《經濟數學.微積分》朱來義.第一章.1.7簡單函數關系的建立

1、經濟數學經濟數學 微積分 朱來義主編1.7 簡單函數關系的建立一、簡單函數關系的建立二、經濟學中常見的函數關系一、簡單函數關系的建立例例1 1解解.)cm(的函數的函數將圓柱的體積表為其高將圓柱的體積表為其高，試，試的球內嵌入一內接圓柱的球內嵌入一內接圓柱在半徑為在半徑為a.,xy 高為高為設圓柱的體積為設圓柱的體積為.之間的關系之間的關系與高與高這就是圓柱體積這就是圓柱體積xyaxxax20),4(422 xxay 22224).cm(422xa 圓柱的底面直徑為圓柱的底面直徑為xa2為為圓柱的體積圓柱的體積 y例例2 2之間的關系之間的關系與房地產公司的總收入與房地產公司的總收入個月房租個

2、月房租元的維護費試建立每元的維護費試建立每公寓每月需花費公寓每月需花費套套不出去，而租出去的每不出去，而租出去的每元時，就有一套公寓租元時，就有一套公寓租去當租金每月增加去當租金每月增加元時，公寓會全部租出元時，公寓會全部租出每月每月定為定為套公寓要出租，當租金套公寓要出租，當租金一房地產公司有一房地產公司有201018050),190,180( xx月月元元設房租為設房租為解解.)(租出去的公寓的套數租出去的公寓的套數維護費維護費房租房租總收入總收入 xR.元元出租房總收入為出租房總收入為 R)(xRR 因此總收入為因此總收入為,1018050)20( xx.1018050套套數為數為時，可

3、租出去的公寓套時，可租出去的公寓套月月元元房租為房租為 xx.1068)20( xx680,200,190,180 x二、經濟學中常見的函數關系1.1.總成本函數、總收入函數和總利潤函數總成本函數、總收入函數和總利潤函數 生產和經營活動中，人們所關心的問題是生產和經營活動中，人們所關心的問題是產品產品的成本、銷售收入（又稱為收益）和利潤的成本、銷售收入（又稱為收益）和利潤 產品的成本產品的成本就是生產產品的總投入，它包括固就是生產產品的總投入，它包括固定成本（又稱為不變成本）和可變成本定成本（又稱為不變成本）和可變成本 銷售收入銷售收入是指產品出售后所得的收入，而利潤是指產品出售后所得的收入，

4、而利潤就是收入扣去成本后的余額就是收入扣去成本后的余額.稱為經濟變量稱為經濟變量和利潤和利潤，收入，收入通常把成本通常把成本LRC.變成本兩部分構成變成本兩部分構成總成本由固定成本和可總成本由固定成本和可.有關有關的產量或者說銷售量的產量或者說銷售量經濟變量與其相應產品經濟變量與其相應產品x);(xC記為記為分別稱為總成本函數，分別稱為總成本函數，；總收入函數，記為總收入函數，記為)(xR).(xL總利潤函數，記為總利潤函數，記為.增加增加可變成本隨產量增加而可變成本隨產量增加而無關無關固定成本與產量固定成本與產量 x的單增函數；的單增函數；總成本是產量總成本是產量 x；即即乘積，乘積，與銷售

5、單價與銷售單價是銷售量是銷售量總收入總收入PxxRPxxR )()().()()()(xCxRxLxL 即即，等于總收入減去總成本等于總收入減去總成本總利潤總利潤例例3 3少？少？臺時，廠家可獲利潤多臺時，廠家可獲利潤多當一商場訂購當一商場訂購的函數；的函數；表示為訂購量表示為訂購量把利潤把利潤的函數；的函數；表示為訂購量表示為訂購量試將每臺的實際售價試將每臺的實際售價臺臺元元臺），但最低價為臺），但最低價為購進這多出的購進這多出的的價格的價格臺臺元元元，商場可以按元，商場可以按就降價就降價臺每臺臺每臺臺，于是多出的這臺，于是多出的這臺多臺多訂購量比訂購量比臺，臺，元（例如某商場訂購元（例如某

6、商場訂購臺每臺降價臺每臺降價每多出每多出例為例為實行降價，其中降價比實行降價，其中降價比臺以上的，多出的產品臺以上的，多出的產品，決定凡是訂購量超過，決定凡是訂購量超過為鼓勵銷售商大量采購為鼓勵銷售商大量采購元，廠家元，廠家成本為成本為元元某種產品每臺售價某種產品每臺售價1000)3()2()1(.7520088220001. 0200200100300110010060,90 xLxP 解解由題設，由題設，)1(,90臺臺元元實際售價實際售價 P時，時，當當100 x)(01. 0)100(90臺臺元元實際售價實際售價 xP時，時，而當而當1600 x臺臺元元實際售價實際售價75 P時，時，

7、當當100 x，臺臺元元由于產品最低價為由于產品最低價為 75,7501. 0)100(90 x所以所以.1600 x即即時，時，故當故當1600100 x 1600,751600100,01. 0)100(90100,90)(xxxxxP關系如下：關系如下：與訂購量與訂購量綜上可知，實際售價綜上可知，實際售價xP臺總收入臺總收入由于銷售由于銷售 x)2( 1600,9000)100(751600100,9000)100(01. 0)100(90100,90)(xxxxxxxxR可知，可知，由由)2()3( 1600,1500151600100,01. 0)100(30100,302xxxxx

8、xx,60)(xxCx 臺總成本臺總成本)()()(xCxRxL 01. 0)1001000(1000302 L（元）（元）21900 臺的利潤為臺的利潤為因此銷售因此銷售 x臺時，廠家可獲利潤臺時，廠家可獲利潤當商場訂購當商場訂購 10002.2.需求函數與供給函數需求函數與供給函數.格直接相關的量格直接相關的量場供給量是與產品的價場供給量是與產品的價產品的市場需求量與市產品的市場需求量與市性函數，即性函數，即最簡單的需求函數是線最簡單的需求函數是線., 均為正的常數均為正的常數其中其中babPaQd 關系是：關系是：的的與該商品的價格與該商品的價格一產品的市場需求量一產品的市場需求量PQd

9、.價使需求量減少價使需求量減少降價使需求量增加，漲降價使需求量增加，漲的單調減少函數，的單調減少函數，是價格是價格需求量需求量PQd).(PfQdd 稱為需求函數，記為稱為需求函數，記為.使供給量減少使供給量減少價使供給量增加，降價價使供給量增加，降價的關系是漲的關系是漲與價格與價格一商品的市場供給量一商品的市場供給量PQs性函數，即性函數，即最簡單的供給函數是線最簡單的供給函數是線cdPQs .均為正的常數均為正的常數與與其中其中dc.,達到了平衡達到了平衡們說這種商品的供、需們說這種商品的供、需我我給量與需求量相等給量與需求量相等若市場上某種商品的供若市場上某種商品的供供給函數，供給函數，為為的單調增加函數，稱之的單調增加函數，稱之是價格是價格供給量供給量PQs).(PfQss 記作記作.0表示表示均衡價格，常用均衡價格，常用此時該商品的價格稱為此時該商品的價格稱為P例例4 4.2504501500500數數求該產品的線性需求函求該產品的線性需求函試試臺臺元時，每月可增售元時，每月可增售臺，每臺售價降為臺，每臺售價降為元時，每月可銷售元時，每月可