電動力學三一(矢勢及其微分方程)

1、1第三章第三章 靜磁場靜磁場恒定電流所激發(fā)的靜磁場恒定電流所激發(fā)的靜磁場234567主要內(nèi)容主要內(nèi)容超導體的電磁性質(zhì)超導體的電磁性質(zhì)阿哈羅夫玻姆阿哈羅夫玻姆(Aharonov-Bohm)效應效應磁多極矩磁多極矩磁標勢磁標勢矢勢及其微分方程矢勢及其微分方程81 1 矢勢及其微分方程矢勢及其微分方程9在給定的傳導電流附近可能存在一些磁在給定的傳導電流附近可能存在一些磁性物質(zhì)，在電流的磁場作用下，物質(zhì)磁性物質(zhì)，在電流的磁場作用下，物質(zhì)磁化而出現(xiàn)磁化電流，它反過來又激發(fā)附化而出現(xiàn)磁化電流，它反過來又激發(fā)附加的磁場。磁化電流和磁場互相約制。加的磁場。磁化電流和磁場互相約制。與解決靜電學問題一樣，求與解決

2、靜電學問題一樣，求微分方程邊值問題的解。微分方程邊值問題的解。10恒定電流磁場的基本方程恒定電流磁場的基本方程J 0 BJ是自由電流密度。上兩式結合物質(zhì)的是自由電流密度。上兩式結合物質(zhì)的電磁性質(zhì)方程是解磁場問題的基礎電磁性質(zhì)方程是解磁場問題的基礎。1 1、矢勢、矢勢11l靜電場是有源無旋場，電場線從正電靜電場是有源無旋場，電場線從正電荷出發(fā)而止于負電荷，永不閉合，可以荷出發(fā)而止于負電荷，永不閉合，可以引入標勢來描述。引入標勢來描述。l靜磁場則是有旋無源場，磁感應線總靜磁場則是有旋無源場，磁感應線總是閉合曲線，一般可以引入另一個矢量是閉合曲線，一般可以引入另一個矢量來描述。來描述。由于特性上的顯

3、著差異，描述磁場和電由于特性上的顯著差異，描述磁場和電場的方法就有所不同。場的方法就有所不同。120 BAB 則則B可表為另一矢量的旋度可表為另一矢量的旋度若若根據(jù)矢量分析的定理根據(jù)矢量分析的定理A稱為磁稱為磁場的矢勢場的矢勢13矢勢矢勢A A的意義：的意義：. LSSl dASdASdB通過曲面通過曲面S的磁通量的磁通量 把把B對任一個以回路對任一個以回路L為邊界的曲面為邊界的曲面S積分積分14設設S1和和S2是兩是兩個有共同邊界個有共同邊界L的曲面，則的曲面，則.21 SSSdBSdB dS1 dS2 L 15這正是這正是B的無源性的表示。的無源性的表示。因為是無源的，在因為是無源的，在S

4、1和和S2所包圍的區(qū)域內(nèi)沒有磁感所包圍的區(qū)域內(nèi)沒有磁感應線發(fā)出，也沒有磁感應應線發(fā)出，也沒有磁感應線終止，線終止，B線連續(xù)的通過線連續(xù)的通過該區(qū)域，因而通過曲面該區(qū)域，因而通過曲面S1的磁通量必須等于通過曲的磁通量必須等于通過曲面面S2的磁通量。這磁通量的磁通量。這磁通量由矢勢由矢勢A對對S1或或S2的邊界的邊界的環(huán)量表示。的環(huán)量表示。16因此，矢勢因此，矢勢A A的物理意義是它沿任一閉的物理意義是它沿任一閉合回路的環(huán)量代表通過以該回路為界合回路的環(huán)量代表通過以該回路為界的任一曲面的磁通量。的任一曲面的磁通量。只有只有A A的環(huán)量才的環(huán)量才有物理意義，而每點上的值沒有直接有物理意義，而每點上的

5、值沒有直接的物理意義。的物理意義。17, 00BBBBzyx 其中其中B0為常量。為常量。例：設有沿例：設有沿 Z 軸方向的均勻磁場軸方向的均勻磁場18由定義式由定義式0 , 0 xAzAzAyAByAxAzxyzxy19有解有解 , 00y BAAAxyz 另一解另一解xBAAAyxz0 , 0 20因為任意函數(shù)因為任意函數(shù) 的梯度和旋度的梯度和旋度恒為零，故有恒為零，故有.)(AA 即即A+與與A對應于同一個磁場對應于同一個磁場B。A的這種的這種任意性是由于只有任意性是由于只有A的環(huán)量才有物理意義，的環(huán)量才有物理意義，而每點上的而每點上的A本身沒有直接的物理意義。本身沒有直接的物理意義。2

