平面向量知識(shí)點(diǎn)和例題

1、第二章平面向量1. 向量：數(shù)學(xué)中，我們把既有大小，又有方向的量叫做向量。 數(shù)量：我們把只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量。2. 有向線段：帶有方向的線段叫做有向線段。有向線段三要素：起點(diǎn)、方向、長度。3. 向量的長度(模)：向量AB的大小，也就是向量 AB的長度(或稱模)，記作|AB |。4. 零向量：長度為0的向量叫做零向量，記作 0，零向量的方向是任意的。單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量，叫做單位向量。5. 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。假設(shè)向量a、b是兩個(gè)平行向量, 那么通常記作a / b。平行向量也叫做共線向量。我們規(guī)定：零向量與任一向量平行,即對(duì)于任一向量a，都有0 /

2、a。6. 相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。假設(shè)向量a、b是兩個(gè)相等向量，那么通常記作a=b。7. 如圖，非零向量 a、b，在平面任取一點(diǎn) A,作AB =a , BC=b，那么向量AC叫做a與b的和，記作a b，即a b AB BC AC。向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法。這種求向量的方法稱為向量加法的三角形法那么。8. 對(duì)于零向量與任一向量 a，我們規(guī)定：|a + O=O + a = a9. 公式與運(yùn)算定律： A iA 2 +A 2A3+.+ AnAi = 0 | a+b| < | a|+|b|&faA*fc-fc-r-I-r- a+bba(a+b)+

3、ca(b+c)10. 相反向量：我們規(guī)定，與 a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作-a。a和-a互為相反向量。 我們規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量。 任一向量與其相反向量的和是零向量，即a+(-a) = (-a)+a=0。 如果a、b是互為相反的向量，那么 a= - b , b = - a , a b= 0。 我們定義a-b= a+ (-b),即減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量。11. 向量的數(shù)乘：一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)入與向量 a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向| 量的數(shù)乘。記作 a，它的長度與方向規(guī)定如下： | a| | |a|當(dāng)入0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)入v 0

4、時(shí)，的方向與a的方向相反；入=0時(shí)，ACo12.運(yùn)算定律：(a)a(a b = a b)a( a)( a)(a b = a b13. 定理：對(duì)于向量a( a豐0 )、b，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)入，使 b= a，那么a與b共線。相反，向量a與b共線,a豐0，且向量b的長度是向量a的長度的卩倍，即| b|=卩| a|，那么當(dāng)a與b同方向時(shí)，有b= a ；當(dāng)a與b反方向時(shí)，有b =a。那么得如下定理：向量向量 a ( a豐0 )與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)入，使 b= a。14. 平面向量根本定理：如果ei、e2是同一平面的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2,使a ie

5、i2e2。我們把不共線的向量 ei、e2叫做表示這一平面所有向量的一組基底。15. 向量a與b的夾角：兩個(gè)非零向量a和b。作OA a , OB b，那么 AOBLLrj(0°<q< 180°)叫做向量a與b的夾角。當(dāng)b =0°時(shí)，a與b同向；當(dāng)b =180°時(shí)， a與b反向。如果a與b的夾角是90°,我們說a與b垂直，記作a b。16. 補(bǔ)充結(jié)論：向量a、b是兩個(gè)不共線的兩個(gè)向量，且m n r,假設(shè)ma nb 0 ,貝 V m=n=Q17. 正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。18. 兩個(gè)向量和(差)的

6、坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差)。即假設(shè)a (X1,y1),b (X2, y2)，貝y a b (X1 X2, y y2), a b (X1 X2, y y2)19. 實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。即假設(shè)a (X1, y1),那么 a ( x1, y1)20. 當(dāng)且僅當(dāng)X1y2-x 2y1=0時(shí)，向量a、b ( b豐0 )共線21. 定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：當(dāng)P1PPP2時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(弋當(dāng)點(diǎn)P在線段RPa上時(shí)，點(diǎn)P叫線段PP的分點(diǎn)，入0 當(dāng)點(diǎn)P在線段的延長線上時(shí)，P叫線段P1P2的外分點(diǎn)，入V -1 ； 當(dāng)點(diǎn)P在線段P1P2的反向延長線上時(shí)，P叫線段P1P2的外分

