區(qū)間系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性和魯棒鎮(zhèn)定性的檢驗條件

1、2004年 第28卷 石油大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版) Vol.28 No.4 第4期 JournaloftheUniversityofPetroleum,China Aug.2004文章編號:1000-5870(2004)04-0144-04區(qū)間系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性和魯棒鎮(zhèn)定性的檢驗條件張高民(石油大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,山東東營257061)摘要:討論了區(qū)間系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和魯棒鎮(zhèn)定性的有限檢驗問題,給出了線段多項式魯棒穩(wěn)定性的充分必要條件,利用該條件對多項式多面體魯棒穩(wěn)定性和區(qū)間系統(tǒng)魯棒鎮(zhèn)定性進(jìn)行了有限檢驗,并給出了相應(yīng)的檢驗結(jié)果。該檢驗條件直觀簡明,利用它可非常方便地對這些區(qū)間系統(tǒng)進(jìn)行魯棒穩(wěn)定性分

2、析。關(guān)鍵詞:線段多項式;區(qū)間系統(tǒng);魯棒穩(wěn)定性;魯棒鎮(zhèn)定性;充分必要條件;檢驗中圖分類號:O231 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:ATestconditionsforrobuststabilityandrobuststabilizationofintervalsystemsZHANGGao-min(CollegeofMathematicsandComputationScienceintheUniversityofPetroleum,China,Dongying257061,China)Abstract:Theproblemsofrobuststabilityandrobuststabilizationforint

3、ervalsystemswerediscussed.Anecessaryandsuf-ficientconditionfortherobuststabilityofalinesegmentpolynomialwasproposed.Thetestedresultsofrobuststabilityofapolynomialpolytopeandrobuststabilizationofanintervalsystemwereobtainedintermsofthecondition.Thisconditionissimpleandcanbeeasilyappliedtotherobuststa

4、bilityanalysisoftheintervalsystems.Keywords:linesegmentpolynomial;intervalsystem;robuststability;robuststabilization;necessaryandsufficientcond-ition;test自Kharitonov1開始區(qū)間多項式的開創(chuàng)性研究以來,在參(系)數(shù)空間中討論控制系統(tǒng)的魯棒性已相當(dāng)廣泛和深入2,3。其中多項式族的魯棒穩(wěn)定性是最基本的問題之一。Bartlett,Hollot和Huang的棱邊定理4是這方面一個里程碑式的結(jié)果,它將檢驗多項式凸多面體的魯棒穩(wěn)定性問題轉(zhuǎn)化為檢驗

5、其一維棱邊的穩(wěn)定性問題,從而使問題得到極大簡化,在理論和實際上均具有重要意義。然而,由于一維棱邊含有無窮多個多項式,判斷其穩(wěn)定性仍存在一定的困難,因此,在什么條件下棱邊的穩(wěn)定性可以由其兩個頂點的穩(wěn)定性來保證,自然成了人們十分關(guān)注的問題。Rantzer5不必要的?；谶@種考慮,文獻(xiàn)6提出了相對凸方向的概念,用來考察某一具體多項式線段的魯棒穩(wěn)定性。筆者給出一個新的判斷多項式線段魯棒穩(wěn)定的充分必要條件,以對某些區(qū)間系統(tǒng)進(jìn)行魯棒穩(wěn)定性分析。1 定義和記號根據(jù)系統(tǒng)的特征多項式判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性是經(jīng)典控制理論的基本方法。記P(s)=i=0Eaisni為n次多項式,D為復(fù)平面中的某一開集,若P(s)=0的任一

6、根皆位于D內(nèi),則稱多項式P(s)是D穩(wěn)定的?？紤]具有參數(shù)攝動的多項式族P(s,q)=i=0關(guān)于凸方向的定理將棱邊的穩(wěn)定性檢驗問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的兩個頂點的穩(wěn)定性檢驗問題。但是,n階穩(wěn)定多項式的凸方向要求對于任意的n階穩(wěn)定多項式均滿足,對于某一具體多項式線段(棱邊)而言,這一條件無疑是保守的,也是收稿日期:2003-10-20Eai(q)si,其中不確定參數(shù)qnIQ0,PXIR.證明 根據(jù)定理1,條件NU1(jX)-NU2(jX)X2kP+P,PXIR等價于條件cos(NU1(jX)-NU2(jX)-1,PXIR.對式(6)經(jīng)過適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算即得式(5)成立。注1 定理 1和推論1這兩種不同表現(xiàn)形式各有

