求軌跡的幾種求法

1、三、定義法三、定義法分析題設(shè)幾何條件，根據(jù)分析題設(shè)幾何條件，根據(jù)所學(xué)所學(xué)曲線的定義，曲線的定義，判斷軌跡是何種類型的曲線，直接求出該曲判斷軌跡是何種類型的曲線，直接求出該曲線的方程線的方程.橢圓的定義：橢圓的定義：雙曲線的定義：雙曲線的定義：拋物線的定義：拋物線的定義：圓的定義：圓的定義：|PC|=r (r0)|PF1| + |PF2| = 2a (2a |F1F2|)|PF1| - |PF2| = 2a (0 2a |F1F2|)|PF| = dP-l (F l)由題設(shè)條件，根據(jù)圓錐曲線的定義確定曲由題設(shè)條件，根據(jù)圓錐曲線的定義確定曲線的形狀后，直接寫出曲線的方程線的形狀后，直接寫出曲線的方

2、程一、定義法求軌跡方程的特征一、定義法求軌跡方程的特征二、二、“定義法定義法”求軌跡求軌跡方程的一般步方程的一般步驟驟一一 建軸設(shè)點(diǎn)建軸設(shè)點(diǎn)二二 定型定型三三 定定 方方 程程四四 定定 范范 圍圍：定義法：定義法 例例2已知已知B，C是兩個(gè)定點(diǎn)，是兩個(gè)定點(diǎn)，|BC|8， 且且ABC的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)等于18， 求這個(gè)三角形的頂點(diǎn)求這個(gè)三角形的頂點(diǎn)A的軌跡方程的軌跡方程練習(xí)練習(xí)：知三角形ABC的一邊 BC 長(zhǎng)為6，周長(zhǎng)為16，求頂點(diǎn)A的軌跡方程答：答：)0(1162522yyx14已ACOyxO1O2M練習(xí)：練習(xí)：已知兩圓已知兩圓C1：(x4)2y2169， C2：(x4)2y29，動(dòng)圓在，動(dòng)圓

3、在圓圓C1內(nèi)部且和圓內(nèi)部且和圓C1內(nèi)切，和圓內(nèi)切，和圓C2外切，外切， 求動(dòng)圓圓心的軌跡方程求動(dòng)圓圓心的軌跡方程ABSSABSAB探索與定圓相切的動(dòng)圓圓心軌跡要抓牢動(dòng)圓圓心到兩定點(diǎn)的距離的和與差不放。CCP例3：變式2：169rr13-rM1 1、如圖，圓、如圖，圓C C：(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=9=9內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn)A(1A(1，0)0)，與圓，與圓 上一動(dòng)點(diǎn)上一動(dòng)點(diǎn)Q Q的連線的連線AQAQ的垂直平分線交的垂直平分線交CQCQ于于P P當(dāng)當(dāng)Q Q在在圓圓C C上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，則動(dòng)點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，則動(dòng)點(diǎn)P P的軌跡方程為的軌跡方程為_Cy xAQP問題問題2 2OxyQ QPF1

4、F2問題問題2 22 2、已知橢圓的焦點(diǎn)是、已知橢圓的焦點(diǎn)是F F1 1、F F2 2，P P是橢圓上的一是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長(zhǎng)個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長(zhǎng)F F1 1P P到到Q Q，使得，使得|PQ|=|PF|PQ|=|PF2 2| |，那，那么動(dòng)點(diǎn)么動(dòng)點(diǎn)Q Q的軌跡是的軌跡是 （ ）(A)(A)圓圓 (B)(B)橢圓橢圓 (C)(C)雙曲線的一支雙曲線的一支 (D)(D)拋物線拋物線【探究【探究1】如圖】如圖,已知線段已知線段AB=4,動(dòng)圓動(dòng)圓O與線段與線段AB切切于點(diǎn)于點(diǎn)C,且且AC-BC=2 ,過點(diǎn)過點(diǎn)A B分別作分別作 O的切的切線線,兩切線相交于兩切線相交于P,且且P O均在均在AB同

