期中復習3推理與證明

1、一、知識點梳理:1、合情推理：歸納推理和類比推理歸納推理：根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì)，推出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理，叫做歸納推理。歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理。歸納推理的一般步驟： 對有限的資料進行觀察、分析、歸納 整理； 提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想； 檢驗猜想。類比推理：根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似（或一致）性，推測其中一類事物具有與另一類事物類似（或相同）的性質(zhì)的推理，叫做類比推理（簡稱類比）。類比推理是一種從特殊到特殊的推理。類比推理的一般步驟：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命

2、題（猜想）；（3）一般地，事物之間的各個性質(zhì)之間并不是孤立存在的，而是相互制約的。如果兩個事物在某些性質(zhì)上相同或類似，那么它們在另一些性質(zhì)上也可能相同或類似，類比的結(jié)論可能是真的；（4）在一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間越相關(guān)，那么類比得出的命題就越可靠。合情推理所得的結(jié)論只是一種猜測，它可能是正確的，可能是錯誤的。若有反例則猜測錯誤，若正確則需邏輯證明。2、演繹推理：演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、定理、公理等），按照嚴格的邏輯法則得到新結(jié)論的過程.,演繹推理是由一般到特殊的推理.演繹推理的一般模式-“三段論”大前提-已知的一般原理，因為，M是P小

3、前提-所研究的特殊情況，因為，S是M結(jié)論 -據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷. 所以，S是P演繹推理所得到的結(jié)論必是正確的。3、數(shù)學證明大法：（1）綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結(jié)論成立的一種證法.綜合法的思維特點是：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論。（2）分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.分析法的思維特點是：執(zhí)果索因，一步一步尋求結(jié)論成立的充分條件，其邏輯特征是步步逆推；（3）反證法：

4、假設原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立一種證明方法。反證法的步驟：1)假設命題的結(jié)論不成立，即假設結(jié)論的反面成立；2)從這個假設出發(fā)，通過推理論證，得出矛盾；3)由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。（4）數(shù)學歸納法：對一個與正自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題(1)證明：當n取第一個值n0結(jié)論正確；(2)假設當n=k(kN*，且kn0)時結(jié)論正確，證明當n=k+1時結(jié)論也正確.由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確常用于證明不完全歸納法推測所得命題的正確性的證明。4、其它數(shù)學證法：（1）放縮法.（2）函數(shù)單調(diào)性法（3）構(gòu)造法：構(gòu)

5、造函數(shù)、構(gòu)造方程、構(gòu)造二項式、構(gòu)造幾何圖形等（4） “”法（5）數(shù)形結(jié)合法（6）換元法：代數(shù)換元、三角換元（7）分類討論法（8）導數(shù)法法。（9）先猜后證法。等等.二、典例討論：例1：（1）下面給出了關(guān)于復數(shù)的四種類比推理：復數(shù)的加減法運算可以類比多項式的加減法運算法則；由向量a的性質(zhì)|a|2=a2類比得到復數(shù)z的性質(zhì)|z|2=z2；方程有兩個不同實數(shù)根的條件是可以類比得到：方程有兩個不同復數(shù)根的條件是；由向量加法的幾何意義可以類比得到復數(shù)加法的幾何意義. 其中類比錯誤的是 ( )A. B. C. D. 答案：D 。解析：由復數(shù)的性質(zhì)可知。（2）定義的運算分別對應下圖中的(1)、(2)、(3)、

6、(4)，那么下圖中的（A）、（B）所對應的運算結(jié)果可能是 ( ) （1） （2） （3） （4） （A） （B）A.B.C.D.答案：B。 （3）在平面幾何里，可以得出正確結(jié)論：“正三角形的內(nèi)切圓半徑等于這正三角形的高的”。拓展到空間，類比平面幾何的上述結(jié)論，則正四面體的內(nèi)切球半徑等于這個正四面體的高的。答案：。解析：采用解法類比。 （4）在中學數(shù)學中，從特殊到一般，從具體到抽象是常見的一種思維形式。如從指數(shù)函數(shù)中可抽象出的性質(zhì)；從對數(shù)函數(shù)中可抽象出的性質(zhì)。那么從函數(shù)(寫出一個具體函數(shù)即可)可抽象出的性質(zhì)。答案：y=2x。解析：形如函數(shù)y=kx (k0)即可，答案不惟一。（5）利用數(shù)學歸納法證

