2019年年普通高考數(shù)學(xué)科一輪復(fù)習(xí)學(xué)案第2講函數(shù)概念與表示.doc

1、2013年普通高考數(shù)學(xué)科一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案第2講 函數(shù)概念與表示一課標(biāo)要求1通過豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此 基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)， 體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用； 了解 構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念；2在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法) 表示函數(shù)；3通過具體實(shí)例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用；4通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意 義；結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義；5學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)。二命題走向函數(shù)

2、是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)， 其中函數(shù)思想是最重要的數(shù)學(xué)思想方法， 函數(shù)問題在歷年 的高考中都占據(jù)相當(dāng)大的比例。從近幾年來看， 對(duì)本部分內(nèi)容的考察形勢穩(wěn)中求變， 向著更靈活的的方向發(fā)展， 對(duì)于函 數(shù)的概念及表示多以下面的形式出現(xiàn)：通過具體問題(幾何問題、 實(shí)際應(yīng)用題)找出變量間 的函數(shù)關(guān)系，再求出函數(shù)的定義域、值域，進(jìn)而研究函數(shù)性質(zhì)，尋求問題的結(jié)果。高考對(duì)函數(shù)概念與表示考察是以選擇或填空為主，以解答題形式出現(xiàn)的可能性相對(duì)較 小，本節(jié)知識(shí)作為工具和其他知識(shí)結(jié)合起來命題的可能性依然很大。預(yù)測 2013 年高考對(duì)本節(jié)的考察是：1題型是 1 個(gè)選擇和 1 個(gè)填空； 2熱點(diǎn)是函數(shù)概念及函數(shù)的工具作用，以中等難

3、度、題型新穎的試題綜合考察函數(shù)成 為新的熱點(diǎn)。三要點(diǎn)精講1函數(shù)的概念：設(shè) A、B 是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合 A 中的任意一個(gè)數(shù) X,在集合 B 中都有唯一確定的數(shù) f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱 f： ATB 為從集合 A 到集合 B 的一個(gè)函數(shù)。記作：y=f(x), x Ao其中，x 叫做自變量，x 的取值范圍 A 叫做函數(shù)的定義域； 與 x 的值相對(duì)應(yīng)的 y 值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合 f(x)| x A 叫做函數(shù)的值域。注意： ( 1)“y= f(x) ”是函數(shù)符號(hào),可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”；(2) 函數(shù)符號(hào) y=f(x)中的 f(x)表示與 x

4、 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，一個(gè)數(shù)，而不是 f 乘 X。 2構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域( 1)解決一切函數(shù)問題必須認(rèn)真確定該函數(shù)的定義域,函數(shù)的定義域包含三種形式：1自然型：指函數(shù)的解析式有意義的自變量 x 的取值范圍(如：分式函數(shù)的分母不為零,偶次根式函數(shù)的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù),等等)；2限制型：指命題的條件或人為對(duì)自變量 x 的限制,這是函數(shù)學(xué)習(xí)中重點(diǎn),往往也是 難點(diǎn),因?yàn)橛袝r(shí)這種限制比較隱蔽,容易犯錯(cuò)誤；3實(shí)際型：解決函數(shù)的綜合問題與應(yīng)用問題時(shí)，應(yīng)認(rèn)真考察自變量x 的實(shí)際意義。(2)求函數(shù)的值域是比較困難的數(shù)學(xué)問題,中學(xué)數(shù)學(xué)要求能用初等方法求一些簡單函數(shù)的值域問題。

5、配方法(將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)) ； 判別式法(將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程) ； 不2013 年普通高考數(shù)學(xué)科精品復(fù)習(xí)資料 第 1 頁 共 13 頁2013 年普通高考數(shù)學(xué)科精品復(fù)習(xí)資料第2頁共 13 頁等式法(運(yùn)用不等式的各種性質(zhì))；函數(shù)法(運(yùn)用基本函數(shù)性質(zhì)，或抓住函數(shù)的單調(diào)性、 函數(shù)圖象等)。3 兩個(gè)函數(shù)的相等：函數(shù)的定義含有三個(gè)要素，即定義域 A、值域 C 和對(duì)應(yīng)法則 f。當(dāng)函數(shù)的定義域及從定 義域到值域的對(duì)應(yīng)法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定。因此，定義域和對(duì)應(yīng)法則為函 數(shù)的兩個(gè)基本條件，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才是同一個(gè)函數(shù)。4. 區(qū)間(1) 區(qū)間的分類：

