彎曲應(yīng)力與變形1

1、第30,31,32課時(shí)(3.22,3.26)課程內(nèi)容或課題：1梁純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力計(jì)算公式的推導(dǎo)2熟練彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件的建立和相應(yīng)的計(jì)算目的要求： 1掌握梁純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力計(jì)算公式的推導(dǎo)過程，理解推導(dǎo)中所作的基本假設(shè)2理解橫力彎曲正應(yīng)力計(jì)算仍用純彎曲公式的條件和近似程度3掌握彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件的建立和相應(yīng)的計(jì)算重點(diǎn)難點(diǎn)：2.橫力彎曲橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算，最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的計(jì)算3.彎曲的強(qiáng)度計(jì)算教學(xué)形式、手段：采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考教學(xué)過程：一：導(dǎo)入新課二：授新1、幾個(gè)基本概念平面彎曲和彎曲中心變形后梁軸線的位移方向沿著加載方向的彎曲情況，稱為平面彎曲。圖6-1

2、怎樣加載才能產(chǎn)生平面彎曲？若梁的橫截面有對(duì)稱平面時(shí)，載荷必須作用在次對(duì)稱平面內(nèi)，才能發(fā)生平面彎曲。圖6-2若梁的橫截面沒有對(duì)稱平面時(shí)，載荷的作用線必須通過截面的彎曲中心。什么叫彎曲中心？當(dāng)載荷的作用線通過橫截面上某一點(diǎn)特定點(diǎn)時(shí)，桿件只產(chǎn)生彎曲而無扭轉(zhuǎn)。這樣的特定點(diǎn)稱為彎曲中心。圖6-3關(guān)于彎曲中心位置的確定及工程上常見圖形的彎曲中心位置。圖6-4具有兩個(gè)對(duì)稱軸或反對(duì)稱的截面，如工字形、圓形、圓環(huán)形、空心矩形截面等，彎曲中心與形心（兩對(duì)稱軸的交點(diǎn)）重合，如圖6-4(a),(b),(c)所示。具有一個(gè)對(duì)稱軸的截面，如槽形和T形截面，彎曲中心必在對(duì)稱軸上，如圖6-4(d)、(e)所示。如果截面是由中

3、線相交于一點(diǎn)的幾個(gè)狹長矩形所組成，如L形或T形截面，則此交點(diǎn)就是彎曲中心，如圖6-4(e)、(f)不對(duì)稱實(shí)心截面的彎曲中心靠近形心。這種截面在荷載作用線通過形心時(shí)也將引起扭轉(zhuǎn)，但由于這種截面的抗扭剛度很大，彎曲中心與形心又非?？拷?，故通常不考慮它的扭轉(zhuǎn)影響。純彎曲和橫力彎曲圖6-5平面彎曲時(shí)，如果某段梁的橫截面上只有彎矩而無剪力，這種彎曲稱為純彎曲；如果梁的橫截面上既有彎矩又有剪力，則這種彎曲稱為橫力彎曲。中性層和中性軸圖6-6彎曲時(shí)梁內(nèi)既不伸長又不縮短的一層纖維稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。注意：中性層是對(duì)整個(gè)梁而言的；中性軸是對(duì)某個(gè)橫截面而言的。中性軸通過橫截面的形心，是截面

4、的形心主慣性軸。2、正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算平面彎曲時(shí)，正應(yīng)力沿截面高度的分布規(guī)律，以矩形截面為例，見圖6-7，b所示。(a) (b) 圖6-7正應(yīng)力計(jì)算公式：式中：y為所求正應(yīng)力的點(diǎn)到中性軸的距離；： 矩形 ；圓形正應(yīng)力強(qiáng)度條件：式中： 矩形 圓形例題6-1 已知鋼梁，試決定I字鋼型號(hào)及截面尺寸（自重不計(jì)）。解：作內(nèi)力圖；圖6-11查表采用I20b ()其截面尺寸見表。例題6-2 已知鑄鐵梁的=40MPa、=110MPa、,試校核梁的強(qiáng)度。解：作內(nèi)力圖：圖6-12校核 B截面；問題討論：如果把梁倒放可以看到該梁就會(huì)出現(xiàn)強(qiáng)度不足的情況。例題6-3 在圖6-14所示的結(jié)構(gòu)中，AB為一鑄鐵梁，其材料的許用應(yīng)

5、力為=30MPa、=80MPa。BC為一圓截面鋼桿，其直徑d=20mm、材料的許用應(yīng)力為=160MPa。試確定結(jié)構(gòu)的許用荷載q。圖6-14解：求并作AB梁的FS、M圖，得：（拉）作AB梁的FS、M圖見上。截面的幾何性質(zhì)計(jì)算：AB梁的橫截面：計(jì)算（取為參考軸，對(duì)之取矩）計(jì)算；BC桿的橫截面面積：確定結(jié)構(gòu)的許用荷載q由BC桿的抗拉強(qiáng)度確定q=？ 即又由AB 梁的強(qiáng)度確定q=？）上邊緣：即：下邊緣：即：:上壓，下拉）上邊緣：即：下邊緣：即： 結(jié)論：還有其他例題放在PPT中來講。三總結(jié)本次課內(nèi)容課程材料力學(xué) 教者：第33-35課時(shí)(3.29)課程內(nèi)容或課題：1.梁橫力彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力2.提高彎曲

