復變函數(shù)區(qū)域和邊界

1、四 區(qū)域和邊界1、區(qū)域的概念2、單連通域與多連通域3、典型例題4、小結(jié)與思考21、區(qū)域的概念、區(qū)域的概念(1) 鄰域鄰域:說明說明. , 0 , 點的鄰域點的鄰域稱為無窮遠稱為無窮遠其中實數(shù)其中實數(shù)所有點的集合所有點的集合的的且滿足且滿足包括無窮遠點自身在內(nèi)包括無窮遠點自身在內(nèi) MMz000 , () : .zrzzrzr平平面面上上以以為為中中心心任任意意的的正正數(shù)數(shù) 為為半半徑徑的的圓圓內(nèi)內(nèi)部部的的點點的的集集合合稱稱為為的的 鄰鄰域域3(2)去心鄰域去心鄰域:說明說明. . , , zMMz可以表示為可以表示為域域稱為無窮遠點的去心鄰稱為無窮遠點的去心鄰的所有點的集合的所有點的集合僅滿足

2、僅滿足內(nèi)內(nèi)不包括無窮遠點自身在不包括無窮遠點自身在00 0 .zzrz稱稱由由不不等等式式所所確確定定的的點點的的集集合合為為的的去去心心鄰鄰域域4(3)內(nèi)點內(nèi)點:(4)開集開集: 如果如果 D 內(nèi)每一點都是它的內(nèi)點內(nèi)每一點都是它的內(nèi)點, ,那末那末D稱稱為開集為開集. .000 , . , , .DzDzDzG設設為為一一平平面面點點集集為為中中任任意意一一點點 如如果果存存在在 的的一一個個鄰鄰域域 該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的所所有有點點都都屬屬于于那那末末 稱稱為為 的的內(nèi)內(nèi)點點5(5) 區(qū)域區(qū)域: 如果平面點集如果平面點集D滿足以下兩個條件滿足以下兩個條件, ,則稱則稱它為一個區(qū)域它為一個區(qū)

3、域. .(1) D是一個是一個開集開集；(2) D是是連通的連通的, ,就是說就是說D中任何兩點都可以用中任何兩點都可以用完全屬于完全屬于D的一條折線連結(jié)起來的一條折線連結(jié)起來.(6) 邊界點、邊界邊界點、邊界: 設設D是復平面內(nèi)的一個區(qū)域是復平面內(nèi)的一個區(qū)域, ,如果點如果點 P P 不不屬于屬于D, 但在但在 P P 的任意小的鄰域內(nèi)總有的任意小的鄰域內(nèi)總有D中的中的點點,這樣的這樣的 P P 點我們稱為點我們稱為D的的邊界點邊界點.6D的所有邊界點組成的所有邊界點組成D的的邊界邊界. .說明說明 區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點所組成的的點所組

4、成的. 區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域閉區(qū)域 .Dz 1C2C3Cz 1C2C3C7以上基以上基本概念本概念的圖示的圖示1z 2z 區(qū)域區(qū)域 0z 鄰域鄰域P 邊界點邊界點邊界邊界(7)有界區(qū)域和無界區(qū)域有界區(qū)域和無界區(qū)域:. , , 0, , 界的界的否則稱為無否則稱為無稱為有界的稱為有界的那末那末點都滿足點都滿足使區(qū)域的每一個使區(qū)域的每一個即存在即存在為中心的圓里面為中心的圓里面點點可以被包含在一個以原可以被包含在一個以原如果一個區(qū)域如果一個區(qū)域DMzMD 8(1) 圓環(huán)域圓環(huán)域:;201rzzr 0z 2r1r課堂練習課堂練習判斷下列區(qū)域是否有界判斷下列區(qū)域是否有界

