優(yōu)化設計孫靖民課后答案習題解答

1、第六章習題解答1.已知約束優(yōu)化問題:一- 22min f (x ) =(xi -2) (X2 -1)2s tg1(x ) = X 1 - x2 _ 0試從第k次的迭代點x （k） = L1 2Tg2(x ) = x1 x2-2.0x（k刊。并作圖畫出目標出發(fā)，沿由（-1 1）區(qū)間的隨機數(shù)0.562和-0.254所確定的方向進行搜索，完成一次迭代，獲取一個新的迭代點函數(shù)的等值線、可行域和本次迭代的搜索路線解1)確定本次迭代的隨機方向:o0.562Sr r0.5622 +0.25420.2541T0.5622 +0.2542=0.911-0.412T2）用公式：x（kW =x（k） +uSr 計算

2、新的迭代點。步長a取為搜索到約束邊界上的最大步長。到第二個約束邊界上的步長可取為2,則:k 1k_x =x1; Sr1 - -1 2 0.911 =0.822k 1kx2=x2= Sr2=2 2 (-0.412)=1.176即:0.8221.1761該約束優(yōu)化問題的目標函數(shù)的等值線、可行域和本次迭代的搜索路線如下圖所示。2 /cmin f（x）=4xi - X2 -1222s tgi（X） = x i X2 -25 . 0g2（X）- -xi -0g3（X ） = -X2 三 0試以Xi0 =2 iT ,X20 = 4 iT ,X30 = 331r為復合形的初始頂點，用復合形法進行兩次迭代計算

3、。解D計算初始復合形頂點的目標函數(shù)值，并判斷各頂點是否為可行點：x i=211=,f i=-5x 2-411=.f 2°=3x3-33=.f3-9經判斷，各頂點均為可行點，其中，x30為最好點，X；0為最壞點。2）計算去掉最壞點 X：后的復合形的中心點:0Xc1 :0二一 x iL i 1i =2二陰+3口=5”2也!3JJ 21周3）計算反射點xR（取反射系數(shù)口 =1.3）i 0 x , 00、 I25Xr =Xc +«(Xc -X2) = 1 2-律置經判斷xR為可行點，其目標函數(shù) 值fR = -20.694）去掉最壞點x20,由乂：，x30和xR構成新的復合形，在新的

4、復合形中xR為最好點，X；為最壞點，進行新的一輪迭代。5）計算新的復合形中，去掉最壞點后的中心點得：55 3O 3-1 - 27557 1 一1卜6）計算新一輪迭代的反射點得:21 一 / 10、Xr =Xc (Xc -Xi )二黑5 卜 i.3.E51¥W25.JI3.15 .|1.115.945經判斷xR為可行點，其目標函數(shù) 值=Y1.413,完成第二次迭代。3.設已知在二維空間中的點x = 1X1x2 T ,并已知該點的適時約束的梯度g =-1-1T ,目標函數(shù)的梯度 Vf =0.5 1T，試用簡化方法確定一個適用的可行方向。解按公式6-32 d k =PVf (x k )PV

5、f (x k)計算適用的可行方向：x k點的目標函數(shù)梯度為：Vf(xk) = 10.51x k點處起作用約束的梯度 G為一個n J階的矩陣，題中：n=2, J=1 ：G ='、g1(xk) =-1-11梯度投影矩陣P為：P =I -G GTG 尸G T J1 01丫1 11 L1 01=y5 -0.5 0 1 IL-1, , lt-1.II-0.5 0.5則：適用可行方向為：dk=_p5 -0.5ir-0.5/|10.5 -0耳0.5 =0.707一0.5 0.5 ' 1 7 |'-0.5 0.5,1 一 1 0.707-4/ 22J34)minf(x)=-(x1 -x