6、12223由由A的這種任意性，為了方便，我的這種任意性，為了方便，我們可以對它加上一定的限制條件即們可以對它加上一定的限制條件即輔助條件輔助條件0 A對于上式總可以找到一個對于上式總可以找到一個A適合適合24證明：證明： 0 uA設有某一解不滿足上式設有某一解不滿足上式另取一解另取一解 AA25AA的散度為的散度為 22 uAA取取 為泊松方程為泊松方程u 2的一個解，就得的一個解，就得證。對證。對A A所加的所加的輔助條件稱為規(guī)輔助條件稱為規(guī)范條件。范條件。262 2、矢勢微分方程、矢勢微分方程在均勻線性介質(zhì)內(nèi)。把在均勻線性介質(zhì)內(nèi)。把B= H和和 B=A代入式代入式H=J ，得矢勢，得矢勢A

7、的微的微分方程分方程JA )(27由矢量分析公式由矢量分析公式.)()(2AAA 若取若取A滿足規(guī)范條件滿足規(guī)范條件A=0 ，得矢勢的微分方程得矢勢的微分方程0)( 2 AJA 28A的每個直角分量的每個直角分量Ai滿足泊松方程滿足泊松方程)3 , 2 , 1( , 2 iJAii 形式與靜電場形式與靜電場 的方程相同的方程相同 229對比靜電場的解得矢勢方程的特解對比靜電場的解得矢勢方程的特解.)(4)( rdVxJxA 式中式中x 是源點是源點, x為場為場點，點，r為由為由x到到x的距離。的距離。上式也是第一章中由畢上式也是第一章中由畢奧薩伐爾定律導出的奧薩伐爾定律導出的公式公式從畢奧薩

8、伐爾定律從畢奧薩伐爾定律可以證明上式滿足可以證明上式滿足規(guī)范條件，因此，規(guī)范條件，因此，該式確實是微分方該式確實是微分方程的解。程的解。30 34 )()1(4 )(4VdrrJVdxJrrVdxJAB 把磁場的散度和旋度作為基本規(guī)律，從把磁場的散度和旋度作為基本規(guī)律，從微分方程出發(fā)引入矢勢微分方程出發(fā)引入矢勢A，由，由A的方程獲的方程獲得特解，即可求得得特解，即可求得B。31過渡到線電流情形，過渡到線電流情形，設設I為導線上的電流為導線上的電流強度，作代換強度，作代換JdVIdl，得，得 34rrlIdB 這就是畢奧薩伐爾定律。這就是畢奧薩伐爾定律。323 3、矢勢邊值關系、矢勢邊值關系 當

9、全空間的電流分布當全空間的電流分布J給定時，可給定時，可以計算磁場。對于電流和磁場互以計算磁場。對于電流和磁場互相制約的問題，則必須解矢勢微相制約的問題，則必須解矢勢微分方程的邊值問題。分方程的邊值問題。 330)(12 BBn )(12HHn磁場邊值關系可以化為矢勢磁場邊值關系可以化為矢勢A A的邊值的邊值關系，對于非鐵磁介質(zhì)，關系，對于非鐵磁介質(zhì)， 矢勢的邊矢勢的邊值關系為值關系為0)(12 AAn在兩介質(zhì)分界在兩介質(zhì)分界面上磁場的邊面上磁場的邊值關系為值關系為 )11(1122AAn34在分界面兩側取在分界面兩側取一狹長回路，計一狹長回路，計算算A A對此狹長回路對此狹長回路的積分?；芈?/p>

10、短的積分?；芈范踢呴L度趨于零邊長度趨于零 上述邊值關系式也可以用較簡單的形式代替。上述邊值關系式也可以用較簡單的形式代替。35lAAl dAtt )(12由于回路面積趨于零，有由于回路面積趨于零，有 0 SdBl dA因此因此ttAA12 36若取規(guī)范若取規(guī)范A=0 ，可得，可得)0( .12 AAAnn即在兩介質(zhì)分即在兩介質(zhì)分界面上，矢勢界面上，矢勢A是連續(xù)的。是連續(xù)的。12AA 所以所以374 4、靜磁場的能量、靜磁場的能量.21 dVHBW在靜磁場中，可以用矢勢和電流表示總在靜磁場中，可以用矢勢和電流表示總能量。由能量。由B=A.)( )()()(JAHAHAHAHAHB 磁場的磁場的總

