第3講菱形課件

1、例1 如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BD12cm，AC6cm，求菱形的周長(zhǎng)解：四邊形ABCD是菱形，ACBD，AO AC，BO BD.AC6cm，BD12cm，AO3cm，BO6cm.在RtABO中，由勾股定理得菱形的周長(zhǎng)4AB43 12 (cm)12122222363 5 cm .ABAOBO55例2 如圖，在菱形ABCD中，CEAB于點(diǎn)E，CFAD于點(diǎn)F，求證：AEAF.證明：連接AC. 四邊形ABCD是菱形， AC平分BAD， 即BACDAC. CEAB，CFAD， AECAFC90. 又ACAC， ACEACF. AEAF. 菱形是軸對(duì)稱圖形，它的兩條對(duì)角線所在的

2、直線都是它的對(duì)稱軸，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角歸納例3 如圖，E為菱形ABCD邊BC上一點(diǎn)，且AB=AE，AE交BD于O，且DAE=2BAE，求證：OA=EB.ABCDOE證明：四邊形ABCD為菱形，ADBC，AD=BA，ABCADC2ADB ，DAEAEB，AB=AE,ABCAEB， ABC=DAE， DAE2BAE，BAEADB. 又ADBA ，AODBEA ，AOBE .【變式題1】如圖，在菱形ABCD中，已知A60，AB5，則ABD的周長(zhǎng)是 () A.10 B.12 C.15 D.20C【變式題2】如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)為48cm，對(duì)角線AC、BD相交于O點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，連接OE，則

3、線段OE的長(zhǎng)為_(kāi).第1題圖第2題圖6cm例1 如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)O為對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，且在AOB中，OA5，OB12.求菱形ABCD兩對(duì)邊的距離h.解：在RtAOB中，OA5，OB12，SAOB OAOB 51230，S菱形ABCD4SAOB430120.又菱形兩組對(duì)邊的距離相等，S菱形ABCDABh13h，13h120，得h .222251213,ABAOBO121212013 菱形的面積計(jì)算有如下方法：(1)一邊長(zhǎng)與兩對(duì)邊的距離(即菱形的高)的積；(2)四個(gè)小直角三角形的面積之和(或一個(gè)小直角三角形面積的4倍)；(3)兩條對(duì)角線長(zhǎng)度乘積的一半歸納例2 如圖，在菱形ABCD中，

4、ABC與BAD的度數(shù)比為1：2，周長(zhǎng)是8cm求：（1）兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度；（2）菱形的面積解：（1）四邊形ABCD是菱形，AB=BC，ACBD，ADBC，ABC+BAD=180.ABC與BAD的度數(shù)比為1：2，ABC= 180=60，ABO= ABC=30，ABC是等邊三角形.菱形ABCD的周長(zhǎng)是8cmAB=2cm，1213OA= AB=1cm，AC=AB=2cm， BD=2OB= cm；（2）S菱形ABCD= ACBD = 2 = （cm2）1222cm3,OBABOA2 312122 32 3 菱形中的相關(guān)計(jì)算通常轉(zhuǎn)化為直角三角形或等腰三角形，當(dāng)菱形中有一個(gè)角是60時(shí)，菱形被分為以60為頂角

5、的兩個(gè)等邊三角形.歸納【變式題】如圖，已知菱形的兩條對(duì)角線分別為6cm和8cm，則這個(gè)菱形的高DE為（）A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm B【附加題1】.菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（ ） A.對(duì)角相等 B.對(duì)邊相等 C.對(duì)角線互相垂直 D.對(duì)角線相等C【附加題2】如圖，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，則ABD的周長(zhǎng)等于 （） A.18 B.16 C.15 D.14 B【附加題3】根據(jù)下圖填一填：（1）已知菱形ABCD的周長(zhǎng)是12cm，那么它的邊長(zhǎng) 是 _.（2）在菱形ABCD中，ABC120 ，則BAC _.（3）菱形ABCD的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為6c

6、m和8cm， 則菱形的邊長(zhǎng)是_. 3cm30ABCOD5cm(4)菱形的一個(gè)內(nèi)角為120,平分這個(gè)內(nèi)角的對(duì)角 線長(zhǎng)為11cm，菱形的周長(zhǎng)為_(kāi).44cm(5)菱形的面積為64cm2，兩條對(duì)角線的比為 1 2 ,那么菱形最短的那條對(duì)角線長(zhǎng)為_(kāi).8cm2ABCOD例21 如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于點(diǎn)E、F,求證：四邊形AFCE是菱形 ABCDEFO12證明: 四邊形ABCD是矩形, AEFC，1=2.EF垂直平分AC，AO = OC . 又AOE =COF，AOECOF，EO =FO.四邊形AFCE是平行四邊形.又EFAC 四邊形AFCE是菱形.證明： 1= 2

7、, 又AE=AC,AD=AD, ACD AED (SAS). 同理ACFAEF(SAS) . CD=ED, CF=EF. 又EF=ED,CD=ED=CF=EF, 四邊形ABCD是菱形.2例1 如圖,在ABC中, AD是角平分線,點(diǎn)E、F分別在 AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED. 求證：四邊形CDEF是菱形. ACBEDF1例2 如圖，在ABC中，B90，AB6cm，BC8cm.將ABC沿射線BC方向平移10cm，得到DEF，A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D，E，F(xiàn)，連接AD.求證：四邊形ACFD是菱形證明：由平移變換的性質(zhì)得CFAD10cm，DFAC.B90，AB6cm，BC8cm，AC