5、側(cè)同側(cè),建立適當(dāng)坐建立適當(dāng)坐標(biāo)系標(biāo)系,當(dāng)當(dāng)O位置變化時(shí)位置變化時(shí),求動(dòng)點(diǎn)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的軌跡E的方程的方程.2【解析】以【解析】以AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以以AB所在直線所在直線為為x軸建立直角坐標(biāo)系軸建立直角坐標(biāo)系(圖略圖略),則則A(-2,0),B(2,0).由切線長(zhǎng)定理可得由切線長(zhǎng)定理可得|AC|-|BC|=|PA|-|PB|=2 ).222問題問題1 1：一動(dòng)圓與圓：一動(dòng)圓與圓O O1 1：(x+3)(x+3)2 2+y+y2 2=4=4外切，外切，同時(shí)與圓同時(shí)與圓O O2 2：(x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=9=9內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程，

6、并說明它是什么類型的曲線的軌跡方程，并說明它是什么類型的曲線在兩定圓不動(dòng)的前提下，適當(dāng)改變其他條件在兩定圓不動(dòng)的前提下，適當(dāng)改變其他條件使動(dòng)圓圓心形成新的軌跡？使動(dòng)圓圓心形成新的軌跡？ 已知圓已知圓A：(x+2)2+y2=1與點(diǎn)與點(diǎn)A（-2，0），），B（2，0），），分別求出滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)分別求出滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程的軌跡方程.（1）PAB的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為10;（2）圓）圓P與圓與圓A外切，且點(diǎn)外切，且點(diǎn)B在動(dòng)圓在動(dòng)圓P上（上（P為動(dòng)圓圓心）為動(dòng)圓圓心）;（3）圓）圓P與圓與圓A外切且與直線外切且與直線x=1相切（相切（P為動(dòng)圓圓心）為動(dòng)圓圓心）.【例題例題3】【解析解析】(1

7、)(1)根據(jù)題意，知根據(jù)題意，知|PA|+|PB|+|AB|=10|PA|+|PB|+|AB|=10， 即即|PA|+|PB|=6|PA|+|PB|=64=|AB|4=|AB|，故，故P P點(diǎn)的軌跡是點(diǎn)的軌跡是橢圓橢圓， 且且2a=62a=6，2c=42c=4，即，即a=3a=3，c=2c=2，b=b= ， 因此其方程為因此其方程為 （y0y0）. . （2 2）設(shè)圓）設(shè)圓P P的半徑為的半徑為r r，則，則|PA|=r+1|PA|=r+1，|PB|=r|PB|=r， 因此因此|PA|-|PB|=1.|PA|-|PB|=1. 由雙曲線的定義知，由雙曲線的定義知，P P點(diǎn)的軌跡為點(diǎn)的軌跡為雙曲線

8、的右支雙曲線的右支， 且且2a=12a=1，2c=42c=4，即，即a=a= ,c=2,b=,c=2,b= ， 因此其方程為因此其方程為（3）依題意，知?jiǎng)狱c(diǎn)）依題意，知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)到定點(diǎn)A的距離等于的距離等于 到定直線到定直線x=2的距離，故其軌跡為的距離，故其軌跡為拋物線拋物線， 且開口向左，且開口向左，p=4. 方程為方程為y2=-8x.105-5-10-15y-20-101020PONM1.動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)到定點(diǎn)(-1，0)的距離與到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)(1，0)距離之差為距離之差為2， 則則P點(diǎn)的軌跡方程是點(diǎn)的軌跡方程是_.的軌跡方程是的軌跡方程是則圓心則圓心相內(nèi)切相內(nèi)切同時(shí)與圓同時(shí)與圓外切

9、外切與圓與圓一動(dòng)圓一動(dòng)圓如圖如圖PyxNyxMP,100)3(:,4)3(:,2222 2.15105-5-10-30-20-1010PNABM.,)0 , 3(,64)3(22的的軌軌跡跡方方程程求求動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)為為垂垂足足的的交交點(diǎn)點(diǎn)為為的的中中垂垂線線和和直直線線線線段段上上的的一一個(gè)個(gè)動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)為為圓圓為為一一定定點(diǎn)點(diǎn)的的方方程程為為已已知知圓圓PNPAMMBAMByxA 3.【練習(xí)練習(xí)3】) 1(0 xy1362722yx15105-5-10-30-20-1010PNABM,:PBPM 由由已已知知可可得得解解.,)0 , 3(,64)3(22的的軌軌跡跡方方程程求求動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)為為垂垂足足的

