數(shù)列壓軸題專題

1、題型一：遞推問題1、已知數(shù)列an中,a1>0,且an+1=.(1)試求a1的值,使得數(shù)列an是一個常數(shù)數(shù)列；(2)試求a1的取值范圍,使得an+1>an對任何自然數(shù)n都成立；（3）若a1=4,設bn=|an+1-an|(n=1,2,3),并以Sn表示數(shù)列bn的前n項的和,試證明：Sn<.解：（）欲使數(shù)列an是一個常數(shù)數(shù)列,則an+1=an,又依a1>0,可以推得an>0并解出：an=.即a1=a2=（）研究an+1-an=(n2)注意到：>0因此,an+1-an,an-an-1,a2-a1an+1>an對任意自然數(shù)都成立,只須a2-a1>0-a1

2、>0,解得：0<a1<.（）用與（）中相同的方法,可得當a1>時,an+1<an對任何自然數(shù)na1=4時,an+1-an<0Sn=b1+b2+bn.=|a2-a1|+|a3-a2|+|an+1-an|=a1-a2+a2-a3+an-an+1=a1-an+1=4-an+1又：an+2<an+1即,可得an+1>,故Sn<4-.題型二：最值問題2、已知數(shù)列滿足：,an+1=(nÎN) ,數(shù)列的前n項和Sn=12-12()n(nÎN). (1) 求數(shù)列和bn的通項公式；(2) 設cn=,是否存在,使cm9成立？并說明理由.解答

3、：（1）由,.由及,可得, 令,則也滿足上式,.（2）,設為數(shù)列中的最大項,則,.即為中的最大項.,不存在,使成立.題型三：公共項問題3、設An為數(shù)列an的前n項的和，An(an1)，數(shù)列bn的通項公式為bn4n3。（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）把數(shù)列an與bn的公共項按從小到大先后順序排成一個新的數(shù)列dn，證明數(shù)列dn的通項公式為dn32n1;（3）設數(shù)列dn的第n項是數(shù)列bn中的第r項，Br為數(shù)列bn的前r項的和，Dn為數(shù)列dn的前n項和，TnBrDn，求。解（1）由An (an1)，可知An1 (an11)An1An (an1an)an1，即 3而a1A1 (a11)，得a13所以數(shù)

4、列an是以3為首項，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列an的通項公式為an3n。（2）32n13·32n3·(41)2n 3×（42nC12n·42n1(1)C2n2n1·4·(1)(1)2n） 4m332n1bn而數(shù)32n（41）2n 42nC2n1·42n1·（1）C2n2n1·4·(1)(1)2n (4k1)32nÏbn 而數(shù)列an32n132n dn32n1(3)由32n14·r3，可知rBrr(2r5)·Dn·(19n)(9n1)TnBrDn(9n1) &

5、#183;34n·32n又（an）434n題型四：存在性問題4.等比數(shù)列滿足，數(shù)列滿足（1）求的通項公式；（5分）（2）數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項和求；（5分）（3）是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有 的值；若不存在，請說明理由（6分）、解：（1）解：，所以公比 2分計算出 3分 4分 5分（2） 6分于是 8分= 10分（3）假設否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列，則， 12分可得， 由分子為正，解得， 由，得，此時， 當且僅當，時，成等比數(shù)列。 16分說明：只有結論，時，成等比數(shù)列。若學生沒有說明理由，則只能得 13分題型五：類比問題5. 已知數(shù)列為d0的等差數(shù)列,對于p,q

6、,且pq(1) 求證:是不依賴于p,q的常數(shù);(2) 對于pqr(p,q,r),試證:(rp)aq=(qp)ar+(rq)ap;正數(shù)數(shù)列bn是公比不等于1的GP,類似(1)(2)的等式是什么?并加以證明?題型六：放縮問題6.已知函數(shù)f（x）在（1，1）上有定義，且滿足x、y（1，1）有（1）證明：f（x）在（1，1）上為奇函數(shù)；（2）對數(shù)列求；（3）求證（1）令則令則為奇函數(shù).（2），是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列（3）而題型七：數(shù)列與向量問題，分別是與軸，軸正方向相同的單位向量，對任意正整數(shù)，。（1）若，求的值；（2）求向量（3）求向量（用、表示）題型八：通項問題8.已知，且，數(shù)列、滿足，

