高中數(shù)學(xué)平面幾何對(duì)稱問題上課講義

1、高中數(shù)學(xué)平面幾何對(duì)稱問題對(duì)稱問題對(duì)稱問題中心對(duì)稱問題中心對(duì)稱問題點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱軸對(duì)稱問題軸對(duì)稱問題點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱線關(guān)于線的對(duì)稱線關(guān)于線的對(duì)稱例例1. 已知點(diǎn)已知點(diǎn)A(5,8) ，B(4 ，1) ，試求，試求A點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于關(guān)于B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。（一）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱（一）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱一一.中心對(duì)稱中心對(duì)稱(關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱)），（解得的中點(diǎn)為點(diǎn)和點(diǎn)由對(duì)稱關(guān)系知，點(diǎn)）（解：設(shè)點(diǎn)63CB,C3641xyyx練習(xí)練習(xí):求點(diǎn)求點(diǎn)P(2,5)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).求點(diǎn)求點(diǎn)P(2,5)關(guān)于關(guān)于Q(-3,-7)的對(duì)稱點(diǎn)

2、的對(duì)稱點(diǎn).點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱),(),(AyxAnmO)2 ,2(ynxm注：注： )0, 0(),(yx),(yx 解題要點(diǎn)：解題要點(diǎn)：中點(diǎn)公式的運(yùn)用中點(diǎn)公式的運(yùn)用例例2、 求直線求直線y=3x4關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P(2,1)的對(duì)稱直線方程的對(duì)稱直線方程.( , )M x yP解：設(shè)對(duì)稱直線上任一點(diǎn)，則其關(guān)于 的對(duì)稱點(diǎn)P(2,1)xyOy=3x4分析一分析一: : 將直線的對(duì)稱轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)的對(duì)稱將直線的對(duì)稱轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)的對(duì)稱. .還可以有什么方法？還可以有什么方法？3100 xy化簡(jiǎn)得3100.xy所求直線方程是上在直線43)2,4(Nxyyx4)4( 32xy(二）直線關(guān)于點(diǎn)的

3、對(duì)稱二）直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 法一：法一： l 2上的任意一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在上的任意一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在l 1上上 f (x,y)=0M(x,y)法二：法二： l 1 / l 2且且P到兩直線等距。到兩直線等距。對(duì)稱關(guān)于點(diǎn)與若P21ll練習(xí)練習(xí)求直線求直線m:2x+3y-1=02x+3y-1=0關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P(1,4)P(1,4)對(duì)稱的直線對(duì)稱的直線n n的方程的方程. .二二.軸對(duì)稱軸對(duì)稱(即關(guān)于直線的對(duì)稱即關(guān)于直線的對(duì)稱)例例3.求點(diǎn)求點(diǎn)A(-7,1)關(guān)于直線關(guān)于直線l:2x-y-5=0的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)的坐標(biāo).解解(法一法一) 設(shè)設(shè)B(m,n）由點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的定義知

4、）由點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的定義知: 線段線段ABl 即; =-1 2)7(1mn線段線段AB被直線被直線l平分平分,即線段即線段AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)21,27 nm在直線在直線l上上,故有故有 2 - -5=0 27m21n(一一)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱:聯(lián)立聯(lián)立 解得解得m=9 n= -7B(9,-7)（法二）（法二）直線直線ABl, 直線直線AB過點(diǎn)（過點(diǎn)（-7，1）直線直線AB的方程為的方程為y-1=- y-1=- （x+7x+7） 即即x+2y+5=0 x+2y+5=021052052yxyx由 解得 13xy即即AB的中點(diǎn)為（的中點(diǎn)為（1，-3） ，又，又A（-7，1）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式

5、得由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得B的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（9，-7）.小結(jié)小結(jié):求點(diǎn)求點(diǎn)P(x0,y0)關(guān)于直線關(guān)于直線l:Ax+By+C=0By+C=0對(duì)稱點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)Q(x1,y1)的方法的方法:點(diǎn)關(guān)于一般直線的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于一般直線的對(duì)稱),(0:AbaAcByAxlNoImage上中點(diǎn)在直線平分：垂直：方法：lAAlAA練習(xí)：練習(xí)：求求A（3,-2）關(guān)于直線）關(guān)于直線2x-y-1=0 的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)。的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)。13 4(, )55A 點(diǎn)關(guān)于特殊直線的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于特殊直線的對(duì)稱),(00yxA軸y 軸x xy xy),(00yx ),(00 xy ),(00 xy),(00 xy bxy),(00bxby例例4.

