考研數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之精華

1、高等數(shù)學(xué)部分 第一章：函數(shù)極限連續(xù)一、重要概念、公式(一) 函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、周期性、奇偶性、有界性）(1)單調(diào)性：對(duì)于函數(shù)，如果對(duì)，有或（），則是單調(diào)增加（單調(diào)減少）。注：1對(duì)可導(dǎo)函數(shù)，常通過(guò)判定：?jiǎn)卧觯?單減；2函數(shù)不具體的非可導(dǎo)函數(shù)，必用定義。(2)周期性：對(duì)于，如果存在常數(shù)，使，則為周期函數(shù)。注：常見函數(shù)周期： 和，周期為；和，周期為如以為周期，則以為周期；如以為周期且可導(dǎo)，則以為周期，反之不真，即如為周期函數(shù)，其原函數(shù)不一定是周期函數(shù)，如。周期函數(shù)不一定可導(dǎo)如以為周期，則以為周期，則(3)奇偶性：對(duì)于，如果，則偶函數(shù)；如果，則奇函數(shù) 注：討論奇偶性必注意區(qū)間對(duì)稱性及與的關(guān)系； (偶

2、)奇，(奇)偶；偶函數(shù)的原函數(shù)不一定是奇數(shù)，但奇函數(shù)的原函數(shù)是偶函數(shù)；奇奇奇（不等），偶偶偶，奇偶不定奇奇偶， 偶偶偶，奇偶奇（偶0）(4)有界性：對(duì)于，如果存在，使，則稱有界，有上界； 有下界注：有界 既有上界又有下界；常見函數(shù)的有界性：，； 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有界； 極限存在必局部有界，指點(diǎn)的附近。（二）復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)1、復(fù)合函數(shù)：假設(shè)，則是由，復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。注：的值域與的定義域的關(guān)系：僅當(dāng)?shù)闹涤虬诘亩x域內(nèi)時(shí)才可復(fù)合。例：，僅當(dāng)時(shí)，才可復(fù)合。2、反函數(shù)： 由求，即得反函數(shù)注：?jiǎn)握{(diào)連續(xù)反函數(shù)，其單調(diào)性相同；單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)的反函數(shù)必可導(dǎo)。單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)的反函數(shù)凹凸性不定

3、，單調(diào)增加的不同。單調(diào)減少的一致3、分段函數(shù)：在定義域內(nèi)函數(shù)表達(dá)式不同。注：與，分段點(diǎn)；， 分段點(diǎn) ；，分段點(diǎn) ；整數(shù)的點(diǎn) 帶極限的函數(shù)（三）極限定義及左極限、右極限與極限的關(guān)系1、定義： ， 注：(1) 的方式是任意的： 表示是為了確定函數(shù)關(guān)系；表示是為了確定函數(shù)關(guān)系；(2) 表示當(dāng)非常小時(shí)，也非常??；(3) 當(dāng)足夠大時(shí)，與的差足夠小2、極限與左、右極限的關(guān)系： 左極限右極限 極限存在(1) 在分段函數(shù)分段點(diǎn)的極限必用此結(jié)論；(2) ， 3、存在 ，為任何以為極限的數(shù)列注：此結(jié)論常用在證明極限不存在。（四）極限的性質(zhì)1、保號(hào)性 (1) ，則在的某一鄰域內(nèi)，(2) ，則在的某一鄰域內(nèi)，2、局部

4、有界性 如果存在，則在附近，有界3、唯一性極限存在必唯一（五）無(wú)窮大無(wú)窮小1、定義（1）如果，則稱在中為無(wú)窮小量注：無(wú)窮小是一個(gè)變量，并不是很小的數(shù)一個(gè)函數(shù)是否為無(wú)窮小，與自變量的變化趨勢(shì)有關(guān) 例：時(shí)，為無(wú)窮小時(shí)，不為無(wú)窮?。?）如果對(duì)存在，時(shí)，有成立，則當(dāng)時(shí)為無(wú)窮大。注：1 無(wú)窮大一定無(wú)界，但無(wú)界無(wú)窮大 無(wú)窮大具有一致性 2時(shí)無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大，無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小。2、性質(zhì)（1）有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮?。?）有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小（3）有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小3、無(wú)窮小的階及等價(jià)無(wú)窮小的應(yīng)用定理（1）設(shè)在自變量的某變化過(guò)程中，都是無(wú)窮小1 如則稱是的高階無(wú)窮小，記作2 如

5、則稱是的低階無(wú)窮小 3如則與是同階無(wú)窮小 4如則與是等價(jià)無(wú)窮小5如則稱是的k階無(wú)窮小（2）等價(jià)定理如果則（3）無(wú)窮小與極限的關(guān)系注：此結(jié)論常用在求極限或證明題中。4、常用的等價(jià)無(wú)窮小當(dāng)時(shí)注：（1）等價(jià)無(wú)窮小代換只能用在乘除的情況下（2）無(wú)窮小階的討論常用等價(jià)無(wú)窮小代換或泰勒展開式（3）如果是的階無(wú)窮小是的階無(wú)窮小則是的階無(wú)窮小（4）一般地，如果是的階無(wú)窮小，則是的階無(wú)窮小，是的階無(wú)窮??；反之，如是的階無(wú)窮小，推不出是的階的結(jié)論。（六）極限運(yùn)算法則及存在條件如果與存在，則注：1、條件的存在性2、3、（七）極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則及適用范圍1、雙邊夾法則如果滿足且，則對(duì)于函數(shù)，如果且則注：多項(xiàng)和形式的極

