圓錐曲線中的最值問題和定值問題專題

1、平面解析幾何是一門研究點的運動變化規(guī)律的學(xué)科，圓錐曲線中的范圍問題或最值問題較為常見，所涉及的知識面也較為廣泛，是教師和同學(xué)感覺較為棘手一個難點。下面就幾個常見的最值問題談幾個常見的解決方法。一、圓錐曲線上的任一點與圓錐曲線對稱軸上某一定點的距離的最值問題：求圓錐曲線上任一點到某一定點的距離的最值問題，可借助“點在曲線上”實現(xiàn)變量統(tǒng)一，將橫縱坐標(biāo)兩個變量中的一個用另一個表示，構(gòu)造關(guān)于其中一個坐標(biāo)的二次函數(shù)求最值。例1、（06全國高考題）設(shè)是橢圓短軸的一個端點，為橢圓上的一個動點，求的最大值。解：由題意，點坐標(biāo)為。設(shè)，則，（圖一）因為是橢圓上的點，所以，則有，且，所以令因為，所以，則若，即，則當(dāng)

2、時，；若，即，則當(dāng)時，；若，即，則當(dāng)時，。綜上：略。說明：在圓錐曲線上任一點到某一定點的距離的最值問題中，所給定點一般都是圓錐曲線的對稱軸上的點，否則變量統(tǒng)一往往比較困難。例2、（03上海理12）給出問題：是雙曲線的焦點，點P在雙曲線上。若點P到焦點的距離等于9，求點P到焦點的距離。某學(xué)生的解答如下：雙曲線的實軸長為8，由，即，得或17。該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請寫出他的解題依據(jù)；若不正確，請寫出正確結(jié)果。分析：利用例1的方法易證，雙曲線上到其一焦點的距離最近的點是與這個焦點對應(yīng)的一支的頂點，即。所以本例中，故符合題意。二、與圓錐曲線的定義所涉及的一些特殊點有關(guān)的最值問題：求圓錐曲線上任

3、一點與一個或幾個定點的距離的最值問題中，如果所給定點與圓錐曲線定義有關(guān)，不妨利用定義中所蘊藏的內(nèi)在關(guān)系解決問題。例3、（06江西高考題）為雙曲線右支上一點，分別是圓和的點，則的最大值是。解：如圖三，兩定圓的圓心、即雙曲線的左右焦點，由雙曲線定義可知。又，所以。MPNF1F2xyF1AM/M/Bxy （ 圖二 ） （圖三）例4、已知是橢圓內(nèi)的點，是橢圓上的動點，求的最大值與最小值。解：由題意，點即橢圓右焦點（如圖三），設(shè)橢圓左焦點，則，由橢圓定義可知，則，顯然，當(dāng)、三點共線時，所以，。說明：三角形中“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”，“兩點之間線段最短”等平面幾何中的一些重要結(jié)論是平面解

4、析幾何中求解最值問題的一些理論依據(jù)，問題在于如何將所要解決的最值問題轉(zhuǎn)化成這些廣為人知的數(shù)學(xué)模型。三、圓錐曲線上的任意點到某一定直線的距離的最值問題：求圓錐曲線上任一點到某一定直線的距離的最值，借助“點在曲線上”實現(xiàn)變量統(tǒng)一往往比較困難，這時可借助“切線平移法”實現(xiàn)變量統(tǒng)一或“三角代換”求最值。例5、（06全國高考題）求拋物線上的點到直線距離的最小值。解法一：設(shè)拋物線上任一點坐標(biāo)為，則點到直線的距離為，下面同例1解法易得。解法二：（切線平移法）設(shè)與直線平行的直線的方程為：，則直線平移到與拋物線相切時的切點即拋物線上到直線最近的點，直線與的距離即所求最小距離。由，則由。則拋物線上的點到直線距離的

5、最小值為。說明：在求橢圓或雙曲線一支上的一點到一條定直線的距離的最值問題中，“變量統(tǒng)一”很難做到，在這種情況下，“切線平移法”就顯得較為方便。例6、求橢圓上的點到直線距離的最小值。解法一：（切線平移法）設(shè)與直線平行的直線的方程為：，由，則由， 則，則。解法二：（三角代換法）設(shè)為橢圓上任一點，因為，所以可設(shè)，則點到直線距離為，則。說明：與圓、橢圓或雙曲線有關(guān)的最值問題中，利用三角比中的平方關(guān)系實現(xiàn)變量統(tǒng)一也是平面解析幾何中一種較為常見的方法。通過前面幾種常見最值問題的贅述可以看到，解析幾何中的最值問題和以前所學(xué)過的知識是存在著一種緊密的內(nèi)在聯(lián)系的，只要我們能夠深刻理解圓錐曲線的定義及方程所揭示的

