北京高考立體幾何匯編

1、1(2009 北京理科卷 16)如圖，在三棱錐中，底面，點(diǎn)，分別在棱上，且（）求證：平面；（）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求與平面所成的角的大小；（）是否存在點(diǎn)使得二面角為直二面角？并說 明理由。方法提示:方法一：幾何法(利用線線關(guān)系，線面關(guān)系，面面關(guān)系)。（）判定線面垂直的主要方法：（）線面垂直的定義；（）線面垂直的判定定理；（）作定理用的正確命題：如果兩條平行直線中的一條垂直于另一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面；（）面面垂直的性質(zhì)定理；（）作定理用的正確命題：如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面。（）求線面角的基本步驟：（）找角；（）求角。（）求面面角的基本步驟：（）找角

2、；（）求角（或說明原因）。方法二：向量法。（）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并表示有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；（）表示有關(guān)線段所對應(yīng)的向量；（）利用向量的平行或垂直來判斷直線的平行或垂直，從而判定線線、線面、面面的位置關(guān)系；或者利用向量的運(yùn)算求夾角或距離。2(2009北京文科卷16)如圖，四棱錐的底面是正方形，點(diǎn)E在棱PB上。（）求證：平面；（）當(dāng)且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PDB所成的角的大小。3. （2008 北京理科卷 16 文科無第三問）如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，ACB=90°，AP=BP=AB，PCAC.（）求證：PCAB；（）求二面角B-AP-C的大??；（）求點(diǎn)C到平面A

3、PB的距離.4. （2007北京理科卷16,文科無第三問）如圖，在中，斜邊可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角動(dòng)點(diǎn)在斜邊上（）求證：平面平面；（）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線與所成角的大小；（）求與平面所成角的最大值5.（2006年北京理科卷17,）如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，平面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn).（）求證：；（）求證：平面；（）求二面角的大小.1.【解法1】本題主要考查直線和平面垂直、直線與平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力（）PA底面ABC，PABC.又，ACBC.BC平面PAC.（）D為PB的中點(diǎn)，DE/BC，又由（）知，BC平面PAC

4、，DE平面PAC，垂足為點(diǎn)E.DAE是AD與平面PAC所成的角，PA底面ABC，PAAB，又PA=AB，ABP為等腰直角三角形，在RtABC中，.在RtADE中，與平面所成的角的大小.（）DE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP為二面角的平面角，PA底面ABC，PAAC，.在棱PC上存在一點(diǎn)E，使得AEPC，這時(shí)，故存在點(diǎn)E使得二面角是直二面角.【解法2】如圖，以A為原煤點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)，由已知可得.（），BCAP.又，BCAC，BC平面PAC.（）D為PB的中點(diǎn)，DE/BC，E為PC的中點(diǎn)，又由（）知，BC

5、平面PAC，DE平面PAC，垂足為點(diǎn)E.DAE是AD與平面PAC所成的角，.與平面所成的角的大小.（）同解法1.2【解法1】（）四邊形ABCD是正方形，ACBD，PDAC，AC平面PDB，平面.（）設(shè)ACBD=O，連接OE， 由（）知AC平面PDB于O，AEO為AE與平面PDB所的角，O，E分別為DB、PB的中點(diǎn)，OE/PD，又，OE底面ABCD，OEAO， 在RtAOE中，即AE與平面PDB所成的角的大小為.【解法2】如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)則，（），ACDP，ACDB，AC平面PDB，平面.（）當(dāng)且E為PB的中點(diǎn)時(shí)， 設(shè)ACBD=O，連接OE， 由（）知AC平面PDB于O，

6、AEO為AE與平面PDB所的角，即AE與平面PDB所成的角的大小為.3.解法一：（I） 取AB中點(diǎn)D，連結(jié)PD，CD.AP=BP，PDAB.AC=BC,CDAB.PDCD=D,AB平面PCD.PC平面PCD.PCAB.（）AC=BC，APBP，APCBPC.又PCBC.PCBC.又ACB=90°,即ACBC.且ACPCC,BC平面PAC.取AP中點(diǎn)E，連結(jié)BE，CE.ABBP，BEAP.EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影.CEAP.BEC是二面角B-AP-C的平面角.在BCE中，BCE90°，BC2，BEAB，sinBEC=二面角B-AP-C的大小為aresin()由（）知AB

7、平面PCD，平面APB平面PCD.過C作CHPD，垂足為H.平面APB平面PCDPD，CH平面APB.CH的長即為點(diǎn)C到平面APB的距離，由（）知PCAB，又PCAC，且ABACA.PC平面ABC.CD平面ABC.PCCD.在RtPCD中，CDPCCH=點(diǎn)C到平面APB的距離為解法二：（）ACBC，APBP，APCBPC.又PCAC.PCBC.ACBCC，PC平面ABC.AB平面ABC，PCAB.（）如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.則C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.設(shè)P（0，0，1）.PBAB2，t2，P（0，0，2）.取AP中點(diǎn)E，連結(jié)BE，CE.ACPC

8、，ABBP,CEAP，BEAP.BEC是二面角B-AP-C的平面角.E（0，1，1），cosBEC=二面角B-AP-C的大小為arecos（）AC=BC=PC，C在平面APB內(nèi)的射影為正APB的中心H，且CH的長為點(diǎn)C到平面APB的距離.如（）建立空間直角坐標(biāo)第C-xyZ.點(diǎn)H的坐標(biāo)為（）.點(diǎn)C到平面APB的距離為4.解法一：（I）由題意，是二面角是直二面角，又二面角是直二面角，又，平面，又平面平面平面（II）作，垂足為，連結(jié)（如圖），則，是異面直線與所成的角在中，又在中，異面直線與所成角的大小為（III）由（I）知，平面，是與平面所成的角，且當(dāng)最小時(shí)，最大，這時(shí)，垂足為，與平面所成角的最大值為解法二：（I）同解法一（II）建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，異面直線與所成角的大小為（III）同解法一5.解法一：（）PA平面ABCDAB是PB在平面ABCD上的射影又ABAC，AC平面ABCD，ACPB（）