6、開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；(2) 無窮區(qū)間；(3)區(qū)間的數(shù)軸表示。5. 映射的概念一般地，設(shè) A、B 是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于集合 A中的任意一個(gè)元素 x,在集合 B 中都有唯一確定的元素 y 與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng) f: AB 為從集合 A到集合 B 的一個(gè)映射。記作 “：ATB ”。函數(shù)是建立在兩個(gè)非空數(shù)集間的一種對(duì)應(yīng)，若將其中的條件非空數(shù)集”弱化為 任意兩個(gè)非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種的對(duì)應(yīng)就叫 映射。注意：(1)這兩個(gè)集合有先后順序，A 到 B 的射與 B 到 A 的映射是截然不同的.其中f表示具體的對(duì)應(yīng)法則，可

7、以用漢字?jǐn)⑹觥?2)都有唯一 ”什么意思？包含兩層意思：一是必有一個(gè)；二是只有一個(gè)，也就是說有且只有一個(gè)的意思。6. 常用的函數(shù)表示法(1) 解析法：就是把兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，用一個(gè)等式來表示，這個(gè)等式叫做函數(shù)的 解析表達(dá)式，簡稱解析式；(2)列表法：就是列出表格來表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系；(3)圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系。7. 分段函數(shù)若一個(gè)函數(shù)的定義域分成了若干個(gè)子區(qū)間，而每個(gè)子區(qū)間的解析式不同，這種函數(shù)又稱分段函數(shù)；&復(fù)合函數(shù)若 y=f(u), u=g(x),x (a, b),u(m,n)，那么 y=fg(x)稱為復(fù)合函數(shù)，u 稱為中間變量， 它的取值范圍是 g(x)的值

8、域。四.典例解析題型 1：函數(shù)概念2, x匸(一處,11(2)設(shè)函數(shù) f(x)=，則滿足 f(x)=的 x 值為_Jog* (1嚴(yán))4解：(1)這是分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)式的變換問題，需要反復(fù)進(jìn)行數(shù)值代換，例 1. (1)設(shè)函數(shù)f (x) = x-3、ff(x+5)(小00), 求 f(89).(x : 100)2013 年普通高考數(shù)學(xué)科精品復(fù)習(xí)資料第3頁共 13 頁f(89) = f(f(94) = f(f(f(99) = f(f(f (f (104) f (f(f (101)2013 年普通高考數(shù)學(xué)科精品復(fù)習(xí)資料第4頁共 13 頁=f (f (98) = f(f(f(103) = f(f(10

9、0) = f(97) = f(f (102) = f (99)=f (f (104) = f (101) =98.(2)當(dāng) x(a,1，值域應(yīng)為1,+9,2當(dāng) x( 1,+ 時(shí)值域應(yīng)為(0,+a), y= , y( 0,+a)411此時(shí) x ( 1 , +a) log81x=, x = 814= 3o4點(diǎn)評(píng)：討論了函數(shù)的解析式的一些常用的變換技巧(賦值、變量代換、換元等等)，這都是函數(shù)學(xué)習(xí)的常用基本功。變式題：設(shè)I2exv2,f(X)二2則 f (f (2)的值為( )log3(x -1),x _2.A 0B 1C. 2D. 3解：選項(xiàng)為 Co例 2 (1)函數(shù)1f x對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿足條件f

10、 X 2二，右f 1-5,則fxf f 5 =_；1(2)函數(shù)f x對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿足條件f x 2，若f 1二-5,則f(X)f f 5二_ 。1 1解：(1)由f x 2得f x 4f (x)，f(x)f(x+2)所以f(5)=f(1) = 5，則f f 5ij=f(-5) = f (-1)=1 1由f x応得fx，所以f(5)=f(1)5，點(diǎn)評(píng)：通過對(duì)抽象函數(shù)的限制條件，變量換元得到函數(shù)解析式， 考察學(xué)生的邏輯思維能力。題型二：判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同1f (T 2)f (-1)二1f (T 2)2013 年普通高考數(shù)學(xué)科精品復(fù)習(xí)資料第5頁共 13 頁例 3 試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函