7、特點,定理1具有明顯直觀的幾何意義,容易根據(jù)圖形進(jìn)行分析,推論1則更便于數(shù)值上的分析和計算。根據(jù)定理1和推論1,可進(jìn)一步得到推論2。推論2 設(shè)P(s,K)=f(s)+Kg(s),f(s)和g(s)為固定的多項式,p(s,0)和p(s,1)為穩(wěn)定的多項式,并且對于任意的KI+=0,1,多項式P(s,K)=f(s)+Kg(s)均保持恒定的次數(shù),則P(s,K)是魯棒穩(wěn)定的充要條件是,對于PXIR,有N(f(jX)+g(jX)-Nf(jX)X2kP+P,)(6)(5)Fp是D定的充要條件是其一維突出邊集E(Fp)是D個單連通開域的并集,多項式凸多面體定的。設(shè)D是復(fù)平面中有限穩(wěn)穩(wěn)在下面的討論中,穩(wěn)定性區(qū)

8、域D均假設(shè)為復(fù)平面中的開左半平面。2 多項式多面體的有限檢驗首先考慮連接兩個頂點多項式為U1(s)和U2(s)的線段多項式KU1(s)+(1-K)U2(s)的穩(wěn)定性問題。定理1 設(shè)U1(s)和U2(s)為固定的穩(wěn)定多項式,并且對于任意的KI+=0,1,多項式P(s,K)=KU)U2(s)均保持恒定的次數(shù),則1(s)+(1-KP(s,K)是魯棒穩(wěn)定的充要條件是,對于PXIR,有NU1(jX)-NU2(jX)X2kP+P,k=0,1,.(3)證明 充分性(用反證法):設(shè)條件(3)成立,但KU1(s)+(1-K)U2(s)不是魯棒穩(wěn)定的,注意到在j*)1*)#146#或者Rf+g(X)Rf(X)+I

9、f+g(X)If(X)+(f+g)(jX)f(jX)0.石油大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版) 2004年8月+2-3-4+5f4(s)=a-0+a1s+a2s+a3s+a4s+a5s+,.(8)V(X)=f(jX,a):f(s)IF,f(jX,a)=a0-a2X2+a4X4-a6X6+,+j(a1X-a3X3+a5X5-a7X7+,).(15)證明 記多項式F在s=jX點的值集為由定理1、推論1和引理2,立即得到定理2。定理2 對于由式(2)給出的多項式凸多面體Fp,若其頂點多項式Pi(s)(i=1,m)是穩(wěn)定的,則Fp魯棒穩(wěn)定的充要條件是對于PXIR,有NPi(jX)-NPj(jX)X2kP+P,k=

10、0,1,i,j=1,m,iXj,或者RPi(X)RPj(X)+IPi(X)IPj(X)+Pi(jX)Pj(jX)0,i,j=1,m,iXj.(10)利用定理1、推論1可以容易地證明一些已知的重要結(jié)論。例1 證明:若U1(s)和U2(s)具有相同的奇次項或偶次項,則U)1(s)和U2(s)穩(wěn)定等價于P(s,K=KU1(s)+(1-K)U2(s)魯棒穩(wěn)定。證明 充分性顯然,只證必要性。假設(shè)U1(s)和U2(s)具有相同的奇次項,則對于PXIR,U1(jX)和U2(jX)同時在實軸的上方或下方或在實軸上。若U1(jX)和U2(jX)同時在實軸的上方或下方,則顯然式(3)或式(5)滿足;若U1(jX)

11、和U2(jX)位于實軸上,則U1(jX)和U2(jX)必有相同的正負(fù)號。否則,不妨假設(shè)U1(jX)0和U2(jX)0時,由穩(wěn)定多項式U1(s)和U2(s)的幅角單調(diào)增的結(jié)論知,必有U1(jX)位于實軸的上方,和U2(jX)位于實軸下方。這與U1(s)和U2(s)具有相同的奇次項矛盾。所以,此時式(3)或式(5)仍然滿足,結(jié)論成立。當(dāng)U1(s)和U2(s)具有相同的偶次項時可以類似地證明。例2 Kharitonov定理 考慮區(qū)間多項式族F:=f(s,a):f(s,a)=-+i=0V(X)是復(fù)平面中的一個矩形,矩形的4個頂點分別是fi(jX),對應(yīng)的多項式是fi(s),矩形的各邊分別平行于實軸和虛

12、軸,并且4個頂點的相對位置不隨X而改變。根據(jù)棱邊定理,多項式族F魯棒Hurwitz穩(wěn)定的充要條件是其4條棱邊f(xié)12(s),f23(s),f234(9)(s),f41(s)穩(wěn)定。由于f1(s)和f2(s),441f(s)和f(s),f(s)和f(s),f(s)和f(s),或者偶次項相同,或者奇次項相同,根據(jù)例1,上述棱邊是穩(wěn)定的。于是Kharitonov定理得證。3 區(qū)間系統(tǒng)魯棒鎮(zhèn)定的有限檢驗考慮如下的區(qū)間對象:#:=G(s,q,r):G(s,q,r)=mn,D(s,r)iN(s,q)=i=0Eqis,D(s,r)=Eris,ii=0-+qiIq-i,q+i,riIri,ri.控制器C(s)為固

