靜電場(chǎng)中的鏡像法與分離變量法

1、靜電場(chǎng)中的鏡像法與分離變量法 摘要：靜電場(chǎng)的基本問題是求解給定邊界條件下的泊松方程或拉普拉斯方 程的解，本文分別闡述在求解區(qū)域內(nèi)有和沒有自由電荷分布的情況下，應(yīng)用鏡像法和分離變量法求解；同時(shí)，舉例來演示應(yīng)用鏡像法和分離變量法的解題思路、步驟和結(jié)果討論以及一些注意點(diǎn)，并在相同情況下分別應(yīng)用鏡像法和分離變量法進(jìn)行對(duì)比討論；深入理解鏡像法和分離變量法及其特征。 關(guān)鍵詞：靜電場(chǎng)、鏡像法、分離變量法。 The Method of Mirror Image and the Separate Variational Method in the Electrostatic Field Abstract: Th

2、e basic problem of electrostatic field is to explore the solution of Poisson equation or Laplace equation under its given boundary condition. This article respectively explains the approaches to explore the solution using mirror image and separate variational methods under the to-be-explore solution

3、 area situation which has and which lacks freedom electric charge distribution .Meanwhile, it takes some instances to demonstrate the problem-solving thoughts and steps applying mirror image and separate variational methods. It also provides some discussions about the result and the points needing t

4、o be noted in the process of this demonstration. This writer also tries to help the readers to deeply understand the methods of mirror image and separate variational methods and their characteristics by doing contrast discussion under the same condition. Keywords: the electrostatic field, the method

5、 of mirror image, the separate variational method. 1、引言：靜電場(chǎng)和電源外恒定電場(chǎng)的邊值問題的求解，可歸納為在給定 邊界條件下，對(duì)拉普拉斯方程或泊松方程的求解。很多文章已經(jīng)就界面形狀是比較簡(jiǎn)單的幾何曲面的這類問題給出了解析形式的求解，這種解析形式求解的常用方法分別是鏡像法和分離變量法。本文在應(yīng)用此方法求解邊值問題的探討基礎(chǔ)上，進(jìn)一步地就鏡像法和分離變量法的應(yīng)用進(jìn)行對(duì)比和討論。 2、靜電場(chǎng)中的靜像法與分離變量法的介紹 i)、鏡像法 拉普拉斯方程僅適用于求解區(qū)域沒有自由電荷分布。若求解區(qū)域有自由電荷分布，則必須求解泊松方程；一種重要的特殊情形是區(qū)

6、域內(nèi)只有一個(gè)或幾個(gè)點(diǎn)電荷，區(qū)域邊界是導(dǎo)體或介質(zhì)界面。下面介紹解這類問題的一種特殊方法鏡像法，鏡像法也是電動(dòng)力學(xué)中一種很重要的方法。在區(qū)域特殊情形下，許多復(fù)雜的問題使用該方法求解都會(huì)很簡(jiǎn)潔方便。 鏡像法的基本思想：如果在原電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)中存在著導(dǎo)體或介質(zhì)分界面，則由于靜電感應(yīng)或極化作用，在導(dǎo)體和介質(zhì)分界面上將出現(xiàn)感應(yīng)或極化電荷，在我們研究的區(qū)域之外，用一些假想的電荷來代替場(chǎng)問題的邊界，如果這些電荷和場(chǎng)區(qū)域原有的電荷一起產(chǎn)生的電場(chǎng)滿足原問題的邊界條件；那么，它們的電位疊加起來，便得到我們所要求的電位解，這種方法就稱為鏡像法，假想電荷就是鏡像電荷。 ii)、分離變量法 靜電學(xué)的基本問題就是求給定邊界

7、條件下的泊松方程的解；如果在所研究的區(qū)域內(nèi)，沒有自由電荷分布，即： (x)=0 因而泊松方程變成： y2Ñ=0 (拉普拉斯方程) 那么區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)分布是通過區(qū)域邊界條件反映出來的,該類問題有一種非常重要的解析方法分離變量法。分離變量法是數(shù)理方程中應(yīng)用最廣泛的一種方法，是解拉普拉斯方程的最基本的方法。它首先要求給定邊界與一個(gè)適當(dāng)坐標(biāo)系面相結(jié)合，或者至少分段地與坐標(biāo)面相結(jié)合；其次在坐標(biāo)系中待求偏微分方程的解可表示為幾個(gè)函數(shù)的乘積，其中每個(gè)函數(shù)分別僅是一個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)，這樣通過分離變量將微分方程化為常微分方程求解。并以給定的邊界條件確定其中待定常數(shù)和函數(shù)，最終得到電位函數(shù)解。 用分離變量法求y