11、數(shù)?2013 年普通高考數(shù)學(xué)科精品復(fù)習(xí)資料第6頁共 13 頁(1) f (X)= . X2, g (X)=3x3；(3) f (x) =2nx2n 1, g (x) = (2nJx)2nT(n N*);(4)f (x) =、.x、x 1, g (x) =. x2x;(5)f(x)=x?2x1,g(t)=t?2t1o解：(1)由于 f(x) =#X2=|x|, g ( x) =3：X3=x,故它們的值域及對(duì)應(yīng)法則都不相同， 所以它們不是同一函數(shù)；Ix|1x30,(2) 由于函數(shù) f(x)=11的定義域?yàn)?一8,0)U(0,+8),而 g (x)= Jx-1 xcO;的定義域?yàn)?R，所以它們不是同

12、一函數(shù)；(3) 由于當(dāng) n N*時(shí)，2n1 為奇數(shù)，二f(x) =2n1Jx2n*=x, g (x) = (2n)2n 1=X,它們的定義域、值域及對(duì)應(yīng)法則都相同， 所以它們是同一函數(shù)；(4)由于函數(shù) f (x) = , x , x1的定義域?yàn)閤|x 0,而 g (x) = . x2x的定義域?yàn)閄|XW1 或 x 0它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù)；(5) 函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù)。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于兩個(gè)函數(shù) y=f (x)和 y=g (x),當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則都 相同時(shí)，y=f(x)和 y=g (x)才表示同一函數(shù) 若兩個(gè)函數(shù)表示同一函數(shù)，則它們

13、的圖象完 全相同，反之亦然。(1)第(5)小題易錯(cuò)判斷成它們是不同的函數(shù)，原因是對(duì)函數(shù)的概念理解不透要知道，在函數(shù)的定義域及對(duì)應(yīng)法則f 不變的條件下，自變量變換字母，以至變換成其他字母的表達(dá)式，這對(duì)于函數(shù)本身并無影響，比如f (x) =x2+1 , f (t) =t2+1, f (u+1) = (u+1)2+1都可視為同一函數(shù)。(2)對(duì)于兩個(gè)函數(shù)來講， 只要函數(shù)的三要素中有一要素不相同，則這兩 個(gè)函數(shù)就不可能是同一函數(shù)。題型三：函數(shù)定義域問題例 4 求下述函數(shù)的定義域：(2) f(x)=兇,g1 X3 0,-1 x cO;(1)2x - x2ig(2x-1)(3_2x)0；2013 年普通高考

14、數(shù)學(xué)科精品復(fù)習(xí)資料第7頁共 13 頁(2)f(x)二lg(xka) lg(x2a2).2013 年普通高考數(shù)學(xué)科精品復(fù)習(xí)資料第8頁共 13 頁02x 1 0i33解: （1）；，解得函數(shù)定義域?yàn)椋?1） （1,） （,2.2x-仃12223 -2x =0 ka（2）寫22，（先對(duì) a 進(jìn)行分類討論，然后對(duì) k 進(jìn)行分類討論）x a當(dāng) a=0（kR）時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋?,：）；x ka當(dāng)a 0時(shí)，得丿x c -a 或 x a1）當(dāng)丿a0時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋╧a,p），k 12）當(dāng)a 時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋╝,址），廠1蘭k 1a A 0i r3）當(dāng):時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋╧a,-a）U（aE；一x a k

15、a當(dāng)a c0時(shí)，得丿/ a 或 x a -a1）當(dāng)產(chǎn)0時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋╧a,母），k -12）當(dāng)產(chǎn)0時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋?a,畑）， 廠1 ck蘭13）當(dāng)F1點(diǎn)評(píng)：在這里只需要根據(jù)解析式有意義，列出不等式，但第（2）小題的解析式中含有參數(shù)，要對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行討論，考察學(xué)生分類討論的能力。例 5 .已知函數(shù)f x定義域?yàn)椋?, 2），求下列函數(shù)的定義域：-.2、丄 ccf(X ) +1(1)f (x ) 23； (2)廠 丿 。/log ,2 - x).2解：(1)由 0vx2v2,得，-, 所師)的定義域加也 Q)U運(yùn)).2013 年普通高考數(shù)學(xué)科精品復(fù)習(xí)資料第9頁共 13 頁由，解應(yīng))o1X

