易拉罐尺寸的最優(yōu)設計方案

1、高鐵1602314宿舍銷量很大的飲料的飲料罐的形狀和尺寸幾乎相同，銷量很大的飲料的飲料罐的形狀和尺寸幾乎相同，這是為什么呢？這是為什么呢？問題：問題：1.1.假設易拉罐是一個正圓柱體且底面和側(cè)面的厚度相同，什么是它的最優(yōu)設假設易拉罐是一個正圓柱體且底面和側(cè)面的厚度相同，什么是它的最優(yōu)設計？計？2.2.如果易拉罐是一個正圓柱體，但底面和側(cè)面厚度不同（例如底面厚度是側(cè)如果易拉罐是一個正圓柱體，但底面和側(cè)面厚度不同（例如底面厚度是側(cè)面厚度的面厚度的3 3倍），如何設計最優(yōu)？倍），如何設計最優(yōu)？一、摘要一、摘要 對問題一，我們通過實際測量得出（355ml）易拉罐各部分的數(shù)據(jù)。 對問題二，在假設易拉罐蓋

2、口厚度與其他部分厚度之比為3：1的條件下，建立易拉罐用料模型 ),2(2)(2rrvrdrs由微積分方法求最優(yōu)解，結(jié)論：易拉罐高與直徑之比2：1，用料最??； 在假定易拉罐高與直徑2：1的條件下，將易拉罐材料設想為外體積減內(nèi)體積，得用料模型：000),(.),(min2hrvhrhrgtshrs二、模型建立二、模型建立 問題二：問題二：正圓柱形正圓柱形易拉罐尺寸的最優(yōu)設計模型易拉罐尺寸的最優(yōu)設計模型（1 1）易拉罐）易拉罐各點罐壁厚度相同各點罐壁厚度相同的情形由圖的情形由圖1 1可知：可知： 容積容積為為 ： 表面積表面積為為 ： 模型一：模型一：hrV2圖1 各點罐壁厚度相同的圓柱形易拉罐模型

3、一：模型一：0,.2min22hrhrVtsrhrSrhrrrrhSM22222hrV2（2 2）易拉罐有）易拉罐有不同罐壁厚度不同罐壁厚度的情形的情形 易拉罐各面厚度不同，用料量也不相同，易拉罐各面厚度不同，用料量也不相同，根據(jù)根據(jù)材料的用量與其體積成正比。材料的用量與其體積成正比。 容積一定時，所用容積一定時，所用材料的體積最小時的尺材料的體積最小時的尺寸即易拉罐的最優(yōu)尺寸寸即易拉罐的最優(yōu)尺寸，所需要的材料為：，所需要的材料為：圖2 有不同罐壁厚度的圓柱形易拉罐 dahcrhrY22 dahcrhrYM22min 0,.2dcadahcrVts模型二：模型二：應使應使Y Y取最小值，取最小

4、值，模型二：模型二：（3）易拉罐有）易拉罐有不同罐壁厚度并考慮焊縫長度不同罐壁厚度并考慮焊縫長度4的情形的情形 在模型二的基礎上，考慮工作量（焊縫長度）的不同在模型二的基礎上，考慮工作量（焊縫長度）的不同工作量有影響，使得易拉罐的工作量有影響，使得易拉罐的材料用量最省材料用量最省的同時，的同時，焊縫焊縫長度也盡量取到最小。長度也盡量取到最小。 根據(jù)模型分析，可得根據(jù)模型分析，可得焊縫長度焊縫長度： rZ2將焊縫的長度為將焊縫的長度為Z時的工作量轉(zhuǎn)化為時的工作量轉(zhuǎn)化為同等的材料體積同等的材料體積，從而可以從而可以將二者直接相加將二者直接相加。模型三模型三： rdahcrhrZYM2min2221

