模態(tài)分析的技術及應用(共14頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一、模態(tài)測試概述    結構在動力載荷作用下，總要產(chǎn)生一定的振動響應。而結構的振動，常常是結構損壞、環(huán)境惡化，設備的精度或可靠性降低等工程事故的主要原因。因此，研究結構的動力特性和動力強度，已日益成為結構設計的重要課題。    結構的動力特性主要取決于它的各階固有頻率、主振型和阻尼比等。這些參數(shù)也就是所謂的模態(tài)參數(shù)。如果已經(jīng)有了結構的實物圖或設計圖紙，并掌握所有材料的力學性能數(shù)據(jù)，那么原則上可以用有限元分析等數(shù)值計算方法求出結構的模態(tài)參數(shù)。然而，由于諸方面的原因，例如：非線性因素，材料的不

2、均勻性，阻尼機理的復雜性，在加上構件與構件、整機與基礎的連接剛度難以確定等，使有限元計算的準確性（甚至于可能性）受到限制。    在本世紀六、七十年代發(fā)展起來的現(xiàn)代模態(tài)試驗分析技術彌補了有限元分析技術的某些不足。模態(tài)試驗分析與有限元分析的相互結合及相互補充，在結構優(yōu)化設計和設備診斷等許多方面，都取得良好的成效。它們已經(jīng)在航天、航空、車輛、船舶、機床、建筑機械、電器設備等工業(yè)部門得到極為廣泛的應用。    若干年來，眾多學者提出的各種模態(tài)參數(shù)識別方法，大體上可分為時域法和頻域法兩類。時域法是一種從時域響應數(shù)據(jù)中直接識

3、別模態(tài)參數(shù)的方法，頻域法則是在測量頻響函數(shù)基礎上，利用最小二乘估計萃取模態(tài)參數(shù)的方法，也有人稱之為機械導納法或傳遞函數(shù)法。本節(jié)將著重討論頻域法，它是目前公認的比較成熟和有效的方法。二、傳遞函數(shù)和頻響函數(shù)1.傳遞函數(shù)和頻響函數(shù)    在電路或控制系統(tǒng)理論中，將輸出量的拉普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換之比定義為傳遞函數(shù)。如果把機械系統(tǒng)的激振力看作輸入量，把振動的位移響應看作輸出量，則機械系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為            

4、0;                                                 

5、0;        （4-54）其中，為復變量，稱為復頻率，其實部和虛部常用符號和表示，即。拉普拉斯變換的定義為                                   

6、;                             （4-55）拉普拉斯變換的主要性質(zhì)有                  

7、0;                                        （4-56）    根據(jù)以上性質(zhì)，對單自由度振動系統(tǒng)的運動微分方程進行拉普拉斯變換，可

8、得                                         （4-57）設初始位移和初始速度均為零，則有      

9、                                                  

10、           （4-58）由此可以得出單自由度系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為                                    

11、;                             （4-59）令方程（4-58）的特征多項式等于零，即                 &#

12、160;                                                 &#

13、160;        （4-60）在小阻尼情況下，由式（4-60）求得的一對共軛復根為                                     

14、;                                      （4-61）和稱為該系統(tǒng)的復頻率，其實部既是系統(tǒng)的衰減指數(shù)，虛部為系統(tǒng)的阻尼固有頻率。    傳遞函數(shù)式（4-5

15、9）可表示為                                               （4-62）式中 

16、60;                                                 

17、60;                             （4-63）稱為留數(shù)。由式（4-62）可知，當或時，趨于無限大，故也稱復頻率和為極點。    前面已指出，線性系統(tǒng)的輸出與輸入的傅立葉變換之比，就是系統(tǒng)的頻響函數(shù)，即    &

18、#160;                                                 &

19、#160;              （4-64）在一定前提條件下，也可以從信號的拉普拉斯變換式中，以置換而求得它的傅立葉變換，因而有                           &

20、#160;                                              （4-65）例如，對單自由度振動系統(tǒng)，將其傳遞函

