二次曲線的漸近方向ppt課件

1、5.1 5.1 二次曲線與直線的相關(guān)位置二次曲線與直線的相關(guān)位置第五章第五章 二次曲線的普通實(shí)際二次曲線的普通實(shí)際5.2 二次曲線的漸近方向、中心、漸近線二次曲線的漸近方向、中心、漸近線5.3 二次曲線的切線二次曲線的切線5.4 二次曲線的直徑二次曲線的直徑5.5 二次曲線的主直徑和主方向二次曲線的主直徑和主方向5.6 二次曲線方程的化簡與分類二次曲線方程的化簡與分類5.7 運(yùn)用不變量化簡二次曲線的方程運(yùn)用不變量化簡二次曲線的方程第五章第五章 二次曲線的普通實(shí)際二次曲線的普通實(shí)際教學(xué)安排闡明教學(xué)安排闡明122.3.1.2.課時(shí)通過本章的學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解二次曲線和直線的相關(guān)位置；掌握二次曲線的漸

2、近方向、漸近線、中心、切線等概念；掌握二次曲線的直徑、方向等；熟悉二次曲線的化簡和分類。1.二次曲線的漸近方向、漸近線、中心、切線等概念；二次曲線的直徑、方向等；二次曲線的化簡和分教學(xué)時(shí)數(shù)：本章教學(xué)目標(biāo)及要求：本章教學(xué)重點(diǎn) 本章教學(xué)難類。二次曲線的相關(guān)理論； 二次曲線的化點(diǎn)簡和分類。5.1 5.1 二次曲線與直線的相關(guān)位置二次曲線與直線的相關(guān)位置2課時(shí)二次曲線與直線的相關(guān)位置；1.二次曲線與直線的相關(guān)位置的討論； 2.一些符合的記憶。 1.理解并記憶一些符合； 2.掌握二次曲線與直線的相關(guān)位置； 3.熟悉二次曲線與直線的相關(guān)位置的條件； 教學(xué)時(shí)數(shù)：教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)目標(biāo)：4.培養(yǎng)學(xué)生分析

3、問題和解決問題的能力。引論引論一、平面上的二次曲線221112221323332220(1)a xa xy a ya xa y a。其一般形式是：平面上由二元二次方程所表示的曲叫做二次曲。線線( , )1x yxy如果點(diǎn)的坐標(biāo)中有虛數(shù)，我們?nèi)匀徽J(rèn)為它表示平面上的一點(diǎn)，并把它叫做虛點(diǎn)； 相對于把 、都是實(shí)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)叫做實(shí)點(diǎn)； 實(shí)點(diǎn)和虛點(diǎn)統(tǒng)稱為復(fù)點(diǎn)。我們把對應(yīng)坐標(biāo)為共軛虛數(shù)的點(diǎn)叫做共.復(fù)點(diǎn)：軛虛點(diǎn)。二、平面上的虛元素如圓、曲、物等。橢圓雙線拋線111222121212( ,)()14,1MMx yxyxxyyMM Mxy設(shè)、為兩個(gè)復(fù)點(diǎn)，則點(diǎn)分成定比 的坐標(biāo)是、.定比分點(diǎn)公式：。C0A B CAxB

4、y 若 、 、 與三個(gè)實(shí)數(shù)成比例, 則方程為實(shí)直線，否則為虛直線。 虛直線和實(shí)直線統(tǒng)稱為復(fù)直線。 只討論實(shí)系數(shù)方程， 它表示的曲線上可3.復(fù)直線：能有虛點(diǎn)。11122221211212(,),(,)2MMxyxyM MxxyyM M設(shè)是平面上的兩個(gè)復(fù)點(diǎn)，且的坐標(biāo)，中至少有一個(gè)為虛數(shù)，稱為虛向量。相對于虛向量前面所講的向量稱為實(shí)向量。虛向量、實(shí)向量統(tǒng)稱為.復(fù)向量：復(fù)向量。2. 復(fù)向量復(fù)向量0000(,):XxxtxyX YyyYt過點(diǎn)且方向?yàn)榈闹薄５膮?shù)方程為線三、一些記號(hào)三、一些記號(hào)22111222132333( , )222Fx ya xa xya ya xa ya；1111213( ,)F

5、x ya xa ya；2122223( ,)Fx ya xaya；3132333( ,)Fx yaxaya；22111222( , )2x ya xa xya y；1112*1222( , )xaaAyaa叫的矩陣；111213122223132333( , )aaaAaaaF x yaaa叫的矩陣；11122Iaa；111221222aaIaa；1112133122223132333=aaaIaaaaaa；11132223113332333=aaaaKaaaa。123( , )( , )( , )( , )FFFFx yxx yyx yx y可以驗(yàn)證：。22111222132333( ,)2

6、220(1)Fxya xa xya ya xa ya 下面我們二次曲討論線111222221101200220130230332221101201312022023(2)2(222)03()()XXYYXaaata xa yaa xa yaY ta xa x ya ya xa ya（ ） 即：5.1 5.1 二次曲線與直線的相關(guān)位置二次曲線與直線的相關(guān)位置200100200(, )2(,)0(,)(,)X Y tFXFtFxyxy Yxy(4)0000(2)(,):(2)(1)Xxxtx yX YyyYtt和過點(diǎn)且方向?yàn)榈闹眳?shù)方程的交情況。我們先把方程代入方程，整理得關(guān)于 的方程：（）線點(diǎn)t

7、下面我們這個(gè)于 的方程，從而了解(1)和(2)的交點(diǎn)情況。討論關(guān)一、一、(X,Y)0(X,Y)0的情況的情況200100200,()2(,) 0(,)(,)X YXtFFY t F x yx yx y+對方程210020000,0(4)4(,)(,)4,(,)X YtF xyXFxy YX Y F xy當(dāng) （）時(shí)：方程是關(guān)于 的二次方程，判別式（）。12(4)(210)(.)1tt 方程有兩個(gè)不等的實(shí)根 與 ，直線與二次曲線有兩個(gè)不同的：實(shí)交點(diǎn)；12(4)(210)(2).tt 方程有兩個(gè)相同的實(shí)根 與，直線與二次曲線有兩個(gè)重合的：實(shí)交點(diǎn)；(4)(2)30. 方程有兩個(gè)共軛虛根，直線與二次曲線

