自考高等數(shù)學(xué)一gdsxy07jy0601

1、6.1空間解析幾何基礎(chǔ)知識一、空間直角坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向符合右手系。即以右手握住z軸，當(dāng)右手的四個(gè)手指從正向x軸以角度轉(zhuǎn)向正向y軸時(shí)，大拇指的指向就是z軸的正向?？臻g直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限 空間的點(diǎn)有序數(shù)組（x,y,z）特殊點(diǎn)的表示：坐標(biāo)軸上的點(diǎn)P,Q,R；坐標(biāo)面上的點(diǎn)A，B，C；0（0，0，0）空間兩點(diǎn)間距離公式：特殊地：若兩點(diǎn)分別為M（x,y,z），0（0，0，0）。二、空間中常見圖形的方程1、球面已知球心M0（x0,y0,z0），半徑為R，則對于球面上任意點(diǎn)M（x，y，z），有，稱為球面方程。特別地，以原點(diǎn)為球心，半徑為R的球面方程是。2、平面到兩點(diǎn)等距離的點(diǎn)的軌跡就是這兩點(diǎn)組成線

2、段的垂直平分面。例1、已知A（1，2，3），B（2，-1，4），求線段AB的垂直平分面的方程。【答疑編號11060101】解：設(shè)M（x,y,z）是所求平面上任一點(diǎn)，根據(jù)題意有|MA|=|MB|，化簡得所求方程2x-6y+2z-7=0。 x，y，z的一次方程表示的圖形是一個(gè)平面。3、柱面定義平行于定直線并沿定曲線C移動的直線L所形成的曲面稱為柱面。這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動直線L叫柱面的母線。 柱面舉例4、二次曲面三元二次方程所表示的曲面稱之為二次曲面。（1）橢球面橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線：（2）x2+y2=2pz的圖形是一個(gè)旋轉(zhuǎn)拋物面。 6.2多元函數(shù)的基本概念一、準(zhǔn)備知識1、鄰域設(shè)P0（x

3、0,y0）是xoy平面上的一個(gè)點(diǎn)，是某一正數(shù)，與點(diǎn)P0（x0,y0）距離小于的點(diǎn)P（x,y）的全體，稱為點(diǎn)p0的鄰域，記為U（P0, ）,。 2、區(qū)域平面上的點(diǎn)集稱為開集，如果對任意一點(diǎn)，都有的一個(gè)鄰域。 設(shè)D是開集。如果對于D內(nèi)任何兩點(diǎn)，都可用折線連結(jié)起來且該折線上的點(diǎn)都屬于D，則稱開集D是連通的。 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域。開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域。3、n維空間設(shè)n為取定的一個(gè)自然數(shù)，我們稱n元數(shù)組的全體為n維空間，而每個(gè)n元數(shù)組稱為n維空間中的一個(gè)點(diǎn)，數(shù)xi稱為該點(diǎn)的第i個(gè)坐標(biāo)說明：n維空間的記號為Rn；n維空間中兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)兩點(diǎn)為特殊地當(dāng)n=1，2，3時(shí)，便為數(shù)軸、平面

4、、空間兩點(diǎn)間的距離。二、多元函數(shù)的概念1、多元函數(shù)的定義設(shè)D是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對于每個(gè)點(diǎn)P（x,y）D，變量z按照一定的法則總有確定的值和它對應(yīng)，則稱z是變量x,y的二元函數(shù)，記為z=f（x,y）（或記為z=f（P）.類似地可定義三元及三元以上函數(shù)。當(dāng)n2時(shí)，n元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)。多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、因變量等概念。 例1、求的定義域?！敬鹨删幪?1060102】解：所求定義域?yàn)?2、二元函數(shù)z=f（x,y）的圖形設(shè)函數(shù)z=f（x,y）的定義域?yàn)镈，對于任意取定的P（x,y）D，對應(yīng)的函數(shù)值為z=f（x,y），這樣，以x為橫坐標(biāo)、y為縱坐標(biāo)、z為豎坐標(biāo)在空間就確定一點(diǎn)M

5、（x,y,z），當(dāng)x取遍D上一切點(diǎn)時(shí)，得一個(gè)空間點(diǎn)集，這個(gè)點(diǎn)集稱為二元函數(shù)的圖形。二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面。 三、多元函數(shù)的極限例2、求?！敬鹨删幪?1060103】解：原式。 例3（教材332頁習(xí)題6.2，2題（1）題）、求?！敬鹨删幪?1060104】例4（教材332頁習(xí)題6.2，2題（2）題）、求?！敬鹨删幪?1060105】四、多元函數(shù)的連續(xù)性1、定義設(shè)二元函數(shù)f（P）的定義域?yàn)辄c(diǎn)集D，p0且p0D，如果則稱二元函數(shù)f（P）在點(diǎn)P0處連續(xù)。一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的。一般地，求時(shí)，如果f（P）是初等函數(shù)，且P0是f（P）的定義域內(nèi)的點(diǎn)，則f（P）在點(diǎn)P0處連續(xù)，于是。例

