《線性代數(shù)》第一章行列式及其運(yùn)算精選習(xí)題及解答

1、第一章行列式1.1目的要求1. 會(huì)求n尤排列的逆序數(shù)；2. 會(huì)用對角線法則計(jì)算2階和3階行列式;3. 深入領(lǐng)會(huì)行列式的定義；4. 掌握行列式的性質(zhì),并且會(huì)正確使用行列式的有關(guān)性質(zhì)化簡、計(jì)算行列式;5. 靈活掌握行列式按（列）展開；6. 理解代數(shù)余字式的定義及性質(zhì)；7. 會(huì)用克拉默法則判定線性方程組解的存在性、唯一性及求出方程組的解.1.2重要公式和結(jié)論12.1 n階行列式的定義11aina. i a j、 a、M_tn階行列式 D= = 丫 （一 1）仏 （Pjpl-Plf）d/H "心Q/w苴中P.Pi-Pn是n個(gè)數(shù)12n的一個(gè)排列，t是此排列的逆序數(shù)，E表示對所有n元排列 求和，

2、故共有d!項(xiàng).12.2行列式的性質(zhì)1 行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等;2. 行列式的兩行（列）互換，行列式改變符號；3. 行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的的外面，或廿以一個(gè)數(shù)乘行列式等 用該數(shù)乘此行列式的任意一行（列）：4. 行列式中若有兩行（列）成比例，則該行列式為零；若行列式的某一行（列的元素都是兩數(shù)之和,則此行列式等J：兩個(gè)行列式之和,5©2 %5”%5+ b“an + bn八bn=%a in+$2bjn%anla”ntt5心2 Clnn5%annitn5. 把行列式的某一行（列）的各元索乘以同一數(shù)然后加到另一行（列）對應(yīng)的尤索上 去，行列式的值不變.1.2.3行列式按行（

3、列）展開D i=j 0 i# j設(shè)D為n階行列式，則有工譏 Aik = anAji + anAj2 + + “人泗=+K=1其中A“是（的代數(shù)余子式.1.2.4克拉默法則1 .如果線性非齊次方程組5兀4如£ +仏£=® n21x1 + n22x2+- + nxn =fe2“兀 + a”,x, +a”x” =bn的系數(shù)行列式DHO,則方程組有唯-解x嚴(yán)岸（l-1, 2,，n）, Jfl'P,是D中第l列元索（即兀的系數(shù)）換成方程中右端常數(shù)項(xiàng)所構(gòu)成的行列式.2.如果線性齊次方程組務(wù)內(nèi)+勺2丘+%斗=0«211 + anX2 + +d2”XfI =00

4、內(nèi)+仇以2 + + %£ = 0的系數(shù)行列式DHO,則方程組只有唯一零解.若齊次線性方程組有非零解,則其系數(shù)行 列式» = 01.2.5 一些常用的行列式1.上、卜三角形行列式等r主對角線上的尤素的積.5，D、=Ab%饑 akkbnn2設(shè) 2 =則H3.范德蒙行列式bnn=n（勺-你）126計(jì)算行列式的常用方法1.利用對角線法則il算行列式,它只適用y 2. 3階行列式;2.利用n階行列式定義計(jì)算行列式:3.利用行列式的性質(zhì)化三角形法訃算彳亍列式:4. 利用行列式按某一行（列）展開定理計(jì)算行列式;5. 利用數(shù)學(xué)歸納法計(jì)算行列式;6. 利用遞推公式計(jì)算行列式；7. 利用范德蒙

5、行列式的結(jié)論計(jì)算特殊的行列式；8. 利用加邊法計(jì)算行列式；9. 綜介運(yùn)用上述方法計(jì)算行列式.L3例題分析例1.1排列14536287的逆序數(shù)為（）（A） 8（B）7（C） 10（D） 9解在排列14536287屮，1排在首位，逆序數(shù)為0； 4、5、6、3各數(shù)的前浙沒有比它們 口身人的數(shù)，故這四個(gè)數(shù)的逆序數(shù)為0； 3的前面比它人的數(shù)仃2個(gè)（4、5）,故逆序數(shù)為2： 2的前面比它大的數(shù)有4個(gè)（4、5、3、6）,故逆序數(shù)為4： 7的前而比它大的數(shù)仃1個(gè)（8 ）, 故逆序數(shù)為1; 是這個(gè)排列的逆序數(shù)為 LZ0+2+4+A7,故正確答案為（B）.例12下列排列中（）是偶排列.（A）54312（B丿514

