“圓來(lái)如此簡(jiǎn)單”經(jīng)典幾何模型之隱圓專題

1、前世在0O+-若辣仙長(zhǎng)度固定則 弦所對(duì)的圜周角都和等（注 盍：弦遲在劣弧丿丹上也有圓 周角，需要根據(jù)題目靈活運(yùn)用）前世在 G盤中OA=OH=OC=OD今生Ai=A=AD,C. D三點(diǎn)在以為圓心LB為半徑的圓上。 （理論依據(jù)：到定點(diǎn)的距離等于定 長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓【圓的定義】）經(jīng)典幾何模型之隱圓” “圓來(lái)如此簡(jiǎn)單”段廉潔一. 名稱由來(lái)在中考數(shù)學(xué)中，有一類高頻率考題，幾乎每年各地都會(huì)出現(xiàn)， 明明圖形中沒(méi)有出現(xiàn)“圓”， 但是解題中必須用到“圓”的知識(shí)點(diǎn)，像這樣的題我們稱之為“隱圓模型”。正所謂：有“圓”千里來(lái)相會(huì)，無(wú)“圓”對(duì)面不相逢?！半[圓模型”的題的關(guān)鍵突破口就在于能否看出這個(gè)“隱藏的圓”。一旦“

2、圓”形畢露，則答案手到擒來(lái)！二. 模型建立【模型一：定弦定角】【模型二：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)定長(zhǎng)（通俗講究是一個(gè)動(dòng)的點(diǎn)到一個(gè)固定的點(diǎn)的距離不變）】【模型三：直角所對(duì)的是直徑】【模型四：四點(diǎn)共圓】三模型基本類型圖形解讀【模型一：定弦定角的“前世今生”】今生若有一固定線段叨及線段個(gè)所對(duì)的/大小固定， 根據(jù)圜的知識(shí)可知亡點(diǎn)并不是唯一固老的點(diǎn)，亡在 OO的優(yōu)弧QB上均可至于咼優(yōu)弧還呈劣弧取決 于的大小，小于則7在憂弧匕運(yùn)動(dòng)；等于 9曠則匸在半圓上運(yùn)動(dòng)*大于刃F則廠在劣弧運(yùn)動(dòng)）【模型二：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)定長(zhǎng)】【模型三：直角所對(duì)的是直徑】前世在©O中，為直徑，則始終有AB所對(duì)命£>90。今生若有

3、討E杲固定線段.ftFZACB=90 則E在以佃為直徑徑的圜上> （此類棗本 來(lái)屬于定弦定角，但是因?yàn)楸容^特殊， 故單獨(dú)分為一類）【模型四：四點(diǎn)共圓】今生若四邊ABCD中有Z1-Z2 （通常情況下Z5-Z6頂角相專. 故不SMZ3-Z4,實(shí)際逾用中隹用Z1-Z2Z5-Z6） I1.4BC 。四點(diǎn)（某些不能直接隹用四點(diǎn)共冏的地區(qū)，可以通過(guò)證明 兩次三角形相佩也可），選填題可以宣接便用。四“隱圓”破解策略牢記口訣：定點(diǎn)定長(zhǎng)走圓周，定線定角跑雙弧。 直角必有外接圓，對(duì)角互補(bǔ)也共圓。 五“隱圓”題型知識(shí)儲(chǔ)備知識(shí)儲(chǔ)備一（點(diǎn)圓距離）圓外一點(diǎn)幾 連接PO與圓交于厶 月兩點(diǎn).則凸I為P 到圖匕區(qū)遠(yuǎn)距離肪

4、為戶到圓上鍛短距離知識(shí)儲(chǔ)備二* CH AH時(shí)，（?點(diǎn)到月"的距離 為圓上點(diǎn)到的最大距離ccfe劣弧上時(shí)知識(shí)惱備三：由“知識(shí)佶備二W珂知.裟段固定，為畫(huà)上動(dòng)點(diǎn)"當(dāng)人人曲為等腰 三幫形時(shí).AABC的簡(jiǎn)積煨大（分為在憂 弧和劣弧陶種情況，知陽(yáng)）六“隱圓”典型例題【模型一：定弦定角】tiff-I?（2017威海）如圖， ABC為等邊三角形，AB=2,若P為厶ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足 / PAB=Z ACP，則線段PB長(zhǎng)度的最小值為 。簡(jiǎn)答：因?yàn)? PAB=Z PCA，/ PAB+Z PAC=60°,所以/ PAC+Z PCA=60°,即/APC=120°

