高中物理競賽-質(zhì)點的運動

1、專題專題1 1 質(zhì)點運動學質(zhì)點運動學知識與方法知識與方法 三、兩平面運動曲線的交點的運動三、兩平面運動曲線的交點的運動一、運動分解的任意性一、運動分解的任意性二、曲率半徑的物理求法二、曲率半徑的物理求法一、運動分解的任意性一、運動分解的任意性12rrr12vvv12aaa不限于正交分解，更不限于沿水平、豎直方向的正交分解不限于正交分解，更不限于沿水平、豎直方向的正交分解. . 可以可以根據(jù)解題需要沿選定方向分解根據(jù)解題需要沿選定方向分解. .知識與方法知識與方法 運動的分解與合成是不同于參照系變化（運動的分解與合成是不同于參照系變化（KK）對運動描述的伽）對運動描述的伽利略或洛侖茲變換利略或洛

2、侖茲變換, 是在一個參照系中進行的是在一個參照系中進行的. 例例1 足球運動員在球門正前方距離球門足球運動員在球門正前方距離球門S遠處的遠處的O點踢出一球，球從球門高為點踢出一球，球從球門高為h的橫梁的橫梁下邊沿射入球門下邊沿射入球門. 問球以怎樣的角度問球以怎樣的角度 射出，才能使射出的初速度射出，才能使射出的初速度v0最?。孔钚?？OCBSxyh解一解一建立如圖的坐標系，建立如圖的坐標系，則有則有0(cos )svt201(sin)2hvtgt 消去消去t 得：得：2220tan2cosgshsv 進而得：進而得：22022(tan)cosgsvsh2sin2cos2gsshh222.sin

3、(2gshsh）(arctan)hs其中：022v當時， 有最小值.所以所以42將將v0做水平、豎直的正交分解做水平、豎直的正交分解.v0OCBShxyv0 解二解二如圖，建立坐標系如圖，建立坐標系.則有則有將將v0、g均沿均沿x、y方向進行分解方向進行分解.201(cos)( sin )2xvtgt201(sin)( cos )2yvtgt足球到達足球到達B時，時，0,y 所以有所以有22201(cos )( sin )2shvtgt2010(sin)( cos )2vtgt消去消去t 得：得：222022sin(coscossinsin )cosvshg202sinsin(2) sinco

4、svg所以所以220cossin(2)singv022v當時， 有最小值.此時此時111(),2 24211().2 242g22xshOCBShv0 解三解三xy建立如圖的坐標建立如圖的坐標.據(jù)圖中的幾何關(guān)系，據(jù)圖中的幾何關(guān)系，由正弦定理有：由正弦定理有：sinsinsin()BDODOB即即222012sinsinsin()gtv tsh由左邊的等式得：由左邊的等式得：02sinsinvtg將此代入右邊的等式：將此代入右邊的等式：222022sinsinsin()vshg所以所以22220sin2sin() sing shv222sincoscos(2)g sh02v當時， 有最小值.此時

5、此時則則x方向為勻速直線運動，方向為勻速直線運動，y方向為自由落體運動方向為自由落體運動.1()21()2242DOCBShv0Dxy 解四：解四： 例例2 、 彈性小球從高彈性小球從高h處自由落下，落到與水平面成處自由落下，落到與水平面成角的足夠長的斜面上，碰撞角的足夠長的斜面上，碰撞后以同樣大小的速度彈回來后以同樣大小的速度彈回來. （1）、求每個彈回點（第一點和第二點，第二點和第三點，）、求每個彈回點（第一點和第二點，第二點和第三點，第，第n點和第（點和第（n+1）點）間的距離點）間的距離x1-2、x2-3、x3-4、x n-(n+1). （2）、求當斜面以勻速度）、求當斜面以勻速度u沿

