全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(初1)第07講含絕對(duì)值的方程及不等式

1、第七講含絕對(duì)值的方程及不等式從數(shù)軸上看，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離.但除零以外，任一個(gè)絕對(duì)值都是表示兩個(gè)不同數(shù)的絕對(duì)值.即一個(gè)數(shù)與它相反數(shù)的絕對(duì)值是一樣的.由于這個(gè)性質(zhì)，所以含有絕對(duì)值的方程與不等式的求解過程又出現(xiàn)了一些新特點(diǎn).本講主要介紹方程與不等式中含有絕對(duì)值的處理方法.一個(gè)實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值記作|a|,指的是由a所唯一確定的非負(fù)實(shí)數(shù)：必當(dāng)a。時(shí)jIaI=t0,當(dāng)鼻=0時(shí)q-冬當(dāng)艮0時(shí).L含絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)：IaIIbI0心IbI或哀-IbI,O-IaI«IaI?|a|-|b|v|a+b|vIaI+IbI;|a|-|b|v|a-b|vIaI+IbI.由于絕對(duì)值

2、的定義，所以含有絕對(duì)值的代數(shù)式無法進(jìn)行統(tǒng)一的代數(shù)運(yùn)算.通常的手法是分別按照絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式取值的正、負(fù)情況，脫去絕時(shí)值符號(hào),轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的代數(shù)式進(jìn)行運(yùn)算,即含有絕對(duì)值的方程與不等式的求解，常用分類討論法.在進(jìn)行分類討論時(shí)，要注意所劃分的類別之間應(yīng)該不重、不漏.下面結(jié)合例題予以分析.例1解方程|x-2|+|2x+1|=7.分析解含有絕對(duì)值符號(hào)的方程的關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)，這可用“零點(diǎn)分段法即令乂-2=0,+1=0,分別得到宴=2,篡=，用2,將數(shù)軸分成三段:黃)2,-然后在每一段上去掉絕對(duì)值符號(hào)再求解.解(1)當(dāng)x2時(shí)，原方程化為(x-2)+(2x+1)=7,解之得*所以在所給的范圍幺2之

3、內(nèi)，烹二,是原方程的解.當(dāng)。上<2時(shí)，原方程化為-(x-2)+(2x+1)=7.解之得意=4,它不在-14乂<2的范圍內(nèi)，所以x=4不是原方程的解,應(yīng)舍去.(3)當(dāng)只-g時(shí)，原方程化為-(x-2)-(2x+1)=7.解之得總之2在所給的范圍支之內(nèi)n所以K=-2是原方程的解.Q綜上，原方程的解為瞿三；或裳=.說明若在x的某個(gè)范圍內(nèi)求解方程時(shí)，若求出的未知數(shù)的值不屬于此范圍內(nèi)，則這樣的解不是方程的解，應(yīng)舍去.例2求方程|x-|2x+1|二3的不同的解的個(gè)數(shù).分析此方程有兩層絕對(duì)值符號(hào)，先由止*1=國(guó)融=二，然后分別對(duì),UB卷X>.1?宜工一:考慮去掉里層的絕對(duì)值符號(hào)，使得方程轉(zhuǎn)訛

4、為只含有一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的方程.然后再去掉外層的絕對(duì)值符號(hào)求解.Ix-(2x+1)|=3,解(1)當(dāng)三二-1時(shí)，原方程化為I£I=3,無解.(2)當(dāng)區(qū)-時(shí)，原方程化為即|1+x|=3,所以x=2或x=-4.結(jié)合K>-g,知£=d應(yīng)舍去.(3)當(dāng)我時(shí)，原方程化為Ix+(2x+1)|=3,即|3x+1|=3,24所以k=-=3-ip結(jié)合,知堂二耳應(yīng)舍去.kidr綜上，所求方程的解只有乳二2或笈=:兩個(gè)解.所以原方程不同的解3的個(gè)數(shù)為2.例3若關(guān)于x的方程|x-2|-1|二2有三個(gè)整數(shù)解.則a的值是多少？解若a<0,原方程無解，所以a>0.由絕對(duì)值的定義可知|x-

5、2|-1=±a,所以|x-2|=1±a.(1)若a>1,則|x-2|=1-a<0,無解.|x-2|=1+a,x只能有兩個(gè)解x=3+a和x=1-a.(2)若0&a&1,則由|x-2|=1+a,求得x=1-a或x=3+a；由|x-2|=1-a,求得x=1+a或x=3-a.原方程的解為x=3+a,3-a,1+a,1-a,為使方程有三個(gè)整數(shù)解，a必為整數(shù)，所以a只能取0或1.當(dāng)a=0時(shí)，原方程的解為x=3,1,只有兩個(gè)解，與題設(shè)不符，所以aw0.當(dāng)a=1時(shí)，原方程的解為x=4,0,2,有三個(gè)解.綜上可知，a=1.例4已知方程|x|=ax+1有一負(fù)根，且無

