立體幾何知識梳理

1、1.平面及其相關(guān)性質(zhì)平面具有“平”的特征，無厚度，無邊界，在空間延伸至無限；平面可以用大寫的英文字母或小寫的希臘字母表示；空間的直線和平面都可以看作點的集合，點與它們的關(guān)系可以用集合的語言表示；例如，點A在直線l上，或直線l經(jīng)過點A，記作；點B不在直線l上，記作；點A在平面上，或平面經(jīng)過點A，記作；點B不在平面上，記作；如果直線l上的所有點都在平面上，那么稱直線l在平面上（或平面經(jīng)過直線l)，記作；公理1如果直線l上有兩個點在平面上，那么直線l在平面上；公理1用集合語言表述如下：若，且，則；公理2如果不同的兩個平面有一個公共點A，那么的交集是過點A的直線；公理2用集合語言表述如下：若存在，則，

2、且；公理3不在同一直線上的三點確定一個平面；推論1一條直線和直線外的一點確定一個平面；推論2兩條相交的直線確定一個平面；推論3兩條平行的直線確定一個平面；2.空間直線與直線的位置關(guān)系公理4平行于同一直線的兩條直線相互平行；等角定理如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補；在同一平面中，兩條直線的位置關(guān)系包括相交和平行；如果空間的兩條直線既不平行，也不相交，這時不可能存在一個平面，使它既經(jīng)過直線，又經(jīng)過直線，我們把不能置于同一平面的兩條直線做異面直線；對于異面直線a和b，在空間任取一點P，過P分別作a和b的平行線和，我們把和所成的銳角或直角叫做異面直線a和b所成的角；當(dāng)空

3、間兩直線所成的角為直角時，和垂直，記作丄；當(dāng)和所成的角為零角時，和平行或重合；異面直線之間距離：設(shè)直線a與直線b是異面直線，當(dāng)點M，N分別在a,b上，且直線MN既垂直于直線a，又垂直于直線b時，我們把直線叫做異面直線a,b的公垂線，垂足M，N之間的距離叫做異面直線a和b的距離；3.空間直線與平面的位置關(guān)系如果直線與平面只有一個公共點A，那么稱直線與平面相交于點A，或稱A是直線與平面的交點，記作如果直線與平面沒有公共點，那么稱直線與平面平行，記作或；直線與平面平行的判定定理如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行；直線與平面平行的性質(zhì)定理如果一條直線和一個平面平行

4、，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行；一般地，如果一條直線與平面上的任何直線都垂直，那么直線與平面垂直，記作丄，直線叫做平面的垂線，與的交點叫做垂足；直線與平面垂直的判定定理如果直線與平面上的兩條相交直線都垂直，那么直線與平面垂直；推論如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面；直線與平面垂直的性質(zhì)定理如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于平面內(nèi)的所有直線；推論如果兩條直線同時垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行；點到平面的距離：設(shè)M是平面外一點，過點M作平面的垂線，垂足為N，我們把點M到垂足N之間的距離叫做點M和平面的距離；直線到平面的

5、距離：設(shè)直線平行于平面，在直線上任取一點M，我們把點M到平面的距離叫做直線和平面的距離；當(dāng)直線與平面相交且不垂直時，叫做直線與平面斜交，直線叫做平面的斜線；設(shè)直線與平面斜交于點M，過上任意點A，作平面的垂線，垂足為，我們把點叫做點A在平面上的射影，直線OM叫做直線在平面上的射影，并規(guī)定直線與其在平面上的射影OM所成的銳角叫做直線與平面所成的角；當(dāng)直線與平面垂直時，它們所成的角為90°；當(dāng)直線與平面平行或直線在平面上時，它們所成的角為0°；最小角定理直線和平面所成的角是這條直線和平面內(nèi)任一直線所成的角中最小的角；三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和平面的一條斜線的射影垂直，那

6、么這條直線也和這條斜線垂直；三垂線逆定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也和這條斜線的射影垂直；4.空間平面與平面的位置關(guān)系空間平面與平面的位置關(guān)系對于空間不同的兩個平面，如果它們有公共點，即，那么稱平面與平面相交；如果兩個平面沒有公共點，那么稱平面與平面平行，記作平面與平面平行的判定定理如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；推論如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線，分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個平面平行；推論垂直于同一條直線的兩個平面平行；平面與平面平行的性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么得到的兩條交線互相平行

7、；推論若一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，則它也垂直于另一個平面；平面到平面的距離：設(shè)平面平行于平面，在平面上任取一點M，我們把點M到平面的距離叫做平面和平面的距離；設(shè)兩個平面相交于直線AB，AB將別分割成兩個半平面，由的半平面及其交線AB所組成的空間圖形叫做二面角，記作；交線叫做二面角的棱，兩個半平面叫做二面角的面；在二面角的棱AB上任取一點O，過O分別在平面和上作棱的垂線OM和OW，射線OM和ON所成的角叫做二面角的平面角；若射線OM和ON所成的角為90°，則兩個平面垂直，記作丄；平面與平面垂直的判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直；平面與平

8、面垂直的性質(zhì)定理如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面；5.空間角與距離的計算（1）異面直線所成角異面直線所成角的范圍；求異面直線所成的角，主要有兩種方法：平移，將異面直線平移至相交，常用“作平行”和“取中點”的方法；補形，延長異面直線，或者將題中幾何體進(jìn)行添補，然后再平移至相交；（2）直線與平面所成角直線與平面所成角的范圍；求直線與平面所成的角，主要有以下方法：定義法，根據(jù)直線與平面所成角的定義，找斜線及其射影的夾角；垂線法，過直線上某一點作平面的垂線；等體積法，通過幾何體體積相等，求出直線上的點到平面的距離；（3）二面角的平面角二面角的平面角的范圍0。,18

