不等式的基本性質(zhì)及一元二次不等式解法

1、課 題 不等式的基本性質(zhì) 及一元二次不等式解法教學(xué)內(nèi)容一、知識梳理與例題解析（一）不等式的基本性質(zhì)：判斷兩個實數(shù)a與b之間的大小關(guān)系，可以通過將它們的差與零相比較來確定，即ab的充分必要條件是a-b0；ab的充分必要條件是a-b0；ab的充分必要條件是a-b0。不等式的三個性質(zhì)：性質(zhì)1 如果ab，bc，那么ac。性質(zhì)2 如果ab，那么a+cb+c。性質(zhì)3 如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acbc。性質(zhì)4 如果ab，cd，那么a+cb+d。1提問：判斷以下兩個命題的真假：如果是真命題，請說明理由；如果是假命題，請舉出反例。（1）如果ab，cd，那么acbd。（2）如果ab0，那

2、么0。說明利用已經(jīng)學(xué)過的不等式的性質(zhì)證明命題的正確性，特別要注意性質(zhì)（3）的使用前提；對于不正確的命題進行修正，得到不等式的另外兩個性質(zhì) 性質(zhì)（5）如果ab0，cd0，那么acbd。性質(zhì)（6）如果ab0，那么0。2探討不等式在進行乘方，開方運算時具有的性質(zhì)：性質(zhì)（7）如果ab0，那么ab（nN） 性質(zhì)（8）如果ab0，那么（nN，n1）。說明根據(jù)性質(zhì)（5），由特殊到一般進行歸納得出性質(zhì)（7）。介紹用反證法證明性質(zhì)（8），歸納用反證法進行證明的主要步驟。例題分析例1判斷下列命題的真假。（1）若ab，那么acbc。 （假命題）（2）若acbc，那么ab。 （真命題）（3）若ab，cd，那么a-cb

3、-d。 （假命題）（4）若，那么。 （假命題）（5）若，那么。 （真命題）（6）若，那么。 （真命題） 例2（1）比較與的值的大小。（2）比較與的值的大小。（3）比較與的值的大小。解：（1）由-（）=3a，得當時，；當時，=；當時，。（2）由-=，當時，=；當時，。（3）由-=，得。說明應(yīng)用不等式的性質(zhì)，采用“作差法”比較兩數(shù)（式）的大小?！氨容^法”的主要步驟是作差變形（化簡，配方，因式分解）判斷結(jié)論。例3解關(guān)于。解：移項整理得，如果，那么；如果，那么；如果，那么不等式的解集為R。說明此題重點強調(diào)在解不等式過程中，根據(jù)不等式的性質(zhì)進行分類討論。鞏固練習(xí)1有三個不等式，以其中兩個作為條件，余下一

4、個作為結(jié)論，可組成正確命題有幾個？2若。3. 設(shè)a=, b=, c=，則a, b, c的大小順序是 （ ）Ac<b<a Bb<c<a Cc<a<b Da<c<b（二）不等式的解法：1.一元一次不等式的解法：a.的解集情況是:（1）當時，解集為；（2）當時，解集為b兩個一元一次不等式所組成的一元一次不等式組的解集情況，可以歸結(jié)為以下四種基本類型：類型（設(shè)）解集數(shù)軸表示2.一元二次不等式的解法:一元二次不等式的一般形式是：如何解一元二次不等式？二、解法探究為了得到一元二次不等式的一般解法，不妨先研究一個簡單的一元二次不等式 的解法。解法一：原不等式可

5、化為 ，它等價與將問題轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過的一元一次不等式組。于是可得到原不等式的解集 解法二、利用數(shù)軸 ， 1、3將數(shù)軸分成三個部分，-13x當時， 所以 當時， 所以 當時， 所以可得原不等式的解集 還可得到解集為。 解法三、利用二次函數(shù)圖像求此不等式的的解集也可看作求二次函數(shù)取正值時的取值范圍，即求該二次函數(shù)的圖像在軸上方時的取值范圍。yx0-13我們知道，二次函數(shù) 的圖像是一條開口向上的拋物線，它與軸有兩個交點，由方程的解可得交點的橫坐標分別是 ， ，容易看出，當時上述函數(shù)的圖像在軸上方， ；當時，上述函數(shù)的圖像在軸下方，即 ，于是可得不等式解集為。 說明解法一中解兩個一元一次不等式組中涉及

6、的“或”和“且”的關(guān)系可用集合中的交集和并集來說明。解法三利用二次函數(shù)的圖象更加直觀，清晰，是高中階段解一元二次不等式的主要方法。例1利用二次函數(shù)圖像解下列不等式。 （1） （2）練習(xí):解下列不等式：（1）2x-3x-20 （2）-3x+x+1>0(3)9x+6x+1>0 (4)4x-x<5(5)2x+x+10（二）一元二次不等式的解法一般的一元二次不等式可利用一元二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)求解，具體見下表：，二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根有兩實根有兩個相等的實根無實根一元二次不等式的解集不等式的解集R不等式的解集【注意】1解一元二次不等式的步驟：（1） 把二次項的系數(shù)變?yōu)?/p>

7、正的（如果，那么在不等式兩邊都乘以，把系數(shù)變?yōu)檎?） 解對應(yīng)的一元二次方程（先看能否因式分解，若不能，再看，然后求根）（3） 求解一元二次不等式（根據(jù)一元二次方程的根及不等式的方向）2當且時，定一元二次不等式的解集的口訣：“小于號取中間，大于號取兩邊” 。1.使不等式2x25x30成立的一個充分而不必要條件是 （ ）A.x0 B.x0C.x1，3，5 D.x或x32.（1）求不等式的解集(2)求不等式的解集。3.不等式的解集是 ( )A BCD4.(1)若不等式的的解集為（1，2），則不等式的解集為_ (2)若不等式的的解集為（1，2），則不等式的解集為_5.求不等式組的解集6.解關(guān)于x的

8、一元二次不等式7.對一切實數(shù)x，不等式ax2+(a-6)x+20恒成立，求a的值（三）高次不等式的解法8. 高次不等式的解法：數(shù)軸法解不等式練習(xí)：解不等式（1） （2）（四）分式不等式的解法可先轉(zhuǎn)化，再用數(shù)軸標根法求解。(1)>0f(x)g(x)>0；(2)<0f(x)g(x)<0；(3)0；(4)0例：練習(xí)：解不等式（1） （2）例：已知，若，則實數(shù)m的范圍是_（五）含絕對值不等式的解法10.含絕對值不等式的解法解含絕對值的不等式的基本思想是去掉絕對值符號，將其等價轉(zhuǎn)化為一元一次（二次）不等式（組）進行求解； 去掉絕對值的主要方法有： （1）公式法：1）當時，；當時，2）設(shè)，則不等式或（2）定義法：，零點分段法；（3）平方法：不等式兩邊都是非負時，兩邊同時平方.1、解下列不等式：（1）； （2）；（3）； (