10、的交交點(diǎn)點(diǎn)為為的的中中垂垂線線和和直直線線線線段段上上的的一一個(gè)個(gè)動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)為為圓圓為為一一定定點(diǎn)點(diǎn)的的方方程程為為已已知知圓圓PNPAMMBAMByxA 6, 4 ABAM又又為為焦焦點(diǎn)點(diǎn)的的橢橢圓圓的的軌軌跡跡是是以以點(diǎn)點(diǎn)BAP,)0(12222 babyax設(shè)設(shè)橢橢圓圓的的方方程程為為62 , 82: ca由題意得由題意得171622 yxP的的軌軌跡跡方方程程為為點(diǎn)點(diǎn)AMPAPM 且且ABPBPAPMPA 8734222 b【練習(xí)練習(xí)3】第第3題題15105-5-10-15-20-101020PNABM【練習(xí)練習(xí)3】第第3題題-變式變式.,)0 , 3(,16)3(22的的軌軌跡跡方方程

11、程求求動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)為為垂垂足足的的交交點(diǎn)點(diǎn)為為的的中中垂垂線線和和直直線線線線段段上上的的一一個(gè)個(gè)動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)為為圓圓為為一一定定點(diǎn)點(diǎn)的的方方程程為為已已知知圓圓PNPAMMBAMByxA 16.,)0 , 3(,16)3(22的的軌軌跡跡方方程程求求動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)為為垂垂足足的的交交點(diǎn)點(diǎn)為為的的中中垂垂線線和和直直線線線線段段上上的的一一個(gè)個(gè)動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)為為圓圓為為一一定定點(diǎn)點(diǎn)的的方方程程為為已已知知圓圓PNPAMMBAMByxA 16【練習(xí)練習(xí)3】第第3題題-變式變式,:PBPM 由已知可得由已知可得解解15105-5-10-15-20-101020PNABM6, 4 ABAM又又64 PAPBPAPM為為

12、焦焦點(diǎn)點(diǎn)的的雙雙曲曲線線的的左左支支的的軌軌跡跡是是以以點(diǎn)點(diǎn)BAP,)0, 0( 12222 babyax設(shè)雙曲線的方程為設(shè)雙曲線的方程為62 , 42: ca由題意得由題意得523222 b)2(15422 xyxP的的軌軌跡跡方方程程為為點(diǎn)點(diǎn)AMPAPM 且且AMPAPM 且且ABPAPBPAPM 48. (能力題能力題,中中)設(shè)設(shè)Q是圓是圓C:(x+1)2+y2=16上的動(dòng)點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn),另有另有A(1,0),線段線段AQ的垂直平分線交直線的垂直平分線交直線CQ于點(diǎn)于點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)點(diǎn)P的軌跡方的軌跡方程是程是_.22xy143解析解析:設(shè)設(shè)P(x,y),點(diǎn)點(diǎn)P是

13、線段是線段AQ垂直平分線上的一點(diǎn)垂直平分線上的一點(diǎn),|PA|=|PQ|,|PA|+|PC|=|PC|+|PQ|=42,點(diǎn)點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)A C為焦點(diǎn)的橢圓為焦點(diǎn)的橢圓,且且a=2,c=1,b2=3,點(diǎn)點(diǎn)P的軌跡方程為的軌跡方程為 .22xy143222222212222212例 ：求下列動(dòng)圓圓心M的軌跡(1)與圓C:(x+2) +y =4內(nèi)切,且過點(diǎn)A(2,0);（2）與圓C:x +(y-1) =1和圓C :x +(y+1) =4都外切;(3)與圓C:(x+3) +y =9外切,且與圓C :(x-3) +y =1內(nèi)切.22:(1)1(1)()3yxx 解左支2243(2):41()