7、(1) 求證數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式；證明(1)，,. ，又，數(shù)列是公比為3，首項為的等比數(shù)列(2)依據(jù)(1)可以，得于是，有，即因此，數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列故所以數(shù)列的通項公式是 題型九：猜想與證明問題9已知函數(shù)f(x)=（，）(1) 證明函數(shù)f(x)的圖象關于點P()對稱(2) 令an，對一切自然數(shù)n，先猜想使an成立的最小自然數(shù)a,并證明之(3) 求證：). (1)關于函數(shù)的圖象關于定點P對稱, 可采用解幾中的坐標證法.設M(x,y)是f(x)圖象上任一點，則M關于P()的對稱點為M（，），(1-x,1-y)亦在f(x)的圖象上，故函數(shù)f(x)的圖象關于點P()對

8、稱.(2)將f(n)、f(1-n)的表達式代入an的表達式，化簡可得an猜a=3,即3下面用數(shù)學歸納法證明設n=k(k)時，3那么n=k+1，3·又3k（）（）（，）.(3)令k=1,2,，n，得n個同向不等式，并相加得：函數(shù)與數(shù)列綜合型問題在高考中頻頻出現(xiàn),是歷年高考試題中的一道亮麗的風景線.針對本例,你能夠猜想出最小自然數(shù)a=3嗎? 試試你的數(shù)學猜想能力.題型十：單調性問題10、已知a0，且a1，數(shù)列an的前n項和為Sn，它滿足條件，數(shù)列bn中，bn=an·lgan。（1） 求數(shù)列bn的前n項之和Tn；（2） 若對一切nN*都有bnbn+1，求a的取值范圍。解析：（1）

9、，當n=1時，當n2時，an=Sn-Sn-1= an=an（nN*）此時bn=an·lgan=an·lgan=n·anlga Tn=b1+b2+bn=lga·(a+2a2+3a2+nan)設un=a+2a2+3a3+nan，則aun=a2+2a3+3a4+(n-1)an+nan+1 (1-a)un=a+a2+a3+an-nan+1=（2）由bnbn+1nanlga(n+1)an+1lga可得： 10 當a1時，由lga0可得a（nN*）a1對一切nN*都成立 此時的解為a120 當0a1時，由lga0可得n(n+1)a，（nN*），0a1 0a對一切nN

10、*都成立 此時的解為0a由10，20可知，對一切nN*，都有bnbn+1的取值范圍是0a或a111、已知函數(shù)的圖象經過點和，記（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，若對一切均成立，求的范圍；（3）求使不等式對一切均成立的最大實數(shù).解：（1）由題意得，解得， （2）由（1）得， -得. ，設，則由得隨的增大而減小時，又恒成立， （3）由題意得恒成立 記，則是隨的增大而增大 的最小值為，即. 題型十一：探究問題12、已知數(shù)列在直線x-y+1=0上.（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）若求函數(shù)f(n)的最小值；(3)設表示數(shù)列bn的前n項和.試問:是否存在關于n 的整式g(n), 使得對于一切不小于2的自

11、然數(shù)n恒成立?若存在,寫出g(n)的解析式,并加以證明;若不存在,說明理由.講解 從 規(guī) 律 中 發(fā) 現(xiàn) ,從 發(fā) 現(xiàn) 中 探 索. （1）（2） ,.（3）, .故存在關于n的整式使等式對于一切不小2的自然數(shù)n恒成立.事實上, 數(shù)列an是等差數(shù)列, 你知道嗎？題型十二：綜合性問題13.設數(shù)列的各項均為正數(shù)，前項和為，已知(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項公式；(2)是否存在，使得，若存在，求出的值；若不存在請說明理由；(3)證明：對任意，都有解：(1)，當時，兩式相減得，2分，又，是以為首項，為公差的等差數(shù)列2分1分(2) 由(1)知，2分假設正整數(shù)滿足條件，則，解得；3分(3)2分于是2分3分14.