二次項(xiàng)定理典型例題教師版

1、例1在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開(kāi)式中所有有理項(xiàng)分析：本題是典型的特定項(xiàng)問(wèn)題，涉及到前三項(xiàng)的系數(shù)及有理項(xiàng)，可以通過(guò)抓通項(xiàng)公式解決解：二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：前三項(xiàng)的得系數(shù)為：，由已知：，通項(xiàng)公式為為有理項(xiàng)，故是4的倍數(shù)，依次得到有理項(xiàng)為說(shuō)明：本題通過(guò)抓特定項(xiàng)滿(mǎn)足的條件，利用通項(xiàng)公式求出了r的取值，得到了有理項(xiàng)類(lèi)似地，的展開(kāi)式中有多少項(xiàng)是有理項(xiàng)？可以通過(guò)抓通項(xiàng)中r的取值，得到共有17項(xiàng)例2求的展開(kāi)式中，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)以及系數(shù)最大的項(xiàng)分析：本題仍然屬于抓通項(xiàng)公式解決特定項(xiàng)的問(wèn)題，但是系數(shù)的絕對(duì)值的最大值或系數(shù)的最大值，需要對(duì)所有項(xiàng)的系數(shù)的變化規(guī)律進(jìn)行研究由于系數(shù)的絕對(duì)值

2、都是正數(shù)，我們可以用作商來(lái)研究系數(shù)絕對(duì)值的變化情況，另外各項(xiàng)系數(shù)正負(fù)交替，又便于用系數(shù)絕對(duì)值的大小變化抓系數(shù)的最大值解：展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：系數(shù)的絕對(duì)值為，記為用前后兩項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值作商得：令得：即、1、2時(shí)，上述不等式成立所以，系數(shù)的絕對(duì)值從第1項(xiàng)到第4項(xiàng)增加，以后逐項(xiàng)減小系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)，從系數(shù)絕對(duì)值的變化情況及系數(shù)的正負(fù)交替，只要比較第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的系數(shù)，所以，系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，例3已知，求：（1）；（2）；（3）分析：本題是有關(guān)展開(kāi)式系數(shù)和的問(wèn)題，通過(guò)對(duì)等式中字母的賦值，往往會(huì)得到此類(lèi)問(wèn)題的結(jié)果字母經(jīng)常取的值有0、1、1等解：（1）取可得，取得.（2）取得，記可得從而（3

3、）從（2）的計(jì)算已知說(shuō)明：賦值法不僅可以用來(lái)求二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)和，對(duì)于展開(kāi)式為多項(xiàng)式的代數(shù)式的系數(shù)和大多數(shù)也能用此方法解決，如：的展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為多少？可以看到的展開(kāi)式仍是多項(xiàng)式，令，即得各項(xiàng)系數(shù)和為再比如：，則等于多少？本題可以由取得到各項(xiàng)系數(shù)和，取得到奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和減去偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和，兩式相加可得此外，為了賦值的需要，有時(shí)需要用一個(gè)新的二項(xiàng)式替換原來(lái)二項(xiàng)式，只要它們的系數(shù)等同即可如：的展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和是多少？我們可以用一個(gè)更簡(jiǎn)單的二項(xiàng)式代替原來(lái)的二項(xiàng)式，它們的系數(shù)并不改變，令便得各項(xiàng)系數(shù)和為例4（1）求展開(kāi)式中的系數(shù)；（2）求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)分析：本題的兩小題都不是二項(xiàng)式展開(kāi)，但可以

