線性變換練習題

1、一、填空題1. 設(shè)是的線性變換，是的一組基，則在基下的矩陣為_，又則_。2. 設(shè)A為數(shù)域P上秩為r的n階矩陣，定義n維列向量空間的線性變換：，則，。 3. 設(shè)上三維列向量空間的線性變換在基下的矩陣是，則在基下的矩陣是。4. 如果矩陣的特征值等于1，則行列式=。5. 設(shè)A=，是P3上的線性變換，那么的零度=。 6. 若，且，則的特征值為。7. 在中，線性變換D()，則D在基下的矩陣為。8. 在中，線性變換在基下的矩陣是。9. 設(shè)的三個特征值為，則+=，= 。10. 數(shù)域上維線性空間的全體線性變換所成的線性空間為維線性空間，它與同構(gòu)。11. 已知n階方陣滿足，則的特征值為。12. 已知3階矩陣的特

2、征值為1,2,3,則。13. 設(shè)為數(shù)域上的線性空間的線性變換,若是單射,則=。14. 設(shè)三階方陣的特征值為1,2,-2,則=。15. 在中，線性變換D()，則D在基下的矩陣為。16. 已知線性變換在基下的矩陣為，則在基下的矩陣為。17. 設(shè)上三維列向量空間的線性變換在基下的矩陣是，則在基下的矩陣是。18. 設(shè)線性變換在基的矩陣為，線性變換在基下的矩陣為，那么在基下的矩陣為.19. 已知n階方陣滿足，則的特征值為。20. 已知線性變換在基下的矩陣為，則在基下的矩陣為。21. 在中，若向量組，線性相關(guān)，則。22. 若線性變換在基下的矩陣為，則在基下的矩陣為矩陣為。23. 若，且，則的特征值為。二、

3、選擇題1. 下列哪種變換一定是向量空間的線性變換（ ）。A BC D2. 當階矩陣適合條件（ ）時，它必相似于對角陣。A有個不同的特征向量 B是三角矩陣C有個不同的特征值 D是可逆矩陣3. 設(shè)是向量空間上的線性變換，且，則的所有特征值為（ ）。A2 B0，2 C0 D0，2，14. 設(shè)是3維向量空間上的變換，下列中是線性變換的是（ ）。A=B=C=D=5. 設(shè)是向量空間的線性相關(guān)的向量組，是的一個線性變換，則向量組在下的像（ ）。A線性無關(guān)B線性相關(guān)C線性相關(guān)性不確定 D全是零向量6. n 階方陣A有 n 個不同的特征值是A可以對角化的（ ）。A充要條件B 充分而非必要條件 C必要而非充分條件

4、 D 既非充分也非必要條件7. 設(shè)是向量空間的線性變換且，則的特征值（ ）。A只有1 B只有C有1和D有0和18. 如果方陣與對角陣相似，則=（ ）。A. B. C. D.9. 設(shè)、為階矩陣，且與相似，為階單位矩陣，則（ ）。AB與有相同的特征向量和特征值C與相似于同一個對角矩陣D10. 設(shè)4級矩陣與相似，的特征值是1，2，3，4，則的行列式是（）。A-24B10C24 D不能確定11. 設(shè)是維線性空間的線性變換,那么下列說法錯誤的是（ ）。A.是單射B.是滿射C.是雙射D.是雙射是單位映射12. 設(shè)為3階矩陣,且均不可逆,則錯誤的是（ ）。A.不相似于對角陣 B. 可逆 C. D. 13.

5、設(shè)為3階矩陣,且其特征多項式為,則錯誤的是（ ）。A.相似于對角陣 B. 不可逆 C. D. 14. 維線性空間的線性變換可以對角化的充要條件是（）。A有個互不相同的特征向量 B有個互不相同的特征根C有個線性無關(guān)的特征向量 D. 不存在個互不相同的特征根15. 設(shè)是3維向量空間上的變換，下列中是線性變換的是（ ）。A= B=C=D=16. 設(shè)是向量空間上的線性變換，且，則的所有特征值為（ ）。A2 B-1，1 C0 D0，2，117. 維線性空間的線性變換可以對角化的充要條件是（ ）。A.有個互不相同的特征向量 B. 有個互不相同的特征根C.有個線性無關(guān)的特征向量 D是可逆線性變換18. 2.