8、(1)有兩個(gè)共軛的：虛交點(diǎn)。222222/410/413 +2401+20 xyxyxyxyxyx y 都是兩個(gè)交點(diǎn)：。如和有兩個(gè)不同的實(shí)交點(diǎn)；和有兩個(gè) 共同點(diǎn)重合的實(shí)交點(diǎn)；和有兩個(gè)共軛的虛交點(diǎn)。100200(,)(,)0(2)(1)1XFFYxyxy當(dāng).時(shí)：直線與二次曲線有唯一的實(shí)交點(diǎn)；10020000( ,)( ,)00(4)(2)(21)( ,)XF x yF x y YF x y當(dāng)且時(shí) ： 是矛盾方程，直線與二次曲線沒有交點(diǎn)；.10020000(,)(,)0(,) 0(4)(2)(1)3F x y X F x y YF x y當(dāng)且時(shí)：是恒等式，直線的全部在二次曲線上。.19014.P作

9、、業(yè)：二、二、(X,Y)=0(X,Y)=0的情況的情況200100200)(,(,)0.(, ) 02(,)(,)X Y tFX FY t F x yX Ytx yx y=+ 對方程當(dāng)時(shí)是關(guān)于 的一次方程， 又分三種情況：1.2.3.復(fù)元素； 記號(hào)；直線和二次曲線的相小結(jié)：關(guān)位置。2200 xyxy直線在曲線上.221yxy曲線和直線交于一點(diǎn).雙曲線和它的漸近線不相交.5.2 5.2 二次曲線的漸近方向二次曲線的漸近方向 中心中心 漸近線漸近線2課時(shí)二次曲線的漸近方向和漸近線；1.二次曲線的漸近方向的討論； 2.二次曲線的中心。 1.理解漸近方向、中心和漸近線； 2.掌握二次曲線的分類； 教學(xué)

10、時(shí)數(shù)：教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)： 3.熟悉有心和無心二次曲線教學(xué)目標(biāo)：的概念。復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)3.4.5.6.1.平面上的二次曲線； 2.復(fù)點(diǎn)；復(fù)向量；復(fù)直線；定比分點(diǎn)公式；一 一、概念：些記號(hào)。1.02030(,0.).X Y ：直線與二次曲線有兩個(gè)不同的實(shí)交點(diǎn)；：直線 與二次曲線有兩個(gè)重合的實(shí)交點(diǎn)；：直線與二次曲線有兩個(gè)共軛二、的虛交點(diǎn)。10020010020010020000001( ,)( ,)02( ,)( ,)003( ,)( ,)( ,) 0( ,0)F x y XF x y YF x y X F x y YF x y X F x y Y F x yF x yX Y.時(shí)， 直線與二次曲線有唯一

11、的實(shí)交點(diǎn)；、時(shí)， 直線與二次曲線沒有交點(diǎn)；時(shí)， 直線的全部都在二次曲線上。.、.三一、二次曲線的漸近方向一、二次曲線的漸近方向1,0:X YX Y ：滿足條件的方向叫做二次曲線(1)的漸近方向，否則叫做非漸 定義近方向。11122211222111221212112222122111122440:20(, ) 0+=0()2()():XXa XYYXX YYaX Ya XYa Yaaaaa aaaIaa 證：因二次曲線的二次項(xiàng)系數(shù)不能全為零，當(dāng)時(shí)，。1二次曲線的漸近方向總存在且最多定理 ：有兩個(gè)。22122220:=():IaYXaa同理：當(dāng)時(shí)，有。112212122122()= 002= 0

12、:0:11:00X YXYaaaaX YIa ， 當(dāng)時(shí)，有，則，故或，此時(shí)，所以定理成立。20:IXY 二次曲線的漸近方向是一對共軛虛方向，我們把沒有實(shí)漸近方向的二次曲定義2線叫橢(1)： 圓型的。22221.1xyab求橢圓的漸例近方向。 因?yàn)槎吻€的漸進(jìn)方向最多有兩個(gè)，而任意直線的方向有無數(shù)多個(gè)，所以二次曲線的非漸進(jìn)方向可以有無數(shù)多個(gè)。二次曲線按漸近方向的分類二次曲線按漸近方向的分類2222( , )00,:XYXaX YiabYbX Yabi虛漸近方向，將系數(shù)代入即，得=即橢圓的漸近方向?yàn)椋骸?21 0 xy 可驗(yàn)證：也另是橢圓型的。2222211/0001/aIba b因,解：故有一

13、對共軛20I 時(shí)有一個(gè)實(shí)漸近方向，有一個(gè)實(shí)漸近方向的二次曲線定義2(2)：叫拋物型的。二次曲線按漸近方向的分類二次曲線按漸近方向的分類222.ypx求拋物線的例漸近方向。2200001(, )00:1:0IX YYX Y因, 它有一個(gè)實(shí)漸近方向，這時(shí)即，得拋物 線的漸近方向?yàn)?解：。221020 xx 驗(yàn)證：，都例 ：是拋物型的。2210000(, )00:0:1IX YXX Y因?yàn)? 它有一個(gè)實(shí)漸近方向，這時(shí)即 ，得 解：漸近方向?yàn)?。二次曲線按漸近方向的分類二次曲線按漸近方向的分類22222222211/00,01/(, )00,:aIba bXYXaX YabYbX Yab因故它有兩個(gè)不同

14、的實(shí)漸近方向 ，這時(shí)即，得=即雙曲 解線的漸近方向?yàn)椋骸?20 xy另外可以驗(yàn)證：也是雙曲型的。22221.xyab求雙曲線的例3漸近方向。2220= 00III橢圓型（）拋物型（二次曲線）雙曲）可型（見：20I 時(shí)二次曲線有兩個(gè)實(shí)漸近方向，有兩個(gè)實(shí)漸近方向的二次曲線定義2(3)：叫雙曲型的。0(, )XY 當(dāng)時(shí)，非漸近方向的直線與二次曲線總有兩個(gè)交點(diǎn)，我們把這兩個(gè)交點(diǎn)的連線叫二次曲 定義3：線的弦。CC若點(diǎn) 是二次曲線的通過它的所有弦的中點(diǎn)， 則點(diǎn)叫二次曲 定義4：線的中心。000111022212210020000,(,)( , )0:( , )0( ,)(,)( ,)0,()2(,)(,