4、轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開(kāi)的問(wèn)題，（1）可以視為兩個(gè)二項(xiàng)展開(kāi)式相乘；（2）可以經(jīng)過(guò)代數(shù)式變形轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式解：（1）展開(kāi)式中的可以看成下列幾種方式得到，然后合并同類(lèi)項(xiàng)：用展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)乘以展開(kāi)式中的項(xiàng)，可以得到；用展開(kāi)式中的一次項(xiàng)乘以展開(kāi)式中的項(xiàng)可得到；用中的乘以展開(kāi)式中的可得到；用中的項(xiàng)乘以展開(kāi)式中的項(xiàng)可得到，合并同類(lèi)項(xiàng)得項(xiàng)為：（2）由展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，可得展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為說(shuō)明：?jiǎn)栴}（2）中將非二項(xiàng)式通過(guò)因式分解轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式解決這時(shí)我們還可以通過(guò)合并項(xiàng)轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開(kāi)的問(wèn)題來(lái)解決例5求展開(kāi)式中的系數(shù)分析：不是二項(xiàng)式，我們可以通過(guò)或把它看成二項(xiàng)式展開(kāi)解：方法一：其中含的項(xiàng)為含項(xiàng)的系數(shù)為6方法二：其中含的

5、項(xiàng)為項(xiàng)的系數(shù)為6方法3：本題還可通過(guò)把看成6個(gè)相乘，每個(gè)因式各取一項(xiàng)相乘可得到乘積的一項(xiàng)，項(xiàng)可由下列幾種可能得到5個(gè)因式中取x，一個(gè)取1得到3個(gè)因式中取x，一個(gè)取，兩個(gè)取1得到1個(gè)因式中取x，兩個(gè)取，三個(gè)取1得到合并同類(lèi)項(xiàng)為，項(xiàng)的系數(shù)為6例6求證：（1）；（2）分析：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)實(shí)際上是組合數(shù)的性質(zhì)，我們可以用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)來(lái)證明一些組合數(shù)的等式或者求一些組合數(shù)式子的值解決這兩個(gè)小題的關(guān)鍵是通過(guò)組合數(shù)公式將等式左邊各項(xiàng)變化的等數(shù)固定下來(lái)，從而使用二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)解：（1）左邊右邊（2）左邊右邊說(shuō)明：本題的兩個(gè)小題都是通過(guò)變換轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式系數(shù)之和，再用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解此外，有些組合數(shù)的式

6、子可以直接作為某個(gè)二項(xiàng)式的展開(kāi)式，但這需要逆用二項(xiàng)式定理才能完成，所以需仔細(xì)觀(guān)察，我們可以看下面的例子：求的結(jié)果仔細(xì)觀(guān)察可以發(fā)現(xiàn)該組合數(shù)的式與的展開(kāi)式接近，但要注意：從而可以得到：例7利用二項(xiàng)式定理證明：是64的倍數(shù)分析：64是8的平方，問(wèn)題相當(dāng)于證明是的倍數(shù)，為了使問(wèn)題向二項(xiàng)式定理貼近，變形，將其展開(kāi)后各項(xiàng)含有，與的倍數(shù)聯(lián)系起來(lái)解：是64的倍數(shù)說(shuō)明：利用本題的方法和技巧不僅可以用來(lái)證明整除問(wèn)題，而且可以用此方程求一些復(fù)雜的指數(shù)式除以一個(gè)數(shù)的余數(shù)例8展開(kāi)分析1：用二項(xiàng)式定理展開(kāi)式解法1：分析2：對(duì)較繁雜的式子，先化簡(jiǎn)再用二項(xiàng)式定理展開(kāi)解法2：說(shuō)明：記準(zhǔn)、記熟二項(xiàng)式的展開(kāi)式，是解答好與二項(xiàng)式定理