7、點(diǎn)，-1 V入V 0.22. 從一點(diǎn)引出三個(gè)向量，且三個(gè)向量的終點(diǎn)共線，那么OC OA OB，其中入+卩=123. 數(shù)量積(積)：兩個(gè)非零向量 a與b，我們把數(shù)量|a|b|cos叫做a與b的數(shù)量積(或積)，記作a b即a b = |a|b|cos 。其中B是a與b的夾角,| a |cos ( | b | cos )叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。我們規(guī)定，零向量與任一向量的數(shù)量積為0。24. a -b的幾何意義：數(shù)量積a -b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積。25. 數(shù)量積的運(yùn)算定律：a b =b a(入a) b = ( a b ) =a (入b)I.I

8、.-I-I-1F(a +b)c = a c +b c2 222， 2- 2 ，、L- 2 2(ab) a2abb (ab)a2abb (ab)(ab)ab假設(shè) a (x, y)，那么 |af x2 y2，或 |a| <x2 y2a bX1X2 y$2|a|b| ? X12x22 y22cos26. 兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。即a b x1x2 y1 y2。那么：起點(diǎn)和中點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(X,y)(X2, y?)，那么 a(X2X1, 乂%)，|a| (X2 x/ (y2%)2設(shè)a(& y) b (X2, y，那么a bX1X2yy0 a b027.設(shè) a、b都是非

9、零向量，a(X1,yj ,b (X2,y2),b是a與b的夾角，根據(jù)向如果表示向量a的有向線段的量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)表示可得:2021-2021學(xué)年度#學(xué)校#月考卷試卷副標(biāo)題1、在平面直角坐標(biāo)系匡中，角日與角 的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸正半軸，終1pina = H |邊關(guān)于軸對(duì)稱，那么也二-()A.D.2、以下命題正確的選項(xiàng)是(A. 單位向量都相等B. 假設(shè)a與b是共線向量，c與b是共線向量，那么a與c是共線向量C. |a b 'a b |,貝V a b 0D. 假設(shè)ao與bb是單位向量，那么a。bb 13、 設(shè)b是a的相反向量，那么以下說法一定錯(cuò)誤的選項(xiàng)是A. a與b的長度相等B.a

10、 bC. a'與b 一定不相等D.a是b的相反向量4、 設(shè)a,b都是非零向量，以下四個(gè)條件，使 b成立的充要條件是冋|bA. a b B. a 2b C. a/b且 a D. a/b且方向相同5、以下命題：平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；平行于同一個(gè)向量的兩個(gè)向量是共線向量；相等向量一定共線.其中不正確 命題的序號(hào)是A. B. C. D. 6、 以下命題正確的選項(xiàng)是A.單位向量都相等B. 模為0的向量與任意向量共線C.平行向量不一定是共線向量D.任一向量與它的相反向量不相等7、 以下說法不正確的選項(xiàng)是A. a， b為不共線向量，假設(shè) a b b，那么a bB. 假設(shè)a， b為

11、平面兩個(gè)不相等向量，那么平面任意向量c都可以表示為cabC. 假設(shè)a b， b c，那么a與c不一定共線ID. aba b8、在平行四邊形 ABCD中，點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足AF 2FD, EF xAC yAB ,那么x y1112A.-B.-C.-D.32459、如圖，在ABC 中，a°1.AD -AC, BP1 一BD ，假設(shè) APABAC，貝V 的33值為D.10、如圖， AB a , AC b , BC 4BD , CA 3CE，那么 DE ()3 ,153,3 .1 ,5 ,3A.baB.abC.abD.ba431244312411、點(diǎn)G為ABC的重心三邊中線的交點(diǎn)設(shè)GB

12、a,GCb，那么1AB等于2()“31 ,1 ,A. abB.abC. 2a bD.2ab22212、在ABC中，假設(shè)AB AC4AP，貝y PB ()A. 3ab -ACB.3 AB 1 ACC.1 AB3 ACD.444444-AB 3 AC4413、如圖，在 ABC中，D為線段BC的中點(diǎn),E, F,G依次為線段AD從上至下的3個(gè)四等分點(diǎn)，假設(shè) AB AC 4AP，貝U14、在三棱柱ABCA B1C1 中，假設(shè) CAa,CB b,CGc，那么AB等于A. a b cB.a b cC.a b c D.a b c15、如圖，正六邊形ABCDEF中，ABCD FE ()A.點(diǎn)P與圖中的點(diǎn)D重合