6、限一般用雙邊夾法則。2、單調(diào)有界數(shù)列必有極限注：（1）己知遞推公式求極限必用此結(jié)論（2）（八）連續(xù)定義及運(yùn)算法則1、定義（1）設(shè)在的某一鄰域內(nèi)有定義，如果連續(xù)如果右連續(xù) 左連續(xù)注：() 函數(shù)在連續(xù)既左連續(xù)又右連續(xù)() 函數(shù)不具體或分段函數(shù)的分段點(diǎn)必用定義（2）不連續(xù)點(diǎn)稱為間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)包括:1無(wú)定義點(diǎn)； 2有定義但不存在的點(diǎn)3存在但（3）間斷點(diǎn)的分類第一類左右極限都存在的間斷點(diǎn)1左右跳躍2左右可去間斷點(diǎn)第二類左右極限至少有一個(gè)不存在的間斷點(diǎn)2、運(yùn)算性質(zhì)（1）如果都在處連續(xù)，則1也連續(xù)； 2； 3也連續(xù)（2）如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)且連續(xù)，則其反函數(shù)也在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)且連續(xù)（3）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，極限存在

7、且等于，即，而函數(shù)在連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限也存在，且等于，即（4）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)且而在點(diǎn)連續(xù)，則在點(diǎn)也連續(xù)。（5）初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都連續(xù)如為初等函數(shù)，為其定義域內(nèi)一點(diǎn)， 則（6）如在上連續(xù)，則，在內(nèi)連續(xù)(九)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1、 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值2、閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有界3、閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值、最小值之間的任何值注：1閉區(qū)間2連續(xù)是充分條第二章：導(dǎo)數(shù)與微分（610）(一)基本概念1、定義1：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，如果存在，則稱在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為，即，或，注意：結(jié)構(gòu)的一致性；的方式的任意性定義2：左導(dǎo)數(shù) 右

8、導(dǎo)數(shù) 定義3：導(dǎo)函數(shù)2、左導(dǎo)數(shù)、右導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的關(guān)系左導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)注：（1）分段函數(shù)分段點(diǎn)的可導(dǎo)性，必用上述結(jié)論（2）在不可導(dǎo)，如，則在處可導(dǎo)（3）函數(shù)不具體，必用導(dǎo)數(shù)定義（4）（5） （奇）偶（偶）奇（周期）周期（6）單調(diào)，不一定單調(diào)3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：表示在點(diǎn)切線斜率（1）切線方程（2）法線方程：4、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系： 可導(dǎo)必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)。5、高階導(dǎo)數(shù)：(1)定義：二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)(2)公式：6、微分（二）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則1、設(shè), 都可導(dǎo)，則（1）； （2）；（3）2、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)是的反函數(shù)，且單調(diào)可導(dǎo)，則也單調(diào)可導(dǎo)，且3、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：如果在點(diǎn)可導(dǎo)，而在可導(dǎo)，則復(fù)合函

9、數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且其導(dǎo)函數(shù)為4、常見公式：5、隱函數(shù)求導(dǎo)法6、由參數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：， ， 第三章： 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用（1518）一、（一）羅爾定理如果在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使（二）拉格朗日中值定理:如果在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使結(jié)構(gòu)2條件是充分條件，條件缺一不可3.（三）柯西定理:如果在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且在內(nèi)每一點(diǎn)均不為零，那么在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使結(jié)構(gòu)2.條件是充分條件，條件缺一不可（四）泰勒定理如果在含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)具有直到階導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)時(shí)其中注：1.常見的泰勒展開式 （五）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、極值：設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，是內(nèi)一個(gè)

10、點(diǎn)，如果存在點(diǎn)的一個(gè)去心鄰域，對(duì)于這去心鄰域內(nèi)任何點(diǎn)都有則稱為極大（?。┲?、單調(diào)區(qū)間：使函數(shù)保持單調(diào)性的區(qū)間3、駐點(diǎn)：的點(diǎn)4、最大值，最小值與極值的關(guān)系：最值是整體概念，極值是局部概念；最值可在邊界取得，但極值只能在內(nèi)部取得5、凹凸性的定義6、拐點(diǎn)：連續(xù)曲線上凹與凸的分界點(diǎn)7、漸近線（六）基本定理1、單調(diào)性的判定定理：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)在內(nèi)可導(dǎo)（1）如果在內(nèi)，則在上單調(diào)增加（2）如果在內(nèi)，則在上單調(diào)減少2、極值存在的必要條件：函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且在處取得極值，則3、第一充分條件：設(shè)在點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)且（1）如果當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)則在處取得極大值（2）如果當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在處取得極小值（3）如果在兩側(cè)，符號(hào)