6、內(nèi)涵，靈活運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，就可以將問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的一些數(shù)學(xué)模型，將問題解決。練習(xí)：1、（2009重慶卷文）（本小題滿分12分，（）問5分，（）問7分）已知以原點為中心的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為，離心率（）求該雙曲線的方程；（）如題（20）圖，點的坐標(biāo)為，是圓上的點，點在雙曲線右支上，求的最小值，并求此時點的坐標(biāo)；解：（）由題意可知，雙曲線的焦點在軸上，故可設(shè)雙曲線的方程為，設(shè)，由準(zhǔn)線方程為得，由得 解得 從而，該雙曲線的方程為；（）設(shè)點D的坐標(biāo)為，則點A、D為雙曲線的焦點，所以 ，是圓上的點，其圓心為，半徑為1，故 從而當(dāng)在線段CD上時取等號，此時的最小值為直線CD的方程為，因點M

7、在雙曲線右支上，故由方程組 解得 所以點的坐標(biāo)為；圓錐曲線中的恒成立問題yOxPF2F1AB結(jié)論一、以橢圓上的點P與橢圓的焦點連線PF為直徑的圓必與圓內(nèi)切xF1PyF2O類比：上的點P與雙曲線的焦點連線PF為直徑的圓必與圓相切OxFyBA的弦AB過焦點F，則以線段AB為直徑的圓比與準(zhǔn)線相切。以線段AF為直徑的圓必與y軸相切yOxPF2F1AB結(jié)論二、過橢圓上的點P與橢圓的長軸（或短軸）兩個頂點連線PA、PB，則直線AB的斜率之積恒等于OxAPyB類比：yOxPF2F1ABM過雙曲線上的點P與實軸（或虛軸）兩個頂點連線兩條傾斜角互補的弦PA、PB，則直線AB的斜率恒等于結(jié)論三、橢圓上的點P與橢圓

8、的兩個焦點連線PF1、PF2，過焦點作三角形PF1F2的外角平分線的垂線，垂足為M，則M恒在圓上OxF1PyF2M類比：雙曲線上的點P與雙曲線的兩個焦點連線PF1、PF2，過焦點作三角形PF1F2的角F1PF2平分線的垂線，垂足為M，則M恒在圓上yOxPF2F1ABM結(jié)論四、橢圓上的點P與橢圓的兩個焦點連線PF1、PF2，三角形PF1F2的旁切圓（與PF2邊相切，與PF1和F1F2的延長線相切）必與長軸相切于橢圓的頂點OxF1PyF2M類比：雙曲線上的點P與雙曲線的兩個焦點連線PF1、PF2，三角形PF1F2的內(nèi)切圓必與實軸相切于雙曲線的頂點OxPF2F1yMNAOxPyNMA結(jié)論五、已知為橢

9、圓的左頂點，過作兩條相互垂直的弦，則直線過定點類比：OxPFyNM1.已知為雙曲線的右頂點A，過作兩條相互垂直的弦，則直線過定點2.已知為拋物線的弦，若，則直線過定點OxPF2F1yQ結(jié)論六、已知為橢圓的弦，若，則原點到弦的距離為定值OxF2F1yNM類比：已知為雙曲線的弦，若，則原點到弦的距離為定值yOxPF2F1d1d2結(jié)論七、過橢圓上點P作橢圓的切線，橢圓的兩焦點到切線的距離之和為定值類比：OxMF2F1yN過雙曲線上點P作橢圓的切線，橢圓的兩焦點到切線的距離之和為定值OxAF2F1yBB1POxMF2F1yNN1Q結(jié)論八、過橢圓左焦點作橢圓的弦，端點關(guān)于x軸的對稱點為，則直線在x軸上截

10、距為定值類比：1過雙曲線右焦點作橢圓的弦，端點關(guān)于x軸的對稱點為，則直線在x軸上截距為定值FPOyxNMN12過作拋物線焦點作拋物線的弦，端點關(guān)于x軸的對稱點為，則直線在x軸上截距為定值OxAQyBB1P結(jié)論九、是橢圓的弦，端點關(guān)于x軸的對稱點為，則直線與直線在x軸上截距之積為定值OxMPyNN1Q類比：1是雙曲線的弦，端點關(guān)于x軸的對稱點為，則直線與直線在x軸上截距之積為定值QPOyxNMN12.是拋物線的弦，端點關(guān)于x軸的對稱點為，則直線與直線在x軸上截距互為相反數(shù)OxAPyBOxPF2F1yAB結(jié)論十、過橢圓上的點P作兩條傾斜角互補的弦PA、PB，則直線AB的斜率恒等于類比：上的點P作兩條傾斜角互補的弦PA、PB，則直線AB的斜率恒等于OxPFyBA上的點P作兩條傾斜角互補的弦PA、PB，則直線AB的斜率恒等于OxAFyBOxF2F1yAB結(jié)論十一、弦AB過橢圓的焦點F，則恒成立類比：OxFyBAAB過雙曲線的焦點F交雙曲線右支于A、B，則恒成立AB過拋物線的焦點F，則恒成立OxPF2F1y結(jié)論十二、過點P作橢圓的切線，若兩條切線相互垂直，則點在定圓上OxPF2F1y類比：的切線，若兩條切線