11、能量總能量38則則和靜電情形一樣，此式僅對總能量有意義，和靜電情形一樣，此式僅對總能量有意義，不能把不能把A J/2看作能量密度，因為我們知看作能量密度，因為我們知道能量分布于磁場內(nèi)，而不僅僅存在于電流道能量分布于磁場內(nèi)，而不僅僅存在于電流分布區(qū)域內(nèi)。分布區(qū)域內(nèi)。 dVJAdVJAHAdVHBW21 )(21 2139在上式中，矢勢在上式中，矢勢A是電流分布是電流分布J本身激本身激發(fā)的。如果我們要計算某電流分布發(fā)的。如果我們要計算某電流分布J在在給定外磁場中的相互作用能量，以給定外磁場中的相互作用能量，以Ae表示外磁場的矢勢，表示外磁場的矢勢，Je表示產(chǎn)生該外磁表示產(chǎn)生該外磁場的電流分布，則總

12、電流分布為場的電流分布，則總電流分布為J+Je，總磁場矢勢為總磁場矢勢為A+Ae。40 dVAJAJAJAJdVAAJJWeeeeee)(21 )()(21此式減去此式減去J和和Je分別單獨存在時的能量之分別單獨存在時的能量之后，得電流后，得電流J在外場中的相互作用能在外場中的相互作用能.)(21 dVAJAJWeei41由于由于 , )(4,)(4 rdVxJArdVxJAee 因此電流因此電流J在外場在外場Ae中的相互中的相互作用能量為作用能量為. dVAJWei42例例1 無窮長直導線無窮長直導線載電流載電流I，求磁場的矢，求磁場的矢勢和磁感應強度。勢和磁感應強度。43設設P P點到導線

13、的垂直距離點到導線的垂直距離為為R R, ,電流元電流元I Id dz z到到P P點的點的距離為距離為 22zR .422 zRdzIAz 積分是發(fā)散的。積分是發(fā)散的。計算兩點的矢計算兩點的矢勢差值可以免勢差值可以免除發(fā)散除發(fā)散 。解解.)(4)( rdVxJxA 利用利用得得45MM20222M0RzzRzzln4I)A(RA(R)lim0220ln2ln4RRIRRIAn4limMRMRMRMRIM 若取若取R0點的矢勢為零，計算可得點的矢勢為零，計算可得46取取A A的旋度得磁感應強度（柱坐標）的旋度得磁感應強度（柱坐標）.e2Iee2I e)R

14、Rln2I( )eRRln2I(ABzRz0z0 47例例2 半徑為半徑為a的導的導線圓環(huán)載電流線圓環(huán)載電流I ，求，求矢勢和磁感應強度矢勢和磁感應強度48rlIdxA4)(0解解線圈電流產(chǎn)生的線圈電流產(chǎn)生的矢勢為矢勢為49用球坐標用球坐標 (R, ) ，由對，由對稱性可知稱性可知A只有只有 分量，分量，A 只依賴于只依賴于R, ,而與而與 無關。無關。因此我們可以選定在因此我們可以選定在xz面面上的一點上的一點P來計算，在該點來計算，在該點上上A = Ay 。取。取y分量。由分量。由于于2222cossin2a 2a cos RaRxxRx-xrdadly 50 20220cossin2ac

15、os4),(RaRdIaRA則得則得上式的積分可用橢園積分表示。當上式的積分可用橢園積分表示。當 時，可以較簡單的計算出近似結果。時，可以較簡單的計算出近似結果。22sin2aRRa 51把根式對把根式對若我們要計算若我們要計算B(R, )到二級近似。則到二級近似。則A 需要算到三級項。需要算到三級項。 )/(cossin222aRRa 展開。在積分表達式中展開式的偶次項對展開。在積分表達式中展開式的偶次項對 積分為零，因此只需保留奇次項。積分為零，因此只需保留奇次項。52)(sin815)(sin4 )(cossin25 cossincos4),(2/7223332/3220322333322220aRaRaRRaIaaRaRaRRadaRIaRA 包括遠場包括遠場22sin2aRRa aR aR sin此式的適用范圍是此式的適用范圍是和近軸場和近軸場53我們計算近軸場。這種情況下用柱坐我們計算近軸場。這種情況下用柱坐標標( ( , , ,z),z) 較為方便。展開式實際上是較為方便。展開式實際上是對對)/(222az 222222222/ 52220)(815)(