6、正根，求a的取值范圍.解設(shè)x為方程的負(fù)根，則-x=ax+1,即-1=一r<0.a+1所以應(yīng)有a>-1.反之，a>-1時(shí)，原方程有負(fù)根.設(shè)方程有正根x,則x=ax+1,即所以a<1.反之，a<1時(shí)，原方程有正根.工+于 2 rr's綜上可知，若使原方程有一負(fù)根且無正根，必須a>1.5、 3、y»->0-x+2y>0,乙U分析從絕對(duì)值的意義知笈+于25232、3、+ 2y兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)和為零時(shí)，這兩個(gè)實(shí)數(shù)必須都為零.解由題設(shè)有tx+y25.、丁一/一丁。，+270-由有k=-1-把代入得4-3y+y25三一”解之得y=-3,所以x=4

7、.故有x+y=4-3=1.例6解方程組|IxyI=1.(D|+2IyI=3,0分析與解由得x-y=1或x-y=-1,即x=y+1或x=y-1.與結(jié)合有下面兩個(gè)方程組CIO=3.解（I）:把x=y+1代入|x|+2|y|=3得Iy+1I+2IyI=3.24去絕對(duì)值符號(hào)，可得y或F=g再將其代入K=y+1,可求出方程組（I）的解為同理，解（R）有故原方程組的解為例7解方程組I瓦-yI=工+y-2I堂I=笈42.解由得x+y=|x-y|+2.因?yàn)閨x-y|0,所以x+y>0,所以|x+y|=x+y.把代入有x+y=x+2,所以y=2.將之代入有|x-2|二x,所以x-2=x,或x-2=-x.無

8、解，所以只有解得x=1.故為原方程組的解.說明本題若按通常的解法，區(qū)分x+y>0和x+y<0兩種情形，把方程分成兩個(gè)不同的方程x+y=x+2和-(x+y)=x+2,對(duì)方程也做類似處理的話，將很麻煩.上面的解法充分利用了絕對(duì)值的定義和性質(zhì)，從方程中發(fā)現(xiàn)必有x+y>0,因而可以立刻消去方程中的絕對(duì)值符號(hào)，從而簡(jiǎn)化了解題過程.例8解不等式|x-5|-|2x+3|<1.分析美犍也是去掉絕對(duì)值符號(hào).分三個(gè)區(qū)間討論士<x<5,x>5.解(1)當(dāng)工時(shí),原不等式化為-(x-5)-(2x+3)<1,解之得卷-3結(jié)合兌(故鬟<門是原不等式的解'當(dāng)-得瞿

9、45時(shí)，原不等式化為-(x-5)-(2x+3)<1,131解之得宣結(jié)合-=<K5,故是原不等式的解;口U-Jr(3)當(dāng)x>5時(shí)，原不等式化為x-5-（2x+3）<1,解之得x>-9,結(jié)合x>5,故x>5是原不等式的解.綜合（1）,（2）,（3）可知,登門或門!是原不等式3的解.例9解不等式10|3x-5|<2.分析與解此不等式實(shí)際上是fI3x-5I>h"I3法-5l42.解對(duì)|3x-5|>1:（1）當(dāng)黑/時(shí)，轉(zhuǎn)訛為我.5>1,所以s>2是的解.（2）當(dāng)笈時(shí)，轉(zhuǎn)化為-（耳>L所以.3笈>一4,即Kg是0

10、的解.所以的解為電）2或乂<：.對(duì)|3x-5|<2:（3）當(dāng)望時(shí)，轉(zhuǎn)化為%-M3所加所以|發(fā)（是的解.（4）當(dāng)我<；時(shí)，轉(zhuǎn)化為.（加59,所犯L所以1瞿v|是的解.所以的解為所以與的公共解應(yīng)為即原不等式的解為14史或2<發(fā)<：.A3例10解不等式|x+3|-|x-3|>3.解從里往外去絕對(duì)值符號(hào)，將數(shù)軸分為x<-3,-3<x<3,x>3段來討論，于是原不等式化為如下三個(gè)不等式組.f1)六31-(x+3)+(笈-3)1110+3)4一3)1>：0+3)-U-3;1>3由得七；3,即由得即二心<一73由得。>工k即

11、綜上可知n原不等式的解為我V說明本題也可以由外向內(nèi)去絕對(duì)值符兩個(gè)不等式(1區(qū)十3兀-31<一3.1I.-3I>3>3；x<-3.:或彳。<3.Lax>3.或乂3.號(hào)，由絕對(duì)值的意義，解卜面3,分別解出和即可，請(qǐng)同學(xué)們自己完成這個(gè)解法.例11當(dāng)a取哪些值時(shí)，方程|x+2|+|x-1|二a有解？解法1當(dāng)x0-2時(shí)，|x+2|+|x-1|=-2x-1>-2(-2)-1=3.(2)當(dāng)-2<x<1時(shí)，Ix+2|+|x-1|=x+2-x+1=3.當(dāng)x>1時(shí)，Ix+2|+|x-1|=2x+1>21+1=3.所以，只有當(dāng)a3時(shí)，原方程有解.解法2按照絕對(duì)值的性質(zhì)|a-b|<|a|+|b|,故|x+2|+|x-1|>|(x+2)-(x-1)|=3.其中等號(hào)當(dāng)-2Wx01時(shí)成立，所以當(dāng)a3時(shí)，原方程有解.練習(xí)七1 .解下列方程：|x+3|-|x-1|=x+1;II1+x|-1|=3x;(3) |3x-2|-|x+1|=