6、豎直方向向上運動時的沿豎直方向向上運動時的x1-2的數(shù)值的數(shù)值.解解h小球第一次與斜面相碰（前、后）的速小球第一次與斜面相碰（前、后）的速度大小為度大小為102.vghxyo 則小球在兩個碰點之間的在則小球在兩個碰點之間的在x、y方向的分方向的分運動均是勻變速直線運動運動均是勻變速直線運動.10vgxgyg于是于是1010s2,insinxvvgh1010cos2cos .yvvgh以斜面為參照系以斜面為參照系.建立如圖所示的坐標系建立如圖所示的坐標系.10 xv10yv第一次碰后（第二次碰前）的運動方程為：第一次碰后（第二次碰前）的運動方程為：11010sin( sin )xxxvvg tv

7、gt11010cos( cos )yyyvvg tvgt221101011(sin )( sin )22xxxv tg tvtgt221101011(cos )( cos )22yyyvtg tvtgthxyo10vgxgyg10 xv10yv令令 y 1=0，可得第一與第二次碰撞的時間間隔為，可得第一與第二次碰撞的時間間隔為101 22vtg代入代入x1的計算式后可得的計算式后可得2101 24sinvxg2 2ghg22hg8sinhhxy10vgxgyg10 xv10yv 第二次碰后瞬間的速度大小等于第第二次碰后瞬間的速度大小等于第二次碰前瞬間的速度大小：二次碰前瞬間的速度大?。?020

8、102sin( sin )xvvvgg1020102cos( cos )yvvvgg顯然，顯然，1020,yyvv進而可知每相鄰兩次相碰的時間間隔均相等，進而可知每相鄰兩次相碰的時間間隔均相等，1 222.httg以此類推，以此類推，碰后瞬間在碰后瞬間在y方向的速度大小均相等方向的速度大小均相等.于是于是22 32012xxxvtg t2sin2 2singhgh8 sin8 sinhho可知在每次碰前可知在每次碰前3 2singh2cosgh為為22123 2sin2sin(22hhghggg）12 sin4 sinhh注意：注意：x2-3-x1-2=8hsin ! 會不會每碰一次增加會不會

9、每碰一次增加“ “8hsin ”？hxyo10vgxgyg10 xv10yv小球每一次碰后瞬間的小球每一次碰后瞬間的x方向分速度方向分速度將比前一次增加將比前一次增加2( sin ) 22 2sin .xhg tghgg因而每接連兩次相碰的間距將比相鄰的因而每接連兩次相碰的間距將比相鄰的兩次接連相碰的間距增加兩次接連相碰的間距增加2(2 2sin )(2 2sin ) 28 sin .hghtghhg 所以第所以第n次碰撞與第次碰撞與第(n+1)次碰撞之間的間距為次碰撞之間的間距為(1)8 sin1)8 sinnnxhnh（ 思考思考 能否建立水平方向的能否建立水平方向的 x 坐坐標與豎直方向

10、的標與豎直方向的y 坐標解本題？坐標解本題？能否建立斜面方向的能否建立斜面方向的x坐標坐標與豎直方向的與豎直方向的y坐標求解？坐標求解？（2）、求當斜面以勻速度）、求當斜面以勻速度u沿豎直方向向上運動時沿豎直方向向上運動時的的x1-2的數(shù)值的數(shù)值. 此時，仍以斜面為參照系此時，仍以斜面為參照系. 則小球第一次與斜則小球第一次與斜面相碰時速度大小便由（面相碰時速度大小便由（1）中的）中的v10變成了變成了(v10+u).所以將（所以將（1）中相關(guān)式子中的）中相關(guān)式子中的v0代換為（代換為（v0+u），），能得到對應(yīng)的結(jié)果能得到對應(yīng)的結(jié)果.便便于是于是2101 24sinvxg204()sinvu

11、g24( 2)singhug8sin .nh讓質(zhì)點的做某種軌跡為給定的曲線的運動讓質(zhì)點的做某種軌跡為給定的曲線的運動確定質(zhì)點在運動軌跡上各處的確定質(zhì)點在運動軌跡上各處的v和和a心心由向心加速度公式求由向心加速度公式求在選擇質(zhì)點的運動時，盡量考慮如何方便在選擇質(zhì)點的運動時，盡量考慮如何方便 得到曲線各處的得到曲線各處的v和和a心心 二、二、曲率半徑曲率半徑的物理求法的物理求法1、從曲率圓的角度看平面光滑曲線運動的速度和加速度、從曲率圓的角度看平面光滑曲線運動的速度和加速度aaa切心22va 心|dvadt切表示速度大小的變化快慢表示速度大小的變化快慢表示速度方向的變化快慢表示速度方向的變化快慢y