21、數(shù)式（4-55）的變量用置換，得到它的頻響函數(shù)為                                              

22、                       （4-66）    這與前面簡諧激勵導出的位移導納完全相同。由于頻響函數(shù)和傳遞函數(shù)不僅適用于簡諧激勵，而且適用于任意激勵，可將其理解為廣義上的機械導納。2.傳遞函數(shù)矩陣和頻響函數(shù)矩陣    多自由度系統(tǒng)在任意激勵下的運動方程為  &#

23、160;                                                  &

24、#160;                   （4-67）對方程作拉普拉斯變換，并設所有坐標的初始位移和初始速度均為零，則有                       

25、0;                                          （4-68）其中，和分別為和的拉普拉斯變換。令    

26、0;                                                  

27、60;                （4-69）                                

28、60;                                   （4-70）則方程（4-68）可縮減為            &

29、#160;                                                  

30、           （4-71）或                                      

31、;                                                  

32、;              （4-72）稱為系統(tǒng)的阻抗矩陣或特征矩陣，稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣，對于個自由度系統(tǒng)，均為方陣。的第行第列元素等于系統(tǒng)在坐標的響應函數(shù)與坐標激勵函數(shù)拉普拉斯變換之比，即                      

33、                                               （4-73）如取，則拉普拉斯變換轉化為傅立葉變

34、換，傳遞函數(shù)矩陣轉化為頻響函數(shù)矩陣，這時可得到下列定義式及關系式：                                            

35、60;                         （4-74）                        &#

36、160;                                        （4-75）         &

37、#160;                                                 &

38、#160;            （4-76）                                     

39、                             （4-77）    如前所述，由傅立葉變換給出的頻響函數(shù)與根據(jù)簡諧激勵得到的導納函數(shù)是完全一致的。因此，頻響函數(shù)矩陣也稱為導納函數(shù)矩陣。頻響函數(shù)矩陣中對角線元素、為原點導納或驅動點導納；的非對角線元素，為跨點導納或傳遞導納

40、。    本節(jié)討論的模態(tài)試驗分析，就是建立在一組頻響函數(shù)測量基礎上的模態(tài)參數(shù)識別技術。關于傳遞函數(shù)矩陣和頻響函數(shù)矩陣的性質(zhì)，下文還要進一步討論。三、實模態(tài)的頻響函數(shù)和模態(tài)參數(shù)1.實模態(tài)的模態(tài)參數(shù)    由前節(jié)分析，一個自由度的線性系統(tǒng)，有個無阻尼固有頻率和相應的個模態(tài)振型。個模態(tài)振型可綜合為一個模態(tài)振型矩陣                 

41、0;           模態(tài)振型對質(zhì)量矩陣和剛度矩陣滿足下面形式的加權正交關系：                                  

42、                                   （4-78）               

43、;                                                  

44、;     （4-79）并且有                                           &#

45、160;                                      （4-80）和分別稱為模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度。    在比例粘性阻尼情況下，阻尼矩陣為常數(shù)），有下面的正交關系

46、：                                                  

47、;                    （4-81）稱為模態(tài)阻力系數(shù)。    有時用模態(tài)衰減系數(shù)或模態(tài)阻尼比表征系統(tǒng)的阻尼特性，有                    

48、;                                                  

49、0;   （4-82）                                             

50、0;                            （4-83）系統(tǒng)第階阻尼固有頻率與無阻尼固有頻率的關系為                  

51、;                                              （4-84）通常稱為系統(tǒng)的模態(tài)頻率。 

52、0;  、（或、）統(tǒng)稱為系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。我們說，一個自由度的機械系統(tǒng)，有個模態(tài)，就是指它有組模態(tài)參數(shù)。下標，表示模態(tài)的階次。上述分析中，這些模態(tài)參數(shù)全都是實數(shù)，故稱為實模態(tài)。2.實模態(tài)情況下的頻響函數(shù)    自由度系統(tǒng)的頻響函數(shù)可由其運動方程                         

53、;          按簡諧激勵或任意激勵的傅立葉變換式導出，現(xiàn)取前者，即取                                   &#

