狀態(tài)空間表達(dá)式的解

1、第1節(jié) 線性定常齊次狀態(tài)方程的解線性定常齊次狀態(tài)方程的解為式中，證明：用拉普拉斯變換法。對 作拉氏變換，得因為 故 順便可知第2節(jié) 矩陣指數(shù)函數(shù)1、的定義和性質(zhì)（1）定義式中 線性定常系統(tǒng)系統(tǒng)矩陣，階；矩陣指數(shù)函數(shù)，階時變矩陣。若中各元素均小于某定值，必收斂；若為實矩陣，絕對收斂。（2）基本性質(zhì)：組合性質(zhì)：其中為相銜接的兩時間段。推論1：推論2：微分性質(zhì)：當(dāng)A、B兩陣可交換，即 ，則若存在，則 2、的計算（1）級數(shù)計算法（2）拉氏變換法當(dāng)A陣維數(shù)較高時，預(yù)解矩陣可采用遞推法計算。（3）多項式表示法若的特征根，,兩兩互異，則（4）非奇異變換法1）設(shè)的特征根，,兩兩互異，則其中P滿足 推論：若，則

2、2）設(shè)為具有共軛復(fù)特征根的二階陣，則其中P滿足 （模態(tài)規(guī)范型）。證明：因與可交換，故而故 再由即得所證。第3節(jié) 狀態(tài)空間表達(dá)式的解1、線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解設(shè)線性定常系統(tǒng)，可以證明，狀態(tài)方程的解為其中 自由響應(yīng)，只與和A有關(guān)。強(qiáng)迫響應(yīng)，與和A, B有關(guān)。系統(tǒng)的輸出2、階躍輸入下狀態(tài)方程的的解設(shè)，為與同維的常數(shù)向量，則 3、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣又稱作狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，常記為。使用該符號，線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解可表為若，則，且采用符號，主要是便于時變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的表述。第5節(jié) 線性時變連續(xù)系統(tǒng)運(yùn)動分析線性時變連續(xù)系統(tǒng)，設(shè)在域內(nèi)，和的元素是的分段連續(xù)函數(shù)，以保證上述狀態(tài)方程解的存在性和唯一性。1、

3、線性時變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解回顧：線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程解式中，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。其滿足如下兩式比照定常系統(tǒng)，可寫出線性時變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為式中，線性時變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，具有性質(zhì)：2、的計算時變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣與定常系統(tǒng)的在形式上和某些性質(zhì)上類似，但二者有本質(zhì)的區(qū)別。主要區(qū)別是：只是時間差的函數(shù)，與無關(guān)，而是和的二元函數(shù)；一般可寫出閉合表達(dá)式，而除極簡單的情況外，往往難以得到其閉合表達(dá)式?？刹捎眉墧?shù)近似法計算，即注意：對定常系統(tǒng)有而對時變系統(tǒng)，一般?？梢宰C明，當(dāng)且僅當(dāng)與滿足關(guān)系式或成立時，才有時變系統(tǒng)求解一般采用數(shù)值方法?！纠壳笕缦聲r變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解解：因即有等式成立，故狀態(tài)

4、轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)方程的解為第6節(jié) 狀態(tài)方程的數(shù)值解法1、狀態(tài)方程的數(shù)值解法的概念不是所有的狀態(tài)方程都存在解析解，數(shù)值解更具有普遍性。狀態(tài)方程的數(shù)值求解實際上就是一階微分方程組初值問題的數(shù)值求解。狀態(tài)方程的數(shù)值積分解法如：改進(jìn)歐拉法；龍格庫塔法；基爾法；特雷納法等。后兩種方法可用于剛性微分方程組（，為A陣特征根）求解。數(shù)值積分解法分類:單步/多步；顯式/隱式;定步長/變步長。計算誤差：截斷誤差（算法）+舍入誤差（字長）積累誤差（算法，字長，計算時間）同一問題，采用不同的數(shù)值解法或步長，求解效率甚至數(shù)值解結(jié)果可能有較大差異，甚至出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定問題。2、四階龍格庫塔（Runge-Kutta，RK）法屬于