16、J2.所以所求的定義域?yàn)?1血)點(diǎn)評(píng)：本例不給出 f(x )的解析式，即由 f(x)的定義域求函數(shù) fg(x)的定義域*關(guān)鍵在于理 解復(fù)合函數(shù)的意義，用好換元法；求函數(shù)定義域的第三種類型是一些數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題中 產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系，求其定義域，后面還會(huì)涉及到。f (x) =23x-1的定義域是 R，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是()ax2+ ax 3解：(利用函數(shù)的單調(diào)性)函數(shù)y=3x2-x，2在1,3上單調(diào)增，當(dāng)x = 1時(shí)，原函數(shù)有最小值為4；當(dāng)x = 3時(shí)，原函數(shù)有最大值為26 o函數(shù)y =3x2-X 2,1,3的值域?yàn)?,26。(2)求復(fù)合函數(shù)的值域：變式題：已知函數(shù)B.12va0C.12va

17、v0a13解：由 a=0 或丿屮口可得12va1)，則x=,xt -12 2f=lg ， f (x) =lg(x 1) ot -1x 1(3) 設(shè)f (x)二ax b(a = 0),則3f (x 1) -2 f (x-1) =3ax 3a 3b-2ax 2a -2b = ax b 5a = 2x 17,- a = 2,b = 7, f (x) = 2x 7 o1(4)2f(x) f () =3x，x113把中的x換成一，得2f) f(x)，xxx32-得3 f (x) = 6x -,x1- f (x) = 2x _2013 年普通高考數(shù)學(xué)科精品復(fù)習(xí)資料第15頁共 13 頁x點(diǎn)評(píng)：第(1)題用配

18、湊法；第(2)題用換元法；第(3 )題已知一次函數(shù)，可用待定 系數(shù)法；第(4)題用方程組法。例 7已知定義域?yàn)?R 的函數(shù) f(x)滿足 f(f(x) x2+x)=f(x) x2+x。(I)若 f(2)=3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a);(n)設(shè)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)X0,使得 f(X0)= X0。求函數(shù) f(x)的解析表達(dá)式。2013 年普通高考數(shù)學(xué)科精品復(fù)習(xí)資料第16頁共 13 頁解：(I)因?yàn)閷?duì)任意x R,有 f(f(x) x2+ x)=f(x) x2+x,所以 f(f(2) - 22+2)= f(2) - 22+2。又由 f(2)=3，得 f(3 22+2) - 3 22+

19、2，即 f(1)=1。 若 f(0)=a，則 f(a- 02+0)=a- 02+0，即 f(a)=a。(H)因?yàn)閷?duì)任意 x R,有 f(f(x)- x2+x)=f(x)- x2+x。 又因?yàn)橛星抑挥幸粋€(gè)實(shí)數(shù)X。,使得f(xo) - X。所以對(duì)任意 x R,有 f(x) x2+x= xo.。在上式中令 x= xo,有 f(x。) x2+ xo=X。又因?yàn)?f(x。)一 xo,所以 x。一 x0=0，故 xo=O 或 xo=1。2 2右 x=0，貝 y f(x) x +x=0, 即卩 f(x)= x -o但方程 x2-=x 有兩上不同實(shí)根，與題設(shè)條件矛質(zhì)，故X2老。2 2右 X2= 1，則有 f(

