電動(dòng)力學(xué)三一(矢勢(shì)及其微分方程)

1、1第三章第三章 靜磁場(chǎng)靜磁場(chǎng)恒定電流所激發(fā)的靜磁場(chǎng)恒定電流所激發(fā)的靜磁場(chǎng)234567主要內(nèi)容主要內(nèi)容超導(dǎo)體的電磁性質(zhì)超導(dǎo)體的電磁性質(zhì)阿哈羅夫玻姆阿哈羅夫玻姆(Aharonov-Bohm)效應(yīng)效應(yīng)磁多極矩磁多極矩磁標(biāo)勢(shì)磁標(biāo)勢(shì)矢勢(shì)及其微分方程矢勢(shì)及其微分方程81 1 矢勢(shì)及其微分方程矢勢(shì)及其微分方程9在給定的傳導(dǎo)電流附近可能存在一些磁在給定的傳導(dǎo)電流附近可能存在一些磁性物質(zhì)，在電流的磁場(chǎng)作用下，物質(zhì)磁性物質(zhì)，在電流的磁場(chǎng)作用下，物質(zhì)磁化而出現(xiàn)磁化電流，它反過(guò)來(lái)又激發(fā)附化而出現(xiàn)磁化電流，它反過(guò)來(lái)又激發(fā)附加的磁場(chǎng)。磁化電流和磁場(chǎng)互相約制。加的磁場(chǎng)。磁化電流和磁場(chǎng)互相約制。與解決靜電學(xué)問(wèn)題一樣，求與解決

2、靜電學(xué)問(wèn)題一樣，求微分方程邊值問(wèn)題的解。微分方程邊值問(wèn)題的解。10恒定電流磁場(chǎng)的基本方程恒定電流磁場(chǎng)的基本方程J 0 BJ是自由電流密度。上兩式結(jié)合物質(zhì)的是自由電流密度。上兩式結(jié)合物質(zhì)的電磁性質(zhì)方程是解磁場(chǎng)問(wèn)題的基礎(chǔ)電磁性質(zhì)方程是解磁場(chǎng)問(wèn)題的基礎(chǔ)。1 1、矢勢(shì)、矢勢(shì)11l靜電場(chǎng)是有源無(wú)旋場(chǎng)，電場(chǎng)線從正電靜電場(chǎng)是有源無(wú)旋場(chǎng)，電場(chǎng)線從正電荷出發(fā)而止于負(fù)電荷，永不閉合，可以荷出發(fā)而止于負(fù)電荷，永不閉合，可以引入標(biāo)勢(shì)來(lái)描述。引入標(biāo)勢(shì)來(lái)描述。l靜磁場(chǎng)則是有旋無(wú)源場(chǎng)，磁感應(yīng)線總靜磁場(chǎng)則是有旋無(wú)源場(chǎng)，磁感應(yīng)線總是閉合曲線，一般可以引入另一個(gè)矢量是閉合曲線，一般可以引入另一個(gè)矢量來(lái)描述。來(lái)描述。由于特性上的顯

3、著差異，描述磁場(chǎng)和電由于特性上的顯著差異，描述磁場(chǎng)和電場(chǎng)的方法就有所不同。場(chǎng)的方法就有所不同。120 BAB 則則B可表為另一矢量的旋度可表為另一矢量的旋度若若根據(jù)矢量分析的定理根據(jù)矢量分析的定理A稱為磁稱為磁場(chǎng)的矢勢(shì)場(chǎng)的矢勢(shì)13矢勢(shì)矢勢(shì)A A的意義：的意義：. LSSl dASdASdB通過(guò)曲面通過(guò)曲面S的磁通量的磁通量 把把B對(duì)任一個(gè)以回路對(duì)任一個(gè)以回路L為邊界的曲面為邊界的曲面S積分積分14設(shè)設(shè)S1和和S2是兩是兩個(gè)有共同邊界個(gè)有共同邊界L的曲面，則的曲面，則.21 SSSdBSdB dS1 dS2 L 15這正是這正是B的無(wú)源性的表示。的無(wú)源性的表示。因?yàn)槭菬o(wú)源的，在因?yàn)槭菬o(wú)源的，在S