6、32（C）45312（D） 654321解 按照例1的方法計(jì)算知:排列54312的逆序數(shù)為9；排列51432的逆序數(shù)為7：排列 45312的逆序數(shù)為8：排列654321的逆序數(shù)為15：故正確答案為（C）例13卜列備項(xiàng)屮，為杲五階行列式屮帶止號的項(xiàng)是（）.(A) a/y 55(B) 555勺59丿。WW/JD丿 0/皿5知解由行列式的定義知，毎一項(xiàng)W取自不同行不同列的五個(gè)尤索Z積，因此（A）、（E丿不(D).是五階彳亍列式的項(xiàng)，但（C）應(yīng)取負(fù)號，故正確答案為A 013 1 1例14行列式0 =0 2-1 0,D、=2 3 210 Z1 5 3(B) 1, 1(C)0, 2,若D嚴(yán)D“則久的取值為

7、（）(D01解 按三階行列式的對角線法則得= （/l+l）（-l）D2 = 0.若D嚴(yán)則（兄+1）（兄一 1），=0, J；是人=1廠1,故正確答案為（B）.加+ x2 + Xj = 1 例1.5方程組 X +加二+心=1有唯一解，則().xt + x2 + Ar3 = 1（A）兄工一1且兄工一2 （B） LR A -2 （C） 2工1且久工2（D）久H-1J1兄工2解由克拉默法則知，為所給IF齊次線性方程組的系數(shù)行列式不等0時(shí)，該方程組冇唯一解，是令行列式A 111 A 1 =(2+兄)(兄-1)hO11A即久工1且兄H -2,故正確答案為（B）.例1.62006 2008 D =2004

8、2006分析 對J： 2、3階行列式的計(jì)算,元素的數(shù)值較小時(shí),可以直接采用對角線法則進(jìn)行計(jì) 算：但尤素的數(shù)值較大時(shí)，一般不宜直接采用對角線法則進(jìn)行計(jì)算，而是用行列式的性質(zhì)進(jìn) 行計(jì)算.計(jì)算較解 此題是-個(gè)2階行列式，雖然可以直接用對角線法則計(jì)峯 但因數(shù)值較人,繁 I対此耍仔細(xì)觀察分析，用行列式的性質(zhì)求解.故答案為4.例 1.7 D =2341222008200620062004c2 +100圮-22-20=4,).分析如果行列式的各行（列）數(shù)的和和同時(shí)，一般首先采用的是將并列（行）加到第一列（行人提取第一列（行）的公因子（簡稱列（行）加法）解 這個(gè)行列式的特點(diǎn)是務(wù)列4個(gè)數(shù)的和為10 ,各行加到第

9、一行,得=101234100022341110012131411=10=1034124123J：是,000111-312-2-21-1-1-1例 1.8 設(shè) f（X）=2x131),).分析此類確定系數(shù)的題首先是利用行列式的定義進(jìn)行計(jì)算.如果用定義比較麻煩時(shí),再考虎用行列式的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算.解 從/（X）的衣達(dá)式和行列式的定義町知，當(dāng)J1僅當(dāng)/（X）的主對角線的4個(gè)元索的積才能得出疋,其系數(shù)顯然是2當(dāng)?shù)谝恍腥I3（= 1）或（=2）,則含即或的行列式的項(xiàng)中是不出現(xiàn)0.含g（=2x）的行列式的項(xiàng)中是不出現(xiàn)0, J：是含亡的項(xiàng)只能是含ail >“44的積，故X的系數(shù)為一 11121314

