Poisson泊松分布及應用

1、Poisson分布及其應用分布及其應用一、一、Possion分布的概念分布的概念 Possion分布由法國數學家分布由法國數學家S.D.Possion創(chuàng)立的，創(chuàng)立的，用以描述罕見事件發(fā)生次數的概率分布。也可視為用以描述罕見事件發(fā)生次數的概率分布。也可視為觀察例數觀察例數n很大，發(fā)生的概率很大，發(fā)生的概率很小時二項分布很小時二項分布B（ n,）的極限情形。）的極限情形。 以一毫升水樣中大腸桿菌數為例。設某河中，以一毫升水樣中大腸桿菌數為例。設某河中，平均每毫升水中有平均每毫升水中有個大腸桿菌，從該河中隨機抽取個大腸桿菌，從該河中隨機抽取一毫升水，將一毫升水，將1毫升水等分成毫升水等分成n個相當于

2、一個大腸桿個相當于一個大腸桿菌的微小體積，則每個體積中平均大腸桿菌數為菌的微小體積，則每個體積中平均大腸桿菌數為/ n。這里。這里n很大，每一個微小體積可能是水也可能是很大，每一個微小體積可能是水也可能是大腸桿菌，大腸桿菌數與大腸桿菌，大腸桿菌數與n之比為之比為p， p很小很小，很小很小，因此一毫升水樣中大腸桿菌數是一罕見事件。因此一毫升水樣中大腸桿菌數是一罕見事件。分析：分析：每個體積中只能有兩種結果，每個體積中只能有兩種結果，每個每個體積中出現大腸桿菌數的概率均為體積中出現大腸桿菌數的概率均為/ n 。不同不同體積上大腸桿菌出現與否相互獨立。體積上大腸桿菌出現與否相互獨立。 因此，在這因此

3、，在這n個體積中出現的大腸桿菌數服個體積中出現的大腸桿菌數服從二項分布從二項分布B（ n, / n ），概率函數為），概率函數為 xnxxnnnCXP 1數學上可以證明，當數學上可以證明，當 n 時，時，P（X）的極限為）的極限為!)(xeXPx !)(XeXPX 若稀有事件發(fā)生數為若稀有事件發(fā)生數為0，1，2，其相應，其相應的概率函數為的概率函數為 ，則稱此變量，則稱此變量服從參數為服從參數為的的Poisson分布。分布。式中，式中， X為觀察單位內某稀有事件的發(fā)生數；為觀察單位內某稀有事件的發(fā)生數；e為自然對數的底，為常數，約等于為自然對數的底，為常數，約等于2.71828 ，為為Pois

4、son分布的總體均數，分布的總體均數，=n 或為觀察單或為觀察單位內的平均發(fā)生數。位內的平均發(fā)生數。Poisson分布的應用條件分布的應用條件1 必須符合二項分布的三個條件。必須符合二項分布的三個條件。2 要求要求或或1-接近接近0或或1（例如（例如0.999）例如，上例中平均每毫升水中有例如，上例中平均每毫升水中有8個細菌，則從該河個細菌，則從該河中隨機抽取中隨機抽取1毫升水中的細菌數毫升水中的細菌數X服從服從=8的的Poisson分分布。布。!)(xexeXPxx88 求求1毫升水中不含細菌的概率，含毫升水中不含細菌的概率，含1個細菌的概率個細菌的概率408103543080 .!)(eP

5、318106842181 .!)(ePPoisson分布可視為觀察例數分布可視為觀察例數n很大，發(fā)生的很大，發(fā)生的概率概率很小時二項分布很小時二項分布B（ n,）的極限情形。）的極限情形。當當n很大時，二項分布概率的計算相當復雜，很大時，二項分布概率的計算相當復雜，利用二項分布的利用二項分布的Poisson近似這一性質，當近似這一性質，當n很大且很大且(0.01)很小時，可以用很小時，可以用Poisson分分布的概率計算近似代替二項分布的概率計布的概率計算近似代替二項分布的概率計算。算。例例4-7 如果某地新生兒先天性心臟病的發(fā)病概率如果某地新生兒先天性心臟病的發(fā)病概率為為8那么該地那么該地1

6、20名新生兒中有名新生兒中有4人患先天性心臟人患先天性心臟病的概率有多大？病的概率有多大？分析：新生兒先天性心臟病的發(fā)病率分析：新生兒先天性心臟病的發(fā)病率= 8，新，新生兒人數生兒人數n=120，其中患先天性心臟病的人數服，其中患先天性心臟病的人數服從二項分布。因為從二項分布。因為8較小，較小，120較大，也可以認較大，也可以認為患先天性心臟病的人數近似地服從為患先天性心臟病的人數近似地服從Poisson分布。分布。96. 0008. 0120 n014. 0! 496. 0)4(496. 0 eXP二、二、 Poisson分布的特征分布的特征（1） Poisson分布的總體均數與總體方差相等