8、DFADCF10cm，四邊形ACFD是菱形22226810 cm .ACABBC 四邊形的條件中存在多個(gè)關(guān)于邊的等量關(guān)系時(shí)，運(yùn)用四條邊都相等來(lái)判定一個(gè)四邊形是菱形比較方便歸納HGFEDCBA證明：連接AC、BD.四邊形ABCD是矩形，AC=BD.點(diǎn)E、F、G、H為各邊中點(diǎn)，11,22EFGHBDFGEHAC，EF=FG=GH=HE，四邊形EFGH是菱形.例3 如圖，順次連接矩形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形EFGH，求證：四邊形EFGH是菱形.CABDEFGH【變式題1】 如圖，順次連接對(duì)角線相等的四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形EFGH是什么四邊形？解：四邊形EFGH是菱形.又AC=BD,點(diǎn)

9、E、F、G、H為各邊中點(diǎn)，11.22EFGHBDFGEHAC，EF=FG=GH=HE，四邊形EFGH是菱形. 順次連接對(duì)角線相等的四邊形的各邊中點(diǎn)，得到四邊形是菱形.歸納理由如下：連接AC、BDABCDEFGH【變式題2】 如圖，順次連接平行四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形EFGH是什么四邊形？解：連接AC、BD.點(diǎn)E、F、G、H為各邊中點(diǎn)，11,22EFGHBDFGEHAC，四邊形EFGH是平行四邊形.【附加題】如圖，若四邊形ABCD是菱形，順次連接菱形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形EFGH是什么四邊形？四邊形EFGH是矩形.同學(xué)們自己去解答吧例1 如圖，在ABC中，D、E分別是AB、AC的

10、中點(diǎn)，BE2DE，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使得EFBE，連接CF.(1)求證：四邊形BCFE是菱形；(1)證明：D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，DEBC且2DEBC.又BE2DE，EFBE，EFBC，EFBC，四邊形BCFE是平行四邊形又EFBE，四邊形BCFE是菱形；(2)解：BCF120，EBC60，EBC是等邊三角形，菱形的邊長(zhǎng)為4，高為 ，菱形的面積為 .2 342 38 3(2)若CE4，BCF120，求菱形BCFE的面積 判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí)，要結(jié)合條件靈活選擇方法如果可以證明四條邊相等，可直接證出菱形；如果只能證出一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直，可以先嘗試證出這個(gè)四邊形是平行四邊形歸納【變

11、式題】如圖，在平行四邊形ABCD中，AC平分DAB，AB=2，求平行四邊形ABCD的周長(zhǎng).解：四邊形ABCD為平行四邊形，ADBC，ABCD，DAC=ACB，BAC=ACD，AC平分DAB，DAC=BAC，DAC=ACD，AD=DC，四邊形ABCD為菱形，四邊形ABCD的周長(zhǎng)=42=81.判斷下列說(shuō)法是否正確(1)對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形；(2)對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形；(3)對(duì)角線互相垂直，且有一組鄰邊相等的 四邊形是菱形；(4)兩條鄰邊相等，且一條對(duì)角線平分一組 對(duì)角的四邊形是菱形 2.一邊長(zhǎng)為5cm平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為 24cm和26cm，那么平行四邊形的面積是

12、 . 312cm23.如圖，將ABC沿BC方向平移得到DCE，連接AD，下列條件能夠判定四邊形ACED為菱形的是（） AAB=BC BAC=BC CB=60 DACB=60 B解析：將ABC沿BC方向平移得到DCE，ACDE，AC=DE，四邊形ABED為平行四邊形.當(dāng)AC=BC時(shí)，平行四邊形ACED是菱形故選BABCDOE4.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，DEAC,CE BD.求證：四邊形OCED是菱形.證明：DEAC，CEBD，四邊形OCED是平行四邊形.四邊形ABCD是矩形，OC=OD，四邊形OCED是菱形 4.如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為13cm的菱形,其中對(duì) 角線BD長(zhǎng)10cm

13、.求:(1)對(duì)角線AC的長(zhǎng)度; (2)菱形ABCD的面積.解:(1)四邊形ABCD是菱形,AED=90,(2)菱形ABCD的面積AC=2AE=212=24(cm).DBCAE5.如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC于E 求證：AFD=CBE 證明：四邊形ABCD是菱形，CB=CD， CA平分BCDBCE=DCE又 CE=CE，BCEDCE（SAS）CBE=CDE 在菱形ABCD中，ABCD， AFD=EDC.AFD=CBEADCBFE6.如圖，O是菱形ABCD對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，CD5cm，OD3cm；過(guò)點(diǎn)C作CEDB，過(guò)點(diǎn)B作BEAC，CE與BE相交于點(diǎn)E.(1)求OC

14、的長(zhǎng)；(2)求四邊形OBEC的面積解：(1)四邊形ABCD是菱形，ACBD.在RTOCD中，由勾股定理得OC4cm；(2)CEDB，BEAC，四邊形OBEC為平行四邊形.又ACBD，即COB90，平行四邊形OBEC為矩形.OBOD3cm，S矩形OBECOBOC4312(cm2)證明：MN是AC的垂直平分線，AE=CE，AD=CD，OA=OC，AOD=EOC=90.CEAB，DAO=ECO，ADOCEO（ASA）AD=CE，OD=OE，OD=OE，OA=OC，四邊形ADCE是平行四邊形又AOD=90，四邊形ADCE是菱形 5.如圖，ABC中，AC的垂直平分線MN交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)O，CEAB交MN于點(diǎn)E，連接AE、CD.求證：四邊形ADCE是菱形.BCADOEM（1）證明：由尺規(guī)作BAF的平分線的過(guò)程可得AB=AF，BAE=FAE，四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，F(xiàn)AE=AEB，BAE=AEB，A