全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題

1、三題 號(hào) 一 二 總 成 績(jī)13 14 15 16得 分評(píng) 卷 人復(fù) 核 人考生注意：1.本試卷共三大題（16小題），全卷滿分150分. 考試時(shí)間：120分鐘. 2.用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答.3.解題書寫不要超出裝訂線.4.不能使用計(jì)算器.一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）得 分 評(píng)卷人 本題共有6小題，每題均給出A、B、C、D四個(gè)結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)是正確的. 請(qǐng)將正確答案的代表字母填在題的括號(hào)內(nèi). 每小題選對(duì)得6分；不選、選錯(cuò)或選出的字母超過(guò)一個(gè)（不論是否寫在括號(hào)內(nèi)），一律得0分.1. 已知函數(shù)，則 答： （A）有最小正周期 （B）有最小正周期（C）有最小正周期 （D）無(wú)最小周期

2、2. 關(guān)于的不等式任意兩個(gè)解的差不超過(guò)，則的最大值與最小值的和是 答： （A） （B） （C） （D） 3. 已知向量a、b，設(shè)ab，ab，ab，則一定共線的三點(diǎn)是 答： （A） 、 （B） 、（C） 、 （D） 、4. 設(shè)、為平面，、為直線，則的一個(gè)充分條件是 答： （A）， （B），（C）， （D），5. 若、，其中，并且，則實(shí)數(shù)對(duì)表示平面上不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 答： （A）個(gè) （B）個(gè) （C）個(gè) （D）個(gè) 6. 已知（R），且 則a的值有 答： （A）個(gè) （B）個(gè) （C）個(gè) （D）無(wú)數(shù)個(gè)二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）得 分 評(píng)卷人本題共有6小題，要求直接將答案寫在橫線上. 7. 設(shè)為

3、等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則公差為 .8. 設(shè)且的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，它的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則等于 .9. 已知函數(shù)的圖象如圖，則滿足的的取值范圍為 . yOx110. 圓錐曲線的離心率是 .11. 在中，已知，則的面積為 .12. 設(shè)命題:，命題: 對(duì)任何R，都有. 命題與中有且僅有一個(gè)成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .三、解答題（本題滿分60分，共4小題，每題各15分）得 分 評(píng)卷人13. 設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)? 區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距離之積為. 記點(diǎn)的軌跡為曲線. 過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn). 若以線段為直徑的圓與軸相切，求直線的斜率. 14. 如圖，斜三棱柱中，面是菱形，側(cè)面B1BA1C

4、1AC，. 求證：（1）；（2）求點(diǎn)到平面的距離. 15. 已知數(shù)列中，. 求.16. 已知平面上個(gè)圓，任意兩個(gè)都相交. 是否存在直線，與每個(gè)圓都有公共點(diǎn)？證明你的結(jié)論.2007年江蘇省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1已知函數(shù)，則（ B ）. （A） 有最小正周期為（B） 有最小正周期為（C） 有最小正周期為 （D） 無(wú)最小正周期解：，則最小正周期. 故選（B）2關(guān)于的不等式任意兩個(gè)解的差不超過(guò)9，則的最大值與最小值的和是（ C ）. （A） 2 （B） 1 （C） 0 （D） 解：方程的兩根是，則由關(guān)于的不等式任意兩個(gè)解的差不超過(guò)，得，即. 故

5、選（C）3. 已知向量a、b，設(shè)ab，ab，ab，則一定共線的三點(diǎn)是（ A ）.（A）A、B、D （B）A、B、C （C）B、C、D （D）A、C、D解：ab，所以A、B、D三點(diǎn)共線. 故選（A）4設(shè)、為平面，、為直線，則的一個(gè)充分條件是（ D ）.（A）， （B），（C）， （D），解：（A）選項(xiàng)缺少條件；（B）選項(xiàng)當(dāng)，時(shí)，；（C）選項(xiàng)當(dāng)、兩兩垂直（看著你現(xiàn)在所在房間的天花板上的墻角），時(shí)，；（D）選項(xiàng)同時(shí)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行本選項(xiàng)為真命題. 故選（D）5. 若、，其中，并且，則實(shí)數(shù)對(duì)表示平面上不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ C ） （A）個(gè) （B）個(gè) （C）個(gè) （D）個(gè)解：由及題設(shè)知，個(gè)位數(shù)字