15、)(,)0X YC xyF x yCX YxXtLF x yMx yyYtMxyCM MLF xytF xyXF xy Y tF xyxy與 證：設(shè)是的中心，則過 以為方向的直線 :交于兩點(diǎn)、，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，將 代入得。12000000(,)0(,)( , )0(,)20FCFFx yx yx yx y點(diǎn)是：的理中心定。二、二、 二次曲線的中心二次曲線的中心推論推論12120000000000(,)()0(,)()X FYFX YFFxyxyxyxy故，因、 不同時(shí)為零，有，。反之也成立。，101120122022()xxXtxxxX ttxxXt因?yàn)?212() 0,)0,X ttY ttX

16、 Y同理又、 不同時(shí)為零( , ) 0( , ) 02,F x yF x yx y原點(diǎn)為的中心不含推論 ：的一次項(xiàng)。111312122223( , )000a xa yaF x ya x a y a二次曲線的中心的坐標(biāo)由下列方程組確定：推論1： 。0 x1201222xxXxtt ()120(1)tt ，11002002)()()(2)(,2,XFYFX Yxyxytt 另外，二次曲線按中心的分類二次曲線按中心的分類13111212222311121312222300( , )0aaaaaaa xa yaFa xa yax y 當(dāng)時(shí)， 方程組有無數(shù)多解，即有無數(shù)個(gè)中心?；蛏系狞c(diǎn)都是曲線1311

17、12122223aaaaaa無當(dāng)時(shí)方程組無解即沒有中心 ， 叫 心二次 曲線；線心的中二次心，這條曲線；直線叫中心直線。有一條中心直線的二次曲線叫我們把無心和線心二次曲線非中心二叫次曲線。2222I02I00.yxy中心二次曲線無心二次曲線， 如二次曲線非中心二次曲線線心二次曲可線， 如見：20I 當(dāng)時(shí)方程組有唯一解，即有一個(gè)中心，叫中心二次曲線；例例22232361080 xxyyxy 證明二次曲線有唯一中心，并求出中 例4：心坐標(biāo)。233031703501 31213,2322xyIxyxy 解方程, 因?yàn)椋远吻€有唯一中心，方程組的解為故中證明：心坐標(biāo)為 （） 。222+2620

18、xxyyxy考察二例5：次曲線的中心。211311011111I因?yàn)?，又，所以二次曲線解：為無心曲線。26 +50 xx例6：考察二次曲線的中心。2103100=00000150,1=5030Ixxxxx 因，又，故二次曲線為線心曲線。實(shí)際上方程可寫成 （）由兩直線0，組成，其中心軌跡和這兩 解：直線等距。三、漸近線三、漸近線120000000000000000:( , )0,()0(,)(,)(,)( ,)()0( ,)0( , ) 0( ,)( ,) 0( , ),0,XLXYXFYFLxxtX YYyytFC xyxyxyx yFF x yF x yC x yF x yLF x yx y

19、x y：，漸近線 因?yàn)闈u近線的方向滿足又因的中心符合 當(dāng)不在二次曲線上，即時(shí)與二次曲線沒有交點(diǎn) ；當(dāng)在二次曲線上即時(shí)，漸近線 的全部都在 曲線證：。0上。 23二次曲線與它的漸近線或沒有交點(diǎn)，或整條直線在這條二次、定理 ：曲線上。15過二次曲線的中心，且以漸近方向?yàn)榉较虻闹本€叫它的漸近線。顯然，橢圓型有兩條虛漸近線；雙曲型有兩條實(shí)漸近線；拋物型無漸近線或有一條實(shí)、定義 ：漸近線。例例195 1236P作業(yè)：、2222.+0 xyab求的例7漸近線。22222212211/00,01/( , )(1/)0( , )(1/)0:,aIba bF x ya xF x yb yxatxatX Yabi

20、ybitybit因故曲線是中心曲線，且有一對共軛的虛漸近方向 ，由中心條件得中心在原點(diǎn) （0,0） ，其漸近方向?yàn)橐虼藵u近方程 ,解：為。 所給的二次曲線的圖形是一個(gè)點(diǎn) （0,0） ，稱為點(diǎn)橢圓，在復(fù)平面上，它的漸近線是一對相交于原點(diǎn)的共軛虛直線。5.3 5.3 二次曲線的切線二次曲線的切線2課時(shí)二次曲線切線的求法；1.二次曲線切線的定義； 2.二次曲線切線的求法。 1.理解二次曲線切線的定義； 2.掌握二次曲線切線的求法； 教學(xué)時(shí)數(shù)：教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)難 3.熟悉二次曲線的奇點(diǎn)：教學(xué)目標(biāo)：點(diǎn)和正常點(diǎn)。復(fù)習(xí)復(fù)習(xí),:10X YX Y ：滿足條件的方向叫做二次曲線的漸近方向，否則叫做非漸定義 近方向。

21、1二次曲線的漸近方向總存在且最多定理 ：有兩個(gè)。()0,XY 當(dāng)時(shí)，非漸近方向的直線與二次曲線總有兩個(gè)交點(diǎn)，我們把這兩點(diǎn)的連線叫二次曲定義2：線的弦。CC若 是二次曲線通過它的所有定義弦的中點(diǎn) ， 則 叫二次曲線3：的中心。12000000( ,)( , )0( ,2)0( ,)0.CFFFx yx yx yx y是的中心且定理 ：4 過二次曲線的中心，且以漸近方向?yàn)榉较虻闹本€叫它的漸近線。顯然，橢圓型有兩條虛漸近線；雙曲型有兩條實(shí)漸近線；拋物型無漸近線或有一條實(shí)定義 ：漸近線。一、定義一、定義二、切線的求法二、切線的求法0000000(,)( , )=0MxyF x yx xXtMMyyYt

22、 設(shè)點(diǎn)是二次曲線上的點(diǎn)，求過的曲線的切線。而過的直線為210020000000100200()4,0(,)(,)4,(,)=0() 0()()0XXYYF xyXFxy YX Y F xyMF x yF x yFx y （）成為的切線的條件是：當(dāng)時(shí)，在上， 若直線和二次曲線相交于重合的兩點(diǎn)，則這條直線叫做二次曲線的切線，交點(diǎn)叫切點(diǎn)。若直線全部在曲線上，也稱它為二次曲線的切線，直線上的每一點(diǎn)都定義：是切點(diǎn)。切線的求法切線的求法002001001002002000010001000200200010000( ,)( ,)( ,)( ,)(,)(,)( ,)( ,) 0()()( ,)( ,)( ,

