集合與函數(shù)復(fù)習(xí)（Word）

1、集合與函數(shù)復(fù)習(xí)一、集合（一）集合的有關(guān)概念 1.一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素（element），一些元素組成的總體叫集合，也簡稱集。 2.關(guān)于集合的元素的特征 （1）確定性：給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了。  如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）?！爸袊糯拇蟀l(fā)明” （造紙，印刷，火藥，指南針）可以構(gòu)成集合，其元素具有確定性；而“比較大 的數(shù)”，“平面點(diǎn)P周圍的點(diǎn)”一般不構(gòu)成集合，因?yàn)榻M成它的元素是不確定的. （2）互異性：一個(gè)集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重復(fù)

2、出現(xiàn)的。.      如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示為 1, 2,而不是1,1, 2（3）無序性：即集合中的元素?zé)o順序,可以任意排列、調(diào)換。3.集合相等：構(gòu)成兩個(gè)集合的元素完全一樣。4. 元素與集合的關(guān)系：(元素與集合的關(guān)系有“屬于”及“不屬于”兩種) 若a是集合A中的元素，則稱a屬于集合A，記作aA； 若a不是集合A的元素，則稱a不屬于集合A，記作5.常用的數(shù)集及記法： 非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N； 正整數(shù)集，記作N*或N+； N內(nèi)排除0的集. 整數(shù)集，記作Z；&

3、#160; 有理數(shù)集，記作Q；    實(shí)數(shù)集，記作R；6集合與元素的字母表示： 集合通常用大寫的拉丁字母A，B，C表示，集合的元素用小寫的拉丁字母a,b,c,表示。注：（1）自然數(shù)集與非負(fù)整數(shù)集是相同的，也就是說，自然數(shù)集包括數(shù)0 （2）非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集記作N*或N+ Q、Z、R等其它數(shù)集內(nèi)排除0的集，也是這樣表示，例如，整數(shù)集內(nèi)排除0的集，表示成Z*  例：由實(shí)數(shù)-a, a, a,a2, -5a3為元素組成的集合中,最多有幾個(gè)元素?集合中有3個(gè)元素時(shí)，a為何值？ 二、

4、集合的表示方法1 / 30提示：特征+豎線+條件限制=描述法3） 語言描述法：例：不是直角三角形的三角形 4） Venn圖: 4、集合的分類： (1) 有限集   含有有限個(gè)元素的集合 (2) 無限集   含有無限個(gè)元素的集合 (3) 空集     不含任何元素的集合 2.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第二象限的點(diǎn)組成的集合是( )A x,y且 B (x,y) C. (x,y) D. x

5、,y且3.已知全集，集合和的關(guān)系的韋恩（Venn）圖如圖所示，則陰影部分所示的集合的元素共有( )A. 3個(gè) B. 2個(gè) C. 1個(gè) D. 無窮多個(gè)三、集合間的基本關(guān)系一般的，一個(gè)集合元素若為n個(gè)，則其子集數(shù)為2n個(gè)，其真子集個(gè)數(shù)為2n-1個(gè)，2n-2個(gè)非空真子集；特別的空集的子集個(gè)數(shù)為1，真子集個(gè)數(shù)為0例1AA ，A ，AB= ，BA= ，AA ，A ，ABBA。例2給出下列六個(gè)關(guān)系：（1）（2）（3）（4）（5）（6）其中正確的是 Ì變式訓(xùn)練：已知集合，則集合A、B、C之間的關(guān)系是 例3設(shè)，集合，則 例4. （2010遼寧理）1.已知A，B均為集合U=1,3,5,7,9的子集，且

6、AB=3,BA=9,則A=（ ） A1,3 B3,7,9 C3,5,9 D3,9例5. 四、集合的基本運(yùn)算例.（2013年高考安徽（文）已知,則（）ABCD二、函數(shù)（一）函數(shù)的概念函數(shù)：設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作=，A。其中叫自變量，的取值范圍A叫做函數(shù)=的定義域；與的值相對應(yīng)的的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合|A，叫做函數(shù)=的值域。函數(shù)符號(hào)=表示“是的函數(shù)”，有時(shí)簡記作函數(shù)。函數(shù)的三要素：對應(yīng)法則、定義域A、值域|A注：只有當(dāng)這三要素完全相同時(shí)，兩個(gè)函數(shù)才能稱為同