11、不變，則在處不取極值注：不存在的點(diǎn)或不易求的點(diǎn)常用此定理4、第二充分條件：設(shè)在處具有二階導(dǎo)數(shù)，且則（1）當(dāng)時(shí)，取極大值；（2）當(dāng)時(shí)，取極小值。注：1駐點(diǎn)2二階導(dǎo)函數(shù)易求5、函數(shù)凹凸性的判定定理：在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)（1）若，則在上是凹的（2）若，則在上是凸的6、曲率的計(jì)算公式：第四章：不定積分（48）一、（一）原函數(shù)和不定積分定義1、原函數(shù)：，則是的一個(gè)原函數(shù)注（1）連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)：（2）原函數(shù)如存在一定有無(wú)窮多個(gè)（3）同一函數(shù)的原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)2、不定積分：全體原函數(shù)（二）不定積分的基本積分公式和性質(zhì)1、公式2、性質(zhì)（1） （2）（三）不定積分的換元積分法和分部積分法1、換元

12、積分法（1）第一換元（湊微分）注1、 2、 3、 4、5、6、 7、 8、 9、 10、(2)第二換元積分法 被積函數(shù)含；如果分母的次數(shù)比分子高的多，則用倒代換2、分部積分法 注：（1）運(yùn)用分部積分法，關(guān)鍵是適當(dāng)選取和其原則：比易求（2）；第五章：定積分（1518）一、重要概念、公式（一）定積分的定義及幾何意義1、 2、幾何解釋注：，只與積分區(qū)間和被積函數(shù)有關(guān)，而與自變量用哪個(gè)字母表示無(wú)關(guān).3、定積分的存在性：如果在上連續(xù)，或有界且只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，則存在.（二）定積分的性質(zhì)1、被積函數(shù)代數(shù)和的定積分等于定積分的代數(shù)和；2、被積函數(shù)的非零常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外；3、定積分具有區(qū)間可加性

13、；4、如果，則; 5、如果在上連續(xù)，且分別為其最小值、最大值，則； 6、；7、定積分中值定理：如果上連續(xù)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使；（三）定積分的換元積分法和分部積分法1、可變限函數(shù)求導(dǎo)：如果在相應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，可導(dǎo)，則。注：連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)如連續(xù)，則即為其原函數(shù)2、牛頓萊布尼茲公式如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在上的一個(gè)原函數(shù)，則：注：此公式說(shuō)明要求定積分兩步：（1）求原函數(shù)；（2）代公式3、換元積分法如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，函數(shù)滿足：（1）；（2）在或上具有單調(diào)連續(xù)導(dǎo)數(shù)且其值域，則注：（1）定積分的換元積分法換元必?fù)Q限，換后接著算。下限對(duì)應(yīng)下限，上限對(duì)應(yīng)上限（2）條件，單調(diào)可導(dǎo)4、分部積分法注：邊運(yùn)算

14、邊代值（四）常用公式1、2、如果為周期為的周期函數(shù)，則，3、 4、5、6、積分不等式平方的積分結(jié)構(gòu)（五）定積分的應(yīng)用1、平面圖形面積：；2、旋轉(zhuǎn)體的體積：；3、平面曲線的弧長(zhǎng)：（1）；（2）；（3）；4、變力作功5、靜液壓力6、引力7、平均值（六）廣義積分（1）無(wú)窮區(qū)間；（2）無(wú)界函數(shù)第六章：空間解析幾何(26)一、重要考點(diǎn)1、向量的運(yùn)算：2 求曲面方程：其步驟為（1）在曲面上任取一點(diǎn)（2）由此點(diǎn)所滿足的條件建立方程3、求平面方程（1）4求直線方程：第七章：多元函數(shù)微分學(xué)（814）一、重要概念、公式多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)、隱函數(shù)求導(dǎo)法1、偏導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果極限

15、存在，則稱此極限為在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，記作：注：（1）分段函數(shù)分段點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必用定義；（2）偏導(dǎo)與連續(xù)之間無(wú)關(guān)；（3）為一整體符號(hào)；（4）從幾何上解釋為曲面與的交線在處的切線與軸夾角正切。2、高階偏導(dǎo)數(shù)：若函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)和都在點(diǎn)連續(xù)，則注意：條件高階偏導(dǎo)連續(xù)相等。3、全微分：（1）如果函數(shù)在點(diǎn)處的全增量可表示為，其中不依賴于，則稱處可微，此時(shí)叫作在點(diǎn)處的全微分，記作，即；注：全微分是自變量與的線性函數(shù)；全微分與全增量之差，當(dāng)時(shí)，是比高階無(wú)窮??；可微連續(xù)；可微偏導(dǎo)，連續(xù)、偏導(dǎo)是可微的必要條件、（2）必要條件：若函數(shù)在點(diǎn)處可微，即在點(diǎn)的全增量可表示成，則，都存在。且（3）充分條件：若函數(shù)的兩個(gè)