23、)FFFFFFxxyyF x yF x yx yx yX Yxy tMyyxy tx x F x yy y F x yx yxxx yx y 如果、不全為零，由式得 :，故過的切線是：或，即:()00100200(),0(,) 0(,)(,)0XXYYF xyF xyF xy 可見當(dāng)時(shí)， 是的切線，除了外，還有成立。1002000002(,)(,)0:(,)0FFxyxyX YMxyy如果時(shí)：式成為恒等式，切線方向不確定，這時(shí)過的任何直線都可視為二次曲線的切線。如在(0,0)點(diǎn)的切線。三、奇點(diǎn)和正常點(diǎn)三、奇點(diǎn)和正常點(diǎn)10020000(,)(,) 0(,)FFx yx yx y奇點(diǎn)和正常點(diǎn) 二次

24、曲線上滿足的點(diǎn)叫二次曲線的奇點(diǎn)，二次曲線的非奇點(diǎn)叫：正常點(diǎn)。( , )=0( , )=0( , )=0MF x yMMF x yMMF x y式 若是的正常點(diǎn)則過的切線為；若為奇點(diǎn)則過的切線不定，即過的每一條直線都是定理：的切線。22200 xyx二次曲線上一般都是正常點(diǎn)，個(gè)別情況才有奇點(diǎn)。例如：可以驗(yàn)證原點(diǎn) （0,0） 是二次曲線的奇點(diǎn)；上的點(diǎn)都是它的奇點(diǎn)。推論推論10020001000200100200300110120131202202313023033(,)(,)(,)(,)0 (,)(,)(,)0()()()0 xF xyyF xyx F xyy F xyxF xyyF xyF xy

25、x a xa yay a xa yaa xa ya 將式改寫成：，即，明故：證。11 0120022013023033()()()0a x xax yxya y yaxxayya即：。0011 0120022013023033( ,)( , )0()()()0M x yF x yMa x x ax yxya y yaxxayya若是的正常點(diǎn) 推論：，則過的切線方程為： 。22000000000( , )0( , )0222( , )0(,)F x yF x yxxyyxyx xx y xyy yxxyyF x yMxy比較二次曲線和它的切線方程可以發(fā)現(xiàn)：把中的、改寫成：、后就是在點(diǎn) 特點(diǎn)：處的

26、切線。222430(2 11, )xxyyxyA 求在的例 ：切方程。點(diǎn)線2210(0,2)xxy yM 求二次曲，的例切2：方程。線過點(diǎn)線00100000 20(1.2.(,)(,)0)()Mx x F x yyy F x yM直線和二次曲線有重合的兩點(diǎn)切線的定義直線的全部在二次曲線上過的切線的求法：正常點(diǎn)：切線為；奇點(diǎn)：過的任何直線都是二次曲線小結(jié)：的切線。例題例題200 13.P作、業(yè)：5.4 5.4 二次曲線的直徑二次曲線的直徑2課時(shí)二次曲線切線的直徑；1.二次曲線切線的直徑； 2.二次曲線切線的共軛方向。 1.理解二次曲線的共軛方向； 2.掌握二次曲線的直徑教學(xué)時(shí)數(shù)：教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)難

27、； 3.熟悉二次曲線點(diǎn)：教學(xué)的共目標(biāo)：軛直徑。復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): 若直線和二次曲線相交于重合的兩點(diǎn)，則這條直線叫二次曲線的切線，交點(diǎn)叫切點(diǎn)。若直線全部在曲線上，也稱它為二次曲線的切線，直線上的每一點(diǎn)定義都是切點(diǎn)。10020000(,)(,) 0(,)F x yF x yx y 二次曲線上滿足的點(diǎn)叫二次曲線的奇點(diǎn)，二次曲線的非奇點(diǎn)叫做奇點(diǎn)和正常點(diǎn)：它的正常點(diǎn)。( , )( , )MF x yMMMMF x y 若 是的正常點(diǎn)，則過的切線為；若 為奇點(diǎn)，則過的切線不定，把過的每一條直線定都視為理：的切線。0011 0120022013023033( ,)( , )()()()0M x yF x yMa x

28、 xax yxya y yaxxayya若是的正常點(diǎn) 推論，則過的切線方程為：。一、二次曲線的直徑一、二次曲線的直徑200000010020000120012)( , ) ( ,:0( ,):( ,)( , ) 02 ( ,)( ,) ( ,) 0(1)( ,)+ =XXYFXtFX FXX YYx yx xtX Yx yy ytx yYx yx y Y t F x yttx ytt 設(shè)是二次曲線的一個(gè)非漸近方向， 即， 而是平行于的弦的中心，則過點(diǎn)的弦為，與二次曲線兩交點(diǎn)由的兩根 與 確定。又因?yàn)闉橄业闹悬c(diǎn)，所以：0，從而有證1002001211121222132300( ,)( ,)0:(

29、 , )( , )0(2)()()0(3)( ,)FFXFFXYXYx yYx yX Yx yYx ya X a Y xaay aax y ，可見平行于方向的弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程整理化簡得：1： 二次曲線的一族平行弦的中點(diǎn)的軌跡定理是一條直線。11121222111222111212220000220()2()()(,)(,):,0:X Ya Xa Ya Xa YXa Xa XYa Ya Xa Y Xa Xa Y YXxyxyX YY 反之，若點(diǎn)滿足(2)式，則(1)中將有絕對值相等而符合相反的兩根，點(diǎn)就是具有方向的弦的中點(diǎn)，因此方程(2)為一族平行于某一非漸近方向的弦中點(diǎn)軌跡方程。方程(2

30、)的一次項(xiàng)系數(shù)不全為零， 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，這與Y是非漸近方向的假設(shè)矛盾，所以(2)是一個(gè)二元一次方程，是一條直線。二次曲線的直徑二次曲線的直徑. 1 二次曲線平行弦的中點(diǎn)軌跡叫做這個(gè)二次曲線的直徑， 它所對應(yīng)的平行弦，叫做共軛于這條直徑的共軛弦，而直徑也叫做共軛于平行弦方定義向的直徑。1211112132122223( , )( , )0(4)( , )=(5)( , )=(6)kF x ykF x yF x ya x a y aF x ya x a y a 若二次曲線的一族平行弦的斜率為 ，則共軛于這族平行弦的直徑方程是： 推論： 若00則：若(5)(6)表示兩條不同直線時(shí)，(4)上式就構(gòu)成一