7、一函數(shù)。映射：設(shè)是兩個(gè)非空的集合,如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系,使對于集合中的任意一個(gè)元素,在集合中都有唯一確定的元素與之對應(yīng),那么就稱對應(yīng)為從集合到集合的一個(gè)映射.如果集合中的元素對應(yīng)集合中元素,那么集合中的元素叫集合中元素的原象,集合中元素叫合中的元素的象.映射概念的理解(1)映射包含三個(gè)要素:原像集合A,像集合B(或B的子集)以及從集合A到集合B的對應(yīng)法則.兩個(gè)集合A,B可以是數(shù)集,也可以是點(diǎn)集或其他集合.對應(yīng)法則可用文字表述,也可以用符號(hào)表示.映射是一種特殊的對應(yīng)關(guān)系,它具有:(1)方向性:映射是有次序的,一般地從A到B的映射與從B到A的映射是不同的;(2)任意性:集合A中的任意一個(gè)元素

8、都有像,但不要求B中的每一個(gè)元素都有原像;(3)唯一性:集合A中元素的像是唯一的,即不允許“一對多”,但可以“多對一”.函數(shù)與映射的關(guān)系 函數(shù)是一種特殊的映射.映射與函數(shù)概念間的關(guān)系可由下表給出.映射函數(shù)集合A,B可為任何集合,其元素可以是物,人,數(shù)等函數(shù)的定義域和值域均為非空的數(shù)集對于集合A中任一元素,在集合B中都有唯一確定的像對函數(shù)的定義域中每一個(gè),值域中都有唯一確定的值與之對應(yīng)對集合B中任一元素,在集合A中不一定有原像對值域中每一個(gè)函數(shù)值,在定義域中都有確定的自變量的值與之對應(yīng)函數(shù)是特殊的映射,映射是函數(shù)的推廣.例1已知，是從定義域A到值域B的一個(gè)函數(shù)，求。注意（1）函數(shù)實(shí)際上就是集合A

9、到集合B的一個(gè)特殊對應(yīng)：AB。這里A，B為非空的數(shù)集。（2）A：定義域，原象的集合；|A：值域，象的集合，其中|AÍB；：對應(yīng)法則，A，B（3）函數(shù)符號(hào)：=，是的函數(shù)，簡記回顧已學(xué)函數(shù)的定義域和值域：1、一次函數(shù)=(0)：定義域，值域2、反比例函數(shù)=(0)：定義域|0，值域y | y03、二次函數(shù)=2(0)：定義域，值域：當(dāng)0時(shí)，|；當(dāng)0時(shí)，|。區(qū)間的概念設(shè)、是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且，我們規(guī)定：（1）滿足不等式的實(shí)數(shù)的集合叫做閉區(qū)間，表示為,；（2）滿足不等式的實(shí)數(shù)的集合叫做開區(qū)間，表示為（,）；（3）滿足不等式或者的實(shí)數(shù)的集合叫做半開半閉區(qū)間，表示為、；（4）實(shí)數(shù)集可以用區(qū)間表示為（,）；

10、滿足不等式，的實(shí)數(shù)的集合可以分別表示為,，（,），（,，（,）。注意注意集合與區(qū)間之間的關(guān)系：區(qū)間是數(shù)集，表示區(qū)間端點(diǎn)的兩個(gè)實(shí)數(shù)不能相等，但數(shù)集中不等式兩端的兩個(gè)實(shí)數(shù)可以相等，如。例1下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（ ）.A. B. C. D. 變式訓(xùn)練：下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x相同的函數(shù)是 （ ）A.y= B.y=()2 C.y=lg10x D.y=例2.設(shè)集合M=|02，N=|02，從M到N有4種對應(yīng)如下圖所示： 其中能表示為M到N的函數(shù)關(guān)系的有 。例3.函數(shù)的定義域是（ ）A B C D（二）函數(shù)的表示法與分段函數(shù)函數(shù)圖象的基本方法畫法（列表、描點(diǎn)、作圖.） （1）解析法：把