7、有關(guān)問(wèn)題的前提條件對(duì)較復(fù)雜的二項(xiàng)式，有時(shí)先化簡(jiǎn)再展開(kāi)會(huì)更簡(jiǎn)便例9若將展開(kāi)為多項(xiàng)式，經(jīng)過(guò)合并同類(lèi)項(xiàng)后它的項(xiàng)數(shù)為（）A11B33C55D66分析：看作二項(xiàng)式展開(kāi)解：我們把看成，按二項(xiàng)式展開(kāi)，共有“項(xiàng)”，即這時(shí)，由于“和”中各項(xiàng)的指數(shù)各不相同，因此再將各個(gè)二項(xiàng)式展開(kāi)，不同的乘積（）展開(kāi)后，都不會(huì)出現(xiàn)同類(lèi)項(xiàng)下面，再分別考慮每一個(gè)乘積（）其中每一個(gè)乘積展開(kāi)后的項(xiàng)數(shù)由決定，而且各項(xiàng)中和的指數(shù)都不相同，也不會(huì)出現(xiàn)同類(lèi)項(xiàng)故原式展開(kāi)后的總項(xiàng)數(shù)為，應(yīng)選D例10若的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為，求分析：題中，當(dāng)時(shí)，把三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為；當(dāng)時(shí)，同理然后寫(xiě)出通項(xiàng)，令含的冪指數(shù)為零，進(jìn)而解出解：當(dāng)時(shí)，其通項(xiàng)為，令，得，展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為；當(dāng)

8、時(shí)，同理可得，展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為無(wú)論哪一種情況，常數(shù)項(xiàng)均為令，以，逐個(gè)代入，得例11的展開(kāi)式的第3項(xiàng)小于第4項(xiàng)，則的取值范圍是_分析：首先運(yùn)用通項(xiàng)公式寫(xiě)出展開(kāi)式的第3項(xiàng)和第4項(xiàng)，再根據(jù)題設(shè)列出不等式即可解：使有意義，必須；依題意，有，即（）解得的取值范圍是應(yīng)填：例12已知的展開(kāi)式中有連續(xù)三項(xiàng)的系數(shù)之比為，這三項(xiàng)是第幾項(xiàng)？若展開(kāi)式的倒數(shù)第二項(xiàng)為，求的值解：設(shè)連續(xù)三項(xiàng)是第、項(xiàng)（且），則有，即，所求連續(xù)三項(xiàng)為第、三項(xiàng)又由已知，即兩邊取以為底的對(duì)數(shù)，或說(shuō)明：當(dāng)題目中已知二項(xiàng)展開(kāi)式的某些項(xiàng)或某幾項(xiàng)之間的關(guān)系時(shí)，常利用二項(xiàng)式通項(xiàng)，根據(jù)已知條件列出某些等式或不等式進(jìn)行求解例13的展開(kāi)式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的系數(shù)相等，

9、求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)分析：根據(jù)已知條件可求出，再根據(jù)的奇偶性；確定二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)解：，依題意有的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，則有或（）系婁最大的項(xiàng)為：，說(shuō)明：(1)求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，為奇數(shù)時(shí)中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大(2)求展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況，一般采用列不等式，解不等式的方法求得例14設(shè)()，若其展開(kāi)式中關(guān)于的一次項(xiàng)的系數(shù)和為，問(wèn)為何值時(shí)，含項(xiàng)的系數(shù)取最小值？并求這個(gè)最小值分析：根據(jù)已知條件得到的系數(shù)關(guān)于的二次表達(dá)式，然后利用二次函

10、數(shù)性質(zhì)探討最小值問(wèn)題解：，或，或時(shí)，項(xiàng)系數(shù)最小，最小值為說(shuō)明：二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為，即，由于、距等距離，且對(duì)，、距最近，所以的最小值在或處取得例15若，求(1)；(2)；(3)解：(1)令，則，令，則(2)令，則由得：(3)由得：說(shuō)明：（1）本解法根據(jù)問(wèn)題恒等式特點(diǎn)來(lái)用“特殊值”法這是一種重要的方法，它適用于恒等式(2)一般地，對(duì)于多項(xiàng)式，的各項(xiàng)的系數(shù)和為：的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為的偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為例16填空：(1)除以的余數(shù)_；(2)除以的余數(shù)是_.分析(1)：將分解成含的因數(shù)，然后用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，不含的項(xiàng)就是余數(shù)解：又余數(shù)不能為負(fù)數(shù)，需轉(zhuǎn)化為正數(shù)除以的余數(shù)為應(yīng)填：分析(2)：將寫(xiě)成，然后利用