31、直線束。推論推論131112122223(4)=aaaaaa 若(5)(6)表示同一直線，這時(shí)， 為一條直線；13111211121222122223(4)aaaaaaaaaa當(dāng)時(shí) (4)為中心直線束；當(dāng)為平行直線束；證明續(xù)證明續(xù)111213131112111213122223111213131112122223000(4)0(4)a xa yaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 若(5)(6) 中有一個(gè)為矛盾方程，比如中，這時(shí)成立，仍為一平行直線束；若(5)(6)有一個(gè)為恒等式，如，這時(shí)成立，只表示一條直線。11121222131112122223aaaaaaaaaa于 故即二次曲中心曲，

32、 它的全部直一中心直束， 該直束的中心即二次曲中心；即二次曲心曲, 其全部直于一平行直束。徑屬徑屬當(dāng)時(shí)線為線個(gè)線線線當(dāng)時(shí)線為無線個(gè)線定理定理2 22 中心二次曲線的直徑通過曲線的中心，無心二次曲線的直徑平行于曲線的漸近方向，線心二次曲線的直徑只有一條，就是曲線的中定理 ：心直線。11121312222312112212131112122223:0(0 )X Ya xa yaa xa yaaaaaaaaaaa其方向二次曲的近方向；，即二次曲心曲，這二次曲只有一直，它的方程是：或，即心二次曲的中心直。因此有：為線漸當(dāng)線為線線時(shí)時(shí)線條徑線線線二、共軛方向和共軛直徑二、共軛方向和共軛直徑1222111

33、2:():():=X Ya Xa Ya Xa YX YX Y 我把二次曲定：的與非近方向共直的方向叫做非近方向的共方向。們線漸軛漸軛義2 22122211122 21112221212221122 22222122211121122121112222,(, )() ,()0(,)()2()()()()(2)0,0X YXXXXXXXXXYIX Yaa Y tYaa Y ttX Yaaa Ytaaa Yaa Y taaa Yta aaaaa Yttt 所以有。其中，因此有：，因?yàn)闉榉菨u近方向，所以另外，因22,()()0000X YX YII此當(dāng)即二次曲線為中心曲線時(shí)，；當(dāng)。即二次曲線為非中心曲

34、線時(shí)，。 這就是說：中心二次曲線的非漸近方向的共軛方向仍然是非漸近方向，而在非中心二次曲線的情形是漸近方向。111222:()0 :X YXXXXYX YYYX YXXYaaaYYX Y: 由以上可知，二次曲線的非漸近方向和它的共軛方向的關(guān)系：，可知兩方向是對稱的。故對中心曲線來說，非漸近方向的共軛方向?yàn)榉菨u近方向，而的共軛方向?yàn)椤?2( , )22230:F x yxxyyxyX Y 求的共例3：軛于非漸近方向的直徑。20636P作業(yè)：共軛直徑共軛直徑22221xyab求例1：或曲的直。橢圓雙線徑3 中心曲線一對相互共軛方向的直徑叫一對共定義 ：軛直徑。22ypx例2：求物的直。拋線徑5.5

35、 5.5 二次曲線的主直徑和主方向二次曲線的主直徑和主方向2課時(shí)二次曲線的主方向和主直徑；1.二次曲線的主方向和主直徑； 2.二次曲線切線的特征根。 1.理解二次曲線的特征根； 2.掌握二次曲線的主方教學(xué)時(shí)數(shù)：教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)向； 3.熟悉二次曲線：教學(xué)目標(biāo)：的主直徑。復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): 1 二次曲線的一族平行弦的中點(diǎn)軌跡定理是一條直線。1. 二次曲線的平行弦中點(diǎn)軌跡叫做這個(gè)二次曲線的直徑，它所對應(yīng)的平行弦，叫做共軛于這條直徑的共軛弦；而直徑也叫做共軛于平行弦方定義向的直徑。2 中心二次曲線的直徑通過曲線的中心，無心二次曲線的直徑平行于曲線的漸近方向，線心二次曲線的直徑只有一條，就是曲線定理 ：中心

36、直線。12221112:):():XX YYa Xa Ya Xa YX Y=-: 我把二次曲的與非近方向共的直方向叫做非近方向的共方向。定：們線漸軛徑漸軛義2 23 中心曲線一對相互共軛方向的直徑叫一對共定義 ：軛直徑。一、定義一、定義二、主直徑與主方向的求法二、主直徑與主方向的求法22111222132333 ( , )2220F x ya xa xy a ya xa y a 設(shè)二次曲線121222111211121222:(1( , )( , ) 0:):():0:():()XFXXXXYXXx yYF x yYYaa YaaX YXXYYX Yaa Yaa Y.若為中心曲線，則與的非漸近

37、方向共軛的直徑為，設(shè)直徑方向?yàn)?，則由主方向的定義，成為主方向的條件是它垂直于它的共軛方向，在直角坐標(biāo)系下，由垂直的充要條成為中心二次曲線的主方向的條件是：件得代人上式得：。 二次曲線的垂直于其共軛弦的直徑叫二次曲線的主直徑，主直徑的方向與垂直于主直徑的方向都叫二次曲線的主方向。顯然，主直徑是二次曲線的對稱軸，故也叫二次曲線的軸，軸與曲線的交點(diǎn)叫曲線的義：頂點(diǎn)。定111212221112122221112121222:(1)=()0()00(2)0(3)XXXXXaa YX Yaa YYaa YXaaYaaX YIIaaY 故成為中心二次曲線主方向的條件是改寫成，它是關(guān)于 、 的齊次線性方程組，