8、2Ñ=0要根據(jù)邊界的形狀選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。1)、直角坐標(biāo)系中分離變量：電位函數(shù)的拉普拉斯方程為這在電位函數(shù)y只是x 和y的函數(shù)，沿 z方向沒有變化的二維直角坐標(biāo)系中討論拉普拉斯的分離變量法，電位函數(shù)的拉普拉斯方程為：將待求的電位函數(shù)y用二個(gè)函數(shù)的乘積表示為：式中X僅為x的函數(shù)，Y僅為y 的函數(shù)。將(1-2)式代入(1-1)式，并用YX,除以方程式的兩邊，便得:上式左邊與y無關(guān)，右邊與x無關(guān)，而在x、y取任意值時(shí)它們又恒等。顯然，這只能在兩邊均等于一常數(shù)時(shí)才可能，將此常數(shù)寫成k2 n稱為分離常數(shù)。當(dāng)kn時(shí)，上面兩個(gè)常微分方程的解分別為:而當(dāng)kn0時(shí)，則解分別為:其中和都是待定常數(shù)。因拉

9、普拉斯方程是線性的，適用疊加原理，kn取所有可能值的解的線性組 合也將是它的解，所以由（1-2）式得到電位函數(shù)的一般解是: 2)、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的分離變量法 下面來討論一下：圓柱坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程為：我們只討論二維平面場(chǎng)情況，即與z無關(guān)的情況，這時(shí)的拉普拉斯方程變?yōu)椋毫畲箅娏骱瘮?shù)的y試探解為)()()(ffygrfr=、，待入上式經(jīng)整理得用 乘上式得：上式的第一項(xiàng)僅是r的函數(shù)，第二項(xiàng)僅是f的函數(shù)，要使上式對(duì)于所有r、f值都成立；顯然，這只能在兩邊均等于一常數(shù)時(shí)才可能，令常數(shù)為k2,整理得：及當(dāng)k=0時(shí)，f0(r)=A0r+B0和當(dāng)k0時(shí)，和于是，由這些解的相應(yīng)乘積疊加組成拉普拉斯

10、方程的一般解為：上式中各常數(shù)由具體問題的給定邊界條件確定。同理，在球面坐標(biāo)系中，用分離變量法求0為: 我們只討論場(chǎng)問題與坐標(biāo)中無關(guān)的情況(極軸對(duì)稱) 這時(shí)，拉普拉斯方程為：用分離變量法求其通解, 令待求電流函數(shù)的試探解為：, y 待入上式經(jīng)整理得:為勒讓德多項(xiàng)式(勒讓德函數(shù)) ,llBA、為任意常數(shù)，由邊界條件和邊值關(guān)系確定。3、應(yīng)用舉例1)、無限大導(dǎo)體平面前的點(diǎn)電荷 用鏡像法解題，設(shè)在無限大接地導(dǎo)體平面（z=0）附近有一點(diǎn)電荷q與平面距離為z=h導(dǎo)體平面是等位面。所以這問題的邊界條件是· 常數(shù)=y （導(dǎo)體面上）由于導(dǎo)體接地，因此可設(shè)電位為零，要求上半空間中的電場(chǎng)（如下圖）顯然，假設(shè)

11、導(dǎo)體平面不存在，而在z=0平面下面與點(diǎn)電荷q對(duì)稱地放置一個(gè)點(diǎn)電荷(q)，則z=0平面的電位仍為零電位面。這樣，我們便可用q和其像電荷（-q）構(gòu)成的系統(tǒng)來代替原來的邊值問題，上半空間內(nèi)任點(diǎn)電位為：即為給邊值的問題的解。 原問題的平面上的導(dǎo)體感應(yīng)電荷密度為 負(fù)號(hào)表示該處的電場(chǎng)指向?qū)w內(nèi)，即向下。 計(jì)算感應(yīng)電荷總量時(shí)，為簡(jiǎn)單起見，改用極坐標(biāo), ；于是，它與鏡像電荷相等。 用鏡像法解題時(shí)，要注意適用區(qū)域，這里（3-1）式適用區(qū)域?yàn)閷?dǎo)體平面上半空間內(nèi)，下半空間內(nèi)實(shí)際不存在電場(chǎng)；至于鏡像電荷應(yīng)具有什么樣的形式，原則上沒有任何限制，即對(duì)確定的原電荷，不必要求鏡像電荷與之有形式的對(duì)應(yīng)，個(gè)數(shù)的對(duì)應(yīng)，大小的對(duì)應(yīng)等

