人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、21.1 一元二次方程易錯(cuò)點(diǎn)： a0 和a=0 方程兩個(gè)根的取舍知識(shí)點(diǎn)一 :一元二次方程的定義:等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意一下幾點(diǎn)： 只含有一個(gè)未知數(shù)； 未知數(shù)的最高次數(shù)是2； 是整式方程。知識(shí)點(diǎn)二 :一元二次方程的一般形式: 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a 0).其中，ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)。知識(shí)點(diǎn)三 :一元二次方程的根:使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定義是解方程過(guò)程中驗(yàn)根的依據(jù)。21

2、.2 降次解一元二次方程21.2.1 配方法知識(shí)點(diǎn)一 :直接開(kāi)平方法解一元二次方程（1） 如果方程的一邊可以化成含未知數(shù)的代數(shù)式的平方，另一邊是非負(fù)數(shù)，可以直接開(kāi)平方。一般地，對(duì)于形如x2=a(a0)的方程，根據(jù)平方根的定義可解得x1=,x2=.（2） 直接開(kāi)平方法適用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m0)形式的方程，如果p0，就可以利用直接開(kāi)平方法。（3） 用直接開(kāi)平方法求一元二次方程的根，要正確運(yùn)用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。（4） 直接開(kāi)平方法解一元二次方程的步驟是：移項(xiàng)；使二次項(xiàng)系數(shù)或含有未知數(shù)的式子的平方項(xiàng)的系數(shù)為1；兩邊

3、直接開(kāi)平方，使原方程變?yōu)閮蓚€(gè)一元二次方程；解一元一次方程，求出原方程的根。知識(shí)點(diǎn)二 :配方法解一元二次方程 通過(guò)配成完全平方形式來(lái)解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解。 配方法的一般步驟可以總結(jié)為：一移、二除、三配、四開(kāi)。（1） 把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2） 方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)；（3） 方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把左邊配成完全平方式； （4） 若等號(hào)右邊為非負(fù)數(shù)，直接開(kāi)平方求出方程的解。21.2.2 公式法知識(shí)點(diǎn)一 :公式法解一元二次方程（1） 一般地，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，如果b2-4ac0

4、，那么方程的兩個(gè)根為x=，這個(gè)公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我們可以由一元二方程的系數(shù)a,b,c的值直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。（2） 一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過(guò)程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的過(guò)程。（3） 公式法解一元二次方程的具體步驟： 方程化為一般形式：ax2+bx+c=0(a0)，一般a化為正值 確定公式中a,b,c的值，注意符號(hào)； 求出b2-4ac的值； 若b2-4ac0，則把a(bǔ),b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac0，則方程無(wú)實(shí)數(shù)根(有虛數(shù)根- 高中學(xué))。知識(shí)點(diǎn)二 :一元二次方程根的判別式

5、式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a0)根的判別式，通常用希臘字母表示它，即=b2-4ac.0，方程ax2+bx+c=0(a0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根根的判別式=0，方程ax2+bx+c=0(a0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根0，方程ax2+bx+c=0(a0)無(wú)實(shí)數(shù)根 21.23 因式分解法知識(shí)點(diǎn)一 :因式分解法解一元二次方程（1） 把一元二次方程的一邊化為0，而另一邊分解成兩個(gè)一次因式的積，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)求一元一次方程的解，這種解方程的方法叫做因式分解法。（2） 因式分解法的詳細(xì)步驟： 移項(xiàng)，將所有的項(xiàng)都移到左邊，右邊化為0； 把方程的左邊分解成兩個(gè)因式的積，可用的方法有提公因式、平方差

6、公式和完全平方公式； 令每一個(gè)因式分別為零，得到一元一次方程； 解一元一次方程即可得到原方程的解。知識(shí)點(diǎn)二 :用合適的方法解一元一次方程 方法名稱 理論依據(jù) 適用范圍直接開(kāi)平方法 平方根的意義形如x2=p或（mx+n）2=p(p0)配方法完全平方公式所有一元二次方程公式法配方法所有一元二次方程因式分解法當(dāng)ab=0，則a=0或b=0一邊為0，另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的積的一元二次方程。21.2.4 :一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 若一元二次方程x2+px+q=0的兩個(gè)根為x1,x2,則有x1+x2=-p,x1x2=q. 若一元二次方程a2x+bx+c=0(a0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2,則有x