10、252例19設(shè)=321462221143210故答案為2 , -1.（2）+ Ai5 =（則（1） An + A51 +=（）,）,（3 ） A51 + 人5» 十 53 + 力54 + 人55 = （）分析此類題忖一般不立算出表達(dá)式里每一項(xiàng)的值，而是注意觀察耍求的表達(dá)式的結(jié)構(gòu), 允分利用按行（列）展開的計(jì)算方法來進(jìn)行技H計(jì)算.1221 22= 0 （第2, 3行相同）2 112（人31 + 人32 + 人33）+ （人刃 + 人35）°°1 1解 431 + A31 + A33 + 2（Am + A35） = 1 12 2即 （九1 +九2 + 33）+ 2（人

11、理+人5）=°同理J 是 4刃 + Aj2 + A33 = 0t Ay + Ajj = 0.1 2 3 4 51 2 3 4 51 1 1 2 21 1 1 2 241 + 餐 + 碼 + £ + 55 =3 2 14 6r. + ri3 2 14 6=02 2 2 1 13 3 3 3 31111111111故答案為0, o, o.000 0 ;021000例 l.io D =02005 00020060 00000 002007分析為行列式中冇較多零元素時(shí).一般可以采用行列式的定義或按行（列丿展開來計(jì)算.解此行列式剛好只仃11個(gè)非零元索仏十4”，故罪零項(xiàng)只仃一項(xiàng):3%心

12、5皿，苴中2 gl）g2）(2007-1X2007-2)因此 D= (1)52007!= -2007!.此題也可以按行（列）展開來計(jì)算.例111計(jì)算D階行列式解法1 （行（列）加法）因?yàn)檫@個(gè)行列式的毎一行的n個(gè)元素的和都為口+1,所以將第23/-, n列都加到第一列上，得n+11 1111 1/? + 121 1121 127Z + 1121=("+1)1121n+11 2111 2巧一 G (心2,3,")解法2 （加邊法）0121001 1 2001 -1-1=n + .0000解法3 （利用彳j列式的性質(zhì)）一1 一1-11+巧1+兀兒 1+呂兒例112計(jì)算£

13、）” =1+心兒1+心兒 1+兀2兒1+11+心兒 1+兀兒解當(dāng)n=2時(shí)，2 =1+利2=u2-i)(y2-開）1+S1+心兒】+1 + X|>】+兀兒當(dāng)nM3時(shí)，6 =(X? -不)開伍-召)兒af )兒（兀一 5（£-召）兒（兀一兀）兒00010.例113計(jì)算xl«2a-2az 0 «n-20%0%0000 Xn-20000 0£其中兀1,2,/)a+X=勺+兀=Xj（1+）,X乞+糾,X x2Xn歸納推得Dn = xlx-xn （1 + +°用數(shù)學(xué)歸納法證明上式,假設(shè)當(dāng)E1時(shí)結(jié)論成立,即D”t =%內(nèi)£,1 +嚴(yán)A1+ 4

14、Xn-l11則當(dāng)k=D時(shí)，將D按第D列展開.得D” = x”£>“t + （-1）*匕（-召）（-=X”D”t + （-1嚴(yán)（一1）1色廠2 £2 兀T+£+%）即當(dāng)k-n時(shí)結(jié)論也成芷,故對切自然數(shù)結(jié)論都成立.11例1.14計(jì)算1223IIII2解（利用范徳蒙行列式計(jì)算）1r1Dn = n!nn11-123nn1"Tn1D11=71! （2 一 1）（3 一 1）（"一 1）（3 - 2）（4 一 2）（一 2） 一（” 一 1）1例1.15計(jì)算Drl =a a + p a+ paa000pa0 000a+pa00pa+pa 000Pa+

15、 6000Pa+p00+000 a+pa000 Pa000 Pft000 Pa+fl解按笫-列把。分成兩個(gè)彳亍列式的和D =+ /T(a)當(dāng) a* p 時(shí),(2)得則D心j:是由（1）P0 0aa + pP0ap -000000+a p 0a a-v pP0 a a+J3 000000000a + pa000 a+0a000 pa + p000 Pa+0D =當(dāng) a = p 時(shí)，由(1)得 Dn = aDn + an = =(/ + )an.例 1.16 tSa > b > c >0,證明: 2ab + be + ca t bebb2cacc2 < 0ab然后加到第3行