20、x) x +x=1，即 f(x)= x -+1。易驗(yàn)證該函數(shù)滿足題設(shè)條件。綜上，所求函數(shù)為 f(x)= X2之+1 ( X R)o點(diǎn)評(píng)：該題的題設(shè)條件是一個(gè)抽象函數(shù)，通過應(yīng)用條件進(jìn)一步縮小函數(shù)的范圍得到函數(shù)的解析式。這需要考生有很深的函數(shù)理論功底。題型六：函數(shù)應(yīng)用例 8 某租賃公司擁有汽車 100 輛當(dāng)每輛車的月租金為 3000 元時(shí)，可全部租出。當(dāng)每 輛車的月租金每增加 50 元時(shí)，未租出的車將會(huì)增加一輛。 租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50 元。(1)當(dāng)每輛車的月租金定為3600 元時(shí)，能租出多少輛車？(2) 當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時(shí)，租賃公司的月收益

21、最大？最大月收益是多少？解：(1)當(dāng)每輛車的月租金定為3600 元時(shí)，未租出的車輛數(shù)為：3600 -3000=12，所以這時(shí)租出了 88 輛車。50(2)設(shè)每輛車的月租金定為x 元，則租賃公司的月收益為：整理得：f( X) =-X2+162X-21000= -1( X- 4050)2+307050。5050所以，當(dāng) x=4050 時(shí)，f (x)最大，其最大值為 f (4050) =307050。即當(dāng)每輛車的月租金定為 4050 元時(shí)，租賃公司的月收益最大，最大收益為307050 元.點(diǎn)評(píng)：根據(jù)實(shí)際問題求函數(shù)表達(dá)式，是應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的基礎(chǔ)，在設(shè)定或選定變量去尋求等量關(guān)系并求得函數(shù)表達(dá)式

22、后，還要注意函數(shù)定義域常受到實(shí)際問題本身的限制。例 9對(duì) 1 個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗，清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為：1_污物質(zhì)量)為0.8，要求清洗完后的清潔度為0.99。有兩種方案可供選擇，物體質(zhì)量(含污物)f (x) = (100 -x - 3000)50(x 150)x - 300050X50,2013 年普通高考數(shù)學(xué)科精品復(fù)習(xí)資料第17頁共 13 頁方案甲：一次清洗；方案乙：分兩次清洗。該物體初次清洗后受殘留水等因素影響，其質(zhì)量2013 年普通高考數(shù)學(xué)科精品復(fù)習(xí)資料第18頁共 13 頁變?yōu)閍(乞a乞3)。設(shè)用x單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是x 0.8(x . a -

23、1)，用y單x+1位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是y-ac,其中c(0.8 :：c :：0.99)是該物體初次清洗后y + a的清潔度。(I)分別求出方案甲以及c二0.95時(shí)方案乙的用水量，并比較哪一種方案用水量較少；(n)若采用方案乙，當(dāng)a為某固定值時(shí)，如何安排初次與第二次清洗的用水量， 使總用 水量最?。坎⒂懻揳取不同數(shù)值時(shí)對(duì)最少總用水量多少的影響。解：(I)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x 與 Z。由題設(shè)有x 0.8=0.99，解得 x=19。x+1由c =0.95得方案乙初次用水量為3,第二次用水量 y 滿足方程：y 0.95a=0.99,解得 y=4a,故 z=4a+3.即兩種方案的

24、用水量分y +a別為 19 與 4a+3。因?yàn)楫?dāng)1乞a乞3時(shí)，x-z = 4(4-a) 0,即x z,故方案乙的用水量較少。(II)設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為x與y，類似(I)得5c_4 x,y=a(99 -100c)(*)5(1 -c)5c -41于是x y+a(99-100c)100a(1-c)-a-15(1c)5(1c)當(dāng)8為定值時(shí)，x + y A 2 J1x100a(1 -c)一a-1 =a + 5-1,5(1-c)1 1此時(shí)c = 1(不合題意，舍去)或 c =1(0.8,0.99),10、5a10、5a/ 1故c =1-時(shí)總用水量最少，10j5a此時(shí)第一次與第二次用水量分別為2. 5 -1與2 5 - a,當(dāng)且僅當(dāng)15(1 -c)=100a(1 -c)時(shí)等號(hào)成立。將c =1 -代入(*)式得x=2.5a -1a -1, y = 2、5a - a.2013 年普通高考數(shù)學(xué)科精品復(fù)習(xí)資料第19頁共 13 頁T(a)二-a 4. 5a -1o當(dāng)仁a乞3 時(shí),T(a