6、5（教材332頁習(xí)題6.2，3題（1）題）、判斷在原點(diǎn)是否連續(xù)？【答疑編號11060106】6.3偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法定義設(shè)函數(shù)z=f（x,y）在點(diǎn)（x0,y0）的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量x時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量。如果存在，則稱此極限為函數(shù)z=f（x,y）在點(diǎn)（x0,y0）處對x的偏導(dǎo)數(shù)，記為。同理可定義函數(shù)z=f（x,y）在點(diǎn)（x0,y0）處對y的偏導(dǎo)數(shù)，為，記為。如果函數(shù)z=f（x,y）在區(qū)域D內(nèi)任一點(diǎn)（x,y）處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是x、y的函數(shù)，它就稱為函數(shù)z=f（x,y）對自變量x的偏導(dǎo)數(shù)，記作。同理可以定義函數(shù)z=f（x,y）對自

7、變量y的偏導(dǎo)數(shù)，記作。偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如u=f（x,y,z）在（x,y,z）處例1.求z=x2+3xy+y2在點(diǎn)（1,2）處的偏導(dǎo)數(shù)?！敬鹨删幪?1060201】解：例2.求z=xy（x0，x1）的一階偏導(dǎo)數(shù)【答疑編號11060202】有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)說明：偏導(dǎo)數(shù)是一個(gè)整體記號，不能拆分；例3.（336例3）求下列函數(shù)對x和y的偏導(dǎo)數(shù)。（1）z=（1+3y）4x?！敬鹨删幪?1060203】（2）z=（lny）xy。【答疑編號11060204】例4.（340頁2（2）求u=（1+xy）z，在點(diǎn)（1，2，3）的一階偏導(dǎo)數(shù)?！敬鹨删幪?1060205】二、高階偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)z=f（x,y）

8、的二階偏導(dǎo)數(shù)為純偏導(dǎo)，求?！敬鹨删幪?1060206】解：例6.（338頁例6）設(shè)z=x2yey，求【答疑編號11060207】6.4全微分一、全微分的定義由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得二元函數(shù)對x和對y的偏增量1.全增量的概念如果函數(shù)z=f（x,y）在點(diǎn)（x,y）的某鄰域內(nèi)有定義，并設(shè)為這鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，則稱這兩點(diǎn)的函數(shù)值之差為函數(shù)在點(diǎn)P對應(yīng)于自變量x，y的全增量，記為z，即2.全微分的定義如果函數(shù)z=f（x,y）在點(diǎn)（x,y）的全增量可以表示為，其中A，B不依賴于x，y而僅與x,y有關(guān)，則稱函數(shù)z=f（x,y）在點(diǎn)（x,y）可微分，Ax+By稱為函數(shù)z=f（x,y）在點(diǎn)（x,y）的

9、全微分，記為dz，即 dz=Ax+By.函數(shù)若在某區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處處可微分，則稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分。二、多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系如果函數(shù)z=f（x,y）在點(diǎn)（x,y）可微分，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。事上故函數(shù)z=f（x,y）在點(diǎn)（x,y）處連續(xù)。定理1如果函數(shù)z=f（x,y）在點(diǎn)（x,y）可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)（x,y）連續(xù)，函數(shù)在點(diǎn)（x,y）的偏導(dǎo)數(shù)必存在，且函數(shù)z=f（x,y）在點(diǎn)（x,y）的全微分為。說明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全微分存在，定理2如果函數(shù)z=f（x,y）的偏導(dǎo)數(shù)存在，且在點(diǎn)（x,y）連續(xù)，則該函數(shù)在點(diǎn)（x,y）可微分。記全微分為全微分的定義可以推廣到三元及三元以上函

10、數(shù)。三、例題分析例1.（教材344頁例2（3）、求全微分z=x2y+exsiny?！敬鹨删幪?1060301】例2.（教材344頁例2（2）、求全微分。【答疑編號11060302】例3.（教材344頁習(xí)題6.4，1題（2）題）、求全微分?！敬鹨删幪?1060303】6.5多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則一、鏈?zhǔn)椒▌t定理如果函數(shù)都在點(diǎn)t可導(dǎo)，函數(shù)z=f（u,v）在對應(yīng)點(diǎn)（u,v）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在對應(yīng)點(diǎn)t可導(dǎo)，則：定理假設(shè)函數(shù)z=f（u,v）可微，函數(shù)u=u（x,y）和v=f（x,y）有偏導(dǎo)靈敏，則它們的復(fù)合函數(shù)z=f（u（x,y）,v（x,y）作為x,y的函數(shù)有偏導(dǎo)數(shù)，且，而u=xy,v=x+y