5、。 因?yàn)锳C定長(zhǎng)、Z APC=120°定角，故滿足“定弦定角模型” ，P在圓上，圓周角Z APC=120°, 通過(guò)簡(jiǎn)單推導(dǎo)可知圓心角Z AOC=60°,故以AC為邊向下作等邊厶 AOC，以0為圓心，OA 為半徑作O 0, P在O 0上。當(dāng)B、P、0三點(diǎn)共線時(shí)，BP最短（知識(shí)儲(chǔ)備一：點(diǎn)圓距離），此時(shí) BP=2 3-21. 如圖1所示，邊長(zhǎng)為2的等邊 ABC的原點(diǎn)A在x軸的正半軸上移動(dòng)，Z BOD=30°, 頂點(diǎn)A在射線0D上移動(dòng)，則頂點(diǎn) C到原點(diǎn)0的最大距離為。簡(jiǎn)答：因?yàn)? AOB=30°（定角），AB=2 （定弦），故A、B、O三點(diǎn)共圓，圓心角

6、為 60°, 故以AB為邊向O方向作等邊 ABQ，/ AQB=60°為圓心角，Q為圓心，以QA為半徑作 O Q （如圖2），由知識(shí)儲(chǔ)備二可知當(dāng)OC丄AB時(shí)，OC距離最大，OC=OQ+QH+HC=2+ 3 + 3 =2+2 3【思考：若/ BOD =45。呢？（提示：需要構(gòu)造倍角模型）】2. 如圖1,點(diǎn)A是直線y=-x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) B是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，若 AB=2,則厶AOB面 積最大值為（）簡(jiǎn)答：因?yàn)锳B=2（定弦），/ AOB=135° （定角），因?yàn)? AOB是圓周角，故圓心角為90°, 以AB為斜邊向上方作等腰直角 QAB，則Q為圓心（如圖2）,

7、由“知識(shí)儲(chǔ)備二”可知， 當(dāng)OQ丄AB時(shí)，此時(shí) OAB的高OH最大，面積最大。面積為1 AB OH 12 （ 21）21，所以此題選擇 B。2 2同學(xué)：老師，你說(shuō)錯(cuò)答案了，選Co小段老師：沒(méi)錯(cuò)啊，就選 B啊。同學(xué)：你是老師，你說(shuō)了算，你開(kāi)心就好 如圖3小段老師：題目有告訴你們 A、B在哪里嗎，為什么想當(dāng)然覺(jué)得/AOB=135°呢，難道不可能等于45°嗎？如圖3,構(gòu)建O Q,由“知識(shí)儲(chǔ)備二”可知當(dāng)OQ丄AB時(shí)，此時(shí) OAB的11面積最大為 AB OH 2（2+1）2+1，故答案選B224.如圖1, AC為邊長(zhǎng)為23的菱形ABCD的對(duì)角線，/ ABC=60°,點(diǎn)M、N分

8、別從點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，以相同速度沿 BC、CA向終點(diǎn)C和A運(yùn)動(dòng)，連接 AM和BN , 的最大值求厶APB周長(zhǎng)如圖1簡(jiǎn)答：如圖2,由M、N點(diǎn)速度相同可知（如圖 2）,又因?yàn)? NBC + Z ABN =60° 所以/ APB=120°（定角），又因?yàn)锳BQAB，/ AQB=120 °如圖2BM =CN ,易證 ABM BCN ,故/ NBC=Z BAM，所以/ BAM +Z ABN =Z APN =60°（外角性質(zhì)），長(zhǎng)度固定（定弦），故以AB為底向左側(cè)構(gòu)建等腰，則P在O Q上，由“知識(shí)儲(chǔ)備三”可知，當(dāng) ABP是等腰三角形時(shí)， ABP周長(zhǎng)最短。又由 APB