7、1+x2=，,x1x2=21.3 實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程知識(shí)點(diǎn)一 :列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟：（1） 審：是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量以及它們之間的等量關(guān)系。（2） 設(shè)：是指設(shè)元，也就是設(shè)出未知數(shù)。（3） 列：就是列方程，這是關(guān)鍵步驟,一般先找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的一個(gè)相等含義，然后列代數(shù)式表示這個(gè)相等關(guān)系中的各個(gè)量，就得到含有未知數(shù)的等式，即方程。（4） 解：就是解方程，求出未知數(shù)的值。（5） 驗(yàn)：是指檢驗(yàn)方程的解是否保證實(shí)際問(wèn)題有意義，符合題意。（6） 答：寫(xiě)出答案。知識(shí)點(diǎn)二 :列一元二次方程解應(yīng)用題的幾種常見(jiàn)類型（1） 數(shù)字問(wèn)題 三個(gè)連續(xù)整數(shù)：若設(shè)中

8、間的一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-1，x+1。 三個(gè)連續(xù)偶數(shù)（奇數(shù)）：若中間的一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-2,x+2。 三位數(shù)的表示方法：設(shè)百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為a,b,c，則這個(gè)三位數(shù)是100a+10b+c.（2） 增長(zhǎng)率問(wèn)題 設(shè)初始量為a，終止量為b，平均增長(zhǎng)率或平均降低率為x，則經(jīng)過(guò)兩次的增長(zhǎng)或降低 后的等量關(guān)系為a（1）2=b。（3）利潤(rùn)問(wèn)題 利潤(rùn)問(wèn)題常用的相等關(guān)系式有：總利潤(rùn)=總銷售價(jià)-總成本；總利潤(rùn)=單位利潤(rùn)×總銷 售量；利潤(rùn)=成本×利潤(rùn)率（4）圖形的面積問(wèn)題 根據(jù)圖形的面積與圖形的邊、高等相關(guān)元素的關(guān)系，將圖形的面積用含有未知數(shù)的代數(shù) 式表示出來(lái)

9、，建立一元二次方程。22. :二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納一、相關(guān)概念及定義1、二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)，而可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)2、二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：（1）等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2（2）是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)二、二次函數(shù)各種形式之間的變換1、二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中.2、二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：；.三、二次函數(shù)解析式的表示方法1、一般式：（，為常數(shù)，）；2、頂點(diǎn)式：（，為常數(shù)，）；3、兩根式：（，是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）

10、.4、注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式，只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.四、二次函數(shù)圖象的畫(huà)法1、五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開(kāi)口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫(huà)圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，（若與軸沒(méi)有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.2、畫(huà)草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).5、 二次函數(shù)的性質(zhì)的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的

11、增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值向下軸時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值六、二次函數(shù)的性質(zhì)的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值向下軸時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值七、二次函數(shù)的性質(zhì)：的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值向下X=h時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值八、二次函數(shù)的性質(zhì)的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值向下X=h時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，隨的增大而

12、增大；時(shí)，有最大值九、拋物線的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).1、的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向：當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向下；相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同.2、對(duì)稱軸：平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.3、頂點(diǎn)坐標(biāo)：4、頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.十、拋物線中，與函數(shù)圖像的關(guān)系1 、二次項(xiàng)系數(shù)：二次函數(shù)中，作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然 當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，越大，開(kāi)口越小，反之的值越小，開(kāi)口越大； 當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，越小，開(kāi)口越小，反之的值越大，開(kāi)口越大總結(jié)起來(lái)，決定了拋物線開(kāi)口的大小

13、和方向，的正負(fù)決定開(kāi)口方向，的大小決定開(kāi)口的大小2、一次項(xiàng)系數(shù)：在二次項(xiàng)系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對(duì)稱軸 在的前提下，當(dāng)時(shí)，即拋物線的對(duì)稱軸在軸左側(cè)；當(dāng)時(shí)，即拋物線的對(duì)稱軸就是軸；當(dāng)時(shí)，即拋物線對(duì)稱軸在軸的右側(cè) 在的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)時(shí)，即拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)；當(dāng)時(shí)，即拋物線的對(duì)稱軸就是軸；當(dāng)時(shí)，即拋物線對(duì)稱軸在軸的左側(cè)總結(jié)起來(lái)，在確定的前提下，決定了拋物線對(duì)稱軸的位置3、常數(shù)項(xiàng) 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為； 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù) 總結(jié)

14、起來(lái)，決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的十一、求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法1、公式法：，頂點(diǎn)是，對(duì)稱軸是直線.2、配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為(,)，對(duì)稱軸是直線.3、運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn). 用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失.十二、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式1一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式.2頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.3交點(diǎn)式：已知