11、二項(xiàng)式定理展開(kāi)解：該式只有不能被整除，因此除以的余數(shù)，即除以的余數(shù)，故余數(shù)為應(yīng)填：例17求證：對(duì)于，證明：展開(kāi)式的通項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)明顯看出，所以說(shuō)明：本題的兩個(gè)二項(xiàng)式中的兩項(xiàng)為正項(xiàng)，且有一項(xiàng)相同，證明時(shí)，根據(jù)題設(shè)特點(diǎn)，采用比較通項(xiàng)大小的方法完成本題證明例18在的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A160B240C360D800分析：本題考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的運(yùn)用應(yīng)想辦法將三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式求解解法1：由，得再一次使用通項(xiàng)公式得，這里，令，即所以，由此得到的系數(shù)為解法2：由，知的展開(kāi)式中的系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為，的展開(kāi)式中的系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為因此原式中的系數(shù)為解法3：將看作個(gè)三項(xiàng)式相乘，展開(kāi)式

12、中的系數(shù)就是從其中一個(gè)三項(xiàng)式中取的系數(shù)，從另外個(gè)三項(xiàng)式中取常數(shù)項(xiàng)相乘所得的積，即應(yīng)選B例19已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為，常數(shù)的值為_(kāi)分析：利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式解：在的展開(kāi)式中，通項(xiàng)公式為根據(jù)題設(shè)，所以代入通項(xiàng)公式，得根據(jù)題意，所以應(yīng)填：例20(1)求證：(2)若，求的值分析：(1)注意觀(guān)察的系數(shù)、指數(shù)特征，即可通過(guò)賦值法得到證明(2)注意到，再用賦值法求之解：(1)在公式中令，即有等式得證(2)在展開(kāi)式中，令，得；令，得原式說(shuō)明：注意“賦值法”在證明或求值中的應(yīng)用賦值法的模式是，在某二項(xiàng)展開(kāi)式，如或中，對(duì)任意的（）該式恒成立，那么對(duì)中的特殊值，該工也一定成立特殊值如何選取，沒(méi)有一成不變的規(guī)律，需視

13、具體情況而定，其靈活性較強(qiáng)一般取較多一般地，多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)和為，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為，偶次項(xiàng)系數(shù)和為二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及的證明就是賦值法應(yīng)用的范例例21若，求證明：能被整除分析：考慮先將拆成與的倍數(shù)有關(guān)的和式，再用二項(xiàng)式定理展開(kāi)解：，均為自然數(shù)，上式各項(xiàng)均為的整數(shù)倍原式能被整除說(shuō)明：用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題，大體上就是這一模式，先將某項(xiàng)湊成與除數(shù)有關(guān)的和式，再展開(kāi)證之該類(lèi)題也可用數(shù)學(xué)歸納法證明，但不如用二項(xiàng)式定理證明簡(jiǎn)捷例22已知的展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大(1)求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)解：令得展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為，而展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為，有(1)，

14、故展開(kāi)式共有，其中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三、第四兩項(xiàng)，(2)設(shè)展開(kāi)式中第項(xiàng)的系數(shù)最大，故有即解得，即展開(kāi)式中第項(xiàng)的系數(shù)最大說(shuō)明：展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)與系數(shù)最大的項(xiàng)是兩個(gè)不同的概念，因此其求法亦不同前者用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)直接得出，后者要列不等式組；解不等式組時(shí)可能會(huì)求出幾個(gè)，這時(shí)還必須算出相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)后再比較大小例23求證：(1)；(2)(，)分析：(1)注意到兩列二項(xiàng)式兩乘后系數(shù)的特征，可構(gòu)造一個(gè)函數(shù)；也可用構(gòu)造一個(gè)組合問(wèn)題的兩種不同解法找到思路(2)同上構(gòu)造函數(shù)，賦值證明：(1)(法1)，此式左右兩邊展開(kāi)式中的系數(shù)必相等左邊的系數(shù)是，右邊的系數(shù)是，等式成立(法2)設(shè)想有下面一個(gè)問(wèn)題：要從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素，共有多少種取法？該問(wèn)題可有兩種解法一種解法是明顯的，即直接由組合數(shù)公式