11、兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，用一個(gè)等式來表示，這個(gè)等式叫做函數(shù)的解析表達(dá)式，簡稱解析式。 說明：解析式法的優(yōu)點(diǎn)是：函數(shù)關(guān)系清楚，容易從自變量的值求出其對應(yīng)的函數(shù)值，便于用解析式來研究函數(shù)的性質(zhì)； 中學(xué)里研究的主要是用解析式表示的函數(shù)。 以下是我國1992年-1998年的國內(nèi)生產(chǎn)總值（單位：億元）根據(jù)我們學(xué)習(xí)的函數(shù)的概念，我們知道年份與生產(chǎn)總值之間構(gòu)成了函數(shù)。而我們僅僅是通過一個(gè)圖表就知道生產(chǎn)總值與年份之間的關(guān)系，像這種函數(shù)的表示法，我們稱為列表法。 （2）列表法：列出表格來表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式。例如：數(shù)學(xué)用表中的平方表、平方根表、三角函數(shù)表，以及銀行里常用的

12、“利息表”。 說明：列表法的優(yōu)點(diǎn)是：不必通過計(jì)算就知道當(dāng)自變量取某些值時(shí)函數(shù)的對應(yīng)值。（3）圖象法：用函數(shù)圖象表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系。例如：氣象臺(tái)應(yīng)用自動(dòng)記錄器，描繪溫度隨時(shí)間變化的曲線就是用圖象法表示函數(shù)關(guān)系的。（見課本P53頁圖2-2 我國人口出生變化曲線）說明：圖象法的優(yōu)點(diǎn)是能直觀形象地表示出函數(shù)的變化情況。另外，在初中我們還學(xué)習(xí)了一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)的圖像。像這種用圖像來表示函數(shù)的方法叫做圖像法。注意：函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等等；解析法：必須注明函數(shù)的定義域；圖象法：是否連線；列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征例1

13、.（2007山東高考樣題,文）向高為H的水瓶中注水,注滿為止,如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖1-2-2-5所示,那么水瓶的形狀是( )圖1-2-2-5 圖1-2-2-6例2.作出分段函數(shù)的圖像（三）求解析式A、練習(xí)1若函數(shù)滿足，則= 。 2.已知，則= 3. 若是一次函數(shù)，且，則= _。 B、方法介紹1、函數(shù)的解析式表示函數(shù)與自變量之間的一種對應(yīng)關(guān)系，是函數(shù)與自變量建立聯(lián)系的一座橋梁，其一般形式是yf（x），不能把它寫成f（x，y）0；2、求函數(shù)解析式一般要寫出定義域，但若定義域與由解析式所確定的自變量的范圍一致時(shí)，可以不標(biāo)出定義域；一般地，我們可以在求解函數(shù)解析式的過程中確保恒等變

14、形；3、求函數(shù)解析式的一般方法有：（1）直接法：根據(jù)題給條件，合理設(shè)置變量，尋找或構(gòu)造變量之間的等量關(guān)系，列出等式，解出y。（2）待定系數(shù)法：若明確了函數(shù)的類型，可以設(shè)出其一般形式，然后代值求出參數(shù)的值；（3）換元法：若給出了復(fù)合函數(shù)fg（x）的表達(dá)式，求f（x）的表達(dá)式時(shí)可以令tg（x），以換元法解之；（4）構(gòu)造方程組法：若給出f（x）和f（x），或f（x）和f（1/x）的一個(gè)方程，則可以x代換x（或1/x），構(gòu)造出另一個(gè)方程，解此方程組，消去f（x）（或f（1/x）即可求出f（x）的表達(dá)式；（5）根據(jù)實(shí)際問題求函數(shù)解析式：設(shè)定或選取自變量與因變量后，尋找或構(gòu)造它們之間的等量關(guān)系，列出等式，

15、解出y的表達(dá)式；要注意，此時(shí)函數(shù)的定義域除了由解析式限定外，還受其實(shí)際意義限定。（一）待定系數(shù)法：在已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí)，可用待定系數(shù)法。例1 設(shè)是一次函數(shù)，且，求 二、配湊法：已知復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式，求的解析式，的表達(dá)式容易配成的運(yùn)算形式時(shí)，常用配湊法。但要注意所求函數(shù)的定義域不是原復(fù)合函數(shù)的定義域，而是的值域。 例 2 已知 ，求 的解析式三、換元法：已知復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，還可以用換元法求的解析式。與配湊法一樣，要注意所換元的定義域的變化。例3 已知，求四、代入法：求已知函數(shù)關(guān)于某點(diǎn)或者某條直線的對稱函數(shù)時(shí)，一般用代入法。例4已知：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，求的解析式解：設(shè)為上任一點(diǎn)，且為關(guān)

