函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性（Word）

1、第三節(jié)函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性本節(jié)將討論函數(shù)項級數(shù)有關(guān)性質(zhì)。定義 1 設(shè) ，是集合E上的函數(shù)列，我們稱形為 +為E上的函數(shù)項級數(shù)，簡記為 。其中稱為第n項.+也記為. 記號中n可以用其它字母代之. 同研究常數(shù)項級數(shù)一樣，我們類似可以定義其收斂性。定義 2 設(shè)是集合E上的函數(shù)項級數(shù)，記=+，它稱為級數(shù)的部分和函數(shù)（嚴(yán)格地說是前n 項部分和函數(shù)）. 稱為的部分和函數(shù)列。如果在點收斂，我們也說在點收斂或稱為該級數(shù)的收斂點。如果在點收斂，我們稱在點絕對收斂。非常容易證明絕對收斂一定收斂。的收斂域也稱為該級數(shù)的收斂域。如果在點不收斂，我們說在點發(fā)散。如果在D上點態(tài)收斂于，我們稱在D上點態(tài)收斂于. 1 /

2、8稱為該級數(shù)的的和函數(shù)。稱為該級數(shù)關(guān)于前n 項部分和的余項. 稱為該級數(shù)的余項函數(shù)列. 如果在D上一致收斂于，我們稱在D上一致收斂于，或在D上一致收斂. 如果在D上內(nèi)閉一致收斂于，我們稱在D上內(nèi)閉一致收斂.用的進(jìn)行敘述將是： 設(shè)是D上函數(shù)項級數(shù)，是D上函數(shù)。 若對任意0，總存在一個正數(shù)正數(shù)N（只能依賴于，絕對不依賴于x），當(dāng)時，對一切的，總有，則稱該函數(shù)項級數(shù)在D上一致收斂于. 同樣一致收斂一定點態(tài)收斂.例 1 定義在（，+）上的函數(shù)項級數(shù)（幾何級數(shù)）的部分和函數(shù)是 .顯然當(dāng)|x|0,總存在正數(shù)N，使得當(dāng)正整數(shù)m，n，有 mnN時，對一切的xD,都有 。 .推論 在D上一致收斂的必要條件是在D

3、上一致收斂于0。 反之未必（請讀者舉例）.定理11. 9 在D上一致收斂的充分必要條件是其余項函數(shù)列一致收斂于0. 定理11. 10 （Weierstrass判別法）設(shè)是收斂的正項級數(shù)，是D上的函數(shù)項級數(shù)。如果，則在D上一致收斂。證明 因正項級數(shù)收斂，所以，任意0，存在正數(shù)N, 當(dāng) (mn) 時,.那么對任意 ，由Cauchy準(zhǔn)則，得證。例 在（，+）上一致收斂。定理11. 11 （Abel判別法）設(shè)函數(shù)項級數(shù)在D上一致收斂，函數(shù)列在D上一致有界，即存在常數(shù)M, 使得，如果關(guān)于n是單調(diào)的，那么 在D上一致收斂。證明 因一致收斂，所以任意0，存在正數(shù)N, 當(dāng) (mn) 時,對所有 。又 .由一致

4、收斂Cauchy準(zhǔn)則即證。定理11. 12 （Dirichlet判別法）設(shè)D上函數(shù)項級數(shù)的部分和函數(shù)列在D上一致有界，函數(shù)列在D上一致收斂于0，如果關(guān)于n是單調(diào)的，那么 在D上一致收斂。證明 因的部分和函數(shù)列在D上一致有界, 所以存在M0,使得滿足, 所以 . 又在D上一致收斂于0，所以任意0，存在正數(shù)N, 當(dāng) 時, 對所有。當(dāng) (mn) 時, 對所有 .又由Cauchy一致收斂準(zhǔn)則即證。 例 如果常數(shù)列單調(diào)收斂于0，那么在（0，2）上內(nèi)閉一致收斂。證明 數(shù)列收斂于0意味著關(guān)于x一致收斂于0，對任意（0，2）的子集a, b,當(dāng)記 M=min 0, 則任意a, b中的x，有 .所以 .由Diri

5、chlet判別法知道，原級數(shù)在（0，2）上內(nèi)閉一致收斂. 下面將給出與函數(shù)列相應(yīng)的一些性質(zhì)，不于證明：定理11. 13 （連續(xù)性）若函數(shù)函數(shù)項級數(shù)的每一項在區(qū)域D上都連續(xù)。如果在D上一致收斂于，則其和函數(shù)在D上也連續(xù)。即.定理11. 14 （逐項可積性）設(shè)函數(shù)列在上一致收斂，每一項在上都連續(xù), 則 .即積分與無限求和運算可交換。定理11.15 （逐項可微性）設(shè)函數(shù)列在上滿足：（1） 有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)；（2）點態(tài)收斂于；（3）一致收斂于，則在上可導(dǎo)，并且 ，即 . 也就是說在一定條件下，求導(dǎo)運算與無限求和運算交換順序。定理11. 16 設(shè)函數(shù)項級數(shù) 在區(qū)域D上點態(tài)收斂于，如果 （1） 在 D上連續(xù)；

6、（2）在D上連續(xù)；（3）對D上每個固定的x， 不變號，則 在D上一致收斂于.習(xí)題 11-31. 判別下列級數(shù)的一致收斂性1） ； 2）3） 4）；2. 設(shè)在(0, 1 )里單調(diào)增加, 0, (n=1,2,). 如果在 (0, 1 )里點態(tài)收斂,且有上界, 那么在(0, 1 )里一致收斂. 且 3. 證明 當(dāng)x 整數(shù)時收斂, 其和函數(shù)是為1的周期函數(shù), 并且當(dāng)x 整數(shù)時, 和函數(shù)連續(xù).4. 設(shè)在a, b上連續(xù)(n=1,2,), 在 (a, b1 )里一致收斂, 證明在a, b 上一致收斂. 5. 設(shè)是(0, 1)中的兩兩不同的數(shù)列, 討論在(0, 1)中的連續(xù)性.其中 .6. 證明在(0,+)上， 在0，1上非一致收斂.7. 證明在(0,+)內(nèi)