華師大版八年級數(shù)學下函數(shù)及其圖像知識點歸納

1、華師大版八年級數(shù)學下函數(shù)及其圖像知識點歸納一變量與函數(shù)1 .函數(shù)的定義：一般的，在某個變化過程中有兩個變量x和y,對于x的每一個數(shù)值y都有唯一的值與之對應，我們說x叫做自變量，y叫做因變量，y叫做x的函數(shù)。2 自變量的取值范圍：(1)能夠使函數(shù)有意義的自變量的取值全體。(2)確定函數(shù)自變量的取值范圍要注意以下兩點：一是使自變量所在的代數(shù)式有意義；二是使函數(shù)在實際問題中有實際意義。(3)不同函數(shù)關系式自變量取值范圍的確定： 函數(shù)關系式為整式時自變量的取值范圍是全體實數(shù)。 函數(shù)關系式為分式時自變量的取值范圍是使分母不為零的全體實數(shù)。 函數(shù)關系式為二次根式時自變量的取值范圍是使被開方數(shù)大于或等于零的

2、全體實數(shù)。3函數(shù)值：當自變量取某一數(shù)值時對應的函數(shù)值。這里有三種類型的問題：(1)當已知自變量的值求函數(shù)值就是求代數(shù)式的值。(2)當已知函數(shù)值求自變量的值就是解方程。(3)當給定函數(shù)值的一個取值范圍，欲求自變量的取值范圍時實質上就是解不等式或不等式組。二平面直角坐標系：1 各象限內點的坐標的特征：(1)點p(x,y)在第一象限x>0,y>0.(2)點p(x,y)在第二象限-x<0,y>0.(3)點p(x,y)在第三象限-x<0,y<0(4)點p(x,y)在第四象限-x>0,y<0.2 坐標軸上的點的坐標的特征：(1)點p(x,y)在x軸上x為任意

3、實數(shù)，y=0(2)點p(x,y)在y軸上-x=0,y為任意實數(shù)3 關于x軸，y軸，原點對稱的點的坐標的特征：(1)點p(x,y)關于x軸對稱的點的坐標為(x,-y).(2)點p(x,y)關于y軸對稱的點的坐標為(-x,y).(3)點p(x,y)關于原點對稱的點的坐標為(-x,-y)4 兩條坐標軸夾角平分在線的點的坐標的特征：(1)點p(x,y)在第一、三象限夾角平分在線x=y.(2)點p(x,y)在第二，四象限夾角平分在線x+y=05與坐標軸平行的直線上的點的坐標的特征：(1)位于平行于x軸的直線上的所有點的縱坐標相同。(2)位于平行于y軸的直線上的所有點的橫坐標相同。6點到坐標軸及原點的距離

4、：(1)點p(x,y)到軸的距離為|y|.(2)點p(x,y)到y(tǒng)軸的距離為IxI.22(3)點p(x,y)到原點的距離為x?y（4）同在x軸上的兩點A（x1,0）與B（x2,0）之間的距離為AB=|x1-x2|（5）同在y軸上的兩點C（0,y1）與D（0,y2）之間的距離為CD=|y1-y2|三函數(shù)的圖像函數(shù)圖像上的點與其解析式的關系1 .函數(shù)圖像上任意一點p（x,y）中的x、y滿足函數(shù)關系式，滿足函數(shù)關系式的一對對應值（x,y）都在函數(shù)的圖像上。2 .判斷點p（x,y）是否在函數(shù)圖像上的方法，將這個點的坐標（x,y）代入函數(shù)關系式，如果滿足函數(shù)關系式，那么這個點就在函數(shù)的圖像上，如果不滿足

5、函數(shù)關系式，那么，這個點就不在函數(shù)的圖像上。四一次函數(shù)（一）一次函數(shù)的定義1 .定義:含有自變量的式子為一次整式，即形如式子y=kx+b（其中k和b為常數(shù)，kw0）叫做一次函數(shù)。正比例函數(shù)：在一次函數(shù)y=kx+b中如果b=0即變?yōu)閥=kx（其中kw0）這樣的函數(shù)叫做正比例函數(shù)。2注意：（1）由一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義可知; 函數(shù)是一次函數(shù)解析式為y=kx+b的形式。 函數(shù)是正比例函數(shù)-解析式為y=kx的形式。（ 2）一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b的結構特征：kw®x的次數(shù)是1常數(shù)b為任意實數(shù)（ 3）正比例函數(shù)解析式y(tǒng)=kx的結構特征kw®x的次數(shù)是1常數(shù)b=03.說明：在y=