6、強(qiáng)度的若干措施、薄壁桿件的切應(yīng)力流和彎曲中心目的要求： 1.掌握各種形狀截面梁（矩形、圓形、圓環(huán)形、工字形）橫截面上切應(yīng)力的分布和計(jì)算。2.熟練彎曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件的建立和相應(yīng)的計(jì)算。3.了解什么情況下需要對(duì)梁的彎曲切應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校核。4.從彎曲強(qiáng)度條件出發(fā)，掌握提高彎曲強(qiáng)度的若干措施。重點(diǎn)難點(diǎn)：彎曲橫截面上的剪應(yīng)力教學(xué)形式、手段：采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，多媒體教學(xué)教學(xué)過程：一：導(dǎo)入新課二：授新剪應(yīng)力計(jì)算公式：式中： 即對(duì)中性軸的靜矩（見圖6-8）。工程上常見的幾種截面圖形的剪應(yīng)力沿截面高度分布規(guī)律近似計(jì)算式矩形截面 圖6-8工字形截面：式中：h1腹板的高度d腹板的寬度圖

7、6-9實(shí)心圓截面圖6-10空心圓截面式中：圖6-11剪應(yīng)力強(qiáng)度條件例題6-4 已知=160MPa、=100Mpa，試選擇適用的工字鋼型號(hào)。解：作Fs、M圖按正應(yīng)力強(qiáng)度選擇 工字鋼型號(hào)查表：，即選用22aI字鋼剪應(yīng)力強(qiáng)度校核查Ix:Sx,得，d=由FS圖知 代入剪應(yīng)力強(qiáng)度條件： 圖6-13由此校核可見：超過很多。應(yīng)重新設(shè)計(jì)截面。按剪應(yīng)力強(qiáng)度選擇I字鋼型號(hào)現(xiàn)以25b工字鋼進(jìn)行試算。由表查處：，d=1cm結(jié)論：要同時(shí)滿足正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件，應(yīng)選用型號(hào)為25b的工字鋼。4提高彎曲強(qiáng)度的措施1）梁的合理受力(降低最大彎矩) (1)合理放置支座(從設(shè)計(jì)方案考慮)雙杠，等強(qiáng)，以剪支梁為例，最大彎矩為若兩

8、端支座各向中心移動(dòng)，最大彎矩減小為（2)合理布置載荷(從使用方案考慮)2）合理設(shè)計(jì)截面形狀(增大抗彎截面模量) （1）梁的截面優(yōu)化 ，對(duì)于寬，高為的矩形，抗彎截面模量 。因此，高度越大，越大，越小。在外邊緣達(dá)到許用應(yīng)力時(shí)，中性軸附近的應(yīng)力很小，造成材料的浪費(fèi)。例如：圓形截面。理想的情況是將面積之半分布于距中性軸為處。上、下對(duì)稱 抗彎更好，抗扭差。A/2A/2AAAh采用T字型或上下不對(duì)稱的工字型截面。3）等強(qiáng)度梁-截面沿桿長變化，恰使每個(gè)截面上的正應(yīng)力都等于許用應(yīng)力，這樣的變截面梁稱為等強(qiáng)度梁。由 得若圖示懸臂梁為等強(qiáng)度梁。等寬度h，高度為x的函數(shù)，b=b(x)。則得出按剪切強(qiáng)度確定截面寬度的

9、最小值。由于變截面梁并不節(jié)省材料，且加工麻煩，因此采用階梯梁(加工方便)。三總結(jié)本次課內(nèi)容課程材料力學(xué) 教者：第36，37課時(shí)()課程內(nèi)容或課題：1.彎曲變形的量度及符號(hào)規(guī)定2.撓曲線近似微分方程及其積分目的要求： 1掌握求梁變形的兩種方法：積分法和疊加法重點(diǎn)難點(diǎn)：梁的變形分析、撓曲線近似微分方程、積分法求梁的變形教學(xué)形式、手段：采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生回答問題教學(xué)過程：一：導(dǎo)入新課回顧：彎曲內(nèi)力在外力作用下，梁的內(nèi)力沿軸線的變化規(guī)律。彎曲應(yīng)力在外力作用下，梁內(nèi)應(yīng)力沿橫截面高度的分布規(guī)律。本章彎曲變形在外力作用下，梁在空間位置的變化規(guī)律。研究彎曲變形的目的剛度計(jì)算；解簡單

10、的超靜定梁。二：授新（一）、彎曲變形的量度及其符號(hào)規(guī)定1、度量彎曲變形的兩個(gè)量：撓度：梁軸線上的點(diǎn)在垂直于梁軸線方向的所發(fā)生的線位移稱為撓度。（工程上的一般忽略水平線位移）圖7-1轉(zhuǎn)角：梁變形后的橫截面相對(duì)于原來橫截面繞中性軸所轉(zhuǎn)過的角位移稱為轉(zhuǎn)角。2、符號(hào)規(guī)定：坐標(biāo)系的建立：坐標(biāo)原點(diǎn)一般設(shè)在梁的左端，并規(guī)定：以變形前的梁軸線為x軸，向右為正；以y軸代表曲線的縱坐標(biāo)（撓度），向上為正。撓度的符號(hào)規(guī)定：向上為正，向下為負(fù)。轉(zhuǎn)角的符號(hào)規(guī)定：逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為正；順時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為負(fù)。（二）、撓曲線近似微分方程及其積分1、撓曲線在平面彎曲的情況下，梁變形后的軸線在彎曲平面內(nèi)成為一條曲線，這條曲線稱為