16、偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，則函數(shù)在點(diǎn)處可微。4、復(fù)合函數(shù)微分法：如果在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處可微，且的偏導(dǎo)數(shù)都存在，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)存在，且；設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處的全微分為：；全微分的運(yùn)算公式：； (c為常數(shù)) ；。5、隱函數(shù)及其微分法（三）偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、空間曲線的切線與法平面：（1）曲線：，其中，都是可導(dǎo)函數(shù)，且不全為0，則切線方程為：，法平面方程為：；（2）曲線： 切線方程為：，法平面方程為：；（3）曲線：切線方程為：，法平面方程為：2、空間曲面的切平面與法線：（1）曲面方程：切平面方程為：，法線方程為：，法線的方向余弦為：；（2）曲面方程：，則切平面方程為：，法線方程

17、為：（四）多元函數(shù)的極值、方向?qū)?shù)、梯度1、定義：設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)，如果恒有，則稱為的極大值，為的極大值點(diǎn)，否則極小值；2、極值存在的必要條件：如果函數(shù)在點(diǎn)取得極值，且都存在，則必有，滿足的點(diǎn)（駐點(diǎn)）：可能極值點(diǎn)，包括駐點(diǎn)和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)注：在內(nèi)為常數(shù)3、極值的充分條件：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且,，記：（1）如，則為的極值，極大，極??；（2）如，不是極值；（3）如，不確定。4、方向?qū)?shù)、梯度：1）方向?qū)?shù)：設(shè)在點(diǎn)及其鄰域內(nèi)有定義，如果極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)沿方向可導(dǎo)，并稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)，記作：注：方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系（

18、2）梯度：設(shè)，則注：梯度方向即為變化率最大的方向（3）方向?qū)?shù)計(jì)算公式：如果函數(shù)在點(diǎn)可微，則函數(shù)在點(diǎn)處沿任一方向的方向?qū)?shù)存在，且,其中是的方向余弦。沿方向的方向?qū)?shù)為：；（4）梯度的性質(zhì)：；第八章：重積分（610）一、重要概念、公式 （一）、性質(zhì)： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）在上如，則，；（6）如果在上的最大、小值分別為，則：； （7）（二重積分中值定理）設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)，使2、公式：（1）如果關(guān)于為奇函數(shù)，積分域關(guān)于軸對(duì)稱，則：（2）如果關(guān)于為偶函數(shù)，積分域關(guān)于軸對(duì)稱（表示位于軸上方的部分），則： （注：平面域關(guān)于軸對(duì)稱）（3）連續(xù)函數(shù)關(guān)于為奇函數(shù)，

19、積分域關(guān)于面對(duì)稱，則：（4）連續(xù)函數(shù)關(guān)于為偶函數(shù)，積分域關(guān)于面對(duì)稱，表示的位于面上方的部分，則： (注：立體關(guān)于坐標(biāo)面對(duì)稱)（5）如果關(guān)于對(duì)稱，則：（6）中地位同地位同（一） 計(jì)算1、二重積分的計(jì)算： （1）如， 則 （2）， 則 2、三重積分的計(jì)算（1），則（2），則（3），則（三）應(yīng)用1、體積公式：2、曲面面積：（1）曲面的方程為：，；（2）曲面的方程為：， ；（3）曲面的方程為：，。3、質(zhì)量：（1）； （2）4、重心坐標(biāo)：（1）平面薄板：， ；（2）立體：， (注意步調(diào)一致)5、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：（1）平面薄板：， ， ；（2）立體：， ， ，。6、引力：質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)位于處，物體占有空間域，其密

20、度為，設(shè)物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)引力為：,則：， ， .CH9線積分 面積分（610）一、 重要概念、公式（一）曲線積分1、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 曲線段的長(zhǎng)度：，； 曲線段的質(zhì)量： ， ； 曲線的重心坐標(biāo)：， ， ； 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：平面：； 空間：2、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分（1）定義：（2）性質(zhì)：；（3）計(jì)算： 起點(diǎn)， 終點(diǎn)，則；，： 起 ， 終點(diǎn)，則；： 起點(diǎn)，終點(diǎn)，則 ； 空間曲線，起點(diǎn)，終點(diǎn)，則注：對(duì)坐標(biāo)的曲線積分：起點(diǎn)下限，終點(diǎn)上限3、兩種曲線積分之間的關(guān)系：， 曲線切向量的方向余弦，4、格林公式：設(shè)函數(shù)在域及其邊界上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 ，取正向注：（1）具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；（2）的位置：，；（3）為閉曲線且

21、為正向；（4）曲線較復(fù)雜，但其趨勢(shì)區(qū)域規(guī)則，常采用加一減一，加二減二方式求解5、平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)命題（1）在內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)；（2）， 為內(nèi)任一分段光滑閉曲線；（3）；（4）存在，使，且注：如果， 包圍同一瑕點(diǎn)，則： 6、空間曲線積分：與路徑無(wú)關(guān) ，注：力 沿作功：（二）曲面積分1、對(duì)面積的曲面積分（1）定義：；（2）性質(zhì)； （3）計(jì)算公式： ；： ；： （4）應(yīng)用： 曲面的質(zhì)量：； 曲面的重心坐標(biāo)：，為 曲面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：，=2、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分（1）定義：；（2）性質(zhì)：；（3）計(jì)算：，投影域，則；，投影域，則；，投影域，則注：1、與法向量與相應(yīng)坐標(biāo)軸的夾角有關(guān)：銳角，鈍角負(fù)2、負(fù)側(cè)正