6、kx+b中若k=0則y=b（b為常數(shù)）這樣的函數(shù)叫做常數(shù)函數(shù)，它不是一次函數(shù)。4正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關系：正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，一次函數(shù)包含正比例函數(shù)。第2/6頁一次函數(shù)y=kx+b，當b=0時為正比例函數(shù)一次函數(shù)y=kx+b,當bw。時一般的一次函數(shù)（二）一次函數(shù)的圖像1一次函數(shù)圖像的形狀：一次函數(shù)y=kx+b的圖像是一條直線，通常稱為直線y=kx+b正比例函數(shù)y=kx的圖像也是一條直線，稱為直線y=kx2一次函數(shù)圖像的主要特點:一次函數(shù)y=kx+b的圖像經(jīng)過點（0,b）的直線，正比例函數(shù)y=kx+b的圖像是經(jīng)過原點（0,0）的直線注意：點（0,b）是直線y=kx+b與y軸的交點。

7、當b>0時，此時交點在y軸的正半軸上， 當b<0時，此時交點在y軸的負半軸上， 當b=0時，此時交點在原點，這時的一次函數(shù)就是正比例函數(shù)。3一次函數(shù)圖像的畫法：根據(jù)兩點能畫一條直線并且只能畫一條直線，即兩點確定一條直線，所以畫一次函數(shù)的圖像時，只要先描出兩點，在連成直線即可。那么，先描出哪兩點比較好呢？選兩點應以計算和描點簡單為原則，一般來說，當bw。時，一般的一次函數(shù)y=kx+b的圖像，應選取b,0);當b=0時，畫正比例函數(shù)y=kx的圖像，通常取(0,0)與k22(1,k)兩點，個別情況下可以做些變通，例如畫函數(shù)y=x的圖像，可以取(0,0)與(1,)兩點，33它與兩個坐標軸的

8、交點(0,b)與(-也可以取(0,0)與(3,2)兩點。4直線y=kx+b與坐標軸的交點(1) 令x=0，則y=b所以直線y=kx+b與y軸的交點坐標為(0,b)(2) 令y=0,則kx+b=0所以x=-bkb,0)注意：此時直線y=kx+b與x軸，y軸圍成的三角形面積k所以直線y=kx+b與x軸的交點坐標為(-S=1t>x|-Ix|bI2k5兩直線在直角坐標系內的位置關系:(1)兩直線的解析式中當k相同時，其位置關系是平行，其中一條直線可以看作是另一條平移得到的，平移規(guī)律是“左減右加，上加下減”(2)兩直線的解析式中當b相同時，其位置關系是相交，交點坐標為(0,b).第3/6頁(三)一

9、次函數(shù)的性質1正比例函數(shù)的性質(1)當k>0時，圖像經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大，直線y=kx從左到右上升。(2)當k<0時，圖像經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小，直線y=kx從左到右下降。2一次函數(shù)y=kx+b的性質(1)當k>0時，直線y=kx+b從左到右上升，此時y隨x的增大而增大。(2)當k<0時，直線y=kx+b從左到右下降，此時y隨x的增大而減小。(3)當b>0時，直線y=kx+b與y軸正半軸相交。(4)當b<0時，直線y=kx+b與y軸負半軸相交。3直線y=kx+b的位置與k、b的符號之間的關系直線y=kx+b的位置是由k與b的符號

10、決定的，其中k決定直線從左到右呈上升趨勢還是下降趨勢，b決定直線與y軸交點的位置是在y軸的正半軸，還是負半軸，還是原點。k和b綜合起來決定直線y=kx+b在直角坐標系中的位置共有六種情況：當k>0,b>0時，直線經(jīng)過第一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限；當k>0,b<0時，直線經(jīng)過第一、三、四象限，不經(jīng)過第二象限；當k<0,b>0時，直線經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限；當k<0,b<0時，直線經(jīng)過第二、三、四象限，不經(jīng)過第一象限；當k>0,b=0時，直線經(jīng)過第一、三象限；當k<0,b=0時，直線經(jīng)過第二、四象限。(四)正比例函數(shù)與一