16、于點(diǎn)的對稱點(diǎn) 五、構(gòu)造方程組法：若已知的函數(shù)關(guān)系較為抽象簡約，則可以對變量進(jìn)行置換，設(shè)法構(gòu)造方程組，通過解方程組求得函數(shù)解析式。例5 設(shè)求2.問題:變換法畫函數(shù)的圖象都有哪些?解答:變換法畫函數(shù)的圖象有三類:1.平移變換:(1)將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移a(a>0)個(gè)單位得函數(shù)y=f(x+a)的圖象;(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移a(a>0)個(gè)單位得函數(shù)y=f(x-a)的圖象;(3)將函數(shù)y=f(x)的圖象向上平移b(b>0)個(gè)單位得函數(shù)y=f(x)+b的圖象;(4)將函數(shù)y=f(x)的圖象向下平移b(b>0)個(gè)單位得函數(shù)y=f(x)-b的圖象.簡記為“左

17、加(+)右減(-),上加(+)下減(-)”.2.對稱變換:(1)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f(-x)的圖象關(guān)于直線x=0即y軸對稱;(2)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=-f(x)的圖象關(guān)于直線x=0即x軸對稱;(3)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=-f(-x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.3.翻折變換:(1)函數(shù)y=|f(x)|的圖象可以將函數(shù)y=f(x)的圖象位于x軸下方部分沿x軸翻折到x軸上方,去掉原x軸下方部分,并保留y=f(x)的x軸上方部分即可得到.(2)函數(shù)y=f(|x|)的圖象可以將函數(shù)y=f(x)的圖象y軸右邊部分翻折到y(tǒng)軸左邊替代原y軸左邊部分并保留y=f(x)在y軸右邊部分圖象即可得到.函數(shù)的

18、圖象是對函數(shù)關(guān)系的一種直觀、形象的表示,可以直觀地顯示出函數(shù)的變化狀況及其特性,它是研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)的重要參考,也是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想研究和運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ).另一方面,函數(shù)的一些特性又能指導(dǎo)作圖,函數(shù)與圖象是同一事物的兩個(gè)方面,是函數(shù)的不同表現(xiàn)形式.函數(shù)的圖象可以比喻成人的相片,觀察函數(shù)的圖象可以解決研究其性質(zhì),當(dāng)然,也可以由函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)圖象的特點(diǎn).借助函數(shù)的圖象來解決函數(shù)問題,函數(shù)的圖象問題是高考的熱點(diǎn)之一,應(yīng)引起重視.（四）函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)周期：對于定義域內(nèi)的每一個(gè)，都存在非零常數(shù)，使得恒成立，則稱函數(shù)具有周期性，叫做的一個(gè)周期，則（）也是的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫的最小正周期.一般

19、所說的周期是指函數(shù)的最小正周期 周期函數(shù)的定義域一定是無限集例如：求的周期 1. 常見函數(shù)周期:y=sinx，最小正周期T2； y=cosx，最小正周期T2； y=tanx，最小正周期T； y=cotx，最小正周期T.周期函數(shù)f(x) 最小正周期為T,則y=Af(x+)+k 的最小正周期為T/|.2.幾種特殊的抽象函數(shù)的周期：函數(shù)滿足對定義域內(nèi)任一實(shí)數(shù)（其中為常數(shù)）, ，則是以為周期的周期函數(shù)； ，則是以為周期的周期函數(shù)；，則是以為周期的周期函數(shù)； ，則是以為周期的周期函數(shù)；，則是以為周期的周期函數(shù).，則是以為周期的周期函數(shù).，則是以為周期的周期函數(shù).函數(shù)滿足（），若為奇函數(shù)，則其周期為，若為

20、偶函數(shù)，則其周期為.3. 用對稱性與周期性的關(guān)系：若的圖象有兩條對稱軸和，則必為周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期；若的圖象有兩個(gè)對稱中心和，則是一個(gè)以為周期的周期函數(shù)；若的圖象有一個(gè)對稱軸和一個(gè)對稱中心，則是一個(gè)以為周期的周期函數(shù)。定理：若函數(shù)在R上滿足，且（其中），則函數(shù)以為周期.定理：若函數(shù)在R上滿足，且（其中），則函數(shù)以為周期.定理：若函數(shù)在R上滿足，且（其中），則函數(shù)以為周期.主要方法：判斷一個(gè)函數(shù)是否是周期函數(shù)要抓住兩點(diǎn)：一是對定義域中任意的恒有; 二是能找到適合這一等式的非零常數(shù)，一般來說，周期函數(shù)的定義域均為無限集.解決周期函數(shù)問題時(shí)，要注意靈活運(yùn)用以上結(jié)論，同時(shí)要重視數(shù)形結(jié)合思想方法

