同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式基礎(chǔ)(共5頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上1.3同角三角函數(shù)基本關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.借助單位圓，理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式: ，掌握已知一個(gè)角的三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值的方法；2會(huì)運(yùn)用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系求三角函數(shù)值、化簡(jiǎn)三角式或證明三角恒等式。【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系：(2)商數(shù)關(guān)系：(3)倒數(shù)關(guān)系：，要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對(duì)“任意”一個(gè)角(使得函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都成立；(2)是的簡(jiǎn)寫(xiě)；(3)在應(yīng)用平方關(guān)系時(shí)，常用到平方根，算術(shù)平方根和絕對(duì)值的概念，應(yīng)注意“”的選取。要點(diǎn)二：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形1平方關(guān)系式的變形：

2、，2商數(shù)關(guān)系式的變形?！镜湫屠}】類(lèi)型一：已知某個(gè)三角函數(shù)值求其余的三角函數(shù)值例1若，且是第三象限角，求cos，tan的值?！舅悸伏c(diǎn)撥】由求，可利用公式，同時(shí)要注意角所在的象限?！敬鸢浮?【解析】 ，是第三象限，?！究偨Y(jié)升華】解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵在于充分借助已知角的三角函數(shù)值，縮小角的范圍。在解答過(guò)程中如果角所在象限已知，則另兩個(gè)三角函數(shù)值結(jié)果唯一；若角所在象限不確定，則應(yīng)分類(lèi)討論，有兩種結(jié)果，需特別注意：若已知三角函數(shù)值以字母a給出，應(yīng)就所在象限討論。舉一反三：【變式1】已知，求cos，tan的值?！窘馕觥恳?yàn)椋允堑谌虻谒南笙藿?。由sin2+cos2=1得。當(dāng)是第三象限角時(shí)，cos0，于

3、是，從而；當(dāng)是第四象限角時(shí)，cos0，于是，從而。類(lèi)型二：利用同角關(guān)系求值例2已知：求：（1）的值；（2）的值；（3）的值；（4）及的值【思路點(diǎn)撥】同角三角函數(shù)基本關(guān)系是反映了各種三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，為三角函數(shù)式的恒等變形提供了工具與方法。【答案】（1）（2）（3）0（4）或【解析】（1）由已知 （2）（3）（4）由，解得或【總結(jié)升華】本題給出了及三者之間的關(guān)系，三者知一求二，在求解的過(guò)程中關(guān)鍵是利用了這個(gè)隱含條件。舉一反三：【變式1】已知，求下列各式的值：（1）tan+cot；（2）sin3cos3?！窘馕觥?由兩邊平方得。（1）。（2） 。例3已知：，求：（1）；（2）；（3）。【解析

4、】（1）原式=（2）原式=（3）原式= = =【總結(jié)升華】已知tan的值，求關(guān)于sin、cos的齊次式的值問(wèn)題如（1）、（2）題，cos0，所以可用cosn（nN*）除之，將被求式轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan的表示式，可整體代入tan=m的值，從而完成被求式的求值；在（3）題中，求形如a sin2+b sincos+c cos2的值，注意將分母的1化為1=sin2+cos2代入，轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan的表達(dá)式后再求值。舉一反三：【變式1】（2015春 甘肅會(huì)寧縣期中）已知（1）求sin和cos的值；（2）求的值【解析】（1），是第一或第三象限角，當(dāng)是第一象限角時(shí)，結(jié)合，有；當(dāng)是第三象限角時(shí)，結(jié)合，有；（2），原

5、式 類(lèi)型三：利用同角關(guān)系化簡(jiǎn)三角函數(shù)式例4（2015秋 湖北青山區(qū)期末）（1）化簡(jiǎn)：；（2）已知為第二象限角，化簡(jiǎn)【思路點(diǎn)撥】（1）根號(hào)下利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系變形，再利用二次根式的化簡(jiǎn)公式化簡(jiǎn)，約分即可得到結(jié)果；（2）根號(hào)中的式子分子分母乘以分子，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二次根式的化簡(jiǎn)公式計(jì)算，約分后計(jì)算即可得到結(jié)果【答案】（1）1；（2）【解析】（1）020°45°，cos20°0，sin20°cos20°0，則原式；（2）為第二象限角，cos0，sin0，則原式 舉一反三：【變式1】化簡(jiǎn)（1）； （2）；【答案】（1）1（2）

6、【解析】（1）原式=（2）原式=類(lèi)型四：利用同角關(guān)系證明三角恒等式例5求證：（1）；（2）?！舅悸伏c(diǎn)撥】利用同角三角函數(shù)關(guān)系式對(duì)式子的左邊或右邊進(jìn)行化簡(jiǎn)，使之與式子的另一邊相同?！咀C明】（1）左邊 =右邊，原等式成立。（2）左邊 =右邊，原等式成立?！究偨Y(jié)升華】（1）在三角式的化簡(jiǎn)中，常?！盎袨橄摇?，以減少函數(shù)種類(lèi)。（2）三角恒等式的證明方法靈活多變，因題而異，要細(xì)心觀察兩邊的差異，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，本題也可從右到左證明。舉一反三：【變式】求證：.【解析】證法一：由題意知，所以.左邊=右邊.原式成立.證法二：由題意知，所以.又，.證法三：由題意知，所以.，.【鞏固練習(xí)】1.下面四個(gè)命題中可能

7、成立的一個(gè)是（）A.B.sin=0且cos=1C.tan=1且cos=1D.在第二象限時(shí)，tan=2若，則m的值為（ ）A0 B8 C0或8 D3m93若，則使成立的的取值范圍是( )A、 B、 C、 D、4若，且是第二象限角，則tan的值等于（ ）A B C D5（2015 呼和浩特一模）已知，則（ ）A B C D6已知sincos =,則cossin的值等于（ ） A± B± C D7若，則的值是（ ）A B C2 D28若是方程的兩根，則的值為（ ） ABCD9若，則 ；10化簡(jiǎn)：_11化簡(jiǎn)：sin6+cos6+3sin2cos2=_12（2015 上海）已知，是第

8、二象限角，那么tan=_13（2015秋 三峽區(qū)期中）（1）設(shè)a0，角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3a，4a），求sin+2cos的值；（2）已知，求的值14已知，求和的值.15sin、cos是方程8x2+6mx+2m+1=0的兩根，且為第三象限角，若存在滿足題意的m，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由【答案與解析】1.【答案】B 【解析】由sin2+cos2=1 可得A不正確根據(jù)tan=1，可得 sin=cos=或，故C不正確由tan=，故D不正確，所以只有B正確2【答案】C 【解析】 sin2+cos2=14m232m=0，m=0或m=83. 【答案】D【解析】4 【答案】A 【解析】，且為第二象限角，5【答案】D【解析】，原式故選：D6【答案】B7【答案】A 【解析】設(shè)，8【答案】B9【答案】；(在一象限時(shí)取正號(hào)，在三象限時(shí)取負(fù)號(hào)) 10【答案】sin 【解析】原式11【答案】1 【解析】令sin2=m，cos2=n，則m+n=1原式=m3+n3+3mn=(m+n)(m2+n2mn)+3mn=(m+n)23mn+3mn=112【答案】【解析】 ，是第二象限角，即，cos0，sin0，即sin