7、，分布的總體均數與總體方差相等，均為均為。 若從該河中隨機抽取無數個若從該河中隨機抽取無數個1毫升水，顯然毫升水，顯然1毫升水中的細菌數毫升水中的細菌數X各不相同，這些細菌數各不相同，這些細菌數X的的總體均數即總體均數即Poisson分布的參數分布的參數，而且這些細菌，而且這些細菌數數X的總體方差也等于此參數的總體方差也等于此參數。（2） Possion分布的觀察結果有可加性。分布的觀察結果有可加性。若從總若從總體均數為體均數為1 的的Poisson分布總體中隨機抽出一份樣本，分布總體中隨機抽出一份樣本，其中稀有事件的發(fā)生次數為其中稀有事件的發(fā)生次數為X1，再獨立地從總體均數為，再獨立地從總體

8、均數為2的的Poisson分布總體中隨機抽出另一份樣本，其中稀有分布總體中隨機抽出另一份樣本，其中稀有事件的發(fā)生次數為事件的發(fā)生次數為X2，則它們的合計發(fā)生數，則它們的合計發(fā)生數T=X1+X2也也服從服從Poisson分布，總體均數為分布，總體均數為1 + 2 。 上述性質推廣到多個上述性質推廣到多個Poisson分布的情形，例如，分布的情形，例如，上例中，平均每毫升水含有上例中，平均每毫升水含有8個細菌，從該河中獨立地個細菌，從該河中獨立地取水樣取水樣5次，每次水樣中的細菌數分別為次，每次水樣中的細菌數分別為Xi，均服從，均服從=8的的Poisson分布，那么把分布，那么把5份水樣混合，其合

9、計菌落數也份水樣混合，其合計菌落數也服從服從=40 的的Poisson分布，分布，若已知參數若已知參數的取值，則可按的取值，則可按Poisson分布的概率函分布的概率函數式計算不同數式計算不同X值時的概率，然后以值時的概率，然后以X為橫軸，以取為橫軸，以取值概率值概率P為縱軸，可繪制出為縱軸，可繪制出Poisson分布的圖形。分布的圖形。（3） Poisson分布的圖形特征分布的圖形特征0.000.020.040.060.080.100.120.140.160.180.200.220.240.260.280100.000.020.040.060.080.100.120.140.160.180.

10、200102 4 6 8 10 =22 4 6 8 10 12 =40.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.100.110.120.130.140.150.160.170100.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.100.110.120.130.140.150.160.170102 4 6 8 10 12 14 16 =62 4 6 8 10 12 14 16 18 =10由前面的由前面的Poisson分布圖可見，當總體均分布圖可見，當總體均數數較小時，為偏峰，較小時，為偏峰，越小分布愈偏，隨越小分布愈偏，

11、隨的增大，的增大， Poisson分布的對稱性越來越好。分布的對稱性越來越好。 當當20時，時， Poisson分布近似正態(tài)分布分布近似正態(tài)分布),( N利用利用Poisson分布的正態(tài)近似性，可以分布的正態(tài)近似性，可以解決不少解決不少Poisson分布的統(tǒng)計推斷問題。分布的統(tǒng)計推斷問題。三、三、 Possion分布的應用分布的應用（一）概率估計（一）概率估計（二）單側累計概率計算（二）單側累計概率計算若稀有事件發(fā)生次數的總體均數為若稀有事件發(fā)生次數的總體均數為，那么該稀有事件，那么該稀有事件發(fā)生次數至多為發(fā)生次數至多為k次的概率為次的概率為 kXXXekXP0!)( 若稀有事件發(fā)生次數的總體

12、均數為若稀有事件發(fā)生次數的總體均數為，那么該稀有事，那么該稀有事件發(fā)生次數至少為件發(fā)生次數至少為k次的概率為次的概率為 kXXXekXPkXP0!111)( 例例4-8 例例4-7中，至多有中，至多有4人患先天性心臟病的概論人患先天性心臟病的概論有多大？至少有有多大？至少有5人患先天性心臟病的概率有多大？人患先天性心臟病的概率有多大？至多有至多有4人患先天性心臟病的概率為人患先天性心臟病的概率為997. 0! 496. 0! 396. 0! 296. 0! 196. 0! 096. 0!96. 0)()4(496. 0396. 0296. 0196. 0096. 04096. 040 eeee