54、160;                                  代入式（4-67），可得             &#

55、160;                                                 &#

56、160;      （4-85）通過模態(tài)分析方法，即引進一模態(tài)坐標向量                                        

57、                                （4-86）顯然有                 &#

58、160;              且                                   &

59、#160;                                                 &

60、#160;         （4-87）將式（4-87）代入式（4-85），并左乘，根據(jù)正交關系式（4-78）、（4-79）、（4-81），可得到個解耦的方程                             &#

61、160;                     （4-88）其中                            

62、;                                                  

63、;                             （4-89）這里，為模態(tài)坐標，為響應的復數(shù)振幅，為對應第階模態(tài)的激振力分量的復數(shù)力幅。    與的比值，稱為系統(tǒng)的第階模態(tài)導納，或第階模態(tài)頻響函數(shù)，用表示，即    &#

64、160;                                               （4-90）以模態(tài)導納為對角

65、線元素的對角矩陣稱為模態(tài)導納矩陣，即                                               

66、       （4-91）由式（4-88）可知，                                        &

67、#160;                        （4-92）前節(jié)給出                        &#

68、160;                                                 &#

69、160;                         （4-93）可見，導納函數(shù)矩陣，即頻響函數(shù)矩陣，與模態(tài)導納矩陣之間滿足下面關系：                 

70、0;                                                 

71、0;    （4-94）也即                                             &

72、#160;                                               （4-96）或  

73、;                                                  

74、;                                         （4-97）    可見，系統(tǒng)的任一頻響函數(shù)均可表示為其各階模態(tài)導

75、納的線性和。四、復模態(tài)的傳遞函數(shù)和模態(tài)參數(shù)    上一節(jié)討論的實模態(tài)，適用于無阻尼系統(tǒng)或比例粘性阻尼系統(tǒng)。對于更一般的非比例粘性阻尼系統(tǒng)，宜采用下面的復模態(tài)理論進行研究。1.復頻率、復振型    上節(jié)曾給出自由度系統(tǒng)運動方程的拉普拉斯變換式                       &#

76、160;           對自由振動情況，有                                     

77、;                                        （4-98）其特征方程式的展開式是復變量的次多項式。令，可求得方程（4 -87）的個特征根。在小阻尼情況下，它們是對共

78、軛復根，即                                                 &

79、#160;          （4-99）將、代入方程（4-97），可求得相應的個特征向量、，它們滿足方程                                 

80、0;                            （4-100）與的對應元素均為共軛復數(shù)。    和稱為系統(tǒng)的復頻率。實際上它包含了有關阻尼的參數(shù)（第階模態(tài)衰減指數(shù)）和有關頻率的參數(shù)（第階模態(tài)頻率）。    、稱為系統(tǒng)的復振型向量

81、或復模態(tài)向量。實振型與復振型的差別在于：前者意味著系統(tǒng)的所有質(zhì)點在振動過程中保持同相或反向；后者表明各質(zhì)點在振動過程中形成復雜相位關系。2.復模態(tài)情況下的模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度和模態(tài)阻力系數(shù)    在復模態(tài)情況下，不可以簡單的套用實模態(tài)關系式（4-78）、（4-79）和（4-81）求得系統(tǒng)的模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度和模態(tài)阻力系數(shù)。實際上，復振型之間的正交關系與實振型之間的正交關系并不相同，先推證如下：              

82、;                                                  

83、;    （4-101）                                             

84、60;                      （4-102）式（4-101）左乘，注意到、為對稱矩陣可得                       

85、60;                                        （4-103）         &

86、#160;                                                 &

87、#160;    （4-104）兩式相減，得                                            

88、;            （4-105）當時，式（4-105）成立必有                                   

89、                     （4-106）式（4-103）乘以，式（4-104）乘以后，兩式再相減，當時，約去公因子，可得                      

90、                                         （4-107）式（4-106）和（4-107）即是復振型的兩個正交關系式。   

91、0;如果讓兩個正交關系式中，等于，則有， ，由此可得                                             

92、;                            （4-108）                     

93、60;                                                   （4-109）因此，在復模態(tài)情況下我們可以按下面的關系定義模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度和模態(tài)阻力系數(shù)：                         &#