11、撓曲線。圖7-22、撓曲線近似微分方程數(shù)學(xué)上：曲線的曲率與曲線方程間的關(guān)系材力上：撓曲線的曲率與梁上彎矩和抗彎剛度間的關(guān)系顯然，撓曲線的曲線方程與梁的彎矩剛度間的關(guān)系可以用下式表示：這個(gè)等式稱為撓曲線近似微分方程近似解釋：忽略了剪力的影響；由于小變形，略去了曲線方程中的高次項(xiàng)。3、撓曲線近似微分方程的積分轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程對(duì)撓曲線近似微分方程積分一次，得轉(zhuǎn)角方程：再積分一次，得撓曲線方程：積分常數(shù)的確定及其物理意義和幾何意義積分常數(shù)的數(shù)目取決于的分段數(shù)n段積分常數(shù)2n個(gè)舉例：圖7-3分2段，則積分常數(shù)2x2=4個(gè)積分常數(shù)的確定邊界條件和連續(xù)條件：邊界條件：梁在其支承處的撓度或轉(zhuǎn)角是已知的，這

12、樣的已知條件稱為邊界條件。連續(xù)條件：梁的撓曲線是一條連續(xù)、光滑、平坦的曲線。因此，在梁的同一截面上不可能有兩個(gè)不同的撓度值或轉(zhuǎn)角值，這樣的已知條件稱為連續(xù)條件。積分常數(shù)與邊界條件、連續(xù)條件之間的關(guān)系：積分常數(shù)2n個(gè)=2n個(gè) 圖7-3所示的例題中：邊界條件：連續(xù)條件：例題： 列出圖6-4所示結(jié)構(gòu)的邊界條件和連續(xù)條件。圖7-4解：邊界條件： 連續(xù)條件：積分常數(shù)的物理意義和幾何意義物理意義：將x=0代入轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，得即坐標(biāo)原點(diǎn)處梁的轉(zhuǎn)角，它的EI倍就是積分常數(shù)C；即坐標(biāo)原點(diǎn)處梁的撓度的EI倍就是積分常數(shù)D。幾何意義：C轉(zhuǎn)角D撓度舉例：（三）、計(jì)算彎曲變形的兩種方法1、積分法基本辦法利用積分

13、法求梁變形的一般步驟：建立坐標(biāo)系（一般：坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在梁的左端），求支座反力，分段列彎矩方程；分段列出梁的撓曲線近似微分方程，并對(duì)其積分兩次；利用邊界條件，連續(xù)條件確定積分常數(shù)；建立轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程；計(jì)算指定截面的轉(zhuǎn)角和撓度值，特別注意和及其所在截面。積分法求梁變形舉例：用積分法求圖示梁、：圖7-5解：分段建立彎矩方程AB段： （0<x1）BC段： （）分段建立近似微分方程，并對(duì)其積分兩次AB段：即：BC段：利用邊界條件、連續(xù)條件確定積分常數(shù)由邊界條件確定C1、D1：當(dāng)時(shí)， 由（1）式得 C1=0 ；當(dāng)時(shí)， 由（2）式得 D1=0 。由連續(xù)條件確定C2、D2：當(dāng)時(shí)，即聯(lián)立、式子： 得

14、當(dāng)時(shí)，即聯(lián)立、式： 得 D2=0分段建立轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程：AB段：BC段：求梁指定截面上的轉(zhuǎn)角和撓度當(dāng)時(shí)，由式得， ； 由式得，當(dāng)時(shí)，由式得， ； 由式得，2、疊加法簡捷方法記住梁在簡單荷載作用下的變形撓曲線方程、轉(zhuǎn)角、撓度計(jì)算方式。疊加法的兩種處理方法：荷載疊加圖7-6變形疊加三課堂小結(jié)課程材料力學(xué) 教者：第38-40課時(shí)課程內(nèi)容或課題：1.疊加法求梁的變形2.用變形比較法解簡單的超靜定梁目的要求： 掌握求梁變形的兩種方法：積分法和疊加法重點(diǎn)難點(diǎn)：梁的變形分析、疊加法求梁的變形教學(xué)形式、手段：采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生回答問題教學(xué)過程：一：導(dǎo)入新課二：授新2、疊加法簡

15、捷方法記住梁在簡單荷載作用下的變形撓曲線方程、轉(zhuǎn)角、撓度計(jì)算方式。疊加法的兩種處理方法：荷載疊加圖7-6變形疊加圖7-7荷載疊加法求梁變形舉例：圖7-8求、（圖7-8，b）則求、（圖7-8，b）求、（圖7-8，c）求、（圖7-8，c）， =最后：求 、 、 、 （四）、用變形比較法解簡單超靜定梁1、超靜定的概念2、用變形比較法解簡單超靜定梁的基本思想：解除多余約束，變超靜定梁為靜定梁；用靜定梁與超靜定梁在解除約束處的變形比較，建立協(xié)調(diào)方程；通過協(xié)調(diào)方程（即補(bǔ)充方程），求出多余的約束反力。3、簡單超靜定梁求解舉列。求圖示梁的FQ、M圖圖7-9(a)示結(jié)構(gòu)為簡單（一次）超靜定梁圖7-9(a)解：選