6、 設(shè)矩陣A的每行元素之和均為1，則()一定是的特征值。A. 0 B. 1 C. 2 D. 3第 一 頁19. 設(shè)是3維向量空間上的變換，下列中是線性變換的是（ ）。A=B=C=D=20. 設(shè)，則下列各式成立的是（ ）。A.B.C. D.三、計算題1. 設(shè)表示實數(shù)域上的次數(shù)小于3的多項式，再添上零多項式構(gòu)成的線性空間，而，是的一組基，線性變換滿足，（1）求 在已知基下的矩陣；（2）設(shè)，求。2. 設(shè)是二維列向量空間的線性變換：設(shè)，定義。（1） 求值域的基與維數(shù)；（2）求核的基與維數(shù)。3. 設(shè)線性變換在基下的矩陣是（1） 求矩陣以及線性變換的特征值與特征向量；（2） 判斷是否可以對角化（即線性變換是

7、否在某組基下的矩陣為對角形），若不能對角化，說明理由；若可以對角化，求可逆陣，使為對角形。4. 令表示實數(shù)域上的三元列向量空間，令，若，作變換。（1） 證明為上的線性變換；（2）求及其維數(shù)；（3）求及其維數(shù)。5. 設(shè)矩陣，（1） 求的特征值和特征向量；（2） 求可逆矩陣，使為對角矩陣。6. 令表示實數(shù)域上的三元列向量空間，。（1） 若，證明為的一組基；（2） 求到的過渡矩陣；（3） 若，作變換，證明為上的線性變換；（4） 求及其維數(shù)； （5） 求及其維數(shù)。7. 設(shè)是的線性變換,。（1） 求及其維數(shù)；（2）求及其維數(shù)。8. 設(shè)線性變換在基下的矩陣是。（1） 求矩陣以及線性變換的特征值與特征向量；

8、（2） 判斷是否可以對角化（即線性變換是否在某組基下的矩陣為對角形），若不能對角化，說明理由；若可以對角化，求可逆陣，使為對角形矩陣。9. 令表示實數(shù)域上的三元列向量空間，令，若，作變換。（1）證明為上的線性變換；（2）求及其維數(shù)；（3）求及其維數(shù)。10. 設(shè)為的基，且線性變換在此基下的矩陣為。（1）求的特征值與特征向量； （2）求可逆矩陣，使是對角矩陣。11. 設(shè)三維線性空間的線性變換在基下的矩陣為。（1）求的值域及其維數(shù)；（2）求的核及其維數(shù)。12. 設(shè)表示實數(shù)域上的次數(shù)小于3的多項式，再添上零多項式構(gòu)成的線性空間，而，是的一組基，線性變換滿足，（1） 求在已知基下的矩陣；（2） 設(shè)，求。

9、 13. 給定的兩組基；。定義線性變換：。（1） 寫出由基到基的過渡矩陣；（2） 寫出在基下的矩陣；（3） 寫出在基下的矩陣。14. 設(shè)線性變換在基下的矩陣是,求可逆矩陣,使得為對角形矩陣。15. 設(shè)。（1）求的全部特征值； （2）求的屬于每個特征值的特征向量；（3）求一個可逆矩陣，使為對角形。16. 設(shè)，且在的基下的矩陣= 。問(1)是否可以對角化?(2)若能對角化，求出的一個基，使在此基下的矩陣為對角矩陣。17. 設(shè)數(shù)域P上三維線性空間V的線性變換在基下的矩陣A。（1） 求在基，下的矩陣；（2） 設(shè)，求在基下的坐標。四、證明題1. 設(shè)是數(shù)域上的維向量空間的線性變換，又是的一個基，證明。2. 設(shè)，都是向量空間的線性變換，是，的不變子空間，證明也是的不變子空間。3. 設(shè)是數(shù)域上線性空間的線性變換且。證明：（1）的特征值為1或0； （2）； （3）。 4. 設(shè)是向量空間的兩個子空間，是的一個線性變換，證明：若都是的不變子空間，則也是的不變子空間。5. 設(shè)是向量空間的一個線性變換，都是的不變子空間。證明：也是的不變