高中數(shù)學必修4公開課課件1.1.1--任意角教學教材

1、高中數(shù)學必修4公開課課件1.1.1-任意角跳水運動員向內(nèi)、向外轉(zhuǎn)體兩周半，這是多大角度跳水運動員向內(nèi)、向外轉(zhuǎn)體兩周半，這是多大角度? ?經(jīng)過經(jīng)過1 1小時，秒針、分針各轉(zhuǎn)了多少度？小時，秒針、分針各轉(zhuǎn)了多少度？想想用什么辦法才能推廣到任意角想想用什么辦法才能推廣到任意角? ?關(guān)鍵是用運動的觀點來看待角的變化關(guān)鍵是用運動的觀點來看待角的變化. .上述這些例子有的角不僅不在上述這些例子有的角不僅不在0 0360360范圍內(nèi)，而且有范圍內(nèi)，而且有方向方向, ,如何解決這一問題呢如何解決這一問題呢? ?有必要將角的概念及范圍推廣有必要將角的概念及范圍推廣. .一、任意角的概念一、任意角的概念 平面內(nèi)一

2、條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形叫做角置所成的圖形叫做角. .1.1.角的概念的推廣角的概念的推廣O OA AB B始邊始邊終邊終邊頂點頂點2.2.角的構(gòu)成要素角的構(gòu)成要素始邊始邊終邊終邊頂點頂點A AB BO O方向方向這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角. .正角：按正角：按逆時針逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角方向旋轉(zhuǎn)形成的角負角：按負角：按順時針順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角：一條射線沒有作零角：一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)任何旋轉(zhuǎn)形成的角形成的角任任意意角角規(guī)定：規(guī)定：oy二、象限角二、象

3、限角x思考思考1 1：為了進一步研究角的需要，我們常在直角坐標系為了進一步研究角的需要，我們常在直角坐標系內(nèi)討論角，并使角的頂點與原點重合內(nèi)討論角，并使角的頂點與原點重合, ,角的始邊與角的始邊與x x軸的非軸的非負半軸重合，那么對一個任意角，角的終邊可能落在哪些負半軸重合，那么對一個任意角，角的終邊可能落在哪些位置？位置？ 思考思考2: 2: 如果角的終邊在第幾象限，我們就說這如果角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限，或稱這個角就認為這個角不屬于任何一個象限，或稱這個角為軸線角為軸線角

4、. . 那么下列各角：那么下列各角：-50-50，405405，210210, -200, -200，-450-450分別是第幾象限角？分別是第幾象限角？-50 xyOxyO210-450 xyO405xyO-200 xyO第四象限角第四象限角第一象限角第一象限角第三象限角第三象限角第二象限角第二象限角軸線角軸線角思考思考3 3：銳角與第一象限角是什么關(guān)系？銳角與第一象限角是什么關(guān)系？ 鈍角與第二象限角是什么關(guān)系？鈍角與第二象限角是什么關(guān)系？ 直角與軸線角是什么關(guān)系？直角與軸線角是什么關(guān)系？銳角一定是第一象限角，第一象限角不一定是銳角銳角一定是第一象限角，第一象限角不一定是銳角.鈍角一定是第二

5、象限角，第二象限角不一定是鈍角鈍角一定是第二象限角，第二象限角不一定是鈍角.直角一定是軸線角，軸線角不一定是直角直角一定是軸線角，軸線角不一定是直角.思考思考4 4：第二象限角一定比第一象限角大嗎？第二象限角一定比第一象限角大嗎？ 象限角只能反映角的終邊所在象限，不能反映角的象限角只能反映角的終邊所在象限，不能反映角的大小大小. . 三、終邊相同的角三、終邊相同的角 思考思考1 1： -32-32，328328，-392-392是第幾象限角？是第幾象限角？ 這些角有什么內(nèi)在聯(lián)系？這些角有什么內(nèi)在聯(lián)系？3232-392-392 xyo o328328思考思考2 2：所有與所有與-32-32角終邊

6、相同的角，連同角終邊相同的角，連同-32-32角角 在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S S，你能用描述法表，你能用描述法表 示集合示集合S S嗎？嗎？ ooS= =-32 +k 360 ,kZ思考思考3 3：一般地，所有與角一般地，所有與角終邊相同的角，連同角終邊相同的角，連同角 在內(nèi)所構(gòu)成的集合在內(nèi)所構(gòu)成的集合S S可以怎樣表示？可以怎樣表示？ S=|=S=|=k360k360，kZkZ，即任一與角即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)與整數(shù)個周角的和個周角的和. .終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同