16、基本靜定梁圖7-9(b)解除c端約束，代之以約束力Fc圖7-9(b)建立變形協(xié)調(diào)條件采用荷載疊加法，并對(duì)原梁做如下圖8-9(c)等效變換：圖7-9(c)此時(shí)的變形協(xié)調(diào)條件可以寫成：查表得：將查表所得結(jié)果代入式，解出求A端的約束反力作該梁的FQ、M圖用變形比較法解超靜定梁舉例兩端固定的水平梁AB，在其左端轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)微小角度，如圖所示，試求其約束反力。圖7-10解：解除A端約束，使超靜梁變成靜定梁基本靜定梁把解除的多余約束用約束反力來代替：列出基本靜定梁在多余約束反力作用處梁變形的計(jì)算式：在MA的作用下，在FA的作用下，并與原超靜定梁在該約束處的變形進(jìn)行比較，建立變形協(xié)調(diào)方程，求出多余約束反力：比

17、較：則 聯(lián)立解、式，得；三課堂小結(jié)課程材料力學(xué) 教者：第41，42課時(shí)(4.9)課程內(nèi)容或課題：1應(yīng)力狀態(tài)的概念；2平面應(yīng)力狀態(tài)分析-數(shù)解法目的要求： 掌握應(yīng)力狀態(tài)的概念及其研究方法；會(huì)從受力桿件中截取單元體并標(biāo)明單元體上的應(yīng)力情況；會(huì)計(jì)算平面應(yīng)力狀態(tài)下斜截面上的應(yīng)力；掌握平面應(yīng)力狀態(tài)和特殊空間應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力、主方向的計(jì)算，并會(huì)排列主應(yīng)力的順序；重點(diǎn)難點(diǎn)：1平面應(yīng)力狀態(tài)下斜截面上的應(yīng)力計(jì)算，主應(yīng)力及主方向的計(jì)算，最大剪應(yīng)力的計(jì)算。2應(yīng)力狀態(tài)的概念，從具體受力桿件中截面單元體并標(biāo)明單元體上的應(yīng)力情況。3斜截面上的應(yīng)力計(jì)算公式中關(guān)于正負(fù)符號(hào)的約定。4應(yīng)力主平面、主應(yīng)力的概念，主應(yīng)力的大小、方向

18、的確定。教學(xué)形式、手段：多媒體教學(xué)教學(xué)過程：一：導(dǎo)入新課本章與前幾章在研究對(duì)象上的不同之處?；仡櫍簝?nèi)力圖：、-一根（桿、軸、梁）強(qiáng)度計(jì)算本章：應(yīng)力狀態(tài) 一點(diǎn)。二：授新應(yīng)力狀態(tài)的概念一、為什么要研究一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)？簡單回顧：拉壓：圖8-1 強(qiáng)度條件：扭轉(zhuǎn)：圖8-2強(qiáng)度條件：彎曲：圖8-3強(qiáng)度條件：但，到目前為止尚不能對(duì)如第4點(diǎn)的應(yīng)力情況進(jìn)行校核，因此：1、為了對(duì)某些復(fù)雜受力構(gòu)件中既存在又存在的點(diǎn)建立強(qiáng)度條件提供依據(jù)。2、為實(shí)驗(yàn)應(yīng)力分析奠定基礎(chǔ)通過實(shí)驗(yàn)來研究和了解結(jié)構(gòu)或構(gòu)件中應(yīng)力情況的方法，稱為實(shí)驗(yàn)應(yīng)力分析。應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)變狀態(tài)在實(shí)驗(yàn)應(yīng)力分析等方面的廣泛應(yīng)用：實(shí)驗(yàn)方案的制訂：驗(yàn)證理論計(jì)算結(jié)果：復(fù)雜受

19、力結(jié)構(gòu)、構(gòu)件的應(yīng)力測(cè)試等等。 二、什么叫一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)？通過某一點(diǎn)的所有截面上的應(yīng)力情況，或者說構(gòu)件內(nèi)任一點(diǎn)沿不同方向的斜面上應(yīng)力的變化規(guī)律，稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。三、怎樣研究一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)？ 在構(gòu)件內(nèi)取得單元體代替所研究的點(diǎn)：通過截面法研究單元體各個(gè)斜截面上的應(yīng)力情況來研究一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。1、單元體的概念：正六面微體：邊長為無窮小量，dx、dy、dz，故：任意一對(duì)平行平面上的應(yīng)力均相等；各個(gè)面上的應(yīng)力都均勻分布；任意、相互平行方向的應(yīng)變均相同。2、怎樣取單元體取單元體的原則：盡量使三對(duì)面上的應(yīng)力為已知（包括應(yīng)力等于零）先定橫截面上的、，然后按互等定律確定其他面上的剪應(yīng)力。一對(duì)橫截面 dx取法

20、一對(duì)縱截面（平行上、下面） dy 一對(duì)縱截面（平行前、后面） dz3、根據(jù)構(gòu)件的受力情況，繪應(yīng)力單元體例：受拉伸或壓縮構(gòu)件上的應(yīng)力單元體 受扭構(gòu)件上的應(yīng)力單元體彎曲構(gòu)件上的應(yīng)力單元體，等等平面應(yīng)力狀態(tài)分析數(shù)解法一、斜截面上的應(yīng)力(a)(b)圖8-4已知：受力構(gòu)件中的應(yīng)力單元體求：任一斜截面上的應(yīng)力、設(shè)：解：截面法：截出任一斜截面如下：圖8-51、面上的應(yīng)力靜力平衡條件，不是應(yīng)力平衡 :整理上式得，同理，得上述二式：從數(shù)學(xué)上看上述兩個(gè)方程式為參數(shù)方程，參變量為；從力學(xué)上看，這兩個(gè)方程稱為一點(diǎn)的任意斜截面上的應(yīng)力公式。圖8-62、面（+90°）上的應(yīng)力：若令=90°+，則3、面