6、的選擇有5種. 因?yàn)?，故?） 由知，首位數(shù)字的可能選擇有種；（2） 由及知，首位數(shù)字的可能選擇有種. 于是，符合題設(shè)的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為種. 故選（C）6已知（R），且 則a的值有（ D ）.（A）2個(gè) （B）3個(gè) （C）4個(gè) （D）無(wú)數(shù)個(gè)解：由題設(shè)知為偶函數(shù)，則考慮在時(shí)，恒有所以當(dāng)，且時(shí)，恒有由于不等式的解集為，不等式的解集為因此當(dāng)時(shí)，恒有. 故選（D）二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）7設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則公差為 .解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為. 由題設(shè)得即解之得.8. 設(shè)且的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，它的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則等于 .解：由題設(shè)知 化簡(jiǎn)得 解之得 （舍去）. 故等于4.9

7、已知函數(shù)的圖象如圖，則滿足的的取值范圍為 yOx1（第9題）解： 因?yàn)?，所以. 于是，由圖象可知，即 ，解得. 故x的取值范圍為10圓錐曲線的離心率是 解：原式變形為，即 所以動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為故此動(dòng)點(diǎn)軌跡為雙曲線，離心率為11在中，已知，則的面積為解：在中，由 得由正弦定理得 因?yàn)?，所以角可取銳角或鈍角，從而故12. 設(shè)命題:，命題: 對(duì)任何R，都有. 命題與中有且僅有一個(gè)成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 或 .解：由得由對(duì)于任何R成立，得，即因?yàn)槊}、有且僅有一個(gè)成立，故實(shí)數(shù)的取值范圍是 或 三、解答題（本題滿分60分，每小題15分）13. 設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)? 區(qū)

8、域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距離之積為. 記點(diǎn)的軌跡為曲線. 過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn). 若以線段為直徑的圓與軸相切，求直線的斜率. 解：由題意可知，平面區(qū)域如圖陰影所示xyO設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，則，即 由知，xy<0，即x2y2<0所以y2x24(y0)，即曲線的方程為1(y0)5分設(shè)，則以線段為直徑的圓的圓心為.因?yàn)橐跃€段為直徑的圓與軸相切，所以半徑 ，即 10分因?yàn)橹本€AB過(guò)點(diǎn)F(2，0)，當(dāng)AB x軸時(shí)，不合題意所以設(shè)直線AB的方程為yk(x2)代入雙曲線方程1(y0)得，k2(x2)2x24，即(k21)x24k2x(8k24)0因?yàn)橹本€與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，所以k±1所

9、以x1x2，x1x2所以|AB|x1x2|，化簡(jiǎn)得：k42k210，解得k21（k21不合題意，舍去）由(4k2)24(k21) (8k24) 3k210，又由于y0，所以1<k< 所以k15分解：由題意可知，平面區(qū)域D如圖陰影所示xyO設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，則×2，即|x2y2|4由PD知：xy0，xy<0，即x2y2<0所以y2x24(y0)即曲線C的方程為1(y0)5分設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則以線段AB為直徑的圓的圓心為Q(，)因?yàn)橐跃€段AB為直徑的圓與y軸相切，半徑r|AB|即|AB|x1x2| 10分因?yàn)橹本€AB過(guò)點(diǎn)F(2，0)，當(dāng)AB

10、 x軸時(shí)，不合題意所以設(shè)直線AB的方程為yk(x2)代入雙曲線方程1(y0)得，k2(x2)2x24，即(k21)x24k2x(8k24)0因?yàn)橹本€與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，所以k±1所以x1x2，x1x2所以|AB|x1x2|，化簡(jiǎn)得：k42k210，解得k21（k21不合題意，舍去）由(4k2)24(k21) (8k24) 3k210，又由于y0，所以1<k<所以k15分14. 如圖，斜三棱柱中，面是菱形，側(cè)面B1BA1C1AC，.求證：（1）；（2）求點(diǎn)到平面的距離. 證：（1）設(shè)中點(diǎn)為，連、. （第14題）因?yàn)?，所以因?yàn)槊妫悦嬗譃檎切?，所?. 從而 6分（2）由（1），有，面設(shè)到面的距離為，則A. 因?yàn)?，CEB所以 又 ，且.設(shè)的高為，則，.于是有 ，即到平面的距離為 15分15已知數(shù)列中，. 求.解：由題設(shè)，則. 5分由 ，得，則.10分于是 ，所以 a2007=2007易知數(shù)列，符合本題要求 15分注意：猜得答案或，給2分16已知平面上個(gè)圓，任意兩個(gè)都相交是否存在直線，與每個(gè)圓都有公共點(diǎn)？證明你的結(jié)論A1Ak10A2B1B2Bm解：存在直線，與每個(gè)圓都有公共點(diǎn)證明如下：如圖，先作直線，設(shè)第個(gè)圓在直線上的正投影是線段，其中、分別是線段的左右端點(diǎn)個(gè)圓有