21、的運(yùn)用，還要注意根據(jù)所要解決的問題的特征來進(jìn)行賦值。周期性主要運(yùn)用在三角函數(shù)及抽象函數(shù)中，是化歸思想的重要手段。3.歸納：求周期的重要方法：定義法；公式法；圖象法；利用重要結(jié)論：若函數(shù)f(x)滿足f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)，ab，則T=2|a-b|例1：已知函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)x,都有f(xm)f(x),求證:2m是f(x)的一個(gè)周期變式訓(xùn)練：設(shè)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則等于 ( )A . 0.5 B. C. 1.5 D. 答例2 定義在R上的函數(shù)f（x）滿足，且當(dāng)時(shí)，求當(dāng)時(shí)，f(x)的函數(shù)解析式奇偶性： 定義 圖像特點(diǎn)  偶函數(shù)： 如果

22、函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)  關(guān)于y軸對稱 奇函數(shù) 如果函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)  關(guān)于原點(diǎn)對稱（探究：奇、偶函數(shù)的定義域有何特點(diǎn)？若函數(shù)f(x)具有奇偶性，則f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，反之，若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)無奇偶性。）奇、偶函數(shù)的性質(zhì) 1、奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反。 2、在公共定義域內(nèi)， （1）兩個(gè)奇函數(shù)的和函數(shù)是奇函數(shù)，兩個(gè)奇函

23、數(shù)的積函數(shù)是偶函數(shù)。 （2）兩個(gè)偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)是偶函數(shù)。 （3）一個(gè)奇函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)的積函數(shù)是奇函數(shù)。 3、若f(x)是奇函數(shù)且在x=0處有定義，則f(0)=0。 （探究：若f(x)是偶函數(shù)且在x=0處有定義，是否有f(x)=0?）函數(shù)奇偶性的判定 判斷函數(shù)奇偶性的一般方法 （1）首先確定函數(shù)的定義域，看其是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，否則，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。 （2）若定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則可用下述方法進(jìn)行判斷： 定義判斷： =等價(jià)形式判斷：（3）對于分段函數(shù)的奇偶性的判斷應(yīng)分段進(jìn)行。例2判斷下列函

24、數(shù)的奇偶性：1） 2） 變式訓(xùn)練1：已知函數(shù)定義在R上，且對一切實(shí)數(shù)都有，且.求證：，且是偶函數(shù)；變式訓(xùn)練2：設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（1） 當(dāng)時(shí)，求的解析式；（2） 若，試判斷在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論函數(shù)單調(diào)性的定義：如果函數(shù) 對區(qū)間D內(nèi)的任意，當(dāng)時(shí)都有，則在D內(nèi)是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)都有，則在D內(nèi)時(shí)減函數(shù)。2設(shè)，那么在是增函數(shù)；在是減函數(shù)。3復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷：同增異減4判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法有：（1）用定義；（2）用已知函數(shù)的單調(diào)性；（3）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； （4）單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)法；（5）圖象法；（6）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性結(jié)論等 說明：單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)

25、區(qū)間就談不上單調(diào)性對于某個(gè)具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以是整個(gè)定義域(如一次函數(shù))，可以是定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù))函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號(hào)、定論復(fù)合函數(shù)單調(diào)性按照“同增異減”的法則來判定對于y=f(g（x）)型的復(fù)合函數(shù)，我們令t=g（x），則可以把它看成由y=f（t）和t=g（x）復(fù)合而成的，若他們的單調(diào)性相同，則復(fù)合后的函數(shù)為增函數(shù)，若他們的單調(diào)性相反，則復(fù)合后的函數(shù)為減函數(shù)（即同增異減）例1函數(shù)f(x)對任意的a、bR,都有f(a+b)=f(a)+f(