15、圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：.十三、直線與拋物線的交點(diǎn)1、軸與拋物線得交點(diǎn)為(0, ).2、與軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,).3、拋物線與軸的交點(diǎn):二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方程軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與軸相交；有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上）拋物線與軸相切；沒(méi)有交點(diǎn)拋物線與軸相離.4、平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn) 可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.5、 一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方程組 的解的數(shù)目來(lái)確定：方程組有兩組不

16、同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn); 方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解時(shí)與沒(méi)有交點(diǎn).6、拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為，由于、是方程的兩個(gè)根，故十四、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱:二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1、關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；2、關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；3、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；4、關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是5、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是總

17、結(jié)：根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無(wú)論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此永遠(yuǎn)不變求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，然后再寫(xiě)出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式十五、二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：2平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上 “值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”概括成八個(gè)字 “左加右減，上加下減”十六、根據(jù)條件確定二次函數(shù)表達(dá)式的幾種基本思路。

18、1.三點(diǎn)式。（1）已知拋物線y=ax2+bx+c 經(jīng)過(guò)A（，0），B（，0），C（0，-3）三點(diǎn)，求拋物線的解析式。（2）已知拋物線y=a(x-1)+4 ， 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3），求拋物線的解析式。2.頂點(diǎn)式。（1）已知拋物線y=x2-2ax+a2+b 頂點(diǎn)為A（2，1），求拋物線的解析式。（1）已知拋物線 y=4(x+a)2-2a 的頂點(diǎn)為（3，1），求拋物線的解析式。3.交點(diǎn)式。（1）已知拋物線與 x 軸兩個(gè)交點(diǎn)分別為（3，0）,(5,0),求拋物線y=(x-a)(x-b)的解析式。（2）已知拋物線線與 x 軸兩個(gè)交點(diǎn)（4，0），（1，0）求拋物線y=a(x-2a)(x-b)的解析式。4.定

19、點(diǎn)式。（1）在直角坐標(biāo)系中，不論a 取何值，拋物線經(jīng)過(guò)x 軸上一定點(diǎn)Q，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q,求拋物線的解析式。（2）拋物線y= x2 +(2m-1)x-2m與x軸的一定交點(diǎn)經(jīng)過(guò)直線y=mx+m+4，求拋物線的解析式。（3） 拋物線y=ax2+ax-2過(guò)直線y=mx-2m+2上的定點(diǎn)A，求拋物線的解析式。5.平移式。（1）把拋物線y= -2x2 向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線y=a( x-h)2 +k,求此拋物線解析式。（2）拋物線向上平移,使拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,2),求拋物線的解析式.6.距離式。（1）拋物線y=ax2+4ax+1(a0)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，求拋物

20、線的解析式。（2）已知拋物線y=m x2+3mx-4m(m0)與 x軸交于A、B兩點(diǎn)，與 軸交于C點(diǎn)，且AB=BC,求此拋物線的解析式。7.對(duì)稱軸式。（1）拋物線y=x2-2x+(m2-4m+4)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的距離等于拋物線頂點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的2倍，求拋物線的解析式。（2）已知拋物線y=-x2+ax+4, 交x軸于A,B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊）兩點(diǎn)，交 y軸于點(diǎn)C,且OB-OA=OC，求此拋物線的解析式。8.對(duì)稱式。（1）平行四邊形ABCD對(duì)角線AC在x軸上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y 軸于E，將三角形ABC沿x 軸折疊，點(diǎn)B到B1的位置，求經(jīng)過(guò)A,B,E三點(diǎn)的

21、拋物線的解析式。（2）求與拋物線y=x2+4x+3關(guān)于y軸（或x軸）對(duì)稱的拋物線的解析式。9.切點(diǎn)式。（1）已知直線y=ax-a2(a0) 與拋物線y=mx2 有唯一公共點(diǎn)，求拋物線的解析式。（2） 直線y=x+a 與拋物線y=ax2 +k 的唯一公共點(diǎn)A（2，1）,求拋物線的解析式。10.判別式式。（1）已知關(guān)于X的一元二次方程（m+1）x2+2(m+1)x+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求拋物線y=-x2+(m+1)x+3解析式。（2）已知拋物線y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的頂點(diǎn)在x軸上,求拋物線的解析式。23、 旋轉(zhuǎn)23.1 圖形的旋轉(zhuǎn)知識(shí)點(diǎn)一 ：旋轉(zhuǎn)的定義 在平面內(nèi)，把一個(gè)平面圖