7、，終邊相同的角有無數(shù)多個，它們一定相同，終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差相差360360的整數(shù)倍的整數(shù)倍例例1.1.在在0 0360360范圍內(nèi)，找出與范圍內(nèi)，找出與-950-9501212角終邊相同的角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角角，并判定它是第幾象限角. . 關(guān)鍵是通過加減關(guān)鍵是通過加減360360的整的整數(shù)倍，在數(shù)倍，在0 0360360范圍范圍內(nèi)找到終邊相同的角內(nèi)找到終邊相同的角. ., , 思考思考4 4：終邊在終邊在x x軸正半軸、負半軸，軸正半軸、負半軸，y y軸正半軸、軸正半軸、 負半軸上的角分別如何表示？負半軸上的角分別如何表示？ 終邊在終邊在x x軸正半軸：軸正半軸：

8、= k= k360360，kZ kZ ； 終邊在終邊在x x軸負半軸：軸負半軸：= 180= 180k k360360，kZ kZ ；終邊在終邊在y y軸正半軸：軸正半軸：= 90= 90k k360360，kZ kZ ； 終邊在終邊在y y軸負半軸：軸負半軸：= 270= 270k k360360，kZ .kZ .例例2.2.寫出終邊在寫出終邊在y y軸上的角的集合軸上的角的集合. .解：解：在在0 0360360范圍內(nèi)，終邊在范圍內(nèi)，終邊在y y軸上的角有兩軸上的角有兩個，即個，即9090，270270角（圖角（圖1.1-61.1-6）. .因此，所有與因此，所有與9090角終邊相同的角構(gòu)

9、成集合角終邊相同的角構(gòu)成集合S S1 1=| |=90=90+k+k360360，kkZ,而所有與而所有與270270角終邊相同的角構(gòu)成集合角終邊相同的角構(gòu)成集合S S2 2=| |=270=270+k+k360360，kkZ,（圖（圖1.1-61.1-6）于是，終邊在于是，終邊在y y軸上的角的集合軸上的角的集合S=SS=S1 1SS2 2=| |=90=90+2k+2k180180，kkZ | |=90=90+180+180+2k+2k180180，kkZ =| |=90=90+2k+2k180180，kkZ | |=90=90+ +（2k+12k+1）180180，kkZ =| |=90

10、=90+n+n180180，nnZ.例例3.3.寫出終邊在直線寫出終邊在直線y=xy=x上的角的集合上的角的集合S S，并把，并把S S中適合中適合不等式不等式-360-360720720的元素的元素寫出來寫出來. .解：解：如圖如圖1.1-71.1-7，在直角坐標系中畫出直線，在直角坐標系中畫出直線y=x,y=x,可以發(fā)可以發(fā)現(xiàn)它與現(xiàn)它與x x軸的夾角是軸的夾角是4545, ,在在0 0360360 范圍內(nèi)，終邊范圍內(nèi)，終邊在直線在直線y=xy=x上的角有兩個：上的角有兩個： 4545,225,225. .圖圖1.1-71.1-7因此，終邊在直線因此，終邊在直線y=xy=x上的角的集合上的角

11、的集合S=S=| |=45=45+k+k360360,k,kZ | |=225=225+k+k360360,k,kZ =| |=45=45+k+k180180,k,kZ S S中適合不等式中適合不等式-360-360720720的元素是的元素是4545-2-2180180= -315= -315, ,4545-1-1180180= -135= -135, ,4545+0+0180180= 45= 45, ,4545+1+1180180= 225= 225, ,4545+2+2180180= 405= 405, ,4545+3+3180180= 585= 585. .思考是如何思考是如何變換的？

12、變換的？S=S=| |=45=45+2k+2k180180, , k kZZ| |=45=45+(2k+1)+(2k+1) 180180,k,kZZ =| |=45=45+ k+ k180180,k,kZZ1.1.下列說法正確的是（下列說法正確的是（ ）A.A.終邊相同的角一定相等終邊相同的角一定相等B.B.第一象限角都是銳角第一象限角都是銳角C.C.銳角都是第一象限角銳角都是第一象限角D.D.小于小于9090的角都是銳角的角都是銳角2.A=2.A=小于小于9090的角，的角，B=B=第一象限角，則第一象限角，則AB=AB=（ ）A.A.銳角銳角 B.B.小于小于9090的角的角C.C.第一象

13、限角第一象限角 D.D.以上都不對以上都不對C CD D3. 3. (2012(2012濟南高一檢測濟南高一檢測) )已知角已知角是第三象限角是第三象限角, ,則角則角-的終邊在（的終邊在（ ）A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限B B4.4.已知角已知角的終邊在下圖中陰影所表示的范圍內(nèi)（不包的終邊在下圖中陰影所表示的范圍內(nèi)（不包括邊界），那么括邊界），那么_._.x xy yOk 180180 gk 180 ,kZg1.1.角的概念推廣后，角的大小可以任意取值角的概念推廣后，角的大小可以任意取值. . 把角把角放在直角坐標系中進行研究，對于一個給定的角，放在直角坐標系中進行研究，對于一個給定的角，都有唯一的一條終邊與之對應(yīng)，并使得角具有代數(shù)都有唯一的一條終邊與之對應(yīng)，并