5、定步長顯式單步（自啟動）解法。對狀態(tài)方程,設(shè)（，為計算步長。四階龍格庫塔法由求取的算式為：其中 3、特雷納（Treanor）法對狀態(tài)方程,若雅克比矩陣的特征值具有如下特性：，則稱此狀態(tài)方程為剛性（或病態(tài)）的。特雷納法是求解剛性方程的一種方法。設(shè)（，為計算步長。特雷納法求取時刻狀態(tài)變量數(shù)值的算式為：其中其中 ，可見，當(dāng)時，特雷納法便退化為四階龍格庫塔法。對剛性方程，特雷納法與四階龍格庫塔法具有相同的精度，但穩(wěn)定范圍較后者為寬。從而可選取較大的計算步長。4、四階/五階龍格庫塔菲爾貝格（Runge-Kutta-Felhberg,RKF）法對狀態(tài)方程,設(shè)（，為當(dāng)前的計算步長。RKF法在一個步長內(nèi)對右函

6、數(shù)進(jìn)行6次求值，以保證更高的精度和數(shù)值穩(wěn)定性。采用RKF求取時刻狀態(tài)變量數(shù)值的算式為：式中若在上述定步長算法的基礎(chǔ)上，引入誤差量控制當(dāng)前的計算步長，便形成了自適應(yīng)變步長RKF法。在上式中第4節(jié) 系統(tǒng)響應(yīng)的特征結(jié)構(gòu)（自學(xué)）1、左、右特征向量設(shè)A具有個互異特征根。右特征向量滿足即 的維非零列向量稱為A陣屬于特征根的右特征向量（或列特征向量）。左特征向量滿足 即的維非零行向量稱為陣屬于特征根的左特征向量（或行特征向量）。左、右特征向量的關(guān)系由前已知式中 為右特征向量矩陣。對上式兩邊右乘，得記則有這表明，右特征向量矩陣逆矩陣的行向量即是A陣的左特征向量。由可知左、右特征向量具有如下關(guān)系注意：在上列表達(dá)

7、式中，。2、系統(tǒng)響應(yīng)的特征結(jié)構(gòu)一般分析由前已知，若的特征根，,兩兩互異，則其中V是特征向量矩陣，。上式可寫為故有 將其代入得 上式表明，系統(tǒng)響應(yīng)與特征根和特征向量都有關(guān)。自由響應(yīng)分析自由響應(yīng)向量中的為數(shù)量，其對應(yīng)于由所激發(fā)的第i個模態(tài)的總強(qiáng)度，右特征向量則描述第i個模態(tài)的總強(qiáng)度在各狀態(tài)變量上的權(quán)重分布情況。記則的第j 個狀態(tài)變量為若 ，為衰減或發(fā)散的（單調(diào)）指數(shù)分量。若，則可以證明 。記則其為幅值衰減或發(fā)散的（振蕩）正弦分量。具有重特征根的情況略。階躍輸入響應(yīng)分析若各輸入分量均為階躍函數(shù)，即則因故若 ，當(dāng)，則3、參與矩陣和主導(dǎo)度矩陣 1）參與矩陣引入?yún)⑴c矩陣（Participation Matrix）描述模態(tài)與狀態(tài)變量的關(guān)聯(lián)特性。參與矩陣定義為即左特征向量矩陣的轉(zhuǎn)置與右特征向量矩陣對應(yīng)元素相乘即得參與矩陣。參與矩陣的元素稱為參與因子。由左右特征向量的正交性質(zhì)可知參與矩陣第i列元素之和等于1。令則在狀態(tài)自由響應(yīng)中從而其中當(dāng)t=0時，則有可見參與矩陣各行元素之和等于1。故參與因子表示上述特定初值條件下第k個狀態(tài)變量對第i個模式的關(guān)聯(lián)程度。2）主導(dǎo)特征值的確定對應(yīng)于的系統(tǒng)輸出為設(shè)，則若，當(dāng)，則定義關(guān)于特征值的留數(shù)矩陣：對角線規(guī)范型的輸出矩陣和輸入矩