22、側(cè) 法向量的指向3、兩種曲面積分之間的關(guān)系：，其中為曲面的法向量的方向余弦4、高斯公式： 設(shè)在空間閉域上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 ，其中是的邊界曲面外側(cè) 注：一階連續(xù)偏導(dǎo)；外側(cè)；閉曲面5、斯托克斯定理：設(shè)函數(shù)在包含曲面的空間域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，設(shè)為曲面的邊界曲線，則6、流體流過(guò)曲面的流量：7、梯度、散度、旋度：設(shè)，則梯度：；，則散度：，旋度：第十章：級(jí)數(shù)（810）一、重要概念、公式（一）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1、絕對(duì)收斂，條件收斂注：收斂，則稱絕對(duì)收斂；收斂，發(fā)散，則稱條件收斂2、性質(zhì)：（1）若收斂，其和為為常數(shù)，則 也收斂，且其和為 （2）若級(jí)數(shù)分別收斂于 和 ，則也收斂，且收斂于注： 如一發(fā)散，一收斂

23、，則其代數(shù)和發(fā)散； 如兩發(fā)散，則結(jié)論不一定（3）在級(jí)數(shù)前面增加、減少或改變有限項(xiàng)，并不影響其斂散性，但級(jí)數(shù)收斂時(shí)，僅可能改變其和（4）收斂級(jí)數(shù)的各項(xiàng)按原次序分組加括號(hào)所得新級(jí)數(shù)仍收斂，且其和不變注： 一個(gè)級(jí)數(shù)加括號(hào)所得新級(jí)數(shù)收斂，并不能說(shuō)明原級(jí)數(shù)是否收斂； 但加括號(hào)發(fā)散，原級(jí)數(shù)一定發(fā)散（5）若級(jí)數(shù)收斂，則 注：若，則發(fā)散3、定理及審斂法（1）正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂 部分和數(shù)列 有界；（2）比較審斂法： 設(shè)都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)：、若從某項(xiàng)起，有 且 收斂，則也收斂；、若從某項(xiàng)起，有且發(fā)散，則也發(fā)散 設(shè)是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且，則同斂散注：對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)可利用等價(jià)無(wú)窮小代換，只能用在(正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng))級(jí)數(shù)（3）比值審斂法：設(shè)有

24、正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若，則： 當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂； 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散注：含或的乘積形式（4）根值審斂法：設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若，則：時(shí)，級(jí)數(shù)收斂； 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散注：含以為指數(shù)的因子（5）交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法：若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足：； ，則該交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，且其和，其余項(xiàng)的絕對(duì)值（6）絕對(duì)收斂定理：若收斂，則也收斂注： 改變絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)項(xiàng)的次序所得的新級(jí)數(shù)仍絕對(duì)收斂，且與原級(jí)數(shù)有相同的和； 設(shè)級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂，它們的和分別為 和 ，則它們逐項(xiàng)相乘后，依任意方式排列所得級(jí)數(shù)仍絕對(duì)收斂，且其積為 4、公式：（1）：時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散；（2）：時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散； （3）：時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散；（二）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1、基本概念：（1）定義：（2）和函數(shù)：（3

25、）冪級(jí)數(shù)：斂半徑，收斂區(qū)間（4）泰勒級(jí)數(shù)：如果存在各階導(dǎo)數(shù)，則稱為泰勒級(jí)數(shù)2、定理公式：（1）阿貝爾引理：若冪級(jí)數(shù)：當(dāng)時(shí)收斂，則對(duì)的，；當(dāng)發(fā)散，則對(duì)的，發(fā)散注：收斂點(diǎn)是連成一片的（2）設(shè)是冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，且： 當(dāng)時(shí)，；時(shí)，； 時(shí)，（3）冪級(jí)數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)：設(shè)冪級(jí)數(shù)，其收斂半徑為，則： 和函數(shù)在內(nèi)連續(xù)；和函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，且；和函數(shù)在內(nèi)任何區(qū)間上可積，且注：逐項(xiàng)求導(dǎo)，逐項(xiàng)積分并不改變收斂半徑，但可改變端點(diǎn)的斂散性（4）幾個(gè)重要的麥克勞林展開式： ； ； ； ；（5）泰勒定理：設(shè)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則在處的泰勒級(jí)數(shù)在該鄰域內(nèi)收斂于的充要條件是：當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)余項(xiàng)注：在點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)展

26、開式（三）付立葉級(jí)數(shù)1、基本概念（1）三角級(jí)數(shù)：形如 （2）正交：對(duì)于在上有定義，如果，則稱正交（3）付立葉系數(shù)：是周期為的周期函數(shù)：則，在上以為周期：，在上：，（4）付立葉級(jí)數(shù)：以付立葉系數(shù)構(gòu)成的三角級(jí)數(shù) 付立葉級(jí)數(shù)（4）正弦級(jí)數(shù)、余弦級(jí)數(shù)（奇偶延拓）只含正弦項(xiàng)的級(jí)數(shù) 正弦級(jí)數(shù)； 只含余弦項(xiàng)的級(jí)數(shù) 余弦級(jí)數(shù)注：奇延拓正弦 即：奇函數(shù)正弦 偶延拓余弦 偶函數(shù)余弦2、定理如在上滿足：（1）連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；（2）至多有有限個(gè)極值點(diǎn),則的付立葉級(jí)數(shù)在上收斂，且：為的連續(xù)點(diǎn)，為的間斷點(diǎn)，為的端點(diǎn)，,第十一章：微分方程（812）一、重要概念、公式1、如果、是二階線性齊次方程：的兩個(gè)解，則也