21、上應(yīng)力之間的關(guān)系：將式+式，可以看到：常量即任意兩個(gè)互相垂直面上的正應(yīng)力之和是常數(shù)。從式、可以看到：即剪應(yīng)力互等定律將、表示在單元體上 圖8-7二、= 在何處？ 該處=？令，則：即的面上有極值這個(gè)面在何處？由這個(gè)式子可得正應(yīng)力極值所在面的方位：為區(qū)別于任意截面的，令式中的，也從 x軸算起。方位：任意（為方便）令：，則可以發(fā)現(xiàn)：有兩個(gè)根：（即正應(yīng)力極植有兩個(gè)面）：-具有極植的這兩個(gè)面相差90°。即：在兩個(gè)互相垂直的斜面上，其正應(yīng)力或?yàn)闃O大值或?yàn)闃O小值。大?。簩⑶蟮玫拇胧?，得顯然，在的面上三、= ? 在何處？ 該處=？令即： 方位： 將代入(2)式,得:大小:面上的正應(yīng)力:四、主平面、

22、主應(yīng)力、主應(yīng)力的排列主平面：單元體中只有正應(yīng)力而沒有剪應(yīng)力的平面稱為主平面。主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力稱為該點(diǎn)的主應(yīng)力。主應(yīng)力的排列：、用代數(shù)值確定，排列為>>五、應(yīng)力狀態(tài)的分類一個(gè)單元體上最多只能出現(xiàn)三對(duì)主應(yīng)力，最少可以均為0。按主應(yīng)力存在多少，應(yīng)力狀態(tài)分為： 1、三向應(yīng)力狀態(tài)（三個(gè)主應(yīng)力都不等于零）圖8-82、二向應(yīng)力狀態(tài)（兩個(gè)主應(yīng)力不等于零）圖8-93、單向應(yīng)力狀態(tài)（只有一個(gè)主應(yīng)力都不等于零）三課堂小結(jié)課程材料力學(xué) 教者：第43-45課時(shí)(4.12)課程內(nèi)容或課題：1三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力；2廣義胡克定律體應(yīng)變；3平面應(yīng)力狀態(tài)分析圖解法目的要求： 掌握平面應(yīng)力狀態(tài)和特殊空間應(yīng)

23、力狀態(tài)下的主應(yīng)力、主方向的計(jì)算，并會(huì)排列主應(yīng)力的順序；掌握廣義胡克定律。重點(diǎn)難點(diǎn)：1廣義胡克定律及其應(yīng)用2應(yīng)力主平面、主應(yīng)力的概念，主應(yīng)力的大小、方向的確定教學(xué)形式、手段：多媒體教學(xué)教學(xué)過程：一：導(dǎo)入新課二：授新平面應(yīng)力狀態(tài)分析圖解法一、應(yīng)力圓（0·Mohr圓）的由來任意斜截面上的應(yīng)力計(jì)算公式從數(shù)學(xué)上來看，這兩個(gè)方程是個(gè)參數(shù)方程，參變量為2，即若消去和，則一定能找到的曲線方程0·Mohr作了這個(gè)工作：首先將式改寫，即將式子等號(hào)右邊的第一項(xiàng)移到等號(hào)左邊，然后對(duì)等式兩邊平方；再對(duì)式的兩邊平方；最后將兩式相加，并利用這一關(guān)系消去sin2和cos2而得：這就是所求的曲線方程（應(yīng)力圓

24、的方程）由解析幾何的原理可知，方程（x-a）2+y2=R2 (a)這是一個(gè)圓心在（a、0），半徑為R的圓的曲線方程。即圖8-11對(duì)照(a)、兩式：x_y_a_R_圖8-12從力學(xué)觀點(diǎn)看：若已知一個(gè)應(yīng)力單元體兩個(gè)互相垂直面上的應(yīng)力就一定可以作一個(gè)圓，圓周上的各點(diǎn)就是該單元體任意斜截面上的應(yīng)力。平面應(yīng)力狀態(tài)下任意斜截面上的應(yīng)力相互制約在圓周上變化。從以上的數(shù)學(xué)方程、力學(xué)觀點(diǎn)分析，通常將此圓稱為應(yīng)力圓。由于0·Mohr首先運(yùn)用數(shù)學(xué)原理將應(yīng)力單元體任意斜截面上的應(yīng)力用圖來表示，因此又稱0·Mohr圓。2、應(yīng)力圓的一般做法圖8-13取坐標(biāo)系；按比例量?。?；由此得Dx點(diǎn)；得Dy點(diǎn)連交軸