9、0。求二面角的平面角，主要有以下方法：定義法，在兩個半平面中分別作交線的垂線；垂線法，過一個平面上一點作另一個平面的垂線，再作交線的垂線；垂面法，找到一個與兩個半平面均垂直的平面，截得的交線所形成的角；等體積法，通過幾何體體積相等，求出直線上的點到平面的距離；射影法，面積射影定理；（4）距離的計算直線到平面的距離，平面到平面的距離都可以轉(zhuǎn)化為點到平面的距離；求點到平面的距離，主要有兩種方法：垂線法，過點作平面的垂線，求垂線的長度；等體積法，通過幾何體體積相等，求出高，即點到平面的距離；簡單幾何體1.多面體在數(shù)學(xué)中，我們把由平面多邊形（或三角形）圍成的封閉體叫做多面體；構(gòu)成多面體的各平面多邊形（

10、或三角形）叫做多面體的面；其相鄰多邊形（或三角形）的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的交點叫做多面體的頂點；（1）棱柱如果一個多面體有兩個全等的多邊形的面互相平行，且不在這兩個面上的棱都相互平行，那么這個多面體叫做棱柱；棱柱的兩個相互平行的面叫做棱柱的底面，其他的面叫做棱柱的側(cè)面；棱柱的側(cè)面都是平行四邊形；不在底面上的棱叫做棱柱的側(cè)棱；兩個底面間的距離叫做棱柱的高；底面是平行四邊形的棱柱有六個面，且六個面都是平行四邊形的棱柱叫做平行六面體；側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱，直棱柱的側(cè)面都是矩形，直棱柱的高與側(cè)棱的長相等；底面是矩形的直棱柱叫做長方體，所有棱長都相等的長方體叫做正方體；底面是正多邊形的

11、直棱柱叫做正棱柱；（2）棱錐如果一個多面體有一個多邊形的面，且不在這個面上的棱都有一個公共點，那么這個多面體叫做棱錐；棱錐的多邊形的面叫做棱錐的底面，其他的面叫做棱錐的側(cè)面，棱錐側(cè)面都是三角形；不在底面上的棱叫做棱錐的側(cè)棱；側(cè)棱的公共點叫做棱錐的頂點；頂點與底面之間的距離叫做棱錐的高；如果棱錐的底面是正多邊形，且底面中心與頂點的連線垂直于底面，那么這個棱錐叫做正棱錐；正棱錐的各條側(cè)棱長相等，各個側(cè)面都是全等的等腰三角形，正棱錐的高與其頂點到底面中心的距離相等；2.旋轉(zhuǎn)體平面上一條封閉曲線所圍成的區(qū)域繞著它所在平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)而形成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體，該定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸；（1）圓柱如圖

12、，將矩形ABCD繞其一邊AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的的幾何體叫做圓柱；AB所在直線叫做圓柱的軸；線段AD和BC旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；線段CD旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；CD叫做圓柱側(cè)面的一條母線；圓柱的兩個底面間的距離（即AB的長度）叫做圓柱的高；根據(jù)圓柱的形成過程易知：圓柱有無窮多條母線，且所有母線都與軸平行；圓柱有兩個相互平行的底面；（2）圓錐類似地，將直角三角形乂ABC（及其內(nèi)部）繞其一條直角邊AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體叫做圓錐；AB所在直線叫做圓錐的軸；點A叫做圓錐的頂點；直角邊BC旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓錐的底面；斜邊AC旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面；斜邊AC叫做圓

13、錐側(cè)面的一條母線；圓錐的頂點到底面間的距離叫做圓錐的高；根據(jù)圓錐的形成過程易知：圓錐有無窮多條母線，且所有母線相交于圓錐的頂點；每條母線與軸的夾角都相等；（3）球如圖，將圓心為O的半圓繞其直徑AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體叫做球，記作球O；半圓的圓弧所形成的曲面叫做球面，易知，點O到球面上任意點的距離都相等；把點O稱為球心，把原半圓的半徑和直徑分別稱為球的半徑和球的直徑；球面上聯(lián)結(jié)兩點的最短路徑，該路徑的長度就是球面上兩點之間的距離；在聯(lián)結(jié)球面上兩點的路徑中，通過該兩點的大圓劣弧最短，因此該弧的長度就是這兩點的球面距離；任意平面與球面的交線都是圓；我們規(guī)定，當(dāng)平面通過球心時，所得交線是大

14、圓；當(dāng)平面不通過球心時，所得交線是小圓；3. 面積與體積公式直柱體的表面積：（h,c分別為直柱體的高和底面周長)圓柱的表面積：(h,r分別為圓柱的高和底面半徑）正錐體的表面積：（,c分別為斜高和底面周長)圓錐的表面積：（,r分別為母線長和底面半徑)球的表面積公式：(r是球的半徑)祖geng原理：體積可看成是由面積疊加而成，用一組平行平面截兩個空間圖形，若在任意等高處的截面面積都對應(yīng)相等，則兩空間圖形的體積必然相等；棱柱的體積：（h為棱柱的高）圓柱的體積：(h,r分別為圓柱的高和底面半徑）等底等高的三棱錐的體積相等；棱錐的體積：（h為棱錐的高）圓錐的體積：(h,r分別為圓錐的高和底面半徑）球的體積公式：(r是球的半徑）4.直觀圖與斜二測畫圖法規(guī)定按如圖所示的位置和夾角作三條軸分別表示前后方向、