6、1x2 x2) 4 -x33st g1 = _x1 _ 0g2 - -x2 < 0g3二-三0試求在x k = 01/41/2 T點的梯度投影方向。解按公式6-32 d k = PVf (x k )/| PVf (x k)|計算適用的可行方向:x k點的目標函數(shù)梯度為：$f (x k) = L0.125 0.25 -1】Tkx 點處起作用約束的梯度 G為一個nJ 階的矩陣，題中：n=3, J=1:G =vg1(xk) - 1-100T一甲0 0】01-1:.吐0 0 00 0=0 1 00 0 1-梯度投影矩陣P為：、1 0 01 -11P=IGGTG 產 GT=010 0 11-1：。

7、0 1則：適用可行方向為:0 0 01-0.1250 1 00.250 0 1 - -1 ,0 0 0 -0.1250 1 00.250 0 1 1 -1 J一 00.243。977.用外點法求下列問題的最優(yōu)解:22min f (x) = x1x2 - 2x1 1stg1=3-x2_02(提示：可構造懲罰函數(shù) ®(x, r) = f (x ) - r£ In Igu (x)，然后用解析法求解。) u 1解構造內點懲罰函數(shù)：2(x , r) = f (x) -。lngu (x) I - x12 x£-2x1 1 - r ln(3 - x2)u 1令懲罰函數(shù)對x的極值

8、等于零：d；|2xi -2=|=0dx ” -(-r)/(3-x/_得:舍去負根后，得x2xix2=1636 8r一 46 一 36 8r4當r t 0時，x 2 T 3,該問題的最優(yōu)解*為=1 31rmin f (x) = xi X22 st g1=x1-x2_0g2 - -xi _ 0角I將上述問題按規(guī)定寫成如下的數(shù)學模型：subroutine ffx(n,x,fx)dimension x(n)fx=x(1)+x(2)endsubroutine ggx(n,kg,x,gx)dimension x(n),gx(kg)gx(1)=x(1)*x(1)-x(2)gx(2)=-x(1)endsubr

9、outine hhx(n,kh,x,hx)domension x(n),hx(kh)hx(1)=0.0end然后，利用懲罰函數(shù)法計算，即可得到如下的最優(yōu)解：= PRIMARY DATA =N= 2 KG= 2 KH= 0X : .1000000E+01 .2000000E+01FX: .3000000E+01GX: -.1000000E+01 -.1000000E+01X : .1000000E+01 .2000000E+01FX: .3000000E+01GX: -.1000000E+01 -.1000000E+01PEN = .5000000E+01R = .1000000E+01 C =

10、 .2000000E+00 T0= .1000000E-01EPS1= .1000000E-05 EPS2= .1000000E-05= OPTIMUM SOLUTION =IRC= 21 ITE= 54 ILI= 117 NPE= 3759 NFX= 0 NGR= 0R= .1048577E-13 PEN= .4229850E-06X : .9493056E-07 .7203758E-07FX: .1669681E-06GX: -.7203757E-07 -.9493056E-079.用混合懲罰函數(shù)法求下列問題的最優(yōu)解:min f (x) = X2 -xi st gi(x) - -ln xi

11、 _ 0h2(X)=Xi X2-1-0角I將上述問題按規(guī)定寫成如下的數(shù)學模型：subroutine ffx(n,x,fx)dimension x(n)fx=x(2)-x(1)endsubroutine ggx(n,kg,x,gx)dimension x(n),gx(kg)gx(1)=-log(x(1)gx(2)=-x(1)gx(3)=-x(2)endsubroutine hhx(n,kh,x,hx)domension x(n),hx(kh)hx(1)=x(1)+x(2)-1end然后，利用懲罰函數(shù)法計算，即可得到如下的最優(yōu)解：= PRIMARY DATA =N= 2 KG= 3 KH= 1X

12、: .2000000E+01 .1000000E+01FX: -.1000000E+01GX: -.6931472E+00 -.2000000E+01 -.1000000E+01X : .2000000E+01 .1000000E+01FX: -.1000000E+01GX: -.6931472E+00 -.2000000E+01 -.1000000E+01HX: .2000000E+01PEN = .5942695E+01R = .1000000E+01 C = .4000000E+00 T0= .1000000E-01EPS1= .1000000E-05 EPS2= .1000000E-05= OPTIMUM SOLUTION =IR