38、而、不全為0，所以，即因此對中心二次曲線，求出 代人方程得主方向。11121122122211121222111211221222111212222:():():XYXX YaaaaXYaaaaaaaaYaaaa. 若二次曲線為非中心二次曲線，則它的任何直徑的方向總是它的唯一的漸近方向，而垂直于它的方向顯然為，所以非中心二次曲線的主方向?yàn)闈u近主方向，非漸近主方向。主方向主方向主直徑主直徑2212111220005 1:5 15 2XXYYIIIaaX Y 若把推廣到非中心二次曲線，即式中的可取零，當(dāng)時(shí)方程的兩根是，把它代人式所得的主方向，正是非中心二次曲線的漸近主方向與非漸近主方向。因此，一個(gè)

39、方向成為二次曲線的主方向的條件是成立，這里的 是方程的根。2120( , )01 IIF x y 方程叫做二次曲的特征方程，它的根叫做二次曲的特征根。二次曲的特征方程求出特征根，代人5，得到相的主方向，若主方向非近方向，就能得到共于它的主直。線線從線應(yīng)為漸則軛徑三、特征根三、特征根00 由二次曲特征根 確定的主方向，二次曲的非近主方向；定理3:二次曲的近主方向。線當(dāng)時(shí)為線漸當(dāng)時(shí)為線漸二次曲線的特征根不能定理2:全為零。221211222124()40IIaaa 因?yàn)樘卣鞣匠痰呐袆e式，故二次曲線的特征證：根都是實(shí)數(shù)。122112211221211122230000IIaaa aaaaa 若二次曲

40、的特征根全零, 由5得,證:即與，而與二次曲的定矛盾，故它的根不能全零。 線為則從這線義為二次曲線的特征根都定理1:是實(shí)數(shù)。定理定理4 4222211122211121222( , )2():)(XYa Xa XY a Ya X a Y Xa X a Y YXY證22()0( , ) 0:0( , ) 0:XXXYX YYX YYX Y。 又 、不全為零， 故當(dāng)時(shí)，是二次曲線的非漸近主方向；當(dāng)時(shí)，是二次曲線的漸近主方向。中心二次曲線至少有兩條主直徑， 非中心的只有一條定理4:主直徑。21211 24.2III，證：由特征根方程解得特征根：2221211221211231211224()40,0

41、(0)5 1IIaaaaaaaa,則,這時(shí)的中心曲線為圓,它的特征根為一對二重根:把它代人,則得:X Y到兩個(gè)恒等式,它被任何方向所滿足,故任何實(shí)方向都是圓的非漸近主方向,從而通過圓心的任何直線不僅都是直徑,而且都是圓的主直徑。20Ip二次曲中心曲，若特征方程的 判式：1. 當(dāng)線為線時(shí)別1222221211221212112111122121112111122121221122212:=4()405 1:,:X YXYXYIIaaaaaaaaaaaaaaa 若特征方程的判別式，則特征根為兩個(gè)不等的非零實(shí)根 ，將它們代人得相應(yīng)兩非漸近主方向?yàn)椋?) ()()（）（）（）這兩主方向相互垂直，從而它

42、們又互相共軛，故非圓的中心二次曲線有且只有一對相互垂直又共軛的主直徑。2111222111222.0,0.Iaaaa當(dāng)二次曲線為非中心曲線時(shí), 這時(shí)兩特征根為:故它只有一個(gè)非漸近主方向, 即相應(yīng)的主方向, 從而非中心二次曲線只有一條主直徑。22( , )10F x yxxyy 求的主方向與例1：主直徑。212P1 234.、作、業(yè)：小結(jié)小結(jié)5.6 5.6 二次曲線方程的化簡與分類二次曲線方程的化簡與分類2課時(shí)二次曲線的化簡和分類；1.二次曲線的化簡； 2.二次曲線的分類。 1.理解二次曲線的坐標(biāo)變換； 2.掌握二次曲線的化簡； 3.熟悉二次曲線的分類； 4.教學(xué)時(shí)數(shù)：教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)目

43、熟悉二次曲線坐標(biāo)變換的步驟和標(biāo)：基本原則。復(fù)習(xí)復(fù)習(xí). 二次曲線的垂直于其共軛弦的直徑叫二次曲線的主直徑，主直徑的方向與垂直于主直徑的方向都叫二次曲線的主方向顯然，主直徑是二次曲線的對稱軸，故也叫二次曲線的軸，軸與曲線的交點(diǎn)叫曲義：線的頂點(diǎn)。定00 由二次曲特征根 確定的主方向，二次曲的非近主方向；定理3：二次曲的近主方向。線當(dāng)時(shí)為線漸當(dāng)時(shí)為線漸 中心二次曲線至少有兩條主直徑，而非中心的只有一條定理4:主直徑。二次曲線的特征根都定理1:是實(shí)數(shù)。二次曲線的特征根不能定理2:全為零。一、平面直角坐標(biāo)變換一、平面直角坐標(biāo)變換1 1、坐標(biāo)變換公式、坐標(biāo)變換公式000000() ( ,)(1)(,)cos

44、sincos+ sin(2)sincos- sincosx yx yxxxxxxyyyyyyx yxxyxxyyxyyxy 若平面一的坐與新坐分， 、，移公式：，或(1 )其中新坐系原在坐系中的坐。公式：或內(nèi)點(diǎn)舊標(biāo)標(biāo)別為則軸為為標(biāo)點(diǎn)舊標(biāo)標(biāo)轉(zhuǎn)軸為(2 )式中的坐的旋角。為標(biāo)軸轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換公式續(xù)坐標(biāo)變換公式續(xù)OOxyxy 一般由坐系新坐系可分步完成：標(biāo)變?yōu)闃?biāo)兩舊(1)OOx y 先移使坐原移到新坐原完成坐系；軸標(biāo)點(diǎn)標(biāo)點(diǎn)標(biāo)(2)OOx yx y 然后由渡坐系構(gòu)成新坐系。以上步合并后的一般坐公式：過標(biāo)轉(zhuǎn)軸標(biāo)兩標(biāo)變換為000000cossin+(3)sincoscossin(cossin)(3).sinc

45、os(sincos)xxyxyxyyxxyxyyxyxy ，或OyxxyxOM2222:0ClA xB x1111:0ClAxB xy2 2、由給定的新坐標(biāo)軸確定的坐標(biāo)變換、由給定的新坐標(biāo)軸確定的坐標(biāo)變換 確定坐，除了移 和外， 可以有其它方法。 如定了新坐 系的在 坐 系中的方程，并 定了一的正向，就可確定又一種坐公式。標(biāo)變換軸 轉(zhuǎn)軸還給標(biāo)兩軸 舊 標(biāo)規(guī)個(gè)軸標(biāo)變換11112222121210,00 xOyl Ax B y Cl A x B y CAABBl 在坐系里定了相互垂直的直：，其中，若取直新坐系中設(shè)標(biāo)給兩線線 為標(biāo)22,|OOOxlyMx yx yxM x yyMl的而直,并平面上任