14、()34xyy上支且在兩圓外部22(3)1(2).45xyx方法：利用雙曲線的定義求軌跡方程題目中的條件有明顯的等量關(guān)系，或者可以利用平題目中的條件有明顯的等量關(guān)系，或者可以利用平面幾何知識(shí)推出等量關(guān)系，列出含動(dòng)點(diǎn)面幾何知識(shí)推出等量關(guān)系，列出含動(dòng)點(diǎn)P（x,y）的解析式的解析式. .一、直接法一、直接法例例3如圖，設(shè)點(diǎn)如圖，設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為的坐標(biāo)分別為(-5,0)，(5,0).直直線線AM,BM相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為，且它們的斜率之積為 ,求求M的軌跡方程的軌跡方程.49ABMyOx方法方法3：直接法：直接法,:,.C. 1F 1 0l x1 PPlQQP QFFP FQP

15、 典例 已知點(diǎn)直線為坐標(biāo)平面上的動(dòng)點(diǎn) 過 作直線 的垂線 垂足為點(diǎn)且求動(dòng)點(diǎn) 的軌跡方程,Q1,y ,(, ),(, )2,y .:4x.2P x yQP QFFP FQx1 02yx1 yC y 【解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)則由得化簡(jiǎn)得【例題例題1 1】.,259,),05(),05(的的軌軌跡跡方方程程求求頂頂點(diǎn)點(diǎn)于于所所在在直直線線的的斜斜率率之之積積等等邊邊，的的兩兩個(gè)個(gè)頂頂點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)分分別別是是CBCACBAABC 則有則有的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為解：設(shè)頂點(diǎn)解：設(shè)頂點(diǎn)),(yxC5,5 xykxykBCAC25955 xyxy由由題題意意知知092525922 yx化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)得得192522 yx即即) 5(

16、 x)5( x)5( x2.與圓與圓x2+y2-4x=0外切，且與外切，且與y軸相切的動(dòng)圓圓心軸相切的動(dòng)圓圓心 的軌跡方程是的軌跡方程是_.y2=8x(x0)或或y=0(x0)1.已知一曲線是與兩個(gè)定點(diǎn)已知一曲線是與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0)、A(3,0)距離的比為距離的比為 1:2的點(diǎn)的軌跡的點(diǎn)的軌跡,則此曲線的方程是則此曲線的方程是_.22(1)4xyPABxyo解：設(shè)動(dòng)圓圓心為解：設(shè)動(dòng)圓圓心為P(x,y).由題，得由題，得即即 -4x+y2=4|x|得動(dòng)圓圓心的軌跡方程為得動(dòng)圓圓心的軌跡方程為 y=0(x0)【練習(xí)練習(xí)】2222221(1)42(3)xyxyxy平方化簡(jiǎn)得:9. (經(jīng)典題經(jīng)典題

17、,中中)ABC的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)B(-1,0),C(2,0)若若ACB=2ABC,則頂點(diǎn)則頂點(diǎn)A的軌跡方程為的軌跡方程為_.()22yx1 x13二、待定系數(shù)法二、待定系數(shù)法題目已知曲線類型題目已知曲線類型,正確設(shè)出曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程正確設(shè)出曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后結(jié)合問題的條件然后結(jié)合問題的條件,建立參數(shù)建立參數(shù)a,b,c,p 滿足的滿足的等式等式,求得其值求得其值,再代入所設(shè)方程再代入所設(shè)方程.1、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸，且軸，且經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)P（-6，-3），則拋物線方程為），則拋物線方程為_212xy 【練習(xí)練習(xí)2】._412736222則雙曲線方程為則