12、op1p1va切切a心心ax2、由物理運動學求曲率半徑思路：、由物理運動學求曲率半徑思路： 例例3 試求橢圓試求橢圓 的頂點處的曲率半徑的頂點處的曲率半徑.22221xyAB解解橢圓的參數(shù)方程為橢圓的參數(shù)方程為 cosxAtsinyBt可以選擇質(zhì)點沿橢圓軌道的運動為：可以選擇質(zhì)點沿橢圓軌道的運動為：在在x方向和方向和y方向的分運動為簡諧振動的運動方向的分運動為簡諧振動的運動.(其簡諧振動方程即為以上橢圓的參數(shù)方程其簡諧振動方程即為以上橢圓的參數(shù)方程)sincos;xyvAtvBt 22cossinxyaAtaBt 于是有于是有在圖中頂點在圖中頂點A處：處：0 xv yvBvB2xaA 0ya

13、2xaaA心xy0ABva心所以所以2Ava心同理可得同理可得2BAB222BA2BA 總是指向輪心但是否總是指向滾輪線的曲率圓圓心？a 例例4 求滾輪線的最高點的曲率半徑和求滾輪線的最高點的曲率半徑和1最低點的曲率半徑最低點的曲率半徑2.解解oPv0為方便計，設(shè)輪子做勻速的純滾動為方便計，設(shè)輪子做勻速的純滾動.設(shè)輪心設(shè)輪心O相對地面的速度為相對地面的速度為v0 . P在最高點處相對于地面的速度大小為在最高點處相對于地面的速度大小為102vv P在最低點處相對于地面的速度大小為在最低點處相對于地面的速度大小為20v 00a 由于，aa0.aaa 故故0aaa則PPP ,Pa Pa設(shè) 點相對地面

14、參照系的加速度為點相對輪心參照系的加速度為 ，oooaa輪邊緣上的任意一點P相對輪心O的線速度為多大？故滾輪線最高處的曲率半徑為oPv0aaaa滾輪線最低處的曲率半徑為滾輪線最低處的曲率半徑為PPP在滾輪線的最高點處和最低點處，在滾輪線的最高點處和最低點處，a正好又是指向該處的曲率圓圓心的，a所以在此兩處的完全用作向心加速度，aaa心故故211va心oooaaaa20vR202024vRvR222va心2000vR總結(jié)總結(jié)此兩題的解法屬于物理運動學的求法此兩題的解法屬于物理運動學的求法; ;曲率半徑還有物理動力學的求法曲率半徑還有物理動力學的求法這將在以后研究這將在以后研究. .三、三、兩運動

15、曲線（包括直線）的交點的運動兩運動曲線（包括直線）的交點的運動注注 意意: 交點并非曲線上的一個固定點，而是兩條曲線相交而成的幾何點交點并非曲線上的一個固定點，而是兩條曲線相交而成的幾何點.兩曲線并非均作平動兩曲線并非均作平動.1、幾種交點的運動情況幾種交點的運動情況Pv2v1（1）直線與直線的交點直線與直線的交點（2）曲線與曲線的交點曲線與曲線的交點（3）直線與曲線的交點直線與曲線的交點2、如何求交點的速度如何求交點的速度Pv1v2決不能決不能 ！12PvvvP（1）、由速度的定義出發(fā)求）、由速度的定義出發(fā)求.（2）、從相對運動出發(fā)求）、從相對運動出發(fā)求.例例5 、如圖，一平面內(nèi)有、如圖，一

16、平面內(nèi)有l(wèi)1、l2兩細桿，相交成兩細桿，相交成角角. 細桿分別以垂直于自身桿長的速度細桿分別以垂直于自身桿長的速度勻速運動勻速運動. 求兩桿的交點求兩桿的交點P相對于紙面的速率相對于紙面的速率.解一解一AB由定義出發(fā)求速度由定義出發(fā)求速度l1l2Pv1v2P2P3設(shè)經(jīng)過時間t, 交點P勻速直線運動至P1處.21csccsc ,PPAPvt1232csccscPPPPPBvt2212122122cos()PPP PPPP P PP在圖中：在圖中：由余弦定理有由余弦定理有所以所以（求出交點相對某一曲線的速度，再疊加上此曲線的速度）（求出交點相對某一曲線的速度，再疊加上此曲線的速度）1P22121

