全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模C題月上柳梢頭

1、承諾書我們仔細(xì)閱讀了全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽章程和全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽參賽規(guī)則（以下簡稱為“競賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽章程和參賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽章程和參賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們授權(quán)全

2、國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進行公開展示（包括進行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號（從A/B/C/D中選擇一項填寫）：我們的報名參賽隊號（12位數(shù)字全國統(tǒng)一編號）：參賽學(xué)校（完整的學(xué)校全稱，不含院系名）：參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3.指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期：年月日（此承諾書打印簽名后作為紙質(zhì)論文的封面，注意電子版論文中不得出現(xiàn)此頁。以上內(nèi)容請仔細(xì)核對，特別是參賽隊號，如填寫錯誤，論文可能被取消評獎資格。）賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會填寫）：2015高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編號專用頁

3、賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人備注送全國評獎統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會填寫）：全國評閱統(tǒng)一編號（由全國組委會填寫）：此編號專用頁僅供賽區(qū)和全國評閱使用，參賽隊打印后裝訂到紙質(zhì)論文的第二頁上。注意電子版論文中不得出現(xiàn)此頁，即電子版論文的第一頁為標(biāo)題和摘要頁。月上柳梢頭摘要北宋歐陽修膾炙人口的詩句“月上柳梢頭，人約黃昏后”描寫了詩人與佳人相約的情景，同時又隱含了相關(guān)天文學(xué)的知識，情景交融又富含哲理，被世人廣為流傳。本文首先從天文學(xué)的角度對該詩句進行賞析，然后從詩人描寫的情景出發(fā)利用相關(guān)的基本天文學(xué)、物理學(xué)、知識在適當(dāng)簡化的基礎(chǔ)上建立了數(shù)學(xué)模型。一年當(dāng)中同一地點每天日落月出的時間均不同，而且

4、同一時間不同地點日落月出的時間也不同，我們把一年當(dāng)中日期的變化轉(zhuǎn)換成太陽直射點高度的變化（-23.26至23.26），把地理位置的不同用經(jīng)緯度來描述，這樣不同日期不同地點日落月出的時間就可以寫成一個關(guān)于緯度、經(jīng)度、太陽直射高度的多元函數(shù)Tsun（，）和Tmoon（，）。由于月上柳梢和黃昏同時發(fā)生，所以Tsun（，）與Tmoon（，）時間差在一個很小的范圍之間。而且，經(jīng)過人們長時間的觀察結(jié)果顯示，日落月出同時發(fā)生，也就是說地球太陽月球三者共線的時間只能在農(nóng)歷的每月15號，再利用Maple數(shù)學(xué)計算軟件編寫相應(yīng)的程序就可以計算出地球上任意一位置在農(nóng)歷每月15號能否發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后”這一場

5、景。本文根據(jù)相關(guān)的天文學(xué)資料驗證了我們所建的模型在一定的誤差范圍內(nèi)是合理的，并且預(yù)測2016年農(nóng)歷8月15號可以發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后”這一場景，根據(jù)模型判斷出2016年哈爾濱、上海、昆明、成都可以發(fā)生這一場景，烏魯木齊不能發(fā)生這一場景。最后對所建模型及求解方法的優(yōu)缺點進行客觀評價，并提出了相應(yīng)的改進方法。關(guān)鍵詞：Maple、經(jīng)緯度、日落時間函數(shù)、月出時間函數(shù)、線性規(guī)劃一、問題的重述“月上柳梢頭，人約黃昏后”是北宋學(xué)者歐陽修的名句，寫的是與佳人相約的情景。請用天文學(xué)的觀點賞析該名句，并進行如下的討論：1. 定義“月上柳梢頭”時月亮在空中的角度和什么時間稱為“黃昏后”。根據(jù)天文學(xué)的基本知識