27、是它的解，其中是任意常數(shù)；2、如果是的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則就是該方程的通解；3、如果是二階非齊次線性方程：的一個(gè)特解，而是它對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，則是該非齊次方程的通解；4、如果是的解，是的解，則的解線性代數(shù)CH1行列式(46)一、重要概念、公式行與列互換，其值不變；行列式的兩行或兩列互換，行列式改變符號(hào)；行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的外面，若以一個(gè)數(shù)乘行列式等于用該數(shù)乘行列式的任意一行（列）；行列式中若有兩行（列）成比例，則該行列式為零；若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式等于兩行列式之和：把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去，

28、行列式不變3、幾個(gè)公式：（1）范得蒙行列式：特點(diǎn)：從第一行至第行按升冪排列；項(xiàng)積；（2）設(shè)為階矩陣，為階矩陣，為階矩陣，則：，；，但；，為元素的代數(shù)余子式；， (注意符號(hào))余子式：CH2矩陣(812)一、重要概念、公式1、矩陣的運(yùn)算：（1）加減同型：；（2）乘法：2、矩陣的逆運(yùn)算：相等；3、伴隨矩陣：對(duì)稱陣、反對(duì)稱陣；4、矩陣的初等變換，矩陣的秩：等價(jià)矩陣：，互逆（同型號(hào), 秩等）5、分塊矩陣及運(yùn)算；6、常用公式：（1）；（2），；（3）；（4），；（5），；（6）7、分塊矩陣：（1）已知為分塊對(duì)角矩陣，為可逆方陣，則；（2）若，則；（3）若且，則；（4）若A=，則8、為同階方陣，則；若為可逆

29、矩陣，則，注：（1）；（2）分塊矩陣的運(yùn)算：加法減法：分法一致，對(duì)應(yīng)塊加減；乘法：當(dāng)?shù)牧蟹址ㄅc的行分法一致時(shí)才能相乘若，則，9、初等變換不改變矩陣的秩：，CH3向量一、重要概念、公式1、向量組的線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)；2、向量組的極大無(wú)關(guān)組，向量組的秩：如果向量組中有個(gè)向量線性無(wú)關(guān)，而中任意個(gè)向量（如果有）相關(guān)，則稱為極大無(wú)關(guān)組，秩；3、如和互相線性表示，則稱與等價(jià)；4、向量組的秩和矩陣的秩：矩陣的秩等于向量組的秩也等于列向量組的秩；5、向量空間、子空間、基底、維數(shù)及坐標(biāo)的概念：設(shè)是維向量的集合，非空，且對(duì)于加法及數(shù)乘封閉；6、維向量空間的基變換和坐標(biāo)變換，過(guò)渡矩陣：設(shè)和是維向量空間的兩個(gè)基，且，

30、則稱上式為基變換公式，為從基到的過(guò)渡矩陣；如果在的坐標(biāo)為，在的坐標(biāo)為，則；7、向量的內(nèi)積；8、線性無(wú)關(guān)向量組的正交規(guī)范化，標(biāo)準(zhǔn)正交基（階正交矩陣的個(gè)行（列）向量）施密特：若線性無(wú)關(guān)，則，9、正交矩陣及其性質(zhì)：10、基本定理：（1）向量組線性相關(guān)的充要條件是：其中至少有一個(gè)向量可由其余個(gè)向量線性表示；（2）如向量組線性無(wú)關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則可由線性表示，且表示法唯一；（3）若向量組線性相關(guān)，則也相關(guān)；（4）向量組線性相關(guān)，向量組線性無(wú)關(guān)；（5）若向量組線性無(wú)關(guān)，則將其每個(gè)向量添加分量后所組成的向量組也線性無(wú)關(guān)；（6）設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)且可由向量組線性表示，則。任意兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的等價(jià)向量組所含向

31、量個(gè)數(shù)相等。正交向量組，必線性無(wú)關(guān)。（7）向量組的秩與該向量組所構(gòu)成的矩陣的秩相等；（8）矩陣的行秩與列秩相等，都等于矩陣的秩；（9）；（10）；（11）如果、為可逆矩陣，則；（12）；（13）注：個(gè)維向量必線性相關(guān)；個(gè)維向量線性無(wú)關(guān)CH4方程組一、重要概念、公式1、齊次線性方程組有非0解的充要條件及非齊次線性方程組有解的充要條件：（1）（2）2、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解、解空間基礎(chǔ)解系(1)通解 3非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)不一定為。僅當(dāng)非齊次通解=齊次通解+非齊次的一個(gè)特解CH5特征值和特征向量(1012)一、重要概念、公式1、特征值、特征向量的定義：設(shè)為階矩陣，如果存在數(shù)和維非零列向