5、21（此模型即為求解問題二的完善模型） 0,. .212dahcrVts1. 問題一的求解 表1 101 10種355ml355ml易拉罐飲料的相關(guān)測量數(shù)據(jù)罐體罐體直徑直徑(cm)(cm)圓臺口圓臺口直徑直徑(cm)(cm)罐體罐體高度高度(cm)(cm)整罐整罐高度高度(cm)(cm)頂蓋頂蓋厚度厚度(cm)(cm)側(cè)面?zhèn)让婧穸群穸?cm)(cm)圓臺圓臺厚度厚度(cm)(cm)罐底罐底厚度厚度(cm)(cm)可口可樂可口可樂6.6164.55210.11612.1640.04710.01090.03186.616雪碧雪碧6.624.56210.08812.1920.04480.0110.0

6、3326.62天府百檸天府百檸6.664.57410.10212.1820.04620.01130.03226.66百事可樂百事可樂6.6184.55410.11412.1740.04660.01080.03266.618七喜勁檸七喜勁檸6.6144.54810.11212.1720.04620.01020.03166.614美年達美年達6.6164.53610.11612.1620.0470.01080.0326.616醒目醒目6.6464.5510.11412.1660.04730.01070.03186.646輕怡輕怡6.6284.55210.11812.1660.04680.01040

7、.0326.628菠蘿啤酒菠蘿啤酒6.624.54810.10812.1580.04820.01130.03226.62雪花啤酒雪花啤酒6.6144.5510.1112.1660.04750.01070.03246.614項項目目數(shù)數(shù)值值種種類類三、模型求解三、模型求解表2 GB2 GBT 9106T 910620012001中規(guī)定的罐體主要尺寸中規(guī)定的罐體主要尺寸(單位：毫米單位：毫米)5名稱名稱符號符號公稱尺寸極限極限偏差偏差250mL250mL275mL275mL300mL300mL335mL335mL500mL500mL罐體高度罐體高度H H90.9390.9398.9598.9511

8、5.2115.2122.22122.22167.84167.840.380.38罐體外徑罐體外徑D D1 166.0466.04縮頸內(nèi)徑縮頸內(nèi)徑D D2 257.4057.400.250.25翻邊寬度翻邊寬度B B2.222.220.250.25 VdahcrdahcrhrF222 0022202222222VdahcrFcrcrrhFdahcrdahcrrhrFcdarh62rh（2）易拉罐有）易拉罐有不同罐壁厚度不同罐壁厚度的情形的情形，根據(jù)根據(jù)模型二模型二， 用用拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法求解新的函數(shù)求解新的函數(shù)：然后分別對，解得：解得：即即 圓柱體的圓柱體的高與半徑高與半徑 之比為之

9、比為6時時為最優(yōu)尺寸為最優(yōu)尺寸 dahcrhrYM22min 0,.2dcadahcrVts0,.2min22hrhrVtsrhrSS022222322rVrrrVr32Vr 5.6MatlabSrrVVVrVh22843322322（1）易拉罐）易拉罐各點罐壁厚度相同各點罐壁厚度相同的情形的情形 根據(jù)根據(jù)模型一模型一知：知：取取最小值最小值時，必定有時，必定有， 圖7 體積一定時隨變化的曲線即易拉罐的即易拉罐的高度為半徑的二倍（等邊圓柱形）高度為半徑的二倍（等邊圓柱形）時，所需材料最少時，所需材料最少。rh2:rh根據(jù)問題一中測得的實際數(shù)據(jù)可以得到根據(jù)問題一中測得的實際數(shù)據(jù)可以得到 表表3

10、檢驗數(shù)據(jù)表檢驗數(shù)據(jù)表罐體高度罐體高度（cmcm）罐體直徑罐體直徑(cm)(cm)雪碧雪碧10.11610.1166.6166.6161.529 1.529 可口可樂可口可樂10.08810.0886.626.621.524 1.524 天府百檸天府百檸10.10210.1026.666.661.517 1.517 百事可樂百事可樂10.11410.1146.6186.6181.528 1.528 七喜勁檸七喜勁檸10.11210.1126.6146.6141.529 1.529 美年達美年達10.11610.1166.6166.6161.529 1.529 醒目醒目10.11410.1146.6466.6461.522 1.522 輕怡輕怡10.11810.1186.6286.6281.527 1.527 菠蘿啤酒菠蘿啤酒10.10810.1086.626.621.527 1.527 雪花啤酒雪花啤酒10.1110.116.6146.6141.529 1.5