6、 試求直線試求直線l1:x-y-2=0關(guān)于直線關(guān)于直線 l2:3x-y+3=0 對(duì)稱的直線對(duì)稱的直線l 的方程。的方程。解題要點(diǎn)：由線關(guān)于線對(duì)稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱解題要點(diǎn)：由線關(guān)于線對(duì)稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱思考：思考：若若l1/l2, 如何求如何求l1 關(guān)于關(guān)于l2的對(duì)稱直線方程？的對(duì)稱直線方程？C1lC2l1l2l1（二）直線關(guān)于直線的對(duì)稱（二）直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線關(guān)于特殊直線的對(duì)稱直線關(guān)于特殊直線的對(duì)稱軸xCByAx0軸yxy xy0)(CyBAx()( )0AxB yC0CBxAy0)()(CxByA點(diǎn)點(diǎn)P(x,y)關(guān)于下列點(diǎn)或線的對(duì)稱點(diǎn)分別為：關(guān)于下列點(diǎn)或線的對(duì)稱點(diǎn)分別為：關(guān)于原點(diǎn)關(guān)于

7、原點(diǎn):_; 關(guān)于關(guān)于x軸軸:_;關(guān)于關(guān)于y軸軸: _; 關(guān)于直線關(guān)于直線y=x:_;關(guān)于直線關(guān)于直線y=-x:_; 關(guān)于直線關(guān)于直線x=a:_.(-x,-y)(x,-y)(-x,y)(y,x)(-y,-x)(2a-x,y)設(shè)直線設(shè)直線則則 關(guān)于軸對(duì)稱的直線是關(guān)于軸對(duì)稱的直線是關(guān)于軸對(duì)稱的直線是關(guān)于軸對(duì)稱的直線是關(guān)于對(duì)稱的直線是關(guān)于對(duì)稱的直線是關(guān)于對(duì)稱的直線是關(guān)于對(duì)稱的直線是l0:CByAxlxyxy xy 0)( CyBAx0)( CByxA0 CAyBx0)()( CxByA補(bǔ)：關(guān)于原點(diǎn)補(bǔ)：關(guān)于原點(diǎn):_ ; 0CyBxA）（）（：一條光線經(jīng)過點(diǎn)一條光線經(jīng)過點(diǎn)P（2，3），射到直線），射到直線

8、x+y+1=0上，反射后，穿過點(diǎn)上，反射后，穿過點(diǎn)Q（1，1），求），求光線的入射線和反射線的方程。光線的入射線和反射線的方程。xyOx+y+1=0P(2,3)Q(1,1) 31,32SR(-4,-3)32( 0245 xyx)32( 0154 xyx應(yīng)用一：解決物理光學(xué)方面的問題應(yīng)用一：解決物理光學(xué)方面的問題練習(xí)：練習(xí)： 一條光線經(jīng)過一條光線經(jīng)過P（-1,2），經(jīng)直線），經(jīng)直線 l:x+y-1=0反射后經(jīng)過點(diǎn)反射后經(jīng)過點(diǎn)Q（1,1），）， （1）求入射光線所在的直線方程；）求入射光線所在的直線方程； （2）求這條光線從）求這條光線從P到到Q的長(zhǎng)度。的長(zhǎng)度。例例 ： 已知已知ABC的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)

9、A（4, 1）,B（4, 5）,角角B的內(nèi)角平分線的內(nèi)角平分線BE所在直線的方程為所在直線的方程為 ，求，求BC邊所在直線方程。邊所在直線方程。01 yxB(-4,-5)A(4,-1)M（0,3）xyOE應(yīng)用二：解決三角形中的角平分線問題應(yīng)用二：解決三角形中的角平分線問題應(yīng)用三：解決距離最值有關(guān)問題應(yīng)用三：解決距離最值有關(guān)問題 例例.已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn)A(2,15),B(-3,5),在直線在直線l:3x-4y+4=0上找一點(diǎn)上找一點(diǎn)P,使得使得:(1)|PA|+|PB|最小最小,并求出其最小值并求出其最小值;(2)|PA|-|PB|最大最大,并求出其最大值并求出其最大值.涉及定直線涉及定直線l上

10、一點(diǎn)上一點(diǎn)P與兩定點(diǎn)與兩定點(diǎn)A，B的距的距離和（或差）的最值問題離和（或差）的最值問題1.若若A，B兩點(diǎn)在直線的同側(cè)：兩點(diǎn)在直線的同側(cè)：（1）設(shè)點(diǎn)）設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C,則直線則直線AC與直線與直線l的的交點(diǎn)交點(diǎn)P使得使得|PA|+|PB|最?。蛔钚。唬?）直線）直線AB與直線與直線l的交點(diǎn)的交點(diǎn)P使得使得|PA|-|PB|最大。最大。2.若若A,B兩點(diǎn)在直線的異側(cè)兩點(diǎn)在直線的異側(cè):(1)直線直線AB與直線與直線l的交點(diǎn)的交點(diǎn)P使得使得|PA|+|PB|最小最小;(2)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C,則直線則直線AC與直線與直線l的交點(diǎn)的交點(diǎn)P

11、使得使得|PA|-|PB|最大最大.例：例：已知已知x,y滿足滿足x+y=0，求，求的最小值。的最小值。2222)3()2()1()3( yxyxM(1,-3)xyOM(3,-1)N(-2,3)y=xP（1）已知點(diǎn)）已知點(diǎn)A(2,0),B(-2,-2),在直線在直線l:x+y-3=0上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)P使使|PA|+|PB| 最小最小變形變形:在在l上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)Q使得使得| |QA|-|QB| |最大最大.（2）已知點(diǎn)）已知點(diǎn)A(4,1),B(0,4),在直線在直線l:3x-y-1=0上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)P使使|PA|+|PB| 最小最小.變形變形:在直線在直線l上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)Q使得使得| |QA| -|QB| |最大最大.練習(xí)題：練習(xí)題：一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱二