精講精練：全等三角形證明判定方法分類(lèi)總結(jié)-培優(yōu)

1、【知識(shí)要點(diǎn)】1全等圖形定義：兩個(gè)能夠重合的圖形稱(chēng)為全等圖形2全等圖形的性質(zhì)： （1）全等圖形的形狀和大小都相同，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等 （2）全等圖形的面積相等3全等三角形：兩個(gè)能夠完全重合的三角形稱(chēng)為全等三角形 （1）表示方法：兩個(gè)三角形全等用符號(hào)“”來(lái)表示，讀作“全等于” 如全等，記作 （2）符號(hào)“”的含義：“”表示形狀相同，“=”表示大小相等，合起來(lái)就是形狀相同，大小也相等，這就是全等 （3）兩個(gè)全等三角形重合時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角 （4）證兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上ABCDEF4全等三角形的判定（一

2、）：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)與成“邊邊邊”或“SSS” 如圖，在和中ABDC【典型例題】例1如圖，點(diǎn)B與點(diǎn)D是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，且，求的度數(shù)及的面積ABECFD例2如圖，求的度數(shù)及CF的長(zhǎng)例3如圖，已知：AB=AD，AC=AE，BC=DE，求證：ABECD例4如圖AB=DE，BC=EF，AD=CF，求證：ABCDFE（1）（2）AB/DE，BC/EF例5如圖，在D、E分別為AC、AB上的點(diǎn)，且BE=BC，DE=DC，求證：（1）；AEBCD（2）BD平分 （角平分線的相關(guān)證明及性質(zhì)）【鞏固練習(xí)】1下面給出四個(gè)結(jié)論：若兩個(gè)圖形是全等圖形，則它們形狀一定相同；若兩個(gè)圖形的形狀相同，則它們一定是全等圖

3、形；若兩個(gè)圖形的面積相等，則它們一定是全等圖形；若兩個(gè)圖形是全等圖形，則它們的大小一定相同，其中正確的是（ ） A、 B、 C、 D、 2如圖，且AB和CD是對(duì)應(yīng)邊，下面四個(gè)結(jié)論中ABDC不正確的是（ ）A、的面積相等 B、的周長(zhǎng)相等C、D、AD/BC且AD=BCABCD第3題圖 3如圖，A和B 以及C和D分別是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，如果，則的度數(shù)為（ ）A、 B、C、 D、 4如圖，AD=8，BE=2，則AE等于（ ）ACEBFD第6題圖 A、6 B、5 C、4 D、3第5題圖ABCDEBACEFD第4題圖5如圖，要使，則下列條件能滿足的是（ ） A、AC=BC，AD=CE，BD=BE B、AD=BD，A

4、C=CE，BE=BD C、DC=EC，AC=BC，BE=AD D、AD=BE，AC=DC，BC=EC6如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)D、點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則AB=，AE=，CE=，AB/，若，則DF與BC的關(guān)系是EFDBCA第9題題圖BACDE第7題圖 7如圖，若，第8題圖ABDEC8如圖，若AB=AC，BE=CD，AE=AD，則，所以，9如圖，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ） A、 B、C、 D、ABCDFE10如圖，求的度數(shù)及BC的長(zhǎng)11如圖，在中，AC=BD，AD=BC，求證：ADCB全等三角形（一）作業(yè)1如圖，AC=7cm，AB=5cm.，則AD的長(zhǎng)是（ ） A、7cm B、5cm C、8cm D、無(wú)法

5、確定2如圖，點(diǎn)B、C、E在同一直線上，則的度數(shù)為（ ） A、 B、 C、 D、3如圖，AF=2cm,CF=5cm，則AD=ABCDE4如圖，求的度數(shù)5如圖，已知，AB=DE，BC=EF，AF=CD，求證：AB/CDABCDEF6如圖，已知AB=EF，BC=DE，AD=CF，求證：AB/EFBACEFD7如圖，已知AB=AD，AC=AE，BC=DE，求證：ABECD全等三角形（二）【知識(shí)要點(diǎn)】定義：SAS 兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”，幾何表示ABCEDF如圖，在和中，【典型例題】【例1】 已知：如圖，AB=AC，AD=AE，求證：BE=CD.ADBEC

6、ABDEC12【例2】 如圖，已知：點(diǎn)D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，1=2，由此你能得出哪些結(jié)論？給出證明.【例3】 如圖已知：AE=AF，AB=AC，A=60°，B=24°，求BOE的度數(shù).BEAFCO【例4】 如圖，B，C，D在同一條直線上，ABC，ADE是等邊三角形，求證：CE=AC+DC； ECD=60°.EABCD【例5】如圖，已知ABC、BDE均為等邊三角形。求證：BDCD=AD。DABCE【鞏固練習(xí)】 1在ABC和中，若AB=，AC=，還要加一個(gè)角的條件，使ABC，那么你加的條件是（ ） AA= B.B= C.C= D.A= 2下列各組條