9、是定角為120°的等腰三角形，故AP: BP: AB=1:1: 3 ,AB =AC =2 3，故pB=PA=2，故 ABP的周長(zhǎng)最大值為 4+2 3【模型二：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)定長(zhǎng)】1.如圖 1,四邊形 ABCD 中，AB=AC=AD,若/ CAD=76°,則/ CBD =度。簡(jiǎn)答：如圖 2,因?yàn)?AB=AC=AD，故B、C、D三點(diǎn)在以 A為圓心的圓上，故/ CBD= 1 /2CAD =38 °2. 如圖，在厶 ABC 內(nèi)有一點(diǎn) D,使得 DA=DB=DC ,若/ DAB =20°,則/ ACB =。簡(jiǎn)答：如圖2,因?yàn)?DA=DB=DC, 故 A、B、 1ADB

10、=140。，故 /ACB= / ADB=70°2C 三點(diǎn)在O D 上，/ DAB=/ DBA =20°，故/3.如圖1,如圖1如圖2簡(jiǎn)答：因?yàn)?仁/ 2, AD / BC,故/ 3=/ 1,ED=2AD=10，故 BD=84. 如圖1,長(zhǎng)2米的梯子AB豎直放在墻角, 子AB的中點(diǎn)P的移動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為？/ 4=Z 2,故易證 AEB ACD ,故 EB=CD=6,在沿著墻角緩慢下滑直至水平地面過(guò)程中，梯如圖1如圖2動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)O的距離始終等于1, ，故P的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，圓心OP=1,簡(jiǎn)答：由斜邊上的中點(diǎn)等于斜邊的一半可知， 滿足圓的定義（到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓）

11、 角為90°,軌跡長(zhǎng)度為四分之一圓的長(zhǎng)度，省略。在矩形ABCD中，已知AB=2, BC=3,現(xiàn)有一根長(zhǎng)為 2的木棒EF緊貼著矩形的邊（即兩個(gè)端點(diǎn)始終落在矩形的邊上），接逆時(shí)針?lè)较蚧瑒?dòng)一周，則木棒 EF的中點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所圍成的圍形的面積為?如圖1P所圍6如圖1如圖2簡(jiǎn)單：G的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓，求 AP+PG典型的“將軍飲馬”問(wèn)題，故做A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A/,貝U AP +PG=A/ P+PG,當(dāng)A/、P、G三點(diǎn)共線時(shí)，最短，又因?yàn)锳/為固定點(diǎn)，G在圓上運(yùn)動(dòng)，由“知識(shí)儲(chǔ)備一”可知當(dāng)A /、G、D三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)A / G最短，為4簡(jiǎn)答：由上一題可知，P的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，因?yàn)榛瑒?dòng)一周，故有

12、四個(gè)圓弧，則點(diǎn)成的圖形為中間的圖形，用矩形的面積減去四個(gè)四分之一圓的面積即可，答案：5. 如圖1,在矩形 ABCD中，AB =2，AD=3,點(diǎn)E，F(xiàn)分別為 AD、DC邊上的點(diǎn)，且 EF=2,G為EF的中點(diǎn)，P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則 PA+PG的最小值為?6. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A的坐標(biāo)為（3, 0） , B為y軸正半軸上的點(diǎn)，C為第一象限內(nèi) 的點(diǎn)，且 AC=2.設(shè)tAN / BOC=M，貝U M的取值范圍為？簡(jiǎn)答：因?yàn)锳C =2, A是定點(diǎn)，通過(guò)圓的定義（到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓） 可知，C在O A上運(yùn)動(dòng)，當(dāng) 0C與O A相切時(shí)，此時(shí)/ BOC最小，t AN / BOC也最小，

13、此AC 2時(shí)/ BOC + Z AOC = Z AOC + Z CAO=90°,故/ BOC=Z CAO，此時(shí) tAN / CAO = OC 5又因?yàn)榻嵌仍酱?，正切值越大，故tAN / BOC = M > 527. 如圖 1,在 Rt ABC 中，/ C=90°, AC=7, BC=8,點(diǎn) F 在邊 AC 上，并且 CF=2,點(diǎn) E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將 CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的 最小值是？簡(jiǎn)答：E是動(dòng)點(diǎn)，導(dǎo)致 EF、EC、EP都在變化，但是 FP=FC=2不變，故P點(diǎn)到F點(diǎn)的距 離永遠(yuǎn)等于2,故P在O F上運(yùn)動(dòng)，如圖2。由垂線段最短可