16、,得證明將彳亍列式的笫1彳J：x(d + b + c),第2疔x(_l),a b cabca1 b2 c1=a2b2c2be ca abab + be + ca ab + be + ca ab + he + ccia b c1 1 1(ab + be + ca)a2 b22L=(ab + be + ca)a b c1 11a2 bz c2=(ab + be + ca)(c 一 a)(c 一 h)(h 一 a)J是，不等式的左邊=(c-d)(c-b)(b-a) 由 a >b>c>0 ,從而(c- «) < 0 ,(c-h)<0.(h-a)<0, I

17、対此.當(dāng) a >h>c > 0 時(shí),例1.17 IS f (x),g(x)Ji(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)試證：至少存在一個(gè)/(a) g h(a)S g (a,b),使得 H'(g) = 0 其中 H(x) = /(b) g(b) h(b)./W g(x) /心)證明 由題設(shè)知H(x)在a,切上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，又由行列式的性質(zhì)可知H(a) = H(b) = O. J：是由洛爾中值定理可知，至少存在一個(gè)使得H) = 0.1.4獨(dú)立作業(yè)14.1基礎(chǔ)訓(xùn)練1.設(shè)D = p.|為“階行列式Mcil2a2iau-an_anl在行列式中的符號為().n(n-l

18、)(A)正(B)負(fù) (C) (一1嚴(yán) (D) (-1)2行列式卩為0的充分條件是().(C)次對角線上九素全為零，(D)主對角線上元素全為零.3.行列式D”不為零，利用行列式的性質(zhì)對0,進(jìn)行變換后，行列式的值().(A丿保持不變:(E丿町以變成任何值:(D)保持相同的正負(fù)號.(C)保持不為零:111112-2X4.方程=0的根為14418-8-2(B)b 2, 3(C)b -b 2(D)0 1, 2(A).12(BJ12(C)48(D)-48).6.行列式425170926251 _9092 一logo" 16. = ()1 log/1a b c7. 行列式 b a c ,則 A】+

19、 4Z1 + A31 =()d b c2.v139.換數(shù) /(x)=X-A 1中,X的系數(shù)為(21X11121314110.12232425212335455512434445422.當(dāng)“取何值時(shí),齊次線性方程組2x, + 4x2 + (/z- 1)x3 = 0 (j-i 3)斗 + x, 2Xj = 0 有非零解?-x, + (l-/)x2 -x3 = 023證明2cosa1012cosa012cosasin(/z + )asin a(其中 sinaO).1.4.2提高練習(xí)2cos(z12COS6Z為A的伴隨矩陣,貝ij制為（(A丿 |A|2(B丿 |A|2n-l(D丿 |A|”2.設(shè)A為n

20、階方陣，為m階方陣,(A) AB確(C)(-i)”n 網(wǎng)(A) 29X-x-1223-71041-71(B丿(B)383.若血）二C) 22(0)34x-2x-lx-2x-34.g(C2x-22x-l2a-22v-33x-33x24x-53x-5，則方程g（x） = 0的根的個(gè)數(shù)為（）.(A)l4x4x35x-74x-3(E丿2(C)3(D4ax + z = 0)時(shí)，方程組-2x+ax+ z = 0只有零解.ax- 2y + z = 0(B丿0(Q-2(D) 26. 排列甘山匚可經(jīng)過()次對換后變?yōu)榕帕衼?zhàn)応737. 四階行列式屮帶負(fù)號且含右【大1子©2和的項(xiàng)為()x - y 08.

21、設(shè) 為實(shí)數(shù)，則當(dāng) x= (), y=()時(shí)，y x 0 = 0.-1 0 -19. 設(shè)人為4階方陣，為5階方陣，且同=2、網(wǎng)=一2，則|-|A| = (),AB=()10.設(shè) A 為 n 階方陣,f.A = 3,B11.役4為3階正交矩陣,A|>0,若 p A + B=l 9 貝 ij E + -ABT =(12.13.解方程紐x1b；b； Xb；b：其中玄厶上”也 為各不相同的常數(shù).b：bn5(x) 2 ( V)仏(x)幻a 22 (x)a心(x)(x)bn14.證明：axEf=i仇(x)不勺(X)和"范anl15.設(shè)g(x)=l 2x0 2女，求g©).6x16.