32、量，使，則稱為的特征值，稱為的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量2、特征方程：3、相似矩陣：對(duì)于、，如果存在可逆陣，使，則稱和相似4、矩陣的相似對(duì)角化：對(duì)階方陣，求相似變換，使，為對(duì)角陣的過(guò)程稱為的相似對(duì)角化合同：若，則稱合同，可逆5、主要定理：（1） 階方陣有個(gè)特征值，它們的和等于的主對(duì)角線元素之和，它們的乘積等于的行列式；（2） 如果是方陣的特征值，是與之對(duì)應(yīng)的特征向量，則互不相等時(shí)，線性無(wú)關(guān)；（3） 如果階方陣與相似，則與有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值，有相同的跡；（4） 如果階方陣與對(duì)角陣相似，則的主對(duì)角線元素就是的個(gè)特征值；（5）可相似對(duì)角化的充要條件是有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；（6） 如

33、果階方陣的個(gè)特征值互不相等，則與對(duì)角陣相似，即可相似對(duì)角化；（7） 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值全為實(shí)數(shù)；（8） 實(shí)對(duì)稱矩陣的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交；（9） 對(duì)階實(shí)對(duì)稱矩陳，必存在正交陣，使，其中為以的個(gè)特征值為主對(duì)角線元素的對(duì)角陣；（10）如為的特征值，則為的特征值注： 相似矩陣有相同的特征值； 跡同； 相似，合同，等價(jià)矩陣的秩相等CH6二次型(48)一、重要概念、公式1、理解二次型與對(duì)稱陣的關(guān)系：含有個(gè)變量的二次齊次函數(shù)：，或 ；2、二次型的秩及標(biāo)準(zhǔn)形：二次型的矩陣的秩稱為二次型的秩，二次型經(jīng)可逆變換化為 標(biāo)準(zhǔn)型；3、慣性定理：設(shè)二次型的秩為，兩個(gè)可逆變換，都化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，；的正負(fù)個(gè)數(shù)相等

34、4、正定及其判別法：設(shè)二次型，如果對(duì)任意非向量都有，如果為正交陣，則稱為正交變換 合同矩陣有相同的規(guī)范型概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章：隨機(jī)事件及其概率一、重要概念、公式1、古典概型及古典概率古典概型的特點(diǎn)：（1）基本事件個(gè)數(shù)是有限的；（2）每個(gè)基本事件發(fā)生是等可能的。古典概率定義：在古典概型中有個(gè)基本事件，而事件包含其中的個(gè)，則發(fā)生的概率：2、幾何概型及幾何概率幾何概型的特點(diǎn)：（1）基本事件個(gè)數(shù)是無(wú)限的；（2）每個(gè)基本事件發(fā)生是等可能的。幾何概率定義式：（1）若為線段，則量積為長(zhǎng)度；（2）若為平面圖形，則量積為面積；（3）若為立體圖形，則量積為體積。3、事件間的關(guān)系和運(yùn)算（1）包含關(guān)系：發(fā)生必導(dǎo)致發(fā)生

35、，則稱（2）相等關(guān)系：且，則稱（3）事件的和：如果事件至少有一個(gè)發(fā)生的事件，稱為與的和，記為。（4）事件的積：如果事件同時(shí)發(fā)生的事件積，；如果事件同時(shí)發(fā)生或都發(fā)生的事件積，。（5）事件的差：事件發(fā)生而事件不發(fā)生的事件與的差，。注：（6）互不相容（互斥）事件：如果事件滿足，則稱互斥。（7）互逆事件：如果事件滿足 ；，則稱互逆。（8）運(yùn)算規(guī)律交換律：，；結(jié)合律：，；分配律：，；對(duì)偶律：，注：，4、事件的獨(dú)立性及貝努里概型（1）獨(dú)立性：對(duì)，如，則獨(dú)立；對(duì)，如果對(duì)任意，及，有，則獨(dú)立。注：個(gè)事件獨(dú)立包含個(gè)等式；個(gè)事件相互獨(dú)立，則個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立。（2）性質(zhì)：；，如果有一組相互獨(dú)立，則其它各組也相互獨(dú)

36、立；如中有一組相互獨(dú)立，則其它各組也相互獨(dú)立。（3）貝努里概型：次重復(fù)獨(dú)立事件中，則事件發(fā)生次的概率（二）性質(zhì)、定理1、性質(zhì)（1）；（2）；（3）如兩兩互斥，則；注意：互斥的條件（4）；（5）如果，則，；注意：一般的。（6）廣義加法定理：注：2、定理（1）條件概率設(shè)為任意二事件，稱為在事件發(fā)生的條件下發(fā)生的條件概率，記為，即注：條件；公式（2）乘法公式設(shè)為任意個(gè)事件，則（3）全概率公式完備事件組設(shè)為樣本空間的一組事件，如果滿足，則稱為的一個(gè)完備事件組。全概率公式設(shè)為的一個(gè)完備事件組，為任意一個(gè)事件，則。注：弄清完備事件組。公式結(jié)構(gòu)（項(xiàng)，條件概率公式）（4）貝葉斯公式設(shè)為的一個(gè)完備事件組，為任意