46、意的坐與新坐分是( , )與( , ) 。因是( , )到的距離，也就是到 的距離（如）橫軸線 為縱軸設(shè)點(diǎn)舊標(biāo)標(biāo)別為點(diǎn)軸點(diǎn)圖211222222221111sin ,sincos(4)(4)BABABABABxy 數(shù)應(yīng)數(shù)號(hào)選這兩項(xiàng)數(shù)號(hào)，所以中的第一式右端 的系與第二式右端的系相等，所以的符取要使得的系同。坐標(biāo)變換續(xù)坐標(biāo)變換續(xù)222111222222112222222111221122222|,|(4)(4)(3)(4)cosA xB yCAxB yCABABxyA xB yCxABAxB yCyABAAB 絕對號(hào)個(gè)標(biāo)變換為標(biāo)標(biāo)較來決號(hào) 故有同理。于是在去掉值符后，便得一坐公式使新坐系仍然是右手坐

47、系，可將式與公式比定中的符。因?yàn)?，例? 121.30220 xyxyxy 已知新例坐系的、的方程分與，求坐公式。標(biāo)軸別為標(biāo)變換225235222322235555(),yxyxyxyxyxyxyxyxM x yxyxy ，或，。 ， 的新坐，有，。根據(jù)上面的符取法得公式：解：設(shè)標(biāo)為則號(hào)選則變換為 種坐的方法常用在求得一般中心二次曲的主直的情下，用主直作新坐，把二次曲的方程化準(zhǔn)方程。這標(biāo)變換來線徑?jīng)r兩條徑為標(biāo)軸線為標(biāo)二、二次曲線方程的化簡和分類二、二次曲線方程的化簡和分類22111222132333( , )2220(5)GF x ya xa xya ya xa ya 我們想知道在二次曲線方程

48、 ：的移軸和轉(zhuǎn)軸中，方程系數(shù)的變化規(guī)律。2120022013023033221112221323331111121222221311 0120131002312022023202()()()2()2()02220,(,)(,axxyyayyaxxayyaa xa xya ya xa yaaaaaaaaa xa yaF x yaa xa yaF x ，化得：，里簡這0223311 0120022013 02303300(6)222(,)yaa xa x ya ya xa yaF x y 可得：02001100(,)()xxxF xx yyaxxyyy在移公式下新方程：軸為10020000(1)1

49、.2.2(,)2(,) 3.(,)F x yF xyF x y 移公式下二次曲的律： 二次系不；一次系與； 常定理1：。軸線變換規(guī)項(xiàng)數(shù)變項(xiàng)數(shù)變?yōu)閿?shù)項(xiàng)變?yōu)?0100200(,)(,) 0(,) 0,x yF x yF x y 當(dāng)為二次曲線(5)的中心時(shí),有且所以當(dāng)二次曲線有中心時(shí)，作移軸使新原點(diǎn)與二次曲線的中心重合，則在新坐標(biāo)系下二次曲線的新方程中就不再包含一次項(xiàng)。定理定理1 122111222132333cossinsincos(5)(2)2220 x xyy xya xa xya ya xa ya 把公式代入，得在公式下的二次曲的新方程，里：轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸線這2211111222221222111

50、222221112221313232313233333cos2sin cossin()sin cos(cossin)sin2sin coscos(7)cossinsincosaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 定理定理2 213132323132313231313232313237( )cossinsincoscossinsincos .aaaaaaaaaaaaaa 從中的,，中解出，得,251.2.23. 在轉(zhuǎn)軸 （ ） 下，方程 （ ） 的系數(shù)的變換規(guī)律為：二次項(xiàng)系數(shù)要改變。新方程的二次項(xiàng)系數(shù)僅與原方程的二次項(xiàng)系數(shù)及旋轉(zhuǎn)角有關(guān)，與一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)無關(guān)；一次項(xiàng)系數(shù)也改變。新方程的一次

51、項(xiàng)系數(shù)僅與原方程的一次項(xiàng)系數(shù)及旋轉(zhuǎn)角有關(guān)，與二次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)無關(guān)；常數(shù)定理 ：項(xiàng)不變。定理定理2 2證明續(xù)證明續(xù)1323aax y 則可看到，在轉(zhuǎn)軸下，二次曲線方程的一次項(xiàng)系數(shù)、的變換規(guī)律與點(diǎn)的坐標(biāo) 、的變換規(guī)律完全一致。當(dāng)原方程有一次項(xiàng)時(shí)，通過轉(zhuǎn)軸不能完全消去一次項(xiàng)；當(dāng)原方程無一次項(xiàng)時(shí)， 通過轉(zhuǎn)軸也不會(huì)產(chǎn)生一次項(xiàng)。12121222111222221112112212(5)00()sincos(cossin)0()sin22cos20cot2()/2(5)(5)aaaaaaaaaaaaxy 二次曲方程里若， 我常用使新方程中的。此只要取旋角 ，使即可。令，得：。因余切的值可以是任意，所以有足

52、，也就是可以適的消去中的。線們轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)為實(shí)數(shù)總滿說總經(jīng)過當(dāng)轉(zhuǎn)軸項(xiàng)三、確定坐標(biāo)變換步驟的根本原那么三、確定坐標(biāo)變換步驟的根本原那么5 因而無論對于何種類型的二次曲線，先轉(zhuǎn)軸總是可行的。對任何一條二次曲線的方程，都可以先移軸、后轉(zhuǎn)軸進(jìn)行坐標(biāo)變換，也可以先轉(zhuǎn)軸、后移軸進(jìn)行坐標(biāo)變換，兩種方法都可以將方程化簡。如果決定先轉(zhuǎn)軸，則根據(jù) （ ） 以確定坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角。2I 如果決定先平移，就得先確定把舊坐標(biāo)系的原點(diǎn)移到何處。對于中心二次曲線，我們一般把新坐標(biāo)系的中心定為曲線的中心，而中心可以先求出。但對于無心二次曲線，為了得到曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)該把新坐標(biāo)系的中心定為曲線的頂點(diǎn)，而頂點(diǎn)卻不易先求出。于是，我們在