17、22coscscvvvvt 22121 22coscscvvvv1PPPvtP1PPP2 ， P1P2如何求得如何求得P1P ？l1l2Pv1v2P1ABP2P3解二解二由相對運動出發(fā)求速度由相對運動出發(fā)求速度先求出交點相對于桿先求出交點相對于桿l1的速率的速率v1：在圖中：在圖中：1122APPPAP所以所以11APvt 進一步得交點進一步得交點P相對于地面的速率：相對于地面的速率：21csccotv tv t32PPAPcsccotPBAP12cotcscvv22121 22coscscvvvv2211Pvvv22112(cotcsc )vvv 例例6 、 如圖如圖, 在在o-xy平面內(nèi)有

18、一個圓平面內(nèi)有一個圓, 在在y軸上放一根細桿軸上放一根細桿,從從t=0開始開始, 細桿以速度細桿以速度v0朝朝x軸正方向勻速平動軸正方向勻速平動. 試求細桿與第一象限內(nèi)的圓弧的交點的向心加速度與時間試求細桿與第一象限內(nèi)的圓弧的交點的向心加速度與時間t的關(guān)系的關(guān)系.xyOv0解一解一交點的運動方向總是沿圓的切線方向交點的運動方向總是沿圓的切線方向. 設(shè)在設(shè)在t 時刻交點在時刻交點在P點，經(jīng)過小量時間點，經(jīng)過小量時間t，交點由交點由P點運動到點運動到P1點點.P0則則1PPR而121323PPPPP PP2P3當極小時，有122 (cos )2PPR由、消去 ：121,cosPPPP將將22 20

19、cosRv tR代入即得代入即得022 20Pv RvRv t所以所以22022 20.PPv RvaRRv t心（其中（其中 ）0Rv t由速度定義出發(fā)解答由速度定義出發(fā)解答.2 cos()sin22Rsin()sinRR所以所以1121cosPPPPtt，0.cosPvv即PP1xyOv0PP1P2P0P3121cosPPPP如圖，如圖， 在在 PP1P2中，中，11212cosPPPPPPP1PP當 無限趨近于 時，有12coscosPPP11,PPPP于是有于是有如何直接得出如何直接得出121cosPPPPP1P2PxyOv0PP0 解二解二由相對運動出發(fā)解由相對運動出發(fā)解.vPvP3

20、.v設(shè) 為交點相對于細桿的速度則0Pvvv0vv因為，0.Pvvv所以便是以 、 為邊的矩形的對角線所以便有所以便有0cosPvv進一步便可得到交點進一步便可得到交點 P 的向心加速度的向心加速度.v0（3）、兩平面光滑曲線交點速度的最簡求法研究）、兩平面光滑曲線交點速度的最簡求法研究2v1v1l2l21v22v12v11vPv2v1L2L1vP如圖，如圖，L1、L2的交點的交點P相對地面的速度為相對地面的速度為 .Pv121212 vvLLPPP、 分別為 、 上的與交點 重合的點、的速度.分別作分別作L1、L2的切線的切線l1、l2.取與取與L1上的上的P1點一起以速度點一起以速度 運動的

21、參照系，運動的參照系，1v在此參照系中在此參照系中P點以速度點以速度 沿沿l1運動運動. 1v則11Pvvv取與取與L2上的上的P2點一起以速度點一起以速度 運動的參照系，運動的參照系，2v在此參照系中在此參照系中P點以速度點以速度 沿沿l2運動運動. 2v則22Pvvv在地面參照系中沿在地面參照系中沿l1、l2方向分解方向分解 1:v11112vvv在地面參照系中沿在地面參照系中沿l1、l2方向分解方向分解 2:v22122vvv由圖可知由圖可知1221Pvvv重解重解例例5：l1l2Pv1v2121cscvv212cscvv由余弦定理求合：由余弦定理求合：22122112 212cos()