7、明“”時，從“”變到 “”時，左邊應增乘的因式是 （ ） A B C D 答案：C。（6）命題“關(guān)于x的方程的解是唯一的”的結(jié)論的否定是 （ ） A、無解 B、兩解 C、至少兩解 D、無解或至少兩解答案：D。解析：“否定”必須包括所有的反面情形。例2：(分析法)ABC的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，求證：。答案：證明：要證，即需證。即證。又需證，需證ABC三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列。B=60°。由余弦定理，有，即。成立，命題得證。例3： 已知：；通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一般性的正確的命題.并給出證明。答案：一般形式: 證明：左邊 = = = = = （將一般形式寫成 等均

8、正確。）例4： 請你把不等式“若是正實數(shù)，則有”推廣到一般情形，并證明你的結(jié)論。答案： 推廣的結(jié)論：若 都是正數(shù)，證明： 都是正數(shù) ，例5：已知函數(shù)，滿足條件：；當時，有.(1) 求，的值；(2) 由，的值，猜想的解析式；(3) 證明你猜想的的解析式的正確性.答案：(1)解：，又，. 又，且. (2)解：由，猜想(3)證明：用數(shù)學歸納法證明：當時，猜想正確；假設時，猜想正確，即1°若為正奇數(shù)，則為正偶數(shù)，為正整數(shù)， 2°若為正偶數(shù)，則為正整數(shù)，又，且所以即當時，猜想也正確 由，可知，成立. 作業(yè):1觀察式子：，則可歸納出式子為（ ）A、 B、C、 D、答案：C。解析：用n=

9、2代入選項判斷。2有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線平面，則直線直線”的結(jié)論顯然是錯誤的，這是因為 （ ）答案：A。解析：直線平行于平面,并不平行于平面內(nèi)所有直線。3古希臘數(shù)學家把數(shù)1，3，6，10，15，21，叫做三角數(shù)，它有一定的規(guī)律性，第30個三角數(shù)與第28個三角數(shù)的差為。答案：59。解析：記這一系列三角數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則由歸納猜測，兩式相加得?；蛴桑聹y。4數(shù)列是正項等差數(shù)列，若，則數(shù)列也為等差數(shù)列. 類比上述結(jié)論，寫出正項等比數(shù)列，若=，則數(shù)列也為等比數(shù)列.答案：。5“AC,BD是菱形ABCD的對角線，AC,BD互相垂直且平分。

10、”補充以上推理的大前提是。答案：菱形對角線互相垂直且平分。6. 在ABC中，若C=90°，AC=b,BC=a，則ABC的外接圓的半徑，把上面的結(jié)論推廣到空間，寫出相類似的結(jié)論是。答案：本題是“由平面向空間類比”?？紤]到平面中的圖形是一個直角三角形，所以在空間中我們可以選取有3個面兩兩垂直的四面體來考慮。取空間中有三條側(cè)棱兩兩垂直的四面體ABCD，且AB=a，AC=b，AD=c，則此三棱錐的外接球的半徑是。7第一件1顆珠寶, 第二件6顆珠寶, 第三件15顆珠寶, 第四件28顆珠寶,第五件45顆珠寶, 以后每件首飾都在前一件上,按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量的珠寶,使它構(gòu)成更大的正六邊形,依此

11、推斷第6件上應有_顆珠寶;則前件所用珠寶總數(shù)為_顆.(結(jié)果用表示)圖1圖2圖3圖4答案：66, 。解析：利用歸納推理知。8在平面上，我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個角，那么截下的一個直角三角形，按圖所標邊長，由勾股定理有：設想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐OLMN，如果用表示三個側(cè)面面積，表示截面面積，那么你類比得到的結(jié)論是.答案：。9有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎。”乙說：“甲、丙都未獲獎?！北f：“我獲獎了?！倍≌f：“是乙獲獎?！彼奈桓枋值脑捴挥袃删涫菍Φ模瑒t獲獎的歌手是答案

12、：丙。解析：若甲獲獎，則四人說的話全錯，同理可推知乙、丙、丁獲獎情況。10用分析法證明：若a>0，則。答案：證明：要證，只需證。a>0，兩邊均大于零，因此只需證只需證，只需證，只需證，即證，它顯然成立。原不等式成立。11用數(shù)學歸納法證明：（）；（7分）（） ；（7分）答案：（1）可以用數(shù)學歸納法-略（2）當時，左邊（）=右邊，命題正確12設在上是單調(diào)函數(shù).（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）設1，1，且，求證：.答案：（1） 若在上是單調(diào)遞減函數(shù)，則須這樣的實數(shù)a不存在.故在上不可能是單調(diào)遞減函數(shù).若在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則，由于.從而0<a3.（2）方法1：可知在上只能為單調(diào)增函數(shù).若1，則若1矛盾， 故只有成立.方法2：設，兩式相減 得1,u1，13已知橢圓C：具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩點，點P是橢圓C上任意一點，當直線P