22、設(shè)g(x)二 x-33x2-52x2-1 3x5-1l-3x27xs-l試證:存在G (0J),使得g'(W)=017.證明：奇數(shù)階反對稱矩陣的行列式為零.18設(shè)兀y,z是互異的實(shí)數(shù)，證明:1 1 1x y z =0的充要條件是x+ y+ z= 0. x3 / z1-51319.設(shè)|4|= J :；:，計(jì)算碼+綣+碼+鶴的值，瓦中九(心1,2,3,4)是同的代數(shù)余子式.片 + 2x2 - x3= 220.利用克萊默法則求解方程組.兀-2a2 + 2a3 = 3- x2 + x3 = 3x3 x2 121.求極限Im】v-»O123sin xCOSX1011x sinx 2第一

23、章參考答案1.4獨(dú)立作業(yè)14.1基礎(chǔ)訓(xùn)練1. (C)2.(B)3.(C)4. (A)5.(B)6.425170926251 _9092 -4251 20007092 2000=2000x425170921=5682000.18.9.解因?yàn)樵诖诵辛惺降恼归_式中.11.12.13.Cc = 0,故答案為0c含有X的只有主對角線匕的尤素的枳，故答案為-2149161 49161 4 9 164916 253 5793 5 79916 25 365 7 9 112 2 2 216 25 36 497 9 11 132 2 2 210解由范德蒙行列式得行列式的值為288解=0.0ox0yy0X0X y

24、0x 0 y=-y00 y_ X0 j 0y x Qy 0 xx0yoyo=x yy x-;rx y101000210031000=-2x000210000-21 00= -(v-f)2D =-4 x2=-4 x02101030101=-4x02-13101-1000002-3-3201 x14.解 1 y1 zyz 1乙r = 0x Ky-x -z(y-x)= (y-x)(z-x)i Z-X - y(z- X)-Z-y15.解20000320000320000320000 +3230000352000352000320003 !3=25 + 33520003566516.兀+ Ji兀+ y2

25、疋+兒X2 +兒心+ X兀+ y2兀+ Ji兀+ y2=0解兀+兒 x2 +兒 心+兒<4 +兒兀+兒 兀+兒 屯+兒 兀+兒兒一 > 兒-> 兒-兒 兒-J1兒- >Ti兒- 兒-兒->T1兒-兒 兒-兒 兒-兒 兒-+ xbl-a0b.b、00 00 000-az0 00-a2az 00=(-1)” x00t/j000 0an-id”00 0-J17解b.a、bn-200bn-l005 3 0 0 02 3 0 0 03 3 0 0 02 5 3 0 02 5 3 0 00 5 3 0 00 2 5 3 0=0 2 5 3 0+0 2 5 3 00 0 2 5

26、 30 0 2 5 30 0 2 5 30 0 0 2 50 0 0 2 50 0 0 2 515.解15.解011 1-工丄11 11X10.0/I x0X,0 010.00 00x2100X”000X”D =兀®丄)<1 X)由第i(i = l,2,2列的-丄倍加到第一列上去.18.解1+ Xj111+ 兀 _ X - x1 一 兀11+ X,111兀00111+ x511 0兀01111+ x41 0019.解If+亠衛(wèi)+EX2 心兀000_xix20070£0= XlX2XJX4 + X2XjX4 + XtX3X4 + XlX2X4 + XjXjXj1220.

27、解 22 11 221.解 Dn = 1 10 + l/l + l / + 112 I101000.=-2(n-2)n -21 11 =("+l)12 100=/? +1 11011= 5 + 1) I1 04 /z-J1 -2 =0l-/z -1222.解由齊次線性方程組冇卄零解的條件可知“一3-12x, + 4x2 + (/z- 1)x3 = 0 解Z得“=0,2,3. J：是當(dāng)“=0, 2, 3時(shí)，齊次方程組< 儀一 3)兀+忑一 2心=0有非零解.廠“ + (1-“)心一小=023.證明(1)/ = 1時(shí).結(jié)論顯然成厶假設(shè)當(dāng)n<k時(shí)，結(jié)論成乙(3)當(dāng) = 時(shí)2cosa10 0012cosa1 00012cosa 00D灰出=000 2cosa1000 12cosa100