22、形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。我們把旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向稱為旋轉(zhuǎn)的三要素。知識(shí)點(diǎn)二 ：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) 旋轉(zhuǎn)的特征：（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。理解以下幾點(diǎn)：（1） 圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等。（3）圖形的大小和形狀都沒(méi)有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置。知識(shí)點(diǎn)三： 利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖 旋轉(zhuǎn)有兩條重要性質(zhì)：（1）任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)

23、中心的距離相等，它是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖的關(guān)鍵。步驟可分為：連：即連接圖形中每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心； 轉(zhuǎn)：即把直線按要求繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過(guò)一定角度（作旋轉(zhuǎn)角）截：即在角的另一邊上截取關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)； 接：即連接到所連接的各點(diǎn)。23.2 中心對(duì)稱知識(shí)點(diǎn)一 ：中心對(duì)稱的定義 中心對(duì)稱：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心。注意以下幾點(diǎn)： 中心對(duì)稱指的是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系；只有一個(gè)對(duì)稱中心；繞對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180°兩個(gè)圖形能夠完全重合。知識(shí)點(diǎn)二 ：作一個(gè)圖形關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的圖

24、形 要作出一個(gè)圖形關(guān)于某一點(diǎn)的成中心對(duì)稱的圖形，關(guān)鍵是作出該圖形上關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)。最后將對(duì)稱點(diǎn)按照原圖形的形狀連接起來(lái)，即可得出成中心對(duì)稱圖形。知識(shí)點(diǎn)三 ：中心對(duì)稱的性質(zhì)有以下幾點(diǎn)：（1） 關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，并且都被對(duì)稱中心平分；（2） 關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形能夠互相重合，是全等形；（3） 關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線段平行（或共線）且相等。知識(shí)點(diǎn)四： 中心對(duì)稱圖形的定義 把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心。知識(shí)點(diǎn)五 ：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

25、在平面直角坐標(biāo)系中，如果兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)p（x,y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)為（-x,-y）。24、圓24.1 圓24.1.1 圓知識(shí)點(diǎn)一： 圓的定義 圓的定義：第一種：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫作圓。固定的端點(diǎn)O叫作圓心，線段OA叫作半徑。 第二種：圓心為O，半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合。比較圓的兩種定義可知：第一種定義是圓的形成進(jìn)行描述的，第二種是運(yùn)用集合的觀點(diǎn)下的定義，但是都說(shuō)明確定了定點(diǎn)與定長(zhǎng)，也就確定了圓。知識(shí)點(diǎn)二 ：圓的相關(guān)概念（1） 弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦

26、叫作直徑。（2） ?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。（3） 等圓：等夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓。（4） 等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。弦是線段，弧是曲線，判斷等弧首要的條件是在同圓或等圓中，只有在同圓或等圓中完全重合的弧才是等弧，而不是長(zhǎng)度相等的弧。24.1.2 垂直于弦的直徑知識(shí)點(diǎn)一; 圓的對(duì)稱性 圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸。知識(shí)點(diǎn)二 ；垂徑定理CMABD （1）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。如圖所示，直徑為CD，AB是弦，且CDAB， AM=BM 垂足為M

27、AC=BC AD=BD垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧如上圖所示，直徑CD與非直徑弦AB相交于點(diǎn)M， CDAB AM=BM AC=BC AD=BD 注意：因?yàn)閳A的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦必須不是直徑，否則結(jié)論不成立。24.1.3 弧、弦、圓心角知識(shí)點(diǎn) 弦、弧、圓心角的關(guān)系（1） 弦、弧、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。（2） 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余的各組量也相等。（3） 注意不能忽略同圓或等圓這個(gè)前提條件，如果丟掉這個(gè)

28、條件，即使圓心角相等，所對(duì)的弧、弦也不一定相等，比如兩個(gè)同心圓中，兩個(gè)圓心角相同，但此時(shí)弧、弦不一定相等。24.1.4 圓周角知識(shí)點(diǎn)一： 圓周角定理 （1） 圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。（2） 圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)弦是直徑。（3） 圓周角定理揭示了同弧或等弧所對(duì)的圓周角與圓心角的大小關(guān)系。“同弧或等弧”是不能改為“同弦或等弦”的，否則就不成立了，因?yàn)橐粭l弦所對(duì)的圓周角有兩類。知識(shí)點(diǎn)二： 圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì) 圓內(nèi)接多邊形：如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做