53、利用坐標(biāo)變換對二次曲線的方程進(jìn)行化簡時(shí)，一般都按照下面的原則進(jìn)行：先根據(jù) 判斷曲線的類型。2200IIxy 若，曲線是中心型的，應(yīng)先求出中心，再移軸，然后轉(zhuǎn)軸； 若，曲線是非中心型的，先轉(zhuǎn)軸，消去交叉項(xiàng)后把所得的方程配方，一般就可以確定新坐標(biāo)系的原點(diǎn)，再移軸。 這里的原則可在一定程度上減少方程化簡的經(jīng)驗(yàn)證明：運(yùn)算量。四、二次曲線方程的化簡四、二次曲線方程的化簡四、二次曲線方程的化簡四、二次曲線方程的化簡2244121.0 xxyyxy 例2 化方程并。簡畫圖2233.1010210 xxyyxy化方。例程并作簡圖2254224114.280 xxyyxy簡圖化并作例。222.205xxyyxy

54、簡線化二次方程例曲。通過例題說明如何具體化簡二次曲線的方程。定理定理3 3221122331122222213221322332200200003a xa yaa aa ya xa aa yaa，；，；，。 通過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換， 二次曲線的方程總可化成下面三個(gè)簡化理 ：方程之：定一22111222132333132322200()1:00:1a xa xya ya xa yaaa 二次曲可分中心,心與心曲三，第一種情。已知二次曲中心曲，取它的一既共又相互垂直的主直作坐建立直角坐系。 二次曲在坐系下的方程 ：因原就是曲的中心，所以方程中有一次證，即其次，二次曲的主直即坐的方向與，：它 1線為無線

55、線類現(xiàn)況線為線時(shí)對軛徑為標(biāo)軸標(biāo)設(shè)線這樣標(biāo)為為這時(shí)點(diǎn)線沒項(xiàng)線兩條徑標(biāo)軸為們2212112223321122121122000aa xa yaIa aaa a互相共， 因此必有。所以曲的方程又因它是中心曲，故又有。軛 線為為線 定理定理4：經(jīng)過適當(dāng)?shù)剡x取坐標(biāo)系，二次曲線的方：經(jīng)過適當(dāng)?shù)剡x取坐標(biāo)系，二次曲線的方程總可以寫成下面程總可以寫成下面9種方式：種方式：290=y(重合直)。兩線定理定理4 4222211=xyab（） ；橢圓222221=xyab ()；虛橢圓222231)=xyab(曲；雙線222204=xyab()；點(diǎn)橢圓222250=xyab(相交直)；兩線262=ypx(物)；拋線2

56、27=ya (平行直)；兩線228=ya(平行共直)；兩軛虛線2321 2P（1） （2） 、（1作：）業(yè)（3）5.75.7運(yùn)用不變量化簡二次曲線的方程運(yùn)用不變量化簡二次曲線的方程2課時(shí)應(yīng)用不變量化簡二次曲線；1.二次曲線不變量的概念和結(jié)論； 2.化簡二次曲線。 1.理解二次曲線不變量的概念； 2.掌握應(yīng)用不變量化簡二次曲線； 3.熟悉無心曲線和線心曲線等曲線的分類； 教學(xué)時(shí)數(shù)：教學(xué) 4.熟悉重點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)目二次曲線化簡標(biāo)：的相關(guān)理論。復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)10020000(1)1.2.2 ( ,)2( ,)3.( ,).F x yF x yF x y 在移下，二次曲方程系的律：二次系不； 一次定系與

57、理1；常：軸線數(shù)變換規(guī)項(xiàng)數(shù)變項(xiàng)數(shù)變?yōu)閿?shù)項(xiàng)變?yōu)?21122331122222213221322332200200003 :a xa yaa aa ya xa aa yaa，；，；， 通過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換, 二次曲線方程總可化成下面三個(gè)簡化方程之一定：理49 ：通過適當(dāng)?shù)剡x取坐標(biāo)系，二次曲線的方程總可以定理寫成下面 種形式：1、坐標(biāo)變換公式一、不變量與半不變量一、不變量與半不變量111233111233( , )( , )( ,)(,)(,)(1)(1)F x yfTF x yF x yf aaaf aaafTf 設(shè)的系數(shù)組成一個(gè)非常值函數(shù) ，若經(jīng)過直角坐標(biāo)變換 ，變?yōu)闀r(shí)，有，則這個(gè)函數(shù) 叫做二次曲

58、線在直角坐標(biāo)變換 下的不變量。如果這個(gè)函數(shù)的值只是經(jīng)過轉(zhuǎn)軸變換不變，則這個(gè)函數(shù)叫做二次曲線在直角坐標(biāo)變換下的半定義1：不變量。221112221323330022111222132333( , )2220(1)cossin(1)( ,)sincos222F x ya xa xya ya xa yax xyxF xyy xyya xa x ya ya xa yaF 二次曲在任意定的直角坐系中的方程： 在直角坐：下，曲方程的左端，則多式設(shè)線給標(biāo)為設(shè)標(biāo)變換T線變?yōu)轫?xiàng)( ,)( , )x yF x y 也是二元二次多式， 它的每一系都可以用多式的系和坐的系表出。項(xiàng)個(gè)數(shù)項(xiàng)數(shù)標(biāo)變換數(shù)11121112111

59、22112212212221222,aaaaaaaaIIaaaaI =I 先在移軸下證明，在移軸下，二次曲線的二次項(xiàng)系數(shù)不變證，故：而111212311112221222111213111322233122223113332333132333(1),.aaI IIKIaaIaaaaaaaaaIaaaKaaaaaaa 二次曲線在直角坐標(biāo)變換下, 有三個(gè)不變量,與一個(gè)半不變量：:，定理1定理定理1 1證明續(xù)證明續(xù)220010000000000001100()22( , )( ,) 22220yxKxyKKyx yxx yF x yF x yxyy xx yx y 而通過移軸，變?yōu)?而這時(shí)恒，故(1)。1112131112131222231222233110120131202202313023033132333aaaaaaaaaaaaIa xa yaa xa yaa xa yaaaa。1112131112110120133122223