3處收斂，所以 收斂域為（-3，3 7、求冪級數的和函數 （ -1x1）8、求冪級數的和函數解： = （-1x-1） 4 函數展開成冪級數1、 將函數f(x)=展開成x的冪級數解：f(x)=由展開式可得f(x)= x2、 將函數f(x)=展開成x的冪級數解： 而= x兩邊積分得 x3、將函數

27、f(x)=展開成x的冪級數解：f(x)=4、將函數f(x)=展開成x-5的冪級數解： f(x)= = x5、解：= x 5函數冪級數展開式的應用1、 計算ln2的進似值（要求誤差不超過0.0001）解：在lnx的冪級數展開式中令x=2 ln2=1- 考慮誤差范圍可求得ln22、 計算定積分的進似值（要求誤差不超過0.0001）解：= = 再考慮誤差范圍可求得3、 計算積分的進似值，（要求誤差不超過0.0001） 再考慮誤差范圍可求得 7 傅里葉級數1、 設f(x)是周期為的周期函數，它在-上的表達式為f(x)= 試將f(x)展開成傅立葉級數解： b=再將所求得的系數代入傅立葉級數可得傅立葉級數

28、展開式2、 將函數展開成正弦級數 3、 將函數展開成正弦級數和余弦級數 8 一般周期函數的傅立葉級數1、 將f(x)=2+|x|(-1展開成以2為周期的傅立葉級數后求的值 解：展開f(x)= 代x=0得 =+ 得 2、 將f(x)=x-1(0)展開成周期為4的余弦級數解： f(x)= (0)3、 將f(x)=x-1(0)展開成周期為4的正弦級數的和函數為s(x)，求s(8)解：s(8)=s(0)=4、設f(x)=，S(x)= ,其中=2求S(解：S(=S(= 第十一章 自測題一選擇題:（40分）1、下列級數中,收斂的是( ). (A)； (B)； (C)； (D).2、下列級數中,收斂的是(

29、). (A) ； (B)； (C)； (D).3、下列級數中,收斂的是( ) (A)； (B)； (C) ； (D).4、部分和數列有界是正項級數收斂的( ) (A)充分條件； (B)必要條件； (C)充要條件； (D)既非充分又非必要條件5、設為非零常數,則當( )時,級數收斂 . (A)； (B)； (C)； (D)6、冪級數的收斂區(qū)域是( ). (A) ；(B) ； (C) （0,2） (D) 0,27、是級數收斂的( ) (A)充分條件； (B)必要條件； (C)充要條件； (D)既非充分又非必要條件 .8、冪級數的收斂區(qū)間是( ) (A) ； (B) ； (C) ； (D) .二、

30、（8分）判別下列級數的收斂性 1、； 2、三、（6分）判別級數的斂散性 .四、（6分）求極限 . 五（8分）求下列冪級數的收斂區(qū)間: 1、； 2、.六（6分）求冪級數的和函數 . 七（6分）求數項級數的和 . 八（6分）試將函數展開成.九（6分）設是周期為的函數,它在上的表達式為 將展開成傅立葉級數 . 十（8分）將函數分別展開成正弦級數和余弦級數 . 自測題答案一、1、B； 2、B； 3、C； 4、C； 5、D； 6、A； 7、B； 8、B.二、1、發(fā)散； 2、收斂.三、條件收斂.四、. (提示:化成)五、1、； 2、.六、. 七、.八、九、 ().十、 . 第十二章 微分方程 1 微分方程

31、的基本概念1、由方程x2-xy+y2=C所確定的函數是方程（ ）的解。 A. (x-2y)y=2-xy B.(x-2y)y=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy2、曲線族y=Cx+C2 (C為任意常數) 所滿足的微分方程 （ ） A. y=xy+y2 B.y=Cx+y2 C. xy+y2=C D. y=xy+y23如函數滿足初始條件：y=(C1+C2x)e2x , y|x=0=0 , y|x=p=1，則C1,C2的值為（ ） A. C1=0 , C2=1 B. C1=1 , C2=0 C. C1=p , C2=0 D. C1=0 , C2=p