6、，在適當(dāng)簡化的基礎(chǔ)上，建立數(shù)學(xué)模型，分別確定“月上柳梢頭”和“人約黃昏后”發(fā)生的日期與時間。并根據(jù)已有的天文資料（如太陽和月亮在天空中的位置、日出日沒時刻、月出月沒時刻）驗證所建模型的合理性。2. 根據(jù)所建立的模型，分析2016年北京地區(qū)“月上柳梢頭，人約黃昏后”發(fā)生的日期與時間。根據(jù)模型判斷2016年在哈爾濱、上海、廣州、昆明、成都、烏魯木齊是否能發(fā)生這一情景？如果能，請給出相應(yīng)的日期與時間；如果不能，請給出原因。二、基本假設(shè)1.不考慮月食的形成。2.假設(shè)天氣晴朗，便于觀察。3.假設(shè)地面平整，不考慮高山、建筑物對觀察的影響。一個質(zhì)點。5.不考慮太陽落山時云層對太陽光線的散射效應(yīng)。三、符號約定

7、1. 緯度2. 經(jīng)度3.sun1 一二季度太陽直射點高度函數(shù) (-23.2623.26)2 三四季度太陽直射點的高度函數(shù) (-23.2623.26)5.moon1前半個月月亮直射的高度函數(shù)(-5.15.1)2后半個月月亮直射點的高度函數(shù) (-5.15.1)7.Tsun日落時間函數(shù)8.Tmoon 月出時間函數(shù)9.n1該天在前兩個季度或后兩個季度中天的序數(shù)（譬如5月5日，它是第二季度中的第五天，n1=105）10.n2前半個月或者后半個月天的序數(shù)（譬如5月17號，n2=2）11. 月球每小時相對于地球轉(zhuǎn)過的弧度12.DT 日落月出時間差的絕對值四、問題分析生查子元夕歐陽修去年元夜時，花市燈如晝。月

8、上柳梢頭，人約黃昏后。今年元夜時，月與燈依舊。不見去年人，淚濕春衫袖。圖一“月上柳梢頭，人約黃昏后”意境圖這首詞是一首相思詞，寫去年與情人相會的甜蜜與今日不見情人的痛苦，明白如話，饒有韻味，也寫出了情人的美麗和當(dāng)日相戀時的溫馨甜蜜，又寫出了今日伊人不見的悵惘和憂傷。其中這句“月上柳梢頭，人約黃昏后”隱含天文學(xué)的相關(guān)知識，間接的告訴了我們詩人與佳人約會的時間，此時正好是農(nóng)歷正月十五日太陽剛落山月亮剛升起的黃昏佳時。“月上柳梢頭，人約黃昏后”二句言有盡而意無窮。柔情密意溢于言表。假設(shè)柳樹高度為5m，人距柳樹的距離20米,m,根據(jù)三角函數(shù)和相似三角形基本數(shù)學(xué)知識求出月亮在空中的角度為9.36.根據(jù)天

9、文學(xué)知識和日常觀察經(jīng)驗定義黃昏后時間為日落到月出的時間差或者月出到日落的時間差，不超過10分鐘。3. 日落時間的計算以地球中心為原點O,赤道所在平面為XY平面,東經(jīng)120度指向西經(jīng)60度為Y軸正方向.球心指向北極為Z軸正方向.有了Y軸與Z軸就可定X軸的方向(從東經(jīng)30度指向西經(jīng)150度)。球面方程:X2 + Y2 + Z2 = 1 (設(shè)地球直徑為1) 由于地球繞太陽運轉(zhuǎn)時地軸與黃道平面存在一夾角（23o26、），所以會導(dǎo)致太陽直射點在北回歸線與南回歸線之間變化。這時晨昏線與經(jīng)線就會存在一定的偏差，因此我們對這一偏差做坐標(biāo)變換進行修訂如下：日出日落時刻圈方程:Y2 + Z2 = 1 (Z以Z軸作

10、坐標(biāo)變換) Z=Z*sin(+90)其中，sun1=23.26*n188.8-23.26*P1801,2季度太陽直射點高度的變化函數(shù)sun2=(23.26-23.26*n188.8)*P180 3,4季度太陽直射點高度的變化函數(shù)求緯度為度時日落時刻與同經(jīng)度下赤道上點的日落時間的差值.先解出緯度為度時對應(yīng)的X,Y坐標(biāo). x=sin*sin+2*cos(+2)cos*cosy=-(1-x2-sin*sin)0.5所以，日落時間我們可以寫成如下形式，下式中的常數(shù)14代表經(jīng)緯度都為0時日落的時間，第二項的含義是由經(jīng)度引起的時間修正，第三項代表同一經(jīng)度上由維度的變化引起的時間修正4.月出時間的計算類比日