11、次函數(shù)解析式的確定1.確定一個正比例函數(shù)就是要確定正比例函數(shù)解析式y(tǒng)=kx(kwO)中的常數(shù)k;確定一個一次函數(shù)需要確定一次函數(shù)解析式一般形式y(tǒng)=kx+b(kwO)中的常數(shù)k和b,解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法。2待定系數(shù)法：先設出待求函數(shù)關系式（其中含有未知的系數(shù)），再根據(jù)已知條件列出方程或方程組，求出未知系數(shù)，從而得到所求結果的方法，叫做待定系數(shù)法。其中的未知系數(shù)也稱待定系數(shù)，如正比例函數(shù)y=kx中的k,一次函數(shù)y=kx+b中的k和b都是待確定的系數(shù)。3用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般步驟：（ 1）設出含有待定系數(shù)的解析式；（ 2）把已知條件（自變量與函數(shù)的對應值）代入解析式，得到關于待定

12、系數(shù)的方程或方程組；（ 3）解方程或方程組，求出待定系數(shù)；（ 4）將求得的待定系數(shù)的值代回所設的解析式。第4/6頁注意：通常正比例函數(shù)解析式設y=kx,只有一個待定系數(shù)k,一般只需一對x與y的對應值即可；一次函數(shù)解析式設y=kx+b,其中有兩個待定系數(shù)k和b,因而需要兩對x與y的對應值，才能求出k和b的值。五反比例函數(shù)（一）反比例函數(shù)定義1.一般的，函數(shù)y=k-1（k是常數(shù)，kwo）叫做反比例函數(shù)，反比例函數(shù)的解析式也可以寫成y=kx的形x式，其中k叫做比例系數(shù)。2反比例函數(shù)解析式的主要特征：（1）等號左邊是函數(shù)y,右邊是一個分式，分子是不為零的常數(shù)k,分母中含有自變量x,且x的指數(shù)是1，若寫

13、成y=kx的形式，則x的指數(shù)是-1。（2）比例系數(shù)“kw01反比例函數(shù)定義的重要組成部分。（3）自變量x的取值范圍是xw。的一切實數(shù)。（二）反比例函數(shù)的圖像反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限，它們關于原點成中心對稱。由于反比例函數(shù)中自變量xwQ函數(shù)ywQ所以它的圖像與x軸和y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠不與坐標軸相交。（三）反比例函數(shù)的性質1 .當k>0時，圖像在第一、三象限，在每個象限內，曲線從左到右下降，也就是在每個象限內y隨x的增大而減小。2 .當k<0時，圖像在第二、四象限，在每個象限內，曲線從左到

14、右上升，也就是在每個象限內y隨x的增大而增大。（四）反比例函數(shù)解析式的確定確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于反比例函數(shù)y=-1k中只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對x與yx的對應值或圖像上一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式。5） ）“反比例關系”與“反比例函數(shù)”的區(qū)別與聯(lián)系反比例關系是小學學過的概念：如果xy=k（k是常數(shù)kwO）,那么x與y這兩個量成反比例關系，這里x與y既可以代表單獨的一個字母也可以代表多項式或單項式，例如y+3與x成反比例則有y+3=成反比例，則y=例關系。k,y與x2xkk,成反比例關系不一定是反比例函數(shù)，但是反比例函數(shù)丫二中的兩個變量必定成反比xx2第5/

15、6頁(六)反比例函數(shù)y=k(kO)中的比例系數(shù)k的幾何意義x11S矩形=|k|。221.如圖，過雙曲線上一點作x軸、y軸的垂線PM、PN,所得矩形PMON面積為|k|。2.連結PO,則SAPOM=6） 函數(shù)的應用1 利用圖像比較兩個函數(shù)值的大小在同一直角坐標系中的兩個函數(shù)圖像，如果其中一個函數(shù)的圖像在另一個函數(shù)圖像的上方，則該函數(shù)值就比另一個函數(shù)值大，若在下方，則該函數(shù)值就比另一個函數(shù)值小，而其交點的橫坐標就是分界點。2 兩個一次函數(shù)圖像的交點與二元一次方程組的關系如果兩個一次函數(shù)的圖像相交，則交點坐標必定同時滿足兩個函數(shù)解析式，故交點坐標是有兩個函數(shù)解析式組成的二元一次方程組的解。3 一次函數(shù)與方程、不等式的關系4 1)一次函數(shù)y=kx+b的