13、定,C(s)=特征多項式為$(s)=D(s)Dc(s)+N(s)Nc(s).(16)Nc(s),則閉環(huán)系統(tǒng)的Dc(s)記Ni(s)和Di(s),i=1,2,3,4分別為類似于式(12)(15)定義的多項式,Nij(s)=(1-K)Ni(s)+KNj(s),Dij(s)=(1-K)Di(s)+KDj(s),(ij)I(12),(23),(34),(41),#1=Gikj:Gijkij=,kI1,2,3,4,Dk(s)Eais,aiinIa-i,a+i,0|an,an,(11)證明多項式族F魯棒Hurwitz穩(wěn)定的充要條件是如下的4個多項式是穩(wěn)定的:f(s)=a0+a1s+a2s+a3s+a4s+

14、a5s+,(12)-2+3+4-5f2(s)=a+0+a1s+a2s+a3s+a4s+a5s+1-+2+-4-5(ij)I(12),(23),(34),(41), #2=Gkij:Gkijk=,kI1,2,3,4,Dij(s)(ij)I(12),(23),(34),(41).關(guān)于閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性,有如下的結(jié)論:引理3 盒子定理7 控制器C(s)能魯棒鎮(zhèn)定區(qū)間對象族的充要條件是C(s)能魯棒鎮(zhèn)定,+-2-3+4+(13)5f(s)=a0+a1s+a2s+a3s+a4s+a5s+,)第28卷 第4期 張高民:區(qū)間系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性和魯棒鎮(zhèn)定性的檢驗條件#147#根據(jù)引理3,可以給出如下區(qū)間系統(tǒng)魯棒

15、鎮(zhèn)定的頂點檢驗結(jié)果:定理3 控制器C(s)能通過鎮(zhèn)定式(16)中#的16個Kharitonov頂點對象即可魯棒鎮(zhèn)定整個區(qū)間對象族#的充要條件是jkN(D(jX)Dc(X)+N(jX)Nc(jX)-立。注2 根據(jù)推論 1和定理3可以立即給出區(qū)間系統(tǒng)魯棒鎮(zhèn)定另一種類型的表達(dá)式。參考文獻(xiàn):1 KHARITONOVVL.Asymptoticalstabilityofanequil-ibrumpositionofafamilyofsystemsoflineardifferentialequationsJ.Differential.nyeUravnenia,1978,14:2086-2088.2 黃琳,王

16、龍,于年才.系統(tǒng)魯棒性的若干問題29.3 BARMISHBR.NewToolsforRobustnessofLinearSystemsM.NewYork:Macmillan,1994.4 BARTLETTAC,HOLLOTCVandHUANGLin.Rootlocationsofanentirepolytopeofpolynomials:itsufficestochecktheedgesJ.MathControl,SignalandSystems,1988,1:61-71.5 RANTZERA.Stabilityconditionsforpolytopesofpoly-nomialsJ.IEE

17、ETransonAutoContr,1992,37:79-89.6 田玉平,馮純伯.區(qū)間系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的有限檢驗A.全國控制理論及應(yīng)用會議論文集C.武漢:海洋出版社,1994.7 CHAPELIATHandBHATTACHARYYASP.Agen-eralizationofKharitonov.stheorem:robuststabilityofintervalplantsJ.IEEETransAutoContr,1990,34:306-311.背景、現(xiàn)狀與挑戰(zhàn)J.控制理論與應(yīng)用,1991,8:11-N(Di(jX)Dc(jX)+Nk(jX)Nc(jX)N(D(jX)Dc(jX)+N(jX)N

18、c(jX)(41)。kiX2kP+P;X2kP+P,kjN(D(jX)Dc(X)+N(jX)Nc(jX)-式中,kI1,2,3,4,(ij)I(12),(23),(34),證明 根據(jù)盒子定理,閉環(huán)系統(tǒng)(G,C)對于ijPGI#是穩(wěn)定的,當(dāng)且僅當(dāng)(Gkij,C)和(Gk,C)(kI1,2,3,4,(ij)I(12),(23),(34),(41)是魯棒穩(wěn)定的。首先考慮(Gkij,C)的穩(wěn)定性,此時閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式是$(s)=Dij(s)Dc(s)+Nk(s)Nc(s)=(1-K)D(s)+KD(s)Dc(s)+Nk(s)Nc(s)=Di(s)Dc(s)+Nk(s)Nc(s)+K(Dj(s)-Di(s)Dc(s).其中KI0,1,(ij)I(12),(23),(34),(41),kI1,2,3,4。根據(jù)推論2,$(s)的穩(wěn)定性能由頂點的穩(wěn)定性保證的充要條件是對于PXIR,有N