14、知，F(xiàn)H丄AB時(shí)，F(xiàn)H最短，當(dāng)F、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，PH最短，又因AFH ABC，所以AF : FH : AH =5:4:3，又 因?yàn)锳F =5,故FH=4,又因?yàn)镕P=2,故PH最短為28. 如圖，在 口 ABCD 中，/ BCD = 30°, BC = 4, CD =, M 是 AD 邊的中點(diǎn)，N 是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將 AMN沿MN所在直線翻折得到 PMN，連接PC,則PC長(zhǎng)度的最小 值是？簡(jiǎn)答：翻折過(guò)程中，MP=MA=2,故P在O M上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)M、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，PC最短。PC=MC- MP，要求 MP 需要過(guò) M 作 MH 丄 CD 于 H，/ HDM =30 °

15、，故 HM =1 , HD= 3 , 故 HC=4 3，故易求 MC=7,貝U PC=7-2=5【模型三：直角所對(duì)的是直徑】1.如圖1, Rt ABC中，AB丄BC , AB =6, BC=4, P是厶ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終有AP丄BP,則線段CP長(zhǎng)的最小值為？簡(jiǎn)答：如圖2,因?yàn)?AP丄BP, / P=90°(定角)，AB =6 (定弦)，故P在以AB為直徑的O H上，當(dāng)H、P、C三點(diǎn)共線時(shí) CP最短，HB=3, BC=4則HC=5,故CP=5-3=22.如圖1, A (1,0 )、B (3,0 )，以AB為直徑作圓 M，射線OF交圓M于E、F兩點(diǎn)，C 為弧AB的中點(diǎn)，D為弦E

16、F的中點(diǎn)，當(dāng)射線繞O旋轉(zhuǎn)時(shí)，CD的最小值為?簡(jiǎn)答：因?yàn)?D是EF中點(diǎn)，故 MD丄EF，故/ 的圓上，如圖2。易知A為圓心，當(dāng)A、D、C三點(diǎn)共線時(shí),ODM始終等于90°，故D在以O(shè)M為直徑CD最短，CD=AC-AD，又易知 C（2,1）,故 ac*2，故 cd=w2-i3.在厶ABC中，/ ABC=90, AB=6, BC=8, O為AC的中點(diǎn)，過(guò) O作OE丄OF, OE、OF分別交如圖1簡(jiǎn)答：因?yàn)? EOF=90°/ C=90° 故C、O均在以EF為直徑的圓上（也稱四點(diǎn)共圓） 因?yàn)镋F是圓的直徑，O、C均在圓上，且 OC長(zhǎng)度固定，要使得 EF最短，則圓最小，要 使

17、圓最小，OC為固定長(zhǎng)度，則 OC為直徑時(shí)，圓最?。ù颂幈容^難，思維量比較大，大家 慢慢琢磨），此時(shí)CO=EF=OA=OB=5 （斜邊上中線等于斜邊一半）3. 如圖 1 已知 Rt ABC 中，AC = 5, BC = 12,/ ACB = 90°, P 是邊 AB 上的動(dòng)點(diǎn)，Q 是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，且/ CPQ = 90°,求線段 CQ的取值范圍.1020AC = 5，所以 BP = 13 5 = 8 .再根據(jù)ZBPOBCA，所以 OP =, CQ=當(dāng)點(diǎn) Q3 3與點(diǎn)B重合時(shí)（如圖3）,直徑CQ最大，此時(shí)CQ=12 .綜上所述，旦< CQ< 1234. 如圖1,半

18、徑為4的O O中，CD為直徑，弦 AB丄CD且過(guò)半徑 OD的中點(diǎn)，點(diǎn) E為O O 上一動(dòng)點(diǎn)，CF丄AE于點(diǎn)F .當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑 長(zhǎng)為？°D如國(guó)1如圖2簡(jiǎn)答：因?yàn)? CFA=90°（定角），AC=4 3 （定弦），故f在以AC為直徑的O Q上，當(dāng)E 在B處時(shí)，F(xiàn)在G處，當(dāng)E在D處時(shí)，F(xiàn)在A處，故F的運(yùn)動(dòng)路徑為弧 AG的長(zhǎng)度，易求60- 2 3出/ ACD=30°,故/ AQG=60°,故弧 AG 長(zhǎng)度=二° 2冗 2"3= 丁3603（2013武漢）如圖1, E , F是正方形 ABCD的邊AD上