18、雙曲線方程為線的實(shí)軸長(zhǎng)為線的實(shí)軸長(zhǎng)為且雙曲且雙曲有共同的焦點(diǎn)有共同的焦點(diǎn)、設(shè)雙曲線與橢圓、設(shè)雙曲線與橢圓，yx 15422yx四、代入法（相關(guān)點(diǎn)法）四、代入法（相關(guān)點(diǎn)法） 當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)很明顯地依賴于一已知曲的運(yùn)動(dòng)很明顯地依賴于一已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)線上的動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)，可利用的運(yùn)動(dòng)時(shí)，可利用代入法代入法，其關(guān)鍵是，其關(guān)鍵是找出兩動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系。找出兩動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系。 設(shè)所求動(dòng)點(diǎn)設(shè)所求動(dòng)點(diǎn) P坐標(biāo)坐標(biāo) (x,y)，再設(shè)與，再設(shè)與P相關(guān)的已相關(guān)的已知點(diǎn)坐標(biāo)為知點(diǎn)坐標(biāo)為Q(x0,y0)，找出，找出P.Q之間的坐標(biāo)關(guān)系，之間的坐標(biāo)關(guān)系，并表示為并表示為x0=f(x),y0=f(y)，根

19、據(jù)點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)規(guī)律得的運(yùn)動(dòng)規(guī)律得出關(guān)于出關(guān)于x0,y0的關(guān)系式的關(guān)系式,把把x0=f(x),y0=f(y)代入關(guān)系式代入關(guān)系式中中,即得所求軌跡方程即得所求軌跡方程.講授新課講授新課例例1.yx. 2的軌跡中點(diǎn)，求線段線段軸作垂向從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)半徑為心為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖，已知一個(gè)圓的圓MPPPPxP例例2、如圖，在圓、如圖，在圓 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)，過點(diǎn)P作作x軸的垂線段軸的垂線段PD，D為垂足。當(dāng)點(diǎn)為垂足。當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段線段PD的中點(diǎn)的中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？的軌跡是什么？為什么？224yx分析：點(diǎn)分析：點(diǎn)P在圓在圓 上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)

20、引的運(yùn)動(dòng)引 起點(diǎn)起點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)。224yx解：設(shè)點(diǎn)解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x,y)，點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x0,y0)，則，則 x=x0,y=y0/2.因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)P (x0,y0)在圓在圓 上，所以上，所以把把x0=x,y0=2y代入方程代入方程(1)，得，得即即 所以點(diǎn)所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓。的軌跡是一個(gè)橢圓。22400yx224yx2244yx2214xy此法實(shí)際上是利用中間此法實(shí)際上是利用中間變量變量x0,y0求軌跡方程求軌跡方程【例題例題4】.)0 , 6(,191622連連線線的的中中點(diǎn)點(diǎn)的的軌軌跡跡方方程程求求它它與與定定點(diǎn)點(diǎn)上上移移動(dòng)動(dòng)一一動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)在在橢橢圓圓Myx

21、 【練習(xí)練習(xí)4】2.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-4-3-2-11234PNOM的的軌軌跡跡方方程程。的的中中點(diǎn)點(diǎn)為為垂垂足足，求求線線段段，作作垂垂線線段段軸軸向向，從從圓圓上上任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)已已知知圓圓PMNNMNxMyx4. 122 8642-2-4-6-10-5510PBAO.,2. 2的的軌軌跡跡方方程程求求點(diǎn)點(diǎn)且且滿滿足足上上在在點(diǎn)點(diǎn)軸軸上上滑滑動(dòng)動(dòng)和和軸軸分分別別在在和和兩兩個(gè)個(gè)端端點(diǎn)點(diǎn)長(zhǎng)長(zhǎng)為為線線段段PBPPAABPyxBAaAB 1422 yx222ayx五、參數(shù)法五、參數(shù)法如果軌跡動(dòng)點(diǎn)如果軌跡動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找）的坐標(biāo)之間的關(guān)系不