11、,求?！敬鹨删幪?1060304】解：。例2.（教材348頁例2（1）、求導(dǎo)數(shù)【答疑編號11060305】例3.（教材348頁例2（2）、求導(dǎo)數(shù)【答疑編號11060306】例4.求導(dǎo)數(shù)z=f（xy,x+y）【答疑編號11060307】例5.（教材349頁例5）、設(shè)z=F（x+y,x2-y2）。求。【答疑編號11060308】例6.（教材353頁習(xí)題6.5，4題）、設(shè)【答疑編號11060309】例7.（教材350頁例6）、設(shè)f（xy,x-y）=x2+y2。求。【答疑編號11060310】解：u=xy,v=x-y,則x2+y2=（x-y）2+2xy=v2+2u故f（u,v）=2u+v2，或f（x,

12、y）=2x+y2（這不是變量代換，而是自變量改變文字）。所以。二、全微分形式不變性設(shè)函數(shù)z=f（u,v）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分、。全微分形式不變性的實(shí)質(zhì)：無論z是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的。例8.（教材351頁例7（3）、求全微分z=（x+y）exy【答疑編號11060311】例9.（教材351頁例7（3）、求全微分z=f（2x+3y,exy）【答疑編號11060312】6.6隱函數(shù)及其求導(dǎo)法則例1、siny+ex-xy2=0,求y對x的導(dǎo)數(shù)。【答疑編號11060401】例2、xy+lny-lnx=0，求dy?！敬鹨删幪?1060402】例3、x2+y

13、2-1=0，求y對x的導(dǎo)數(shù)。【答疑編號11060403】例4、（357頁例3（1）z3-3xyz-a3=0，求偏導(dǎo)及dz?！敬鹨删幪?1060404】例5、（357頁例3（4）求偏導(dǎo)及dz?！敬鹨删幪?1060405】6.7二元函數(shù)的極值1.二元函數(shù)極值的定義設(shè)函數(shù)z=f（x,y）在點(diǎn)（x0,y0）的某鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于（x0,y0）的點(diǎn)（x,y）：若滿足不等式f（x,y）f（x0,y0），則稱函數(shù)在（x0,y0）有極大值；若滿足不等式f（x,y）f（x0,y0），則稱函數(shù)在（x0,y0）有極小值；極大值、極小值統(tǒng)稱為極值。使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。2.多元函數(shù)取得極值的條件定

14、理1（必要條件）設(shè)函數(shù)z=f（x,y）在點(diǎn)（x0,y0）有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)（x0,y0）處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：fx（x0,y0）=0，fy（x0,y0）=0。仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。定理2（充分條件）設(shè)函數(shù)z=f（x,y）在點(diǎn)（x0,y0）的某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又fx（x0,y0）=0, fy（x0,y0）=0,令fxx（x0,y0）=A，fxy（x0,y0）=B,fyy（x0,y0）=C,。則f（x,y）在點(diǎn)（x0,y0）處是否取得極值的條件如下：（1）B2-AC0時(shí)具有極值，當(dāng)A0時(shí)有極大值，當(dāng)A0時(shí)有極小值；（2）B2

15、-AC0,則不是極值點(diǎn)；（3）B2-AC =0時(shí)可能有極值，也可能沒有極值，還需另作討論。例6、（363例1）求f（x，y）=x2-2xy2+2xy+y3極值?！敬鹨删幪?1060406】3.多元函數(shù)的最值與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值。求最值的一般方法：將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值。例7、（365例3）做一個(gè)容積為32米 3的長方體無蓋水箱，問它的長、寬、高各取何值時(shí)用料最省？【答疑編號11060407】解：6.8二重積分一、問題的提出1、曲頂柱體的體積柱體體積=底面

16、積高特點(diǎn)：平頂柱體體積=？特點(diǎn)：曲頂曲頂柱體求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的方法.步驟如下：先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，用若干個(gè)小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，曲頂柱體的體積二、二重積分的概念定義 設(shè)f（x，y）是有界閉區(qū)域 D上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域D任意分成n個(gè)小閉區(qū)域，其中表示第i個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的面積，在每個(gè)上任取一點(diǎn)作乘積，（i=1，2，n），并求和，如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于零時(shí)，這和式的極限存在，則稱函數(shù)f（x，y）在閉區(qū)域D上可積，此極限為函數(shù)f（x，y）在閉區(qū)域D上的二重積分，記為，即.在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)

17、域D，則面積元素為d=dxdy， 故二重積分可寫為三、二重積分的性質(zhì)（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）性質(zhì)1：若為D的面積，性質(zhì)2：線性性質(zhì)性質(zhì)3：對區(qū)域具有可加性性質(zhì)4：正性：如果f（x，y）0（），則0。單調(diào)性：若在D上，f（x，y）g（x，y）， 則有特別設(shè)M、m分別是f（x，y）在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，為D的面積，則（二重積分估值不等式）性質(zhì)5：性質(zhì)6：設(shè)函數(shù)f（x，y）在閉區(qū)域D上連續(xù)，為D的面積，則在D上至少存在一點(diǎn)使得（二重積分中值定理）四、二重積分的計(jì)算計(jì)算二重積分如果積分區(qū)域?yàn)椋篴xb，X型其中函數(shù)在區(qū)間a，b上連續(xù).的值等于D為底，以曲面z=f（x，y）為曲頂柱體的體積。應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法，得如果積分區(qū)域?yàn)椋篶y