19、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足 AE=DF .連接 CF交BD于點(diǎn)G,連接BE交AG于點(diǎn)H .若正方形的邊長(zhǎng)為 2，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是?如圖2簡(jiǎn)答：易證 ABE S' DCF , DAG DCG ,故/ DAG=/ DCG=/ ABE ,又因?yàn)? ABE + / AEB=90°,故/ EAH +Z AEH =90°，故/ AHB =90°, 故 H 在以 AB 為直徑的O O 上， 當(dāng)0、H、D三點(diǎn)共線的時(shí)候 DH最小，DH=OD-OH= 5-15. 如圖 1,在 Rt ABC 中，/ B=90°,Z C=30°, AB=1, D 為線段 AC

20、上一動(dòng)點(diǎn)，將 BDC沿著B(niǎo)D翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F , E為AC的中點(diǎn)，在 D從C到A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中， 當(dāng)EF最短時(shí)，CD為？如圖1如圖2簡(jiǎn)答：在折疊過(guò)程中， BF始終等于BC，故F到B點(diǎn)的距離是定值，F(xiàn)在O B上，當(dāng)EF 最短時(shí)，B、E、F三點(diǎn)共線（如圖2），此時(shí)/ BFD=Z BCD =30°，/ FBD =Z CBD=15°（因1EF2為 BE=CE，故/ EBC=Z BCE =30°），故/ FDH =Z CDH =45°，/ FED =60°，故 FD 丄 CE，EF=BF-BE= <31 ，又因?yàn)?DF =DC，在 Rt EDF

21、 中 EDCD=1-ED = 16. （2017宿遷）如圖，在矩形紙片 ABCD中，已知AB=1，BC=.3，點(diǎn)E在邊CD上移動(dòng),連接AE，將多邊形 ABCE沿直線AE翻折，得到多邊形 AB ' C' E，點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分 別為點(diǎn)B '、C'.（1）當(dāng)B' C'恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)（如圖1），求線段CE的長(zhǎng)；（2）若B' C'分別交邊 AD，CD于點(diǎn)F，G，且/ DAE =22.5 ° （如圖 2），求厶DFG的 面積；(3) 在點(diǎn)E從點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中，求點(diǎn) C '運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)._ IIBCB圖2簡(jiǎn)答：(1)

22、“K字形”秒殺，過(guò)程略，答案:(2)由翻折全等可知/B ' AE=Z BAE =67.5。，又因?yàn)?DAE =22.5 °，故/ B 'AF=45。，故 AB ' F、 DFE均為等腰直角三角形，后面略，答案： 562(3)折疊過(guò)程中始終有 AC /二AC，故C/在以A為圓心，AC為半徑的圓上。根據(jù) 點(diǎn)E在C時(shí)，C，在C點(diǎn)，點(diǎn)E移動(dòng)到D時(shí)，C/在如圖3位置，如圖3易求C'運(yùn)動(dòng)的圓弧的圓心角為60°,故C '運(yùn)動(dòng)的軌跡為 60 2n 2=2n3603【模型四：四點(diǎn)共圓】1.如圖1,正方形 ABCD中，/ EAF=45°, AF

23、與BD交于N , AE與BD交于 M，連接MF、NE，求證 ANE、 AMF是等腰直角三角形如圖1如圖2簡(jiǎn)答：因?yàn)?仁/ 2=45°,/ 3=/ 4,故 A、B、E、N四點(diǎn)共圓，因?yàn)? ABE =90°,故AE 為直徑，故/ ANE=90°,故厶ANE是等腰直角三角形，同理可證AMF是等腰直角三角形（此題也是很經(jīng)典的“半角模型”問(wèn)題之一）2.如圖1，等邊 ABC中，AB =6，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，PD丄BC, PE丄AC ,貝U DE的最小 值為？如圖1/ EOD =2/ ECD=120°，故ED= 3R ,要使得DE最小則要使圓的半徑 R最小，故直徑PC最小，當(dāng)CP丄AB時(shí)，PC 最短為 3 3，故 R=3 3，故 DE-3R 3 3 392 2 2簡(jiǎn)答：因?yàn)? PEC = / PDC=90°,