26、b)-1,并且當(dāng)x0時(shí)，f(x)1.（1）求證：f(x)是R上的增函數(shù)；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.小結(jié)與拓展：判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的基本方法是定義法，關(guān)鍵是根據(jù)條件判斷的符號(hào)，需要設(shè)法構(gòu)造出的因式。變式訓(xùn)練：已知定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，（1）求的值；（2）判斷的單調(diào)性；（3）若，解不等式。課后作業(yè)：1.函數(shù)的定義域是( )A. B. C. D. 2.函數(shù)是單調(diào)函數(shù)時(shí)，的取值范圍（  ）  A   B C   D 3.如果偶函數(shù)在具有最大值，那么該函數(shù)在有（  ）  A最大值  B最小值 C

27、沒有最大值 D 沒有最小值4.定義在R上的偶函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上為遞增，則（ ）  A    B  C    D5.函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，則的遞增區(qū)間是（  ）A  B C  D6.函數(shù)y = f (x)的圖象如右圖所示，命題: 函數(shù)y = f (x)的定義域是；函數(shù)y = f (x)的值域是；函數(shù)y = f (x)在定義域內(nèi)是增函數(shù)；函數(shù)y = f (x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)。其中正確命題的序號(hào)是 . 7.已知定義在上的單調(diào)函數(shù)滿足：存在實(shí)數(shù)，使得對于任意實(shí)數(shù)，總有恒成立，則（i） （ii）的值為 8. 求

28、下列函數(shù)的值域： (3) (4)9.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： 10. 判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明你的結(jié)論11.設(shè)函數(shù)判斷它的奇偶性并且求證：12.已知函數(shù),且.（）求的定義域；（）判斷的奇偶性并予以證明；（）當(dāng)時(shí)，求使的的取值范圍. 函數(shù)值域的求法:(常用方法加粗,重要方法加粗斜體)一觀察法 通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。 例1求函數(shù)y=3+(23x) 的值域。 練習(xí)：求函數(shù)y=x(0x5)的值域。二反函數(shù)法 當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時(shí)，則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。 例2求函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的值域。 點(diǎn)撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域。 解：顯

29、然函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的反函數(shù)為:x=(12y)/（y1）,其定義域?yàn)閥1的實(shí)數(shù),故函數(shù)y的值域?yàn)閥y1,yR。 點(diǎn)評：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。 練習(xí)：求函數(shù)y=(10x+10-x)/(10x10-x)的值域。三配方法 當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時(shí),可以利用配方法求函數(shù)值域 例3：求函數(shù)y=(x2+x+2)的值域。 練習(xí)：求函數(shù)y=2x5154x的值域.四判別式法 若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù),可用判別式法求函數(shù)的值域。 例4求函數(shù)y=(2x22x+3)/(

30、x2x+1)的值域。 點(diǎn)撥：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程，應(yīng)用二次方程根的判別式，從而確定出原函數(shù)的值域。 解：將上式化為（y2）x2(y2)x+(y-3)=0 （） 當(dāng)y2時(shí), 當(dāng)y=2時(shí), 練習(xí)：求函數(shù)y=1/(2x23x+1)的值域。五最值法 對于閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間a,b內(nèi)的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)0,且滿足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域。 點(diǎn)撥：根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標(biāo)函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域。 解：3x2

31、+x+10，上述分式不等式與不等式2x2-x-30同解，解之得1x3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得練習(xí)：若x為實(shí)數(shù)，則函數(shù)y=x2+3x-5的值域?yàn)?（ ） A（，） B7， C0，） D5，） 六圖象法 通過觀察函數(shù)的圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域。 例6求函數(shù)y=x+1+(x-2)2 的值域。 點(diǎn)撥：根據(jù)絕對值的意義，去掉符號(hào)后轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，作出其圖象。 解：原函數(shù)化為 點(diǎn)評：分段函數(shù)應(yīng)注意函數(shù)的端點(diǎn)。利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的值域，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。是解決問題的重要方法。 求函數(shù)值域的方法較多，還適應(yīng)通過不等式法、函數(shù)的單調(diào)性、換元法等方法求函數(shù)的值域。七單調(diào)法 利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域。 例7求函數(shù)y=4x1-3x(x1/3)的值域。 點(diǎn)撥：由已知的函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，其定義域?yàn)閤1/3，在此區(qū)間內(nèi)分別討論函數(shù)的增減性，從而確定函數(shù)的值域。 解：設(shè)f(x)=4x,g(x)= 1-3x ,(x1/3),易知它們在定義域內(nèi)為增函數(shù)，從而y=f(x)+g(x)= 4x1-3x 在定義