13、B.C點(diǎn)P與圖中的點(diǎn)F重合 D.點(diǎn)P與圖中的點(diǎn)E重合 點(diǎn)P與圖中的點(diǎn)G重合A.0B.ADC.BED.CF16、a3,4，b2, 1且a xba b，貝V x等于 A.23B.23C.23D.23234兩點(diǎn) M , N，假設(shè) AB mAM , AC1 1nAN， m,n為正數(shù)，那么的最小值為m nA. 2B. 12 C. 12233D. 12 3318、設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線，如果飭+勺和竺共線那么匕的值是A. 1B. -1 C. 3 D.19、點(diǎn)E在直線I花濃I = °上運(yùn)動(dòng)，胡巨不，那么1：:-1 -匸的最小值是A. K5 B.17、在厶ABC中，點(diǎn)0是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)0的直線分別

14、交直線 AB , AC于不同20、 向量a 2,1， b 1,3，那么向量2a b與a的夾角為A. 135°B. 60° C. 45° D.30°21、如圖，在半徑為只的圓匚中，弦翻的長為5,那么他心sl255 -R25 R2 B.2 C.2 D.222、假設(shè)四邊形ABC是正方形，E是DC邊的中點(diǎn)，且AB二亂而那么匪等于A. b+ a B.b a C. a + b D. a b23、如圖，在正方形ABCD中,M N分別是BC CD的中點(diǎn)，假設(shè)曲=入皿+口拠,31、如圖， ABC的外接圓的圓心為O, AB = 2 , AC= 3 , BC 7，那么132、

15、在邊長為1的正三角形ABC中，設(shè)e AB , e2 AC ,點(diǎn)D滿足BD - DC .21試用ei ,e2表示AD ；x2 假設(shè) a xei ye2 x, y R，且 x 0 ，求一的最大值a33、在邊長為1的正三角形ABC中，設(shè)e AB，e2 AC ,點(diǎn)D滿足BD -DC .21試用u , e，表示ad ；2 假設(shè)a xe ye2 x, y R，且x 0，求酉的最大值.34、：a、b、c同一平面的三個(gè)向量，其中 a 1,21假設(shè)|c| 2J5，且c/a，求c的坐標(biāo)；2 假設(shè)|b |5，且a 2b與2a b垂直，求a與b的夾角.2參考答案1、答案D2、答案C3、答案C4、答案D5、答案A6、答

16、案B7、答案B8、答案B9、答案D10、答案D11、答案B答案A13、答案A18、答案B22、12、17、21、答案C14、答案D19、答案B23、答案B16、答案C答案C25、答案26、答案1答案D15、答案C20、答案D24、4 27、答案.105 ，28、答案0,6 29、答案,1 30、答案231、532、答案(1) AD212.33e2； T答案C答案2試題分析：1由向量加法的運(yùn)算法那么可得1 一 一 -AC AB即可得結(jié)果；23ADAB BD AB 1 BD3AB|xlaixy換元后，利用根本不等式即可得結(jié)果試題解析:(1)ADABBDABBD AB31 AC AB31涉.(2)l

17、x故當(dāng)丫xxq2ye212yx12y 1x 22時(shí)上的最大值為33、答案1AD e 1 倉；2遼333試題分析：1借助圖形，結(jié)合向量的線性運(yùn)算將 AD分解即可；2先求a，將x化為二次函數(shù)的形式，通過求二次函數(shù)的最值可得結(jié)果 試題解析：1如圖，結(jié)合圖形可得tf1121ADAB BDABBCABAC ABAB-AC33332-1 -e1e2。33(2)-a xeiye ,.222xq ye22xyq 色xy , a2 2y xy.|xxy又 x, y R ,x1時(shí)，里取得最大值，且最大值為2 a2_士.3334、答案(1) c (2,4)或 c ( 2, 4); (2)試題分析：(1)求c的坐標(biāo)，假設(shè)設(shè)出c (x, y)，那么需建立關(guān)于x, y的兩個(gè)方程，而條件 |c| 2J5和c/a恰好提供了建立方程的兩個(gè)初始條件，只需將它們轉(zhuǎn)化到用x,y表示即可，(2)根據(jù)cos_a匕，還需求出a b的值，由條件a 2b與2a b垂直，易|a| |b|得a b的值，從而得出夾角，從規(guī)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕嵌葋?/p>