4、1和和S2所包圍的區(qū)域內(nèi)沒(méi)有磁感所包圍的區(qū)域內(nèi)沒(méi)有磁感應(yīng)線發(fā)出，也沒(méi)有磁感應(yīng)應(yīng)線發(fā)出，也沒(méi)有磁感應(yīng)線終止，線終止，B線連續(xù)的通過(guò)線連續(xù)的通過(guò)該區(qū)域，因而通過(guò)曲面該區(qū)域，因而通過(guò)曲面S1的磁通量必須等于通過(guò)曲的磁通量必須等于通過(guò)曲面面S2的磁通量。這磁通量的磁通量。這磁通量由矢勢(shì)由矢勢(shì)A對(duì)對(duì)S1或或S2的邊界的邊界的環(huán)量表示。的環(huán)量表示。16因此，矢勢(shì)因此，矢勢(shì)A A的物理意義是它沿任一閉的物理意義是它沿任一閉合回路的環(huán)量代表通過(guò)以該回路為界合回路的環(huán)量代表通過(guò)以該回路為界的任一曲面的磁通量。的任一曲面的磁通量。只有只有A A的環(huán)量才的環(huán)量才有物理意義，而每點(diǎn)上的值沒(méi)有直接有物理意義，而每點(diǎn)上的

5、值沒(méi)有直接的物理意義。的物理意義。17, 00BBBBzyx 其中其中B0為常量。為常量。例：設(shè)有沿例：設(shè)有沿 Z 軸方向的均勻磁場(chǎng)軸方向的均勻磁場(chǎng)18由定義式由定義式0 , 0 xAzAzAyAByAxAzxyzxy19有解有解 , 00y BAAAxyz 另一解另一解xBAAAyxz0 , 0 20因?yàn)槿我夂瘮?shù)因?yàn)槿我夂瘮?shù) 的梯度和旋度的梯度和旋度恒為零，故有恒為零，故有.)(AA 即即A+與與A對(duì)應(yīng)于同一個(gè)磁場(chǎng)對(duì)應(yīng)于同一個(gè)磁場(chǎng)B。A的這種的這種任意性是由于只有任意性是由于只有A的環(huán)量才有物理意義，的環(huán)量才有物理意義，而每點(diǎn)上的而每點(diǎn)上的A本身沒(méi)有直接的物理意義。本身沒(méi)有直接的物理意義。2

6、12223由由A的這種任意性，為了方便，我的這種任意性，為了方便，我們可以對(duì)它加上一定的限制條件即們可以對(duì)它加上一定的限制條件即輔助條件輔助條件0 A對(duì)于上式總可以找到一個(gè)對(duì)于上式總可以找到一個(gè)A適合適合24證明：證明： 0 uA設(shè)有某一解不滿足上式設(shè)有某一解不滿足上式另取一解另取一解 AA25AA的散度為的散度為 22 uAA取取 為泊松方程為泊松方程u 2的一個(gè)解，就得的一個(gè)解，就得證。對(duì)證。對(duì)A A所加的所加的輔助條件稱為規(guī)輔助條件稱為規(guī)范條件。范條件。262 2、矢勢(shì)微分方程、矢勢(shì)微分方程在均勻線性介質(zhì)內(nèi)。把在均勻線性介質(zhì)內(nèi)。把B= H和和 B=A代入式代入式H=J ，得矢勢(shì)，得矢勢(shì)A

7、的微的微分方程分方程JA )(27由矢量分析公式由矢量分析公式.)()(2AAA 若取若取A滿足規(guī)范條件滿足規(guī)范條件A=0 ，得矢勢(shì)的微分方程得矢勢(shì)的微分方程0)( 2 AJA 28A的每個(gè)直角分量的每個(gè)直角分量Ai滿足泊松方程滿足泊松方程)3 , 2 , 1( , 2 iJAii 形式與靜電場(chǎng)形式與靜電場(chǎng) 的方程相同的方程相同 229對(duì)比靜電場(chǎng)的解得矢勢(shì)方程的特解對(duì)比靜電場(chǎng)的解得矢勢(shì)方程的特解.)(4)( rdVxJxA 式中式中x 是源點(diǎn)是源點(diǎn), x為場(chǎng)為場(chǎng)點(diǎn)，點(diǎn)，r為由為由x到到x的距離。的距離。上式也是第一章中由畢上式也是第一章中由畢奧薩伐爾定律導(dǎo)出的奧薩伐爾定律導(dǎo)出的公式公式從畢奧薩

8、伐爾定律從畢奧薩伐爾定律可以證明上式滿足可以證明上式滿足規(guī)范條件，因此，規(guī)范條件，因此，該式確實(shí)是微分方該式確實(shí)是微分方程的解。程的解。30 34 )()1(4 )(4VdrrJVdxJrrVdxJAB 把磁場(chǎng)的散度和旋度作為基本規(guī)律，從把磁場(chǎng)的散度和旋度作為基本規(guī)律，從微分方程出發(fā)引入矢勢(shì)微分方程出發(fā)引入矢勢(shì)A，由，由A的方程獲的方程獲得特解，即可求得得特解，即可求得B。31過(guò)渡到線電流情形，過(guò)渡到線電流情形，設(shè)設(shè)I為導(dǎo)線上的電流為導(dǎo)線上的電流強(qiáng)度，作代換強(qiáng)度，作代換JdVIdl，得，得 34rrlIdB 這就是畢奧薩伐爾定律。這就是畢奧薩伐爾定律。323 3、矢勢(shì)邊值關(guān)系、矢勢(shì)邊值關(guān)系 當(dāng)

