向量代數(shù)與空間解析幾何(1)

1、(數(shù)學(xué)二、三不要求)§1 向量代數(shù)【考試要求】1.理解向量的概念及其表示.2.掌握向量的運(yùn)算(線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積)，了解兩個向量垂直、平行的條件.3.理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法.一、基本概念向量、向量的模和方向余弦，與給定向量同方向的單位向量等的坐標(biāo)表示如下:名 稱坐標(biāo)表示基本單位向量，向量的分解式向量的坐標(biāo)表示式向量的坐標(biāo)表示式其中點(diǎn)，向量的模的坐標(biāo)表示式向量的方向余弦的坐標(biāo)表示式，且與向量同方向的單位向量的坐標(biāo)表示式二、重要結(jié)論1.向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示設(shè)向量，為常數(shù)，則向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示如下:名

2、 稱運(yùn)算規(guī)律 坐標(biāo)表示加法交換律結(jié)合律減法數(shù)乘2.向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示兩個向量與的數(shù)量積是一個數(shù)，其物理意義表示物體在力的作用下沿直線方向移動所作的功;其幾何意義是向量在向量方向上的投影與的乘積.數(shù)量積的定義和有關(guān)運(yùn)算規(guī)律如下:定 義運(yùn)算規(guī)律坐標(biāo)表示與的夾角余弦.與垂直的充要條件是 .在上的投影.3.向量的向量積及其坐標(biāo)表示設(shè)，則向量的向量積的定義及其坐標(biāo)表示如下:定 義運(yùn)算規(guī)律坐標(biāo)表示，.為同時垂直于，的單位向量，且，符合右手規(guī)則，與平行的充要條件是 ，即.4.向量的混合積及其坐標(biāo)表示設(shè)，則向量混合積的定義、運(yùn)算規(guī)律及其坐標(biāo)表示如下:定 義運(yùn)算規(guī)律坐標(biāo)表示混合積的幾何意義:等于以，為棱的

3、平行六面體的體積.三個向量，共面的充要條件是.注向量的基本知識是進(jìn)行向量運(yùn)算的基礎(chǔ)，應(yīng)熟記.三、典型例題例1 已知，試求.例2 設(shè)是非零向量，求.例3 設(shè)，求同時與，垂直且在上的投影為14的向量.例4 設(shè)與垂直，與垂直，求.例5 已知，為由，構(gòu)成的角平分線向量，且與，共始點(diǎn)，求的坐標(biāo).提示: 分別以與，同方向的單位向量，為鄰邊作平行四邊形, 則, 由已知條件可得.例6 已知，非零且不共線，作，求使最小的數(shù).提示: 令由得又 所以當(dāng)時最小.例7 設(shè)非零向量，不共線，試證明的充要條件是.四、練習(xí)題1.設(shè)，兩兩成角，且，求.2.設(shè)，求以，為鄰邊的平行四邊形的面積.3.設(shè)和為非零向量，且，求.4.已知

4、，求.5.求由，和作成的平行六面體的體積，其中，為兩兩垂直的單位向量.參考答案:1. .2. .3. .4. .5. .§2 空間解析幾何【考試要求】1.理解空間直角坐標(biāo)系.2.掌握平面方程與直線方程及其求法.3.會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會利用平面、直線的相互關(guān)系(平行、垂直、相交等)解決有關(guān)問題.4.會求點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離.5.了解曲面方程和空間曲線方程的概念.6.了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求簡單的柱面和旋轉(zhuǎn)曲面的方程.7.了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會求該投影曲線的方程.一、基本概念1. 兩點(diǎn)之間

5、的距離點(diǎn)與之間的距離為 .2. 定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式點(diǎn)與連線的分點(diǎn)的坐標(biāo)為，.點(diǎn)稱為由定比決定的分點(diǎn)，其坐標(biāo)由上式表示，稱為定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式.二、平面、直線與曲面1.平面(1)平面的方程平面方程的名稱平 面 的 方 程點(diǎn)法式方程，其中為平面上一定點(diǎn)，為平面的法向量一般式方程截距式方程，其中，依次為平面在，軸上的截距三點(diǎn)式方程,其中為平面上三個已知點(diǎn)(2)平面之間的關(guān)系兩平面:和:的夾角的余弦;的充要條件是 ;的充要條件是 ;點(diǎn)到平面的距離為.2.空間直線(1)空間直線的方程空間直線的名稱直 線 的 方 程點(diǎn)向式方程，其中為直線上一定點(diǎn)，為直線的方向向量參數(shù)式方程，一般式方程(2)直線之間的關(guān)系兩直