22、Pvvvv vv112vv221vPv22121 22coscsc .vvv v重解重解例例6：xyOv0PP0v0v01001cosvv，所以所以01Pvv進一步便可得到交點進一步便可得到交點 P 的向心加速度的向心加速度.總結(jié)與思考總結(jié)與思考該方法僅局限于光滑平面運動曲線的交點該方法僅局限于光滑平面運動曲線的交點100.v0=.cosv疑難題目研究疑難題目研究 例例7 、 如圖，光滑水平面上兩根剛性細桿如圖，光滑水平面上兩根剛性細桿OM、ON成成15 夾角交于夾角交于O點，小球在點，小球在OM的內(nèi)側(cè)與的內(nèi)側(cè)與O相距相距l(xiāng)=20cm的的P點處，以與點處，以與MO成成30 角方向的初速朝角方向

23、的初速朝ON桿運動，初速度大桿運動，初速度大小為小為v0=10cm/s. 試問小球能否回到試問小球能否回到P處？若能，則須經(jīng)多少時間回到處？若能，則須經(jīng)多少時間回到P處？處？解解小球作的是勻速折線運動小球作的是勻速折線運動.MNPOl300150 而光線經(jīng)鏡面反射后的行進等效而光線經(jīng)鏡面反射后的行進等效于光線沿原入射方向的行進于光線沿原入射方向的行進. 因此光線在兩平面鏡之間的不斷因此光線在兩平面鏡之間的不斷反射可等效為光線沿反射可等效為光線沿PP直線傳播直線傳播. 可將小球的運動類比為光線在平可將小球的運動類比為光線在平面鏡面鏡M、N之間的反射之間的反射.由于4 1560POP ，因此光線能

24、夠沿原路返回到因此光線能夠沿原路返回到P點點.PP090 .PP O所以鏡面反射后的光線的行進可等效處理為在鏡面反射后的光線的行進可等效處理為在虛像空間中光線沿原入射方向的直線行進虛像空間中光線沿原入射方向的直線行進P1MNP2P3P4M NM P2P3P4P3P4P4（1）光線光線1在鏡面在鏡面N的的P1點發(fā)生反射點發(fā)生反射,其其反射光線反射光線2的行進等效于在虛像空間中光的行進等效于在虛像空間中光線線2的行進的行進. 1234233444（2）光線光線2在鏡面在鏡面M的的P2點發(fā)生反射后點發(fā)生反射后得到反射光線得到反射光線3，相應(yīng)地光線，相應(yīng)地光線2在虛鏡面在虛鏡面M 上的上的P2點發(fā)生反

25、射后得到反射光線點發(fā)生反射后得到反射光線3，反射光線反射光線3的行進等效于在虛像空間中的行進等效于在虛像空間中光線光線3的行進的行進.N （3）光線光線3在鏡面在鏡面N的的P3點反射后得到光點反射后得到光線線4，相應(yīng)地光線，相應(yīng)地光線3在虛鏡面在虛鏡面N的的P3點發(fā)點發(fā)生反射得到光線生反射得到光線4，相應(yīng)地光線，相應(yīng)地光線3在虛鏡在虛鏡面面N的的P3點發(fā)生反射得到光線點發(fā)生反射得到光線4，反射，反射光線光線4的行進等效于在虛像空間中光線的行進等效于在虛像空間中光線4的行進的行進. MNPOlP300150P 所以小球從所以小球從P點出發(fā)到又回點出發(fā)到又回到到P點，總的路程即為點，總的路程即為P

26、P=2PP.所經(jīng)歷的時間為所經(jīng)歷的時間為02PPtv002 cos30lv2 3( ) s本題還有另一種常規(guī)解法：本題還有另一種常規(guī)解法：1、看小球多次彈碰后是否會與桿正碰、看小球多次彈碰后是否會與桿正碰2、確定在什么位置正碰、確定在什么位置正碰3、算出所有折線段的總長、算出所有折線段的總長4、計算時間、計算時間但這種解法需解三角形！試一試，看能否用此法解答但這種解法需解三角形！試一試，看能否用此法解答.總結(jié)與思考總結(jié)與思考這種解法的實質(zhì)就是將折線運動等效變?yōu)橹本€運動從而使問題得以簡化這種解法的實質(zhì)就是將折線運動等效變?yōu)橹本€運動從而使問題得以簡化.00022().33CtKTTKTSS（a）（