22、易找到，也沒有相關(guān)點(diǎn)可用時(shí)，可先考慮將到，也沒有相關(guān)點(diǎn)可用時(shí)，可先考慮將x、y用一用一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)來表示，消去參數(shù)得軌跡方程個(gè)或幾個(gè)參數(shù)來表示，消去參數(shù)得軌跡方程.參數(shù)參數(shù)法中常選角、斜率等為參數(shù)法中常選角、斜率等為參數(shù).【例題例題5】 解：解：設(shè)動(dòng)直線方程為：設(shè)動(dòng)直線方程為：y=x+b， 和橢圓方程聯(lián)立得：和橢圓方程聯(lián)立得： x2+4y2-4x=0 y=x+b 5x2+8bx-4x+4b2=0設(shè)中點(diǎn)設(shè)中點(diǎn)M（x，y），），則則 x=（x1+x2)/2=(2-4b)/5,與聯(lián)立消去參數(shù)與聯(lián)立消去參數(shù)b，得：得：x+4y-2=0 （橢圓內(nèi)的一段）（橢圓內(nèi)的一段）傾斜角為傾斜角為45450 0的直

23、線與橢圓的直線與橢圓 交交于于A A、B B兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)，求ABAB中點(diǎn)的軌跡方程。中點(diǎn)的軌跡方程。 xyoAB14)2(22 yx【練習(xí)練習(xí)5】1.過原點(diǎn)的直線與橢圓過原點(diǎn)的直線與橢圓 相交，相交，求求弦中點(diǎn)的軌跡方程。弦中點(diǎn)的軌跡方程。 14)2(22 yx2. 如圖如圖,過點(diǎn)過點(diǎn)A(-3,0)的直線的直線l與曲線與曲線C：x2+2y2=4交于交于A,B兩點(diǎn)兩點(diǎn).作平行四邊形作平行四邊形OBPC，求點(diǎn)，求點(diǎn)P的軌跡。的軌跡。 AoxyBCPoxyMA【練習(xí)練習(xí)5】 解：設(shè)解：設(shè)OA斜率為斜率為k（kR），）， 由由 y=kx x2+4y2-4x=0 得：（得：（1+4k2）x2-4x=0設(shè)

24、中點(diǎn)設(shè)中點(diǎn)M（x，y），則），則 x=（x1+x2）/2=2/（1+4k2） k=y/x 消參數(shù)得：消參數(shù)得： x2+4y2-2x=01.1.過原點(diǎn)的直線與橢圓過原點(diǎn)的直線與橢圓 相交，相交，求求弦中弦中點(diǎn)的軌跡方程。點(diǎn)的軌跡方程。 oxyMA14)2(22 yx2.如圖如圖,過點(diǎn)過點(diǎn)A(-3,0)的直線的直線l與曲線與曲線C：x2+2y2=4交于交于A,B兩點(diǎn)兩點(diǎn).作平行四邊形作平行四邊形OBPC，求點(diǎn)，求點(diǎn)P的軌跡。的軌跡。 AoxyBCPG解法一解法一：利用韋達(dá)定理解法二解法二：點(diǎn)差法 連PO交CB于G.設(shè)P(x,y), G(x0,y0), C(x1,y1),B(x2,y2),則x12+

25、2y12=4x22+2y22=4作差，得(x2-x1) (x2+x1)+ (y2-y1) (y2+y1)=0即x0+y0k=0又k=003yx 解得，x0=2231kk231kky0=x=2261kk261kky=因此消去k,得(x+3)2+y2=9故所求軌跡為(-3,0)為圓心，3為半徑的圓.?【練習(xí)練習(xí)5】,( , ),.,.22yx14M 0 1lA B1OlPOPOAOB2lMP 典例1.設(shè)橢圓方程為過點(diǎn)的直線 交橢圓于點(diǎn) 是坐標(biāo)原點(diǎn) 上的動(dòng)點(diǎn) 滿足當(dāng) 繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí) 求動(dòng)點(diǎn) 的軌跡方程,ykx1.(,), (,),(,),(,),1122211222lM 0 1lklA x yB x yA Bykx1x yx yyx14【解】直線 過點(diǎn)當(dāng) 的斜率存在時(shí)設(shè)其斜率為則 的方程為設(shè)由題設(shè)可得點(diǎn) 的坐標(biāo)是方程組的解,()2kx30,(,)2(,). 221221221212224kx2kxx4k8yy4kxxyy1OPOAOB22k44k4k 將代入并化簡(jiǎn) 得所以于是,ykx1.(,), (,),(,),(,),1122211222lM 0 1