6、線:和:的夾角的余弦為;的充要條件是 ;的充要條件是 ;與共面的充要條件是,其中是上的點(diǎn),是上的點(diǎn).3.平面與空間直線的夾角及平行垂直的條件設(shè)平面和直線的方程分別為:，:，則與的夾角的正弦為;的充要條件是 ;的充要條件是 .4. 點(diǎn)到直線的距離設(shè)是直線外一點(diǎn), 是直線的方向向量, 是上任意一點(diǎn), 則到直線的距離為.5.常見的空間曲面和空間曲線(1)空間曲面及其方程曲面的名稱曲面的方程 球面，其中為球心，為半徑橢球面，當(dāng)或或時為旋轉(zhuǎn)橢球面雙曲面單葉雙曲面或或雙葉雙曲面或或 錐面拋物面 橢圓拋物面, 其中與同號 雙曲拋物面, 其中與同號柱面(母線平行于軸)(母線平行于軸)(母線平行于軸)旋轉(zhuǎn)面(是

7、坐標(biāo)面上的曲線)，軸為旋轉(zhuǎn)軸，軸為旋轉(zhuǎn)軸(2)空間曲線的方程曲線方程的名稱曲線方程一般式方程參數(shù)式方程，(3) 空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影設(shè)空間曲線的方程為它在坐標(biāo)面，坐標(biāo)面，坐標(biāo)面上的投影曲線方程依次為注 有時投影曲線僅是上述方程所表示的曲線的一部分.三、典型例題題型1 求平面的方程例1 求平行于平面, 且與三個坐標(biāo)面所構(gòu)成的四面體的體積為一個單位的平面方程.例2 求過直線:且與:平行的平面方程.提示: 平面的法向量為所求平面方程為例3 求過點(diǎn)且與直線平行，又與平面垂直的平面方程.提示: 平面的法向量為所求平面方程為例4求過直線:且與平面成角的平面方程.題型2 求直線的方程例1將直線的方程化

8、為標(biāo)準(zhǔn)方程(對稱式方程)和參數(shù)式方程.例2求過點(diǎn)且與直線:垂直相交的直線方程.例3 求過點(diǎn)且與直線:及直線:都相交的直線方程.提示: 過點(diǎn)與直線的平面方程為,過點(diǎn)與直線的平面方程為,故所求直線方程為題型3 關(guān)于點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的討論例1 求點(diǎn)與平面的距離.提示: 代入距離公式得例2 求點(diǎn)到直線的距離.提示: 代入距離公式得或先求垂足 則 例3求直線:與平面的夾角.例4討論平面與直線的位置關(guān)系.例5 求兩條直線:和:之間的距離.提示: 過且與平行的平面的法向量為其方程為上的點(diǎn)到平面的距離即為所求.例6 求:與:的公垂線的方程.提示:公垂線的方向向量為過與的平面方程為 過與的平面方程為 故公

9、垂線的方程為題型4 求對稱點(diǎn)、投影點(diǎn)和投影直線例1 設(shè)點(diǎn)，求點(diǎn)關(guān)于直線:的對稱點(diǎn)，并求點(diǎn)在平面上的投影點(diǎn).例2 求直線:在平面:上的投影直線方程.題型5 求旋轉(zhuǎn)曲面的方程例1求下列各平面曲線繞著指定坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程:(1)，分別繞著軸和軸旋轉(zhuǎn).(2)，分別繞著軸和軸旋轉(zhuǎn).(3)繞著軸旋轉(zhuǎn).例2求直線:繞著軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.例3 求直線:在平面:上的投影直線繞著軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面方程.提示: 由題型4的例2可知的方程為即設(shè)是旋轉(zhuǎn)面上任意一點(diǎn), 它對應(yīng)于上的點(diǎn), 則而與到軸的距離相等, 所以即旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 題型6 求空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程例1求下列各曲線在指定的坐標(biāo)面上的投影曲線方程:(1)在坐標(biāo)面上.(2)，在坐標(biāo)面和坐標(biāo)面上.題型7 求空間立體在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域例1求下列由各曲面所圍成的立體在指定坐標(biāo)面上的投影區(qū)域:(1)與，在坐標(biāo)面上.(2)與含在內(nèi)的部分分別在坐標(biāo)面和坐標(biāo)面上.四、練習(xí)題1.求兩個平面:與:所構(gòu)成的二面角的平分面方程.2.求經(jīng)過點(diǎn)且與兩直線:及:相交的直線的方程.3.求過直線:且與點(diǎn)的距離為3的平面方程.4.求點(diǎn)關(guān)于平面