27、b） 取取t = 0時白色點在時白色點在A位置位置.ABC00011().33BtKTTKT（K=0、1、2、3、）001Tf設(shè)為圓盤轉(zhuǎn)動的周期.解解 例例8 、 圖（圖（a）中的黑色圓盤上有白色點）中的黑色圓盤上有白色點S，盤繞中心軸以，盤繞中心軸以 f0= 50He的頻率旋轉(zhuǎn)，如的頻率旋轉(zhuǎn)，如果用頻率為果用頻率為 f 的頻閃光去照射該盤，在盤上能看到穩(wěn)定地出現(xiàn)如圖（的頻閃光去照射該盤，在盤上能看到穩(wěn)定地出現(xiàn)如圖（b）的三個白色）的三個白色點點. 請算出兩種可能的請算出兩種可能的 f 值，其一大于值，其一大于f0，其二小于，其二小于f0 . 又若取又若取f = 51He，那么在盤上能，那么在

28、盤上能觀察到什么現(xiàn)象？觀察到什么現(xiàn)象？則白點在則白點在B位置的時刻：位置的時刻：（K=0、1、2、3、）白點在白點在C位置的時刻：位置的時刻：120012001200則白點在則白點在A位置的時刻：位置的時刻：0.AtKT（K=0、1、2、3、）（1）若白點在若白點在B處處這要求頻閃周期為這要求頻閃周期為011331ffTK1022(2)3tTKT在時刻頻閃光照亮時：白點在白點在C位置位置.1033(3)3tTKT在時刻頻閃光照亮時：白點在白點在A位置位置.則頻閃光第二次照亮圓盤時：則頻閃光第二次照亮圓盤時：即有即有SS（a）（b）ABC120012001200設(shè)設(shè)t = 0時頻閃光第一次照亮圓

29、盤（即看見白色點在時頻閃光第一次照亮圓盤（即看見白色點在A）.如此重復(fù)，便能在圓盤上到三個穩(wěn)定的白點如此重復(fù)，便能在圓盤上到三個穩(wěn)定的白點.1 0013TK TT（K 1=0、1、2、3、）.101()3KT，頻閃光的頻率還有頻閃光的頻率還有沒有其他可取值？沒有其他可取值？2 001022()33TK TTKT，（b）ABC （2）若頻閃光第二次照亮時，白點在若頻閃光第二次照亮時，白點在C處處 這要求頻閃周期為這要求頻閃周期為（K2=0、1、2、3、）021332ffTK20012(21)3tTKTT在時刻頻閃光照亮時：白點在白點在 B位置位置.203(32)tTKT在時刻頻閃光照亮時：白點在

30、白點在 A位置位置. 綜上可知，頻閃光的可取頻率范圍為：綜上可知，頻閃光的可取頻率范圍為：000013331 :3 , ()4731ffffK（ ），；0000233331 : , ().25832ffffK（ ），其中，大于其中，大于f0 的的 f 有：有：0033(150) (75)2fHefHe，；003(37.5) (30),4fHefHe ，等無窮多. 小于小于f0 的的 f 有：有：如此重復(fù)，便能在圓盤上到三個穩(wěn)定的白點如此重復(fù)，便能在圓盤上到三個穩(wěn)定的白點.即有即有圖（圖（c）A 若若f 稍大于稍大于f0 (如如f =51He)，則，則T 稍小于稍小于T0 ，這意味著白點，這意味