12、。只要鏡像電荷能等效的代替面電荷在求解區(qū)域之內(nèi)的場(chǎng)，又不改變?cè)瓉淼倪吔鐥l件即可。 2)、導(dǎo)體球置于均勻的電場(chǎng)中 半徑為R0的導(dǎo)體球置于均勻外電場(chǎng)E0中，求電勢(shì)。 由于導(dǎo)體球在靜電平衡時(shí)是等勢(shì)體，且球內(nèi)場(chǎng)為零，只求球外場(chǎng)，取球坐標(biāo) 系，原點(diǎn)在球心且極軸上外場(chǎng)Er 平行，顯然，此時(shí)電勢(shì)y具有極軸對(duì)稱，那么在球外：用球面坐標(biāo)系，我們只討論場(chǎng)問題與坐標(biāo)中f無關(guān)的情況 這時(shí)，拉普拉斯方程為: 用分離變量法求其通解, 令待求電流函數(shù)的試探解為：，待入上式經(jīng)整理得問題通解為：代入條件：得到：即、靜像法與分離變量法的比較 前面我們分別研究了鏡像法和分離變量法的概念及其特征，已經(jīng)知道了這兩種方法各自特點(diǎn)和性質(zhì)以

13、及它們的應(yīng)用給我們解決問題帶來的方便；接下來我們舉例說明在相同情況下，分別應(yīng)用鏡像法和分離變量法的對(duì)比討論。 真空中有一半徑為R0的接地導(dǎo)體球，距球心為a(a>R0)處有一點(diǎn)電荷Q;求空間各點(diǎn)電勢(shì)。我們先用鏡像法來求解（如上圖），假設(shè)可以用球內(nèi)一個(gè)假想的點(diǎn)電荷Q來代替球面上感應(yīng)電荷對(duì)空間電場(chǎng)的作用，由對(duì)稱性可知，應(yīng)在連線上，關(guān)鍵是否能選擇的大小和位置使得球面上y0的條件得到滿足，對(duì)球面上任一點(diǎn)：由圖可知，只要選Q的位置使OQPOPQ 則:設(shè)距球心為b,兩三角形相似的條件為：又則球外點(diǎn)的電勢(shì) 那么，用分離變量法求解此題又是怎樣的呢？ 如右圖點(diǎn)電勢(shì)由Q在點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)和球在點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)V之和，

14、即 而有關(guān)V的定解問題為： 因此，又由勒讓德母函數(shù)可知在球面上在球面上推出：得到:即上述分離變量法和鏡像法的研究相同情況下的同一問題的例子，通過分析得出用鏡像法能解決的問題，用分離變量法也可以解決；且從上面的例子可以知道用分離變量法顯然更加復(fù)雜，卻是一種最基本的方法。、結(jié)論 經(jīng)過以上討論，對(duì)求解邊界值問題的解析法中的鏡像法其實(shí)質(zhì)可表達(dá)為：在我們研究的區(qū)域之外，用一些假想的較簡(jiǎn)單的電荷分布來代替邊界上復(fù)雜的電荷分布（即導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷或介質(zhì)分界面的極化電荷）；根據(jù)唯一性定理，如果這些電荷和場(chǎng)區(qū)域原有的電荷一起產(chǎn)生的電場(chǎng)滿足原問題的邊界條件；那么，它們的電位疊加起來便得到我們所要求的電位解。 而

15、分離變量法的基本思想：把電位函數(shù)y用兩個(gè)或三個(gè)僅含一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)的乘積表示，代入偏微分方程后，借助分離常數(shù)，使原有的偏微分方程轉(zhuǎn)化為幾個(gè)常微分方程；然后，分別求解這些常微分方程并以給定的邊界條件確定其代定常數(shù)和函數(shù)，最終得到電位函數(shù)解。 在這里我們可以為分離變量法的一般步驟作個(gè)歸納： (1)、按給定區(qū)域的形狀選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使場(chǎng)域的邊界面與適當(dāng)坐標(biāo)面相吻合；并寫出靜電場(chǎng)邊值問題在該坐標(biāo)系中的試解表達(dá)式。 (2)、將可分離變量的試解代入偏微分方程，通過分離變量轉(zhuǎn)化為常微分方程。 (3)、解各常微分方程，然后利用疊加原理組成拉普拉斯方程的通解，通解中含有分離常數(shù)和待定常數(shù)。 (4)、由邊界條件和初始條件可以確定分離常數(shù)和待定常數(shù)，得到問題的唯一確定解。 綜合上述分離變量法和鏡像法的研究相同情況下的同一問題的例子，通過分析得出用鏡像法能解決的問題，用分離變量法也可以解決；但用分離變量法能解 決的問題用鏡像法卻未必能解決(例如求均勻電場(chǎng)中介質(zhì)球的電勢(shì)問題等)。參 考 文 獻(xiàn) 1梁昆淼 數(shù)學(xué)物理方法 高等教育出版社 1998年6月第三版 2郭碩鴻 電動(dòng)力學(xué) 高等教育出版社 1997年7月第二版 3張三慧 電磁學(xué) 清華大學(xué)出版社 1999年12月第二版 4謝處方、饒克謹(jǐn)電磁場(chǎng)與電磁波 高等教育出版社