7、件中，能判斷ABCDEF的是（ ） AAB=DE，BC=EF；CA=CD B.CA=CD；C=F；AC=EF CCA=CD；B=E D.AB=DE；BC=EF，兩個(gè)三角形周長(zhǎng)相等 3閱讀理解題： 如圖：已知AC，BD相交于O，OA=OB，OC=OD. 那么AOD與BOC全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.ABC與BAD全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.SASOA=OBOD=OC 小明的解答：AODBOCDC12OAB 而B(niǎo)AD=AOD+ADBABC=BOC+AOB 所以ABCBAD （1）你認(rèn)為小明的解答有無(wú)錯(cuò)誤；（2）如有錯(cuò)誤給出正確解答；4如圖，點(diǎn)C是AB中點(diǎn)，CDBE，且CD=BE，試探究AD與CE的關(guān)系。 ACBE

8、D5如圖，AE是AB=AC（1）若D是AE上任意一點(diǎn)，則ABDACD，說(shuō)明理由.（2）若D是AE反向延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.BCDEA126如圖，已知AB=AC，EB=EC，請(qǐng)說(shuō)明BD=CD的理由ABEDC全等三角形（二）作業(yè)1如圖，已知AB=AC，AD=AE，BF=CF，求證：。ABCEDF2如圖，ABC，BDF為等腰直角三角形。求證：（1）CF=AD；（2）CEAD。ACBDEF3如圖，AB=AC，AD=AE，BE和CD相交于點(diǎn)O，AO的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F。求證：BF=FC。ADECBFO4已知：如圖1，ADBC，AE=CF，AD=BC，E、F在直線AC上，求證：DEBF。

9、12DCABEFDABQCPE5. 如圖，已知ABAC，ADAE，AB=AC，AD=AE，求證：（1）BE=DC，（2）BEDC.6、已知，如圖A、F、C、D四點(diǎn)在一直線上，AF=CD，AB/DE，且AB=DE，求證：（1）ABCDEF （2）CBF=FEC7、 已知:如圖,AB=AC,AD=AE,BAC=DAE.求證:BD=CE8、如圖，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，連接BE、DG，（1）觀察猜想BE與DG之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論。（2）圖中是否存在通過(guò)旋轉(zhuǎn)能夠互相重合的兩個(gè)三角形？若存在，請(qǐng)說(shuō)出旋轉(zhuǎn)過(guò)程，若不存在，說(shuō)明理由。9、已知:如圖,AD是BC上的中線 ,且

10、DF=DE求證:BECF10、已知C為AB上一點(diǎn),ACN和 BCM是正三角形.求證：（1）AM=BNCNMBAEDF （2）求AFN大小。11、已知如圖，F(xiàn)在正方形ABCD的邊BC邊上，E在AB的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)BEB，AF交CE于G，求AGC的度數(shù).12、 如圖，ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四邊形CDEF是正方形，連接AF、BD.(1)觀察圖形，猜想AF與BD之間有怎樣的關(guān)系，并證明你的猜想；(2)若將正方形CDEF繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使正方形CDEF的一邊落在ABC的內(nèi)部，請(qǐng)你畫(huà)出一個(gè)變換后的圖形，并對(duì)照已知圖形標(biāo)記字母，題(1)中猜想的結(jié)論是否仍然成立？若成立，直接寫(xiě)出結(jié)論，

11、不必證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.全等三角形（三）ASAABC【知識(shí)要點(diǎn)】ASA公理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等如圖，在與中DEFASA公理推論（AAS公理）：有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等【典型例題】【例1】下列條件不可推得和全等的條件是（ ）A、 AB=AB，B、 AB= AB，AC=AC，BC=CC、 AB= AB，AC=AC，ADBECFD、 AB= AB，【例2】已知如圖，求證：BC=EFABDEC【例3】如圖，AB=AC，求證：AD=AEABCDP1234【例4】已知如圖，點(diǎn)P在AB上，可以得出PC=PD嗎？試證明之【例5】如圖，AC=AE，求證：DE

12、=BC12A43BCDEO【例6】如圖，AC，BD相交于O，ABCDO12求證：AB=CD OA=OD【鞏固練習(xí)】ABDCFE1如圖，AB/CD，AF/DE，BE=CF，求證：AB=CDABCNMDO2如圖，AD/BC，O為AC中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AD，BC于點(diǎn)M，N，求證：AM=CN3求證：兩個(gè)全等三角形ABC與ABC的角平分線AD、AD相等ABCDABDCAEDOCFB4如圖，AB，CD相交于O，E，F(xiàn)分別在AD，BC上，若，求證：ABDC13245如圖，AB/CD，AD/BC，求證：AB=CD6已知，如圖AB=DB，求證：AC=DECADEB12全等三角形（三）作業(yè)1已知，如圖，求證