9、全空間的電流分布當(dāng)全空間的電流分布J給定時(shí)，可給定時(shí)，可以計(jì)算磁場(chǎng)。對(duì)于電流和磁場(chǎng)互以計(jì)算磁場(chǎng)。對(duì)于電流和磁場(chǎng)互相制約的問(wèn)題，則必須解矢勢(shì)微相制約的問(wèn)題，則必須解矢勢(shì)微分方程的邊值問(wèn)題。分方程的邊值問(wèn)題。 330)(12 BBn )(12HHn磁場(chǎng)邊值關(guān)系可以化為矢勢(shì)磁場(chǎng)邊值關(guān)系可以化為矢勢(shì)A A的邊值的邊值關(guān)系，對(duì)于非鐵磁介質(zhì)，關(guān)系，對(duì)于非鐵磁介質(zhì)， 矢勢(shì)的邊矢勢(shì)的邊值關(guān)系為值關(guān)系為0)(12 AAn在兩介質(zhì)分界在兩介質(zhì)分界面上磁場(chǎng)的邊面上磁場(chǎng)的邊值關(guān)系為值關(guān)系為 )11(1122AAn34在分界面兩側(cè)取在分界面兩側(cè)取一狹長(zhǎng)回路，計(jì)一狹長(zhǎng)回路，計(jì)算算A A對(duì)此狹長(zhǎng)回路對(duì)此狹長(zhǎng)回路的積分?；芈?/p>

10、短的積分?；芈范踢呴L(zhǎng)度趨于零邊長(zhǎng)度趨于零 上述邊值關(guān)系式也可以用較簡(jiǎn)單的形式代替。上述邊值關(guān)系式也可以用較簡(jiǎn)單的形式代替。35lAAl dAtt )(12由于回路面積趨于零，有由于回路面積趨于零，有 0 SdBl dA因此因此ttAA12 36若取規(guī)范若取規(guī)范A=0 ，可得，可得)0( .12 AAAnn即在兩介質(zhì)分即在兩介質(zhì)分界面上，矢勢(shì)界面上，矢勢(shì)A是連續(xù)的。是連續(xù)的。12AA 所以所以374 4、靜磁場(chǎng)的能量、靜磁場(chǎng)的能量.21 dVHBW在靜磁場(chǎng)中，可以用矢勢(shì)和電流表示總在靜磁場(chǎng)中，可以用矢勢(shì)和電流表示總能量。由能量。由B=A.)( )()()(JAHAHAHAHAHB 磁場(chǎng)的磁場(chǎng)的總

11、能量總能量38則則和靜電情形一樣，此式僅對(duì)總能量有意義，和靜電情形一樣，此式僅對(duì)總能量有意義，不能把不能把A J/2看作能量密度，因?yàn)槲覀冎醋髂芰棵芏龋驗(yàn)槲覀冎滥芰糠植加诖艌?chǎng)內(nèi)，而不僅僅存在于電流道能量分布于磁場(chǎng)內(nèi)，而不僅僅存在于電流分布區(qū)域內(nèi)。分布區(qū)域內(nèi)。 dVJAdVJAHAdVHBW21 )(21 2139在上式中，矢勢(shì)在上式中，矢勢(shì)A是電流分布是電流分布J本身激本身激發(fā)的。如果我們要計(jì)算某電流分布發(fā)的。如果我們要計(jì)算某電流分布J在在給定外磁場(chǎng)中的相互作用能量，以給定外磁場(chǎng)中的相互作用能量，以Ae表示外磁場(chǎng)的矢勢(shì)，表示外磁場(chǎng)的矢勢(shì)，Je表示產(chǎn)生該外磁表示產(chǎn)生該外磁場(chǎng)的電流分布，則總