25、于C；以C為圓心，或?yàn)榘霃阶鲌A。即為所求的應(yīng)力圓。從作圓的過程可以看到：應(yīng)力圓上的點(diǎn)：Dx即代表單元體上X面上的應(yīng)力；Dy即代表單元體上Y面上的應(yīng)力；顯然，單元體上任意斜截面上的應(yīng)力就制約在應(yīng)力圓的圓周上，所以可利用應(yīng)力圓求單元體上任一斜截面上的應(yīng)力。3、利用應(yīng)力圓求單元體上任一斜截面上的應(yīng)力四句話：點(diǎn)面相對(duì)應(yīng)，首先找基準(zhǔn)。轉(zhuǎn)向要相同，夾角兩倍整。例：求任意斜面上上的應(yīng)力，見圖8-13：E點(diǎn)的坐標(biāo)就是所求的、值，即,最后，根據(jù)應(yīng)力圓上E點(diǎn)的坐標(biāo)，標(biāo)出該斜截面上應(yīng)力方向（見單元體的方向）。4、利用應(yīng)力圓求單元體的主應(yīng)力及方向最大正應(yīng)力：最小正應(yīng)力：主方向：（式中負(fù)號(hào)假設(shè)為+，現(xiàn)從DxA1為，為-

26、）5、利用應(yīng)力圓求單元體的最大剪應(yīng)力及方向最大剪應(yīng)力：最小剪應(yīng)力：方向：應(yīng)力圓上A1與G1相差900，即在主應(yīng)力單元體上主平面與所在面相差450 。需要注意的是：面上還有，其值： 分析討論題：1、圖示平面應(yīng)力狀態(tài)下的單元體及其應(yīng)力圓，試在單元體上表示出相應(yīng)于應(yīng)力圓上的點(diǎn)1、2、3、4、5、6、7、8的截面位置及應(yīng)力方向。圖8-14圖8_-152、圖示一處在二向應(yīng)力狀態(tài)下的單元體及其應(yīng)力圓。試在應(yīng)力圓上用點(diǎn)表示0-1，0-2，0-3，0-4，0-5各截面的位置，并畫出單元體斜面上的應(yīng)力方向。圖8-16三向應(yīng)力狀態(tài)一、三向應(yīng)力狀態(tài)的概念單向、雙向應(yīng)力狀態(tài)是三向應(yīng)力狀態(tài)的特例。工程中三向應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)

27、例：例1：地層一定深度處所取的單元體，豎向受巖土體的自重壓力；側(cè)向受四周巖土的側(cè)向壓力。圖8-17例2：火車道軌上取一單元體 例3：壓力容器內(nèi)壁取一單元體圖8-18 圖8-192、三向應(yīng)力圓求與某個(gè)主應(yīng)力平行的任意斜截面上的應(yīng)力、：求平行于的任意斜截面上的應(yīng)力、；顯然、只與、有關(guān)圖8-20求平行于的任意斜截面上的應(yīng)力、；顯然、只與、有關(guān)。圖8-21求平行于的任意斜截面上的應(yīng)力、；顯然、只與、有關(guān)。圖8-22求任意截面上的應(yīng)力、；顯然、與、都有關(guān)。圖8-233、一點(diǎn)處的最大應(yīng)力：最大正應(yīng)力與最小正應(yīng)力由和所作成的最大應(yīng)力圓可見：主剪應(yīng)力與最大剪應(yīng)力：由三向應(yīng)力圓可知，在三向應(yīng)力狀態(tài)狀態(tài)的單元體中

28、，有三對(duì)主剪應(yīng)力：最大剪應(yīng)力例1 已知，求解: 例2 已知某點(diǎn)的正應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力值為26 Mpa、10 Mpa，求？解： 1、確定主應(yīng)力、，2、例3 已知平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力值，求解： 1、確定主應(yīng)力、2、廣義虎克定律根據(jù)拉壓虎克定律和橫向變形系數(shù)，即，可將虎克定律推廣：一、三向主應(yīng)力單元體的廣義虎克定律，即 廣義虎克定律|棱邊1 伸長棱邊2 縮短棱邊3 縮短+棱邊1 縮短棱邊2 伸長棱邊3 縮短棱邊1 縮短棱邊2 縮短棱邊3 伸長2、三向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的廣義虎克定律在式中，若三個(gè)主應(yīng)力中有一個(gè)主應(yīng)力為零，例如：，則式子可寫為二向應(yīng)力狀態(tài)虎克定律已知主應(yīng)力求主應(yīng)變利用式的前二式可將式改寫成用主應(yīng)變、

29、表示、的形式：已知主應(yīng)變求主應(yīng)力3、三向一般應(yīng)力狀態(tài)單元體的廣義虎克定律可以證明：在小變形、各向同性的情況下，于線彈性范圍內(nèi)：只與有關(guān)（伸長或縮短）只與有關(guān)（角度變化）故，可方便地按三向主應(yīng)力單元體推導(dǎo)虎克定律的方法進(jìn)行三向一般應(yīng)力單元體的廣義虎克定律的推導(dǎo)：(15，A)(15，B) 剪切虎克定律4、平面應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的廣義虎克定律在(15，A)式中，若，即平面應(yīng)力狀態(tài)的一般形式，則相應(yīng)的廣義虎克定律就為：已知應(yīng)力求應(yīng)變利用式中的前二式，可改寫上式，即寫成用應(yīng)變表示應(yīng)力的形式:已知應(yīng)變求應(yīng)力5、彈性常數(shù)E、G、間的關(guān)系在廣義虎克定律中，已涉及到E、G、三個(gè)彈性常數(shù)。對(duì)于各向同性材料，這三個(gè)彈性常數(shù)