29、圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓。 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。24.2 點(diǎn)、直線、圓和圓的位置關(guān)系24.2.1 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一： 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（1） 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)三種。（2） 用數(shù)量關(guān)系表示：若設(shè)O的半徑是r，點(diǎn)P到圓的距離OP=d，則有： 點(diǎn)P在圓外 dr；點(diǎn)p在圓上 d=r；點(diǎn)p在圓內(nèi) dr。知識(shí)點(diǎn)二 ：過(guò)已知點(diǎn)作圓（1） 經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)的圓（如點(diǎn)A）O2 O1 O3A 以點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)（如點(diǎn)O）為圓心，以O(shè)A為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無(wú)數(shù)個(gè)。（2） 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的圓（如點(diǎn)A、B）AB 以線段AB的垂直平分線

30、上的任意一點(diǎn)（如點(diǎn)O）為圓心，以O(shè)A（或OB）為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無(wú)數(shù)個(gè)。（3） 經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓 經(jīng)過(guò)在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不能作圓 不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，即經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以作圓，且只能作一個(gè)圓。如經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C作圓，作法：連接AB、BC（或AB、AC或BC、AC）并作它們的垂直平分線，兩條垂直平分線相交于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A（或OB、OC）的長(zhǎng)為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓只能作一個(gè)。AOCB知識(shí)點(diǎn)三 ：三角形的外接圓與外心（1） 經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。（2） 外接圓的圓心是三角形三

31、條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外心。知識(shí)點(diǎn)四 ：反證法（1） 反證法：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過(guò)推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明命題的方法叫做反證法。（2） 反證法的一般步驟： 假設(shè)命題的結(jié)論不成立； 從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)邏輯推理，推出或與定義，或與公理，或與定理，或與已知等相矛盾的結(jié)論； 由矛盾判定假設(shè)不正確，從而得出原命題正確。24.2.2 直線和圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一： 直線與圓的位置關(guān)系（1） 直線與圓的位置關(guān)系有：相交、相切、相離三種。（2） 直線與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系表示 若設(shè)O的半徑是r，直線l與圓心0的距離為d，則有： 直線l和O相

32、交 d r；直線l和O相切 d = r；直線l和O相離 d r。知識(shí)點(diǎn)二 ：切線的判定和性質(zhì)（1） 切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2） 切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。（3） 切線的其他性質(zhì)：切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；切線到圓心的距離等于半徑；經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)；必過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。知識(shí)點(diǎn)三 ：切線長(zhǎng)定理（1） 切線長(zhǎng)的定義：經(jīng)過(guò)園外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。（2） 切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。（3） 注意

33、：切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)完全不同的概念，必須弄清楚切線是直線，是不能度量的；切線長(zhǎng)是一條線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)是在圓外一點(diǎn)，另一個(gè)是切點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)四 ：三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心(1) 三角形的內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。(2) 三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。(3) 注意：三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，所以當(dāng)三角形的內(nèi)心已知時(shí)，過(guò)三角形的頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線，必平分三角形的內(nèi)角。24.2.3 圓和圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一 ：圓與圓的位置關(guān)系（1） 圓與圓的位置關(guān)系有五種： 如果兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，就說(shuō)這兩個(gè)圓相離，包括外

34、離和內(nèi)含兩種； 如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，就說(shuō)這兩個(gè)圓相切，包括內(nèi)切和外切兩種； 如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，就說(shuō)這兩個(gè)圓相交。（2） 圓與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系來(lái)表示： 若設(shè)兩圓圓心之間的距離為d，兩圓的半徑分別是r1 r2,且r1 r2，則有 兩圓外離 dr1+r2 兩圓外切 d=r1+r2 兩圓相交 r2-r1dr1+r2 兩圓內(nèi)切 d=r2-r1 兩圓內(nèi)含 dr2-r124.3 正多邊形和圓知識(shí)點(diǎn)一 ：正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形與圓的關(guān)系非常密切：把圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，順次連接各分 點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓。正

35、多邊形的中心：一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角。正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。知識(shí)點(diǎn)二 ：正多邊形的性質(zhì)（1） 正n邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形。（2） 所有的正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，每個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都經(jīng)過(guò)正n邊形的中心；當(dāng)正n邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時(shí)，這個(gè)正n邊形也是中心對(duì)稱圖形，正n邊形的中心就是對(duì)稱中心。（3） 正n邊形的每一個(gè)內(nèi)角等于，中心角和外角相等，等于。24.4 弧長(zhǎng)和扇形面積知識(shí)點(diǎn)一 ：弧長(zhǎng)公式l=在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓的周長(zhǎng)C=2R，所以n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)的計(jì)算公式l=×2R=。知識(shí)點(diǎn)二 ：扇形面積公式在半徑為R的圓中，360°