12、電流分布為場(chǎng)的電流分布，則總電流分布為J+Je，總磁場(chǎng)矢勢(shì)為總磁場(chǎng)矢勢(shì)為A+Ae。40 dVAJAJAJAJdVAAJJWeeeeee)(21 )()(21此式減去此式減去J和和Je分別單獨(dú)存在時(shí)的能量之分別單獨(dú)存在時(shí)的能量之后，得電流后，得電流J在外場(chǎng)中的相互作用能在外場(chǎng)中的相互作用能.)(21 dVAJAJWeei41由于由于 , )(4,)(4 rdVxJArdVxJAee 因此電流因此電流J在外場(chǎng)在外場(chǎng)Ae中的相互中的相互作用能量為作用能量為. dVAJWei42例例1 無(wú)窮長(zhǎng)直導(dǎo)線無(wú)窮長(zhǎng)直導(dǎo)線載電流載電流I，求磁場(chǎng)的矢，求磁場(chǎng)的矢勢(shì)和磁感應(yīng)強(qiáng)度。勢(shì)和磁感應(yīng)強(qiáng)度。43設(shè)設(shè)P P點(diǎn)到導(dǎo)線

13、的垂直距離點(diǎn)到導(dǎo)線的垂直距離為為R R, ,電流元電流元I Id dz z到到P P點(diǎn)的點(diǎn)的距離為距離為 22zR .422 zRdzIAz 積分是發(fā)散的。積分是發(fā)散的。計(jì)算兩點(diǎn)的矢計(jì)算兩點(diǎn)的矢勢(shì)差值可以免勢(shì)差值可以免除發(fā)散除發(fā)散 。解解.)(4)( rdVxJxA 利用利用得得45MM20222M0RzzRzzln4I)A(RA(R)lim0220ln2ln4RRIRRIAn4limMRMRMRMRIM 若取若取R0點(diǎn)的矢勢(shì)為零，計(jì)算可得點(diǎn)的矢勢(shì)為零，計(jì)算可得46取取A A的旋度得磁感應(yīng)強(qiáng)度（柱坐標(biāo)）的旋度得磁感應(yīng)強(qiáng)度（柱坐標(biāo)）.e2Iee2I e)R

14、Rln2I( )eRRln2I(ABzRz0z0 47例例2 半徑為半徑為a的導(dǎo)的導(dǎo)線圓環(huán)載電流線圓環(huán)載電流I ，求，求矢勢(shì)和磁感應(yīng)強(qiáng)度矢勢(shì)和磁感應(yīng)強(qiáng)度48rlIdxA4)(0解解線圈電流產(chǎn)生的線圈電流產(chǎn)生的矢勢(shì)為矢勢(shì)為49用球坐標(biāo)用球坐標(biāo) (R, ) ，由對(duì)，由對(duì)稱性可知稱性可知A只有只有 分量，分量，A 只依賴于只依賴于R, ,而與而與 無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。因此我們可以選定在因此我們可以選定在xz面面上的一點(diǎn)上的一點(diǎn)P來(lái)計(jì)算，在該點(diǎn)來(lái)計(jì)算，在該點(diǎn)上上A = Ay 。取。取y分量。由分量。由于于2222cossin2a 2a cos RaRxxRx-xrdadly 50 20220cossin2ac

15、os4),(RaRdIaRA則得則得上式的積分可用橢園積分表示。當(dāng)上式的積分可用橢園積分表示。當(dāng) 時(shí)，可以較簡(jiǎn)單的計(jì)算出近似結(jié)果。時(shí)，可以較簡(jiǎn)單的計(jì)算出近似結(jié)果。22sin2aRRa 51把根式對(duì)把根式對(duì)若我們要計(jì)算若我們要計(jì)算B(R, )到二級(jí)近似。則到二級(jí)近似。則A 需要算到三級(jí)項(xiàng)。需要算到三級(jí)項(xiàng)。 )/(cossin222aRRa 展開。在積分表達(dá)式中展開式的偶次項(xiàng)對(duì)展開。在積分表達(dá)式中展開式的偶次項(xiàng)對(duì) 積分為零，因此只需保留奇次項(xiàng)。積分為零，因此只需保留奇次項(xiàng)。52)(sin815)(sin4 )(cossin25 cossincos4),(2/7223332/3220322333322220aRaRaRRaIaaRaRaRRadaRIaRA 包括遠(yuǎn)場(chǎng)包括遠(yuǎn)場(chǎng)22sin2aRRa aR aR sin此式的適用范圍是此式的適用范圍是和近軸場(chǎng)和近軸場(chǎng)53我們計(jì)算近軸場(chǎng)。這種情況下用柱坐我們計(jì)算近軸場(chǎng)。這種情況下用柱坐標(biāo)標(biāo)( ( , , ,z),z) 較為方便。展開式實(shí)際上是較為方便。展開式實(shí)際上是對(duì)對(duì))/(222az 222222222/ 52220)(815)(