5、?(2) 上半平面上半平面:; 0Im z(3) 角形域角形域:;arg21z(4) 帶形域帶形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)無界無界.xyo92、單連通域與多連通域、單連通域與多連通域(1)連續(xù)曲線連續(xù)曲線:. , )( ),( , )( , )( )( 稱稱為為連連續(xù)續(xù)曲曲線線表表一一條條平平面面曲曲線線代代那那末末方方程程組組是是兩兩個個連連續(xù)續(xù)的的實實變變函函數(shù)數(shù)和和如如果果btatyytxxtytx 平面曲線的復數(shù)表示平面曲線的復數(shù)表示:)().()()(btatiytxtzz 10(2)光滑曲線光滑曲線: 由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線由幾

6、段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為按段光滑曲線稱為按段光滑曲線. .xyoxyo , ( ) ( ) 0,atbx ty t 如如果果在在上上和和都都是是連連續(xù)續(xù)的的且且不不全全為為 那那么么稱稱這這曲曲線線為為光光滑滑的的. .11(3) 簡單曲線簡單曲線:. )( )( , )()( :的起點和終點的起點和終點分別稱為分別稱為與與為一條連續(xù)曲線為一條連續(xù)曲線設設CbzazbtatzzC . )( , )()( , , 121212121的重點的重點稱為曲線稱為曲線點點時時而有而有當當與與的的對于滿足對于滿足Ctztztzttttbtabta 沒有重點的曲線沒有重點的曲線 C 稱為簡單曲線

7、稱為簡單曲線( (或若爾或若爾當曲線當曲線).).12. , )( )( , 為簡單閉曲線為簡單閉曲線那末稱那末稱即即的起點和終點重合的起點和終點重合如果簡單曲線如果簡單曲線CbzazC 換句話說換句話說, 簡單曲線自身不相交簡單曲線自身不相交. 簡單閉曲線的性質(zhì)簡單閉曲線的性質(zhì): 任意一條簡單任意一條簡單閉曲線閉曲線 C 將復平面將復平面唯一地分成三個互唯一地分成三個互不相交的點集不相交的點集.xyo內(nèi)部內(nèi)部外部外部邊界邊界13課堂練習課堂練習判斷下列曲線是否為簡單曲線判斷下列曲線是否為簡單曲線?是是否是閉曲線否是閉曲線答答案案簡簡單單閉閉簡簡單單不不閉閉不不簡簡單單閉閉不不簡簡單單不不閉閉

8、 )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz 14(4) 單連通域與多連通域的定義單連通域與多連通域的定義: 復平面上的一個區(qū)域復平面上的一個區(qū)域D, 如果在其中任作如果在其中任作一條簡單閉曲線一條簡單閉曲線, 而曲線的內(nèi)部總屬于而曲線的內(nèi)部總屬于D, 就稱就稱為單連通域為單連通域. 一個區(qū)域如果不是單連通域一個區(qū)域如果不是單連通域, 就稱就稱為多連通域為多連通域.單連通域單連通域多連通域多連通域153、典型例題、典型例題例例1 1 指明下列不等式所確定的區(qū)域指明下列不等式所確定的區(qū)域, 是有界的還是有界的還是無界的是無界的,單連通的還是多連通的單連通的還是多連通的

9、. 2 1) 5 (; 4 1 1-) 4(; 31) 3 (; 3 arg) 2(; 1 ) Re() 1 (2zzzzzz解解 , )1(時時當當iyxz ,)Re(222yxz , 11)Re(222 yxz無界的單連通域無界的單連通域(如圖如圖).163arg)2( z,3arg33arg zz是角形域是角形域, 無界的單連通域無界的單連通域(如圖如圖).31)3( z,3131 zz, 31 ,的圓的外部的圓的外部半徑為半徑為是以原點為中心是以原點為中心無界的多連通域無界的多連通域. 17411)4( zz表示到表示到1, 1的距離之的距離之和為定值和為定值4的點的軌跡的點的軌跡, 是橢圓是橢圓,411 zz ,411表示該橢圓內(nèi)部表示該橢圓內(nèi)部 zz有界的單連通域有界的單連通域.21 )5(z圓環(huán)形區(qū)域，有界，多連通184、小