13、eXeXPXPXXX至少有至少有5人患先天性心臟病的概率為人患先天性心臟病的概率為 003. 0997. 0141)5( XPXP例例4-9 實驗顯示某實驗顯示某100cm2的培養(yǎng)皿中平均菌落數為的培養(yǎng)皿中平均菌落數為6個，試估計該培養(yǎng)皿中菌落數小于個，試估計該培養(yǎng)皿中菌落數小于3個的概率，大個的概率，大于于1個的概率。個的概率。分析：分析：因培養(yǎng)皿中菌落數服從因培養(yǎng)皿中菌落數服從Poisson分布，因此分布，因此可用可用Poisson分布的概率函數來計算分布的概率函數來計算該培養(yǎng)皿中菌落數小于該培養(yǎng)皿中菌落數小于3個的概率個的概率 062. 0! 26! 16! 06! 0632026160

14、60620 XXeeeeXPXP該培養(yǎng)皿中菌落數大于該培養(yǎng)皿中菌落數大于1個的概率個的概率 983. 0! 16! 06110111606 eeXPXPXP三、三、 Poisson分布的正態(tài)近似法分布的正態(tài)近似法 當當20時，依據時，依據Poisson分布近似正態(tài)分布的原理，分布近似正態(tài)分布的原理，可以對其總體均數進行推斷?？梢詫ζ淇傮w均數進行推斷。（一）一組樣本資料的（一）一組樣本資料的Z檢驗檢驗 0100: : HH00 XZ為為Poisson分布的總體均數，分布的總體均數，0為已知的一個定值。為已知的一個定值。例例6-10 某地十年前計劃到某地十年前計劃到2000年把孕產婦死亡率年把孕產

15、婦死亡率降到降到25/10萬以下，萬以下，2000年監(jiān)測資料顯示，該地區(qū)年監(jiān)測資料顯示，該地區(qū)平均而言，每平均而言，每10萬例活產兒孕產婦死亡萬例活產兒孕產婦死亡31人，問該人，問該地區(qū)降低孕產婦死亡的目標是否達到？地區(qū)降低孕產婦死亡的目標是否達到？了了預預定定目目標標。，可可以以認認為為該該地地區(qū)區(qū)達達到到不不拒拒絕絕值值，做做推推斷斷結結論論確確定定計計算算檢檢驗驗統(tǒng)統(tǒng)計計量量：，：準準建建立立假假設設，確確定定檢檢驗驗水水005. 010H 0.05,P . 32 . 12525-31Z2.0.05 25H 25 1 ZZPH （二）兩組獨立樣本資料的（二）兩組獨立樣本資料的Z檢驗檢驗應

16、用條件：兩總體均數均大于應用條件：兩總體均數均大于202121XXXXZ 當兩樣本觀測單位數相等時，計算檢驗當兩樣本觀測單位數相等時，計算檢驗統(tǒng)計量為統(tǒng)計量為假設為假設為211210:,: HH當兩樣本觀測單位數不相等時，計算檢驗統(tǒng)當兩樣本觀測單位數不相等時，計算檢驗統(tǒng)計量為計量為221121nXnXXXZ 例例6-11 甲、乙兩檢驗師分別觀察甲、乙兩檢驗師分別觀察15名正常人末梢名正常人末梢血嗜堿性白細胞數量，每張血片均觀察血嗜堿性白細胞數量，每張血片均觀察200個視野，個視野，結果甲計數到嗜堿性粒細胞結果甲計數到嗜堿性粒細胞26個，乙計數到個，乙計數到29個。個。試問兩位檢驗師檢查結果是否一致？試問兩位檢驗師檢查結果是否一致？2 計算檢驗統(tǒng)計量計算檢驗統(tǒng)計量40452. 029262926 Z1 建立檢驗假設建立檢驗假設0.05 :,:211210 HH3 確定確定P值和做推斷值和做推斷0.05P 05. 0 ZZ按按=0。05水準，尚不能拒絕水準，尚不能拒絕H0，尚不能認，尚不能認為兩檢驗師檢查結果有差異。為兩檢驗師檢查結果有差異。例例6-12 某車間改革生產工藝前，測得三次粉塵濃度，某車間改革生產工藝前，測得三次粉塵濃度，每升空氣中分別有每升空氣中分別有38、29、36顆粉塵；改進工藝后，顆粉塵；改進工藝后，測取兩次，