30、間存在著如下關(guān)系：討論：廣義虎克定律的應(yīng)用范圍：小變形、材料各向同性，線彈性范圍內(nèi)。求應(yīng)力的兩條路：其一，從外力內(nèi)力應(yīng)力其二，從應(yīng)變應(yīng)力內(nèi)力外力平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變分析一、應(yīng)變分析數(shù)解法為使大家能對(duì)應(yīng)力分析、應(yīng)變分析進(jìn)行比較，現(xiàn)將這兩方面的結(jié)論摘錄如下：1、任意斜截面上的正應(yīng)力、剪應(yīng)力：主應(yīng)力及主方向：主剪應(yīng)力： 2、任意方向的線應(yīng)變、剪應(yīng)變：主應(yīng)變及主方向：(21)主剪應(yīng)變：(22)根據(jù)平面應(yīng)力狀態(tài)分析圖解法應(yīng)力圓方程的分析可知：第組的曲線方程是個(gè)應(yīng)力圓；與第組的方程對(duì)照可知，第組的曲線方程是個(gè)應(yīng)變圓。二、應(yīng)變分析圖解法比較第1、2組方程，可以發(fā)現(xiàn)：與在數(shù)值上差 ，因此，在畫應(yīng)變圓時(shí)，只須將

31、縱坐標(biāo)值減半，然后作應(yīng)變圖。即選取如下的坐標(biāo)系（見圖28，a）已知x、y、xy(設(shè)試?yán)L應(yīng)變圓：1、量取，2、連D1、D2兩點(diǎn)，交軸于C點(diǎn)。3、以CD1或CD2為半徑作應(yīng)變圓。應(yīng)變圓與應(yīng)力圓的比較： A1、A2-1、2（=0） A1、A2-1、2（=0）主應(yīng)力與主應(yīng)變的方向一致 A1（1）與A2（2）差1800A1（1）與A2（2）差1800圖8-28最大最小主應(yīng)變、主應(yīng)力間的夾角差900A1G與A1G差9001與1差450對(duì)應(yīng)三課堂小結(jié)課程材料力學(xué) 教者：第46,47課時(shí)(4.16)課程內(nèi)容或課題：1.講解強(qiáng)度理論的概念及材料的兩種破壞形式。2.講解常用的四個(gè)強(qiáng)度理論的基本觀點(diǎn)，并推導(dǎo)其破壞條

32、件從而建立強(qiáng)度計(jì)算方法。3.介紹幾種強(qiáng)度理論的應(yīng)用范圍和各自的優(yōu)缺點(diǎn)。4.簡單介紹莫爾強(qiáng)度理論。目的要求： 1.掌握強(qiáng)度理論的概念。2.了解材料的兩種破壞形式（按破壞現(xiàn)象區(qū)分）。3.了解常用的四個(gè)強(qiáng)度理論的觀點(diǎn)、破壞條件、強(qiáng)度條件。4.掌握常用的四個(gè)強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力。5.了解莫爾強(qiáng)度理論的基本觀點(diǎn)。6.會(huì)用強(qiáng)度理論對(duì)一些簡單的桿件結(jié)構(gòu)進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)：強(qiáng)度理論的概念、常用的四個(gè)強(qiáng)度理論的觀點(diǎn)、強(qiáng)度條件及其強(qiáng)度計(jì)算。難點(diǎn)：常用四個(gè)強(qiáng)度理論的理解；危險(xiǎn)點(diǎn)的確定及其強(qiáng)度計(jì)算教學(xué)形式、手段：采用啟發(fā)式教學(xué)、多媒體教學(xué)教學(xué)過程：一：導(dǎo)入新課二：授新(一)為什么需要強(qiáng)度理論及強(qiáng)度理論的概念？1

33、、為什么需要強(qiáng)度理論(回顧基本變形下強(qiáng)度條件的建立）2、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件是什么？怎樣建立？3、強(qiáng)度理論的概念4、四個(gè)強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力(二)四個(gè)強(qiáng)度理論第一強(qiáng)度理論最大拉應(yīng)力理論第二強(qiáng)度理論最大拉應(yīng)變理論第三強(qiáng)度理論最大剪應(yīng)力理論第四強(qiáng)度理論(三)相當(dāng)應(yīng)力(四)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下強(qiáng)度條件的表達(dá)式r(一)為什么需要強(qiáng)度理論？強(qiáng)度理論的概念1、回顧構(gòu)件處于簡單變形下的強(qiáng)度條件的建立拉、壓 （單向） 圖8_-1強(qiáng)度條件：，由試驗(yàn)得扭轉(zhuǎn)（雙向）圖8_-2強(qiáng)度條件：，由試驗(yàn)得彎曲（二向）強(qiáng)度條件（上下邊緣點(diǎn)）：中性層處：（、由試驗(yàn)得）為什么可以這樣來建立強(qiáng)度條件？因?yàn)椋簶?gòu)件內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)比較簡單；用