32、4.微分方程y=寫成以y為自變量，x為函數的形式為（ ） A. B. C. x=2x-y D. y=2x-y5. 已知某初值問題的解為y=C1sin(x-C2) y|x=p=1,y|x=p=0, 確定C1, C2解：y=C1sin(x-C2), y=C1cos(x-C2)代入y|x=p=1,y|x=p=0得C1=1,C2=2kp+6 .設物體A從點(0,1)出發(fā)，以速度大小為常數v沿y軸正向運動。物體B從點(-1,0)與A同時出發(fā)，其速度大小為2v,方向始終指向A，試建立物體B的運動軌跡滿足的微分方程，并寫出初始條件。解：設在時刻t，物體B位于(x,y)處，則整理可得： 而有 其中s表示B的運

33、動軌跡的曲線的弧長。將代入得：初始條件：y(-1)=0, y(-1)=1 2 可分離變量的微分方程1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ） A.可分離變量的微分方程 B.一階微分方程的對稱形式。 C.不是微分方程 D.不能變成2、方程xy-ylny=0的通解為（ ）A y=ex B. y=Cex C.y=ecx D.y=ex+C3、方程滿足初始條件：y=e2x-y , y|x=0=0的特解為（ ）A. ey=e2x+1 B. C. y=lne2x+1-ln2 D. ey=e2x+C4、已知y=y(x)在任一點x處的增量，且當Dx0時，a是Dx 的高階無窮小，y(0)=p,則y(1

34、)=( ) A. 2p B. p C. D. 5、求 特解 cosx sinydy=cosy sinxdx ， y|x=0=解：分離變量為tanydy=tanxdx即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnCcosy=ccosx代入初始條件：y|x=0=得：特解為：cosy=cosx6、求微分方程滿足y(0)=p的特解。解：由得：積分得：代入初始條件：y(0)=p，得C= -27、求微分方程滿足y(0)=0的特解 8、子彈以速度v0=400m/s打進厚度為h=20cm的墻壁，穿透墻壁后速度為100m/s飛出。假定墻壁對于子彈的阻力和子彈運動速度平方成正比，求子彈穿透墻壁所用的時間。解：設在

35、時間t=0時，子彈打進墻壁v(t)表示子彈在t時刻速度。子彈在墻壁中的運動所受阻力kv2(k為常數)由牛頓第二定律得： 又v(0)=v0=400.解得C=可設子彈穿透墻壁所用時間為T，且墻壁后h=20cm,知即：e0.2k=400kT+1 (*)由題設知：子彈在時刻T時，飛出墻壁，且速度為100m/s，即，得400kT=3，代入(*)得：k=10ln2，即 3 齊次方程1 .(x2+y2)dx-xydy=0，其通解為（ ） A. y2=x2(2ln|x|+C) B. y=x(2ln|x|+C) C. y2=2x2ln|x|+C D. y=2xln|x|+C2., y|x=1=2，則特解為（ ）

36、 A. y2=2x2(lnx+C) B.y2=2x2(lnx+2) C .y=2xlnx+C D.y=2xlnx+23.的通解為（ ） A. x=2y+C B. C. D.以上都不對4、求yx2+xy=y2滿足y|x=1=1的特解。解：，則解得：5、求微分方程(x2+2xy-y2)dx-(y2+2xy-x2)dy=0滿足初始條件y|x=1=1的特解解：可得解得：lnx+lnC=ln(u+1)-ln(1+u2)即x(1+u2）=C(1+u),代入初始條件y|x=1=1得特解x2+y2=x+y6、求初值問題的解解：原方程化為令y=xu這里可得：將y|x=1=0代入的特解為或7、求曲線，使其上任一點

37、到原點的距離等于該點的切線在x軸上的截距解：設曲線上任一點P(x,y)，曲線：y=y(x)，則由題意知：Y-y=y(X-x)又得整理得：解得：得通解六、求的解。解：令u=x+2y，則u=1+2y2u-lnu=4x+C2(x+2y)-ln(2+2y)=4x+C 4 一階線性微分方程1、微分方程(y2+1)dx=y(y-2x)dy的通解是（ ）A. B. C. D. 2、微分方程xy+2y=xlnx滿足y(1)=的解為（ ） A. B. C. D. 3、y+y=y2(cosx-sinx)的通解為（ ） A .y=Cex-sinx B.=Cex-sinx C. Cyex-ysinx=C D.y=ex-sinx+C4、求 通解 解：，令得即2.xdy-ydx=y2eydy解：整理得5、求