13、：AB=DEAEFDCB122如圖，已知，求證：BE=CDABEDC3已知如圖，AB=AD，求證：AC=AEABDCE4已知如圖，在中，AD平分，求證：ABDCACBD5已知如圖，求BD的長(zhǎng)（要求寫(xiě)出完整的過(guò)程）6、如圖中，BC，D，E，F(xiàn)分別在AB,BC,AC上，且BD=CE,DEF=B ADECBF求證：ED=EF7、 (1)如圖，以的邊、為邊分別向外作正方形和正方形，連結(jié)，試判斷ABC與AEG面積之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由 (2)園林小路，曲徑通幽，如圖所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石鋪成已知中間的所有正方形的面積之和是a平方米，內(nèi)圈的所有三角形的面積之和是b平方米，這條小路一

14、共占地多少平方米？AGFCBDE（圖）8、已知：如圖 , AD為CE的垂直平分線 , EFBC.求證：EDNCDNEMN9、 已知：如圖 , AB=AC , AD=AE , 求證：OBDOCE10、已知：如圖 , AB=CD , AD=BC ,O為BD中點(diǎn) , 過(guò)O作直線分別與DA、BC的延長(zhǎng)線交于E、F求證：OE=OF11、如圖在ABC和DBC中 , 1=2 , 3=4 , P是BC上任意一點(diǎn)求證：PA=PD.12、已知 ：如圖 , 四邊形 ABCD中 , ADBC , F是AB的中點(diǎn) , DF交CB延長(zhǎng)線 于E , CE=CD求證：ADE=EDC13、已知：如圖 , OA=OE , OB=

15、OF , 直線FA與BE交于C , AB和EF交于O ,求證：1=2全等三角形（四）強(qiáng)化訓(xùn)練1、如圖，是等邊三角形，點(diǎn)、分別是線段、上的點(diǎn)，（1）若，問(wèn)是等邊三角形嗎？試證明你的結(jié)論；（2）若是等邊三角形，問(wèn)成立嗎？試證明你的結(jié)論2、如圖所示，已知1=2，EFAD于P，交BC延長(zhǎng)線于M，求證：2M=（ACB-B）3、ABC中，A=90°，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，E、F分別在AC、AB上，且DEDF，試判斷DE、DF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由4、已知：如圖，中，于，平分，且于，與相交于點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連結(jié)與相交于點(diǎn)（1）求證：；（2）求證：；5、如圖，點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn)，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)

16、得，連接（1）求證：是等邊三角形；（2）當(dāng)時(shí)，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；（3）探究：當(dāng)為多少度時(shí)，是等腰三角形？7、過(guò)等腰直角三角形直角頂點(diǎn)A作直線AM平行于斜邊BC，在AM上取點(diǎn)D，使BD=BC，且DB與AC所在直線交于E，求證：CD=CE。過(guò)A作AFBC于F，過(guò)D作DGBC于G，則DG=AF=1/2BC=1/2BD，在RtBDG中，DG=1/2BD =>DBC=30° =>BDC=BCD=1/2(180°-30°)=75°，即EDC=75°DEC=DBC+BCA=30°+45°=75° EDC=DE

17、C =>CD=CE8、RtABC，AB=AC,BM是中線，ADBM交BC于D，求證：AMB=CMD。9、如圖，已知ABC是等邊三角形，BDC120º，說(shuō)明AD=BD+CD的理由。10、已知：如圖，點(diǎn)D在ABC的邊CA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，CF、EF分別是ACB、AED的平分線，且B=30°，D=40°，求F的度數(shù)。11、等邊三角形ABC和等邊三角形DEC，D在AC邊上。延長(zhǎng)BD交CE延長(zhǎng)線于N，延長(zhǎng)AE交BC延長(zhǎng)線于M。求證：CM=CN 易證BCDACE 所以DBC=EAC再證BCNACM (ASA) CM=CN12、操作：如圖，ABC是正三角形

18、，BDC是頂角BDC120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點(diǎn)，連接MN探究：線段BM、MN、NC之間的關(guān)系，并加以證明13、如圖等邊ABC和等邊CDE，點(diǎn)P為射線BC一動(dòng)點(diǎn)，角APK=60°，PK交直線CD于K。（1） 試探索AP、PK之間的數(shù)量關(guān)系；（2） 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BC延長(zhǎng)線上時(shí)，上題結(jié)論是否依然成立？為什么。14、（涉及相似三角形）若P為所在平面上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)叫做的費(fèi)馬點(diǎn). 如圖，在銳角外側(cè)作等邊連結(jié)。求證：過(guò)的費(fèi)馬點(diǎn)，且=.ACB15、如圖,是等腰直角三角形,C900,點(diǎn)M,N分別是邊AC和BC的中點(diǎn),點(diǎn)D在射線BM上,且BD2BM, 點(diǎn)E在射線NA上,且NE2NA.求證:BDDE.第五章 全等三角形 拓展延伸分析：三角形全等的證明及其運(yùn)用關(guān)鍵點(diǎn)在于“把相等的邊（角）放入正確的三角形中”，去說(shuō)明“相等的邊（角）所在的三角形全等”，利用三角形全等來(lái)說(shuō)明兩個(gè)角相等（兩條邊相等）是初中里面一個(gè)非常常見(jiàn)而又重要的方法。例1：已知AE既是BAC的平分線，也是BDC的