37、一個(gè)事件，則。第一章 一維隨機(jī)變量及其分布一、重要概念、公式2、分布函數(shù)（1）定義：設(shè)為一隨機(jī)變量，為任意實(shí)數(shù)，稱為的分布函數(shù)，記為：，即。注：的定義域?yàn)椋ǎ?；幾何表示?（2）性質(zhì)：；具有單調(diào)不減性；具有右連續(xù)性；3、離散型隨機(jī)變量（1）定義：如果隨機(jī)變量的取值為有限個(gè)，或無(wú)限可列個(gè)。（2）分布律：如果為離散型隨機(jī)變量，其所有可能取值為，則稱為的分布律，或表示為：（3）性質(zhì)：；1；（4）分布函數(shù)已知：則（5）常見分布 兩點(diǎn)分布： 二項(xiàng)分布：，注：的最可能成功次數(shù)為。 泊松分布：，記為，的最可能成功次數(shù)為幾何分布：超幾何分布：注：二項(xiàng)分布是超幾何分布的極限形式，泊松分布是二項(xiàng)分布的極限形式。

38、4、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度（1）定義：是隨機(jī)變量的分布函數(shù)，如果存在非負(fù)可積函數(shù)，使得對(duì)任意有成立，則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量，為的分布密度。（2）性質(zhì)：； 在連續(xù)點(diǎn)處，；（離散不一定為0）；（3）分布函數(shù)：注： 如求分布函數(shù)必用定義； 如為分段函數(shù)，則必為分段函數(shù)，且其分段點(diǎn)一致。（4）幾種常見分布 均勻分布：如果，則稱在上服從均勻分布。 指數(shù)分布：，無(wú)記憶性。 正態(tài)分布：如果，則稱服從參數(shù)為的正態(tài)分布，記為：性質(zhì)為對(duì)稱軸； 在左側(cè)單增，右側(cè)單減；在取最大值；為拐點(diǎn)。：則 ，正態(tài)分布必用此公式。：，則5、隨機(jī)變量函數(shù)及其分布（1）離散型已知求的分布律。其步驟： 求的所有可能取值； 求, ；，。（

39、2）連續(xù)型，求的分布密度。 求的分布函數(shù)： 求第三章 二維隨機(jī)變量及其分布一、重要概念、公式1、二維隨機(jī)變量定義,表示及分類2、聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)（1）設(shè)為二維隨機(jī)變量，為任意實(shí)數(shù)，稱為的聯(lián)合分布函數(shù)，記為。注：的定義域?yàn)檎麄€(gè)實(shí)平面：，；的幾何意義（2）性質(zhì)：；，；關(guān)于具有單調(diào)不減性；關(guān)于具有右連續(xù)性；注： 5條性質(zhì)聯(lián)合分布函數(shù)（3）邊緣分布函數(shù)：，即：邊緣分布函數(shù)由聯(lián)合分布函數(shù)唯一確定3、二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律和邊緣分布律（1）設(shè)為二維離散型隨機(jī)變量,其所有可能取值為（），則稱二維整標(biāo)函數(shù)，為的聯(lián)合分布律，或表示為：（2）性質(zhì)：； 注：分布律中待定常數(shù)常用性質(zhì)（3）設(shè)為二維離

40、散型隨機(jī)變量,其所有可能取值為（），稱（）為的邊緣分布律，稱為的邊緣分布律，分別記為和，即：，第行第列注：邊緣分布律由聯(lián)合分布律確定。（4）聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù) 4、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度和邊緣分布密度（1）設(shè)為的聯(lián)合分布函數(shù)，如果存在非負(fù)可積函數(shù)使得對(duì)任意，恒有，則稱為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，為的聯(lián)合概率密度（2）性質(zhì)：；在的連續(xù)點(diǎn)處：；注：1、分布密度問(wèn)題常考慮性質(zhì)；2、兩種常見分布：、均勻分布；、正態(tài)分布（3）邊緣分布密度：設(shè)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布密度為，則稱為的邊緣分布密度，記作；稱為的邊緣分布密度，記作注：邊緣分布密度由聯(lián)合分布密度確定。（4）聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)

41、：，5、條件分布律與條件分布密度（1）設(shè)為二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布律和邊緣分布律分別為，稱為在條件下的條件分布律，記為（），即，類似定義；（2）設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量,其分布密度和邊緣分布密度分別為，稱為在條件下的條件分布密度，記為，即：，注：二維正態(tài)分布的邊緣分布為一維正態(tài)分布,且與無(wú)關(guān)：，。獨(dú)立（3）條件分布函數(shù)6、隨機(jī)變量的獨(dú)立性（1）定義：設(shè)為二維隨機(jī)變量，如，則稱相互獨(dú)立；（2）獨(dú)立性的判定定理：離散型：獨(dú)立；獨(dú)立或連續(xù)型：獨(dú)立；獨(dú)立或如與獨(dú)立，則與獨(dú)立，但與不一定獨(dú)立若且獨(dú)立，則，7、函數(shù)的分布CH4 數(shù)字特征一、重要概念、公式（一）數(shù)字期望1、定義：（1） 設(shè)為離散型隨機(jī)變量，其分布律為，如果收斂，則稱為的數(shù)