34、接近這類構(gòu)件受力情況的試驗(yàn)裝置測(cè)定極限應(yīng)力值比較容易實(shí)現(xiàn)。2、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件是什么？怎樣建立？復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)單元體圖8_-3它的強(qiáng)度條件是：x、y 嗎？x、y不是！實(shí)踐證明：強(qiáng)度與、均有關(guān)，相互影響例：易剪斷 不易剪斷就象推動(dòng)某物一樣：易動(dòng) 不易動(dòng) 圖8_-4 強(qiáng)度與x、y、z (1、2、3)間的比例有關(guān)8_-51=2=0 1=2=3 單向壓縮，極易破壞 三向均有受壓，極難破壞那么，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件怎樣建立？模擬實(shí)際受力情況，通過實(shí)驗(yàn)來建立？不行！因?yàn)?xy有無窮的比例關(guān)系，實(shí)驗(yàn)無窮無盡，不可能完成。z怎么辦？長期以來，隨著生產(chǎn)和實(shí)踐的發(fā)展，人們?cè)诖罅坑^察和研究了各種類型的材料

35、在不同受力條件下的破壞情況，根據(jù)對(duì)材料破壞現(xiàn)象的分析，提出了各種各樣的假說，認(rèn)為材料某一類型的破壞是由于某種因素所引起的，并通過簡單的試驗(yàn)來推測(cè)材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度，分析其極限條件，從而建立強(qiáng)度條件。3、強(qiáng)度理論的概念何謂強(qiáng)度理論？假說材料某一類型的破壞是由于某種因素所引起的，這種假說就稱為強(qiáng)度理論。(二)四個(gè)強(qiáng)度理論第一強(qiáng)度理論最大拉應(yīng)力理論假說：決定材料產(chǎn)生斷裂破壞的主要因素是單元體的最大拉應(yīng)力1即：不論在什么樣的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，只要構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力中的最大拉應(yīng)力1到達(dá)材料的極限值時(shí)，材料就會(huì)發(fā)生脆斷破壞。破壞條件： 1=b+ 材料在拉伸試驗(yàn)中發(fā)生脆斷的極限應(yīng)力強(qiáng)度條件：1=

36、（A）評(píng)價(jià)：1、只考慮三個(gè)主應(yīng)務(wù)中的1，而沒有考慮較小的2、3；2、無法解釋下列現(xiàn)象：塑性材料： 簡單拉伸時(shí)，材料在屈服階段沿著45°斜面發(fā)生滑移，而并不從最大拉應(yīng)力1所在的橫截面上拉斷。脆性材料： 簡單壓縮時(shí)圖10-6三向均勻受壓：1=2=3 材料極不容易破壞，甚至超過極限應(yīng)力幾倍、十幾倍也不破壞（如海底巖石）3、此理論只對(duì)少數(shù)脆性材料受簡單拉伸的情況才是正確的（鑄鐵拉伸）因此更名：最大拉應(yīng)力理論（最大正應(yīng)力理論該理論在十七世紀(jì)由伽利略提出，距今已有三百多年歷史，最早提出：第一.第二強(qiáng)度理論最大拉應(yīng)變理論假說: 決定材料發(fā)生斷裂破壞的主要因素是單元體的最大拉應(yīng)變1即: 不論在怎么復(fù)

37、雜的應(yīng)力狀態(tài)下，只要構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處的最大拉應(yīng)變1達(dá)到了材料的極限值°，材料就會(huì)發(fā)生斷裂破壞。破壞條件：1=°= 脆斷破壞時(shí)極限應(yīng)力為統(tǒng)一起見，將此條件改用來表示，根據(jù)虎克定律：將此式代入上式得：強(qiáng)度條件：（B）評(píng)價(jià)：1、此理論與脆性材料簡單拉伸試驗(yàn)結(jié)果相結(jié)合，也可解釋脆性材料的壓縮破壞。據(jù)此理論可解釋：圖8_-72、根據(jù)此理論，二向、三向受拉應(yīng)力狀態(tài)比單向應(yīng)力狀態(tài)更安全，更容易承載，但這個(gè)結(jié)論被實(shí)驗(yàn)結(jié)果所否定。圖8_-8更安全嗎？否!3、三向均勻受壓不易破壞這一現(xiàn)象，第二強(qiáng)度理論也無法解釋。第三強(qiáng)度理論最大剪應(yīng)力理論假說：決定材料塑性屈服破壞的主要因素是單元體的最大剪應(yīng)力ma

38、x 。破壞條件：（拉伸時(shí)，）復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下：帶入上式得： 強(qiáng)度條件：（C）評(píng)價(jià)：1、此理論能滿意地解釋下述現(xiàn)象：塑性材料單向拉伸時(shí)，45°斜面有max，滑移線。脆向材料軸向壓縮時(shí)大致與軸線成45°方向斜面破壞。三向均勻受壓（1-3=0，即=0、max=0，應(yīng)力圓上是個(gè)點(diǎn)圓）材料極不容易破壞的現(xiàn)象。2、這個(gè)理論沒有考慮2的影響，顯然是個(gè)缺陷。3、這個(gè)理論不能解釋：脆性材料簡單拉伸，并不在max面上破壞。三向均勻受拉，也應(yīng)該不易破壞（同樣也是個(gè)點(diǎn)圓，=0）。以上三個(gè)理論是十七世紀(jì)提出來的，因此稱為古典三理論。第四強(qiáng)度理論均方根剪應(yīng)力理論假設(shè)：決定材料塑性屈服破壞的主要因素是單元體的均方根剪應(yīng)力。這個(gè)均方根剪應(yīng)力在數(shù)量上與單元體的三對(duì)主剪應(yīng)力。、有關(guān)可表達(dá)成下式：即：不論在什么樣的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，只要構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處的均方根剪應(yīng)力達(dá)到單向拉壓危險(xiǎn)狀態(tài)