11、落時間的計算方法，我們就可以寫月出時間關(guān)于經(jīng)緯度及號數(shù)的函數(shù)，但是，在計算月初時間時由于地球在自轉(zhuǎn)的同時月球還在繞地球轉(zhuǎn)動，所以月亮相對于地球公轉(zhuǎn)的角速度速度為地球自傳角速度減月球繞地球公轉(zhuǎn)的角速度，如此，我們就可計算出每小時內(nèi)月亮相對于地球轉(zhuǎn)過的角度為：同樣的方法我們就可以求解出緯度為度時對應(yīng)的X,Y坐標(biāo)其中，moon1= 5.129.6*n2-5.1*P180 1-15日月亮直射點高度的變化moon1=5.1-5.129.6*n2*P180 16-30日月亮直射點高度的變化所以，月出時間我們可以寫成如下形式，下式中的常數(shù)2代表經(jīng)緯度都為0時1號月出的時間，第二項代表每月號數(shù)不同引起的時間變

12、化修正，第三項的含義是由經(jīng)度引起的時間修正，第四項代表同一經(jīng)度上由維度的變化引起的時間修正5.月出日落時間差根據(jù)3，4中得出的日落和月出的時間函數(shù)式，我們將其作差，取絕對值。如果該差值的差值的變化范圍恰好小于等于我們剛開始定義的“月上柳梢頭，人約黃昏后”這一場景的時間段，則，可以發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后”這一現(xiàn)象。經(jīng)過人們長時間的觀察結(jié)果顯示，日落月出同時發(fā)生，也就是說地球太陽月球三者共線的時間只能在農(nóng)歷的每月15號，再利用Maple數(shù)學(xué)計算軟件編寫相應(yīng)的程序以計算出北京在農(nóng)歷每月15號日落月出的時間差，并畫出了直觀的點狀圖，如下：根據(jù)前面“月上柳梢頭，人約黃昏后”這一場景的時間段的定義及

13、上圖可知，北京地區(qū)在2016年農(nóng)歷4月15日和9月15日可發(fā)生上述現(xiàn)象。根據(jù)相關(guān)的文學(xué)資料，詩人寫此詩的地點為今湖北宜昌附近，時間為農(nóng)歷正月15日，根據(jù)宜昌的經(jīng)緯度我們計算出詩人寫詩那一天的日落時間為17:58，月出時間為18:07，時間差為9分鐘，在一定的誤差范圍內(nèi)可以發(fā)生詩人所描繪的場景，所以我們所建的模型基本正確。并預(yù)測出了題目第二問中列舉的六個城市在農(nóng)歷每月15號日落月出的時間差，見下圖：根據(jù)圖形可以預(yù)測出上海、哈爾濱、烏魯木齊三地區(qū)地區(qū)在農(nóng)歷4月15和9月15可發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后”這一場景，廣州、成都、昆明可在農(nóng)歷4月15，5月15,8月15日，9月15可發(fā)生“月上柳梢頭，

14、人約黃昏后”這一場景。五、模型評價及改進本文圍繞“月上柳梢頭，人約黃昏后”這一場景在不同地點發(fā)生的時間的計算展開。本文利用Maple計算軟件編程求解是該模型的一大優(yōu)點，大大簡化了計算過程并提高了計算精度，另外本模型的思路較清晰，從基本的建立直角坐標(biāo)系開始，到推導(dǎo)日落月出時間的過程都詳細(xì)的給出了具體的計算方法和思考過程，而且，我們在計算時考慮到了白道平面與赤道平面的夾角及地軸的偏轉(zhuǎn)對日落月出時間造成的影響。所應(yīng)用的方法簡單、易懂其實用性也很高。不足之處在于模型理想化，沒有全面的考慮太陽落山時云層對太陽光線的散射效應(yīng)以及期間可能發(fā)生的月食形成過程，只是具體的計算出了一些特殊的城市發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后”這一場景的時間。我們計劃后續(xù)會繼