31、著白點在在A位置被照亮后，經(jīng)過時間位置被照亮后，經(jīng)過時間T 順時針將轉(zhuǎn)過大半周（順時針將轉(zhuǎn)過大半周（T/T0周）周）. 白點倒退一周所需的時間為白點倒退一周所需的時間為0001T TTTTTTT退 倒退的頻率為倒退的頻率為0000011151 501He1TTfffffTTTf f退退 這相當于逆時針轉(zhuǎn)過小半周這相當于逆時針轉(zhuǎn)過小半周即（即（1-T/T0 ）周）周又被照亮，又被照亮，故會看見白點逆時針倒退故會看見白點逆時針倒退. 總結(jié)總結(jié) 通過該題知道了：通過該題知道了：為什么看電影時，為什么看電影時，有時看見汽車前有時看見汽車前進進而車輪卻反轉(zhuǎn)？而車輪卻反轉(zhuǎn)？ 例例9 、 如圖，如圖，OAB

32、C是一桌球臺面是一桌球臺面. 取取OA為為 x 軸軸，OC為為y 軸軸，P是紅球，坐標為是紅球，坐標為(x, y), Q是白球，坐標為（是白球，坐標為（x, y ), (圖中未畫出圖中未畫出Q球在臺面上的位置）球在臺面上的位置）. 已知已知OA=BC=25分米，分米，AB=OC=12分米分米. ABCOPQxy(x, y) NM （1）、若）、若P球的坐標為：球的坐標為：x=10分米，分米，y=8分米分米. 問問Q球的位置在什么范圍內(nèi)時，可使擊出的球的位置在什么范圍內(nèi)時，可使擊出的Q球順次與球順次與AB、BC、CO和和OA四壁碰撞反彈，最后擊中四壁碰撞反彈，最后擊中P球？球？ （2）、）、P球

33、有沒有一些位置是球有沒有一些位置是Q球無論在什么位置球無論在什么位置出發(fā)，按上述次序從四壁反彈后都無法擊中的？如出發(fā)，按上述次序從四壁反彈后都無法擊中的？如沒有，加以證明；如有，找出這些位置的范圍沒有，加以證明；如有，找出這些位置的范圍.（白球（白球Q同四壁的碰撞均為彈性碰撞，兩球體積很同四壁的碰撞均為彈性碰撞，兩球體積很小，可看作質(zhì)點小，可看作質(zhì)點.）ABCOPQxy(0,12) (25,12)(25,0)(10,8)給球桌各頂點及紅球的位置標注上坐標給球桌各頂點及紅球的位置標注上坐標(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)（1）1、如果白球?qū)χ?/p>

34、鏡像點、如果白球?qū)χR像點P1擊在擊在OA上就能擊中上就能擊中P；如果白球?qū)χR像點如果白球?qū)χR像點P2擊在擊在CO上就能射向上就能射向P1;如果白球?qū)χR像點如果白球?qū)χR像點P3擊在擊在OC上就能射向上就能射向P2；如果白球?qū)χR像點P4擊在BA上就能射向P3.ABCOPQxy(0,12) (25,12)(25,0)(10,8)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)F 2、為了保證白球能對著、為了保證白球能對著P4點且擊在點且擊在BA上，白球應(yīng)該放在什么區(qū)域？上，白球應(yīng)該放在什么區(qū)域？ 3、白球放在該區(qū)域是否能保證經(jīng)、白球放在該區(qū)域是否能保

35、證經(jīng)BA反彈后能擊在反彈后能擊在BC上？上？ 4、白球是否擊在、白球是否擊在BC上任何地方都能反彈后又擊在上任何地方都能反彈后又擊在CO上？比如放在圖中所示的點處？上？比如放在圖中所示的點處？ABCOPQxy(0,12) （25,12)(25,0)(10,8)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)E 5、白球應(yīng)該對著、白球應(yīng)該對著P3擊在擊在BC上的什么地方才能保證經(jīng)上的什么地方才能保證經(jīng)BC反彈后能擊在反彈后能擊在CO上？上？作直線作直線P2O交交CB于于E點，點， E點坐標為點坐標為(15,12).(15,12)FABCOPQxy(0,12) （25,12)(25,0)(10,8)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)E (15,12)D (25,4) 6、白球應(yīng)該對著、白球應(yīng)該對著P4擊在擊在BA上的什么地方才能保證經(jīng)上的什么地方才能保證經(jīng)BA反彈后能擊在反彈后能擊在EC上