高考數(shù)學二輪復習專題 分類討論思想在解題中的應用

1、一、知識整合1.分類討論是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學思想，這種思想對于簡化研究對象，發(fā)展人的思維有著重要幫助，因此，有關分類討論的數(shù)學命題在高考試題中占有重要位置。2.所謂分類討論，就是當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結論，最后綜合各類結果得到整個問題的解答。實質上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數(shù)學策略3.分類原則：分類對象確定，標準統(tǒng)一，不重復，不遺漏，分層次，不越級討論。4.分類方法：明確討論對象，確定對象的全體，確定分類標準，正確進行分類；逐類進行討論，獲取階段性成果；歸納小結，綜合出結論。5

2、.含參數(shù)問題的分類討論是常見題型。6.注意簡化或避免分類討論。二、例題分析例1.一條直線過點（5，2），且在x軸，y軸上截距相等，則這直線方程為（）A. B. C. D. 分析：設該直線在x軸，y軸上的截距均為a,當a=0時，直線過原點，此時直線方程為；當時，設直線方程為，方程為。例2分析：因此，只要根據(jù)已知條件，求出cosA，sinB即可得cosC的值。但是由sinA求cosA時，是一解還是兩解？這一點需經(jīng)過討論才能確定，故解本題時要分類討論。對角A進行分類。解：這與三角形的內角和為180°相矛盾。例3.已知圓x2+y2=4，求經(jīng)過點P（2，4），且與圓相切的直線方程。分析：容易想

3、到設出直線的點斜式方程y-4=k(x-2)再利用直線與圓相切的充要條件：“圓心到切線的距離等于圓的半徑”，待定斜率k，從而得到所求直線方程，但要注意到：過點P的直線中，有斜率不存在的情形，這種情形的直線是否也滿足題意呢？因此本題對過點P的直線分兩種情形：（1）斜率存在時，（2）斜率不存在解（略）：所求直線方程為3x-4y+10=0或x=2例4.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m分析：解對數(shù)不等式時，需要利用對數(shù)函數(shù)的單調性，把不等式轉化為不含對數(shù)符號的不等式。而對數(shù)函數(shù)的單調性因底數(shù)a的取值不同而不同，故需對a進行分類討論。解：例5.分析：解無理不等式，需要將兩邊平方后去根號，以化為有理不

4、等式，而根據(jù)不等式的性質可知，只有在不等式兩邊同時為正時，才不改變不等號方向，因此應根據(jù)運算需求分類討論，對x分類。解：例6.分析：這是一個含參數(shù)a的不等式，一定是二次不等式嗎？不一定，故首先對二次項系數(shù)a分類：（1）a0（2）a=0，對于（2），不等式易解；對于（1），又需再次分類：a>0或a<0，因為這兩種情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在兩根之外，還是在兩根之間。而確定這一點之后，又會遇到1與誰大誰小的問題，因而又需作一次分類討論。故而解題時，需要作三級分類。解：綜上所述，得原不等式的解集為；。例7.已知等比數(shù)列的前n項之和為，前n+1項之和為，公比q>0，

5、令。分析：對于等比數(shù)列的前n項和Sn的計算，需根據(jù)q是否為1分為兩種情形：故還需對q再次分類討論。解：例8.分析：解：（1）當k=4時，方程變?yōu)?x2=0，即x=0，表示直線；（2）當k=8時，方程變?yōu)?y2=0，即y=0，表示直線；（i）當k<4時，方程表示雙曲線；（ii）當4<k<6時，方程表示橢圓；（iii）當k=6時，方程表示圓；（iv）當6<k<8時，方程表示橢圓；（v）當k>8時，方程表示雙曲線。例9. 某車間有10名工人，其中4人僅會車工，3人僅會鉗工，另外三人車工鉗工都會，現(xiàn)需選出6人完成一件工作，需要車工，鉗工各3人，問有多少種選派方案？分

6、析：如果先考慮鉗工，因有6人會鉗工，故有C63種選法，但此時不清楚選出的鉗工中有幾個是車鉗工都會的，因此也不清楚余下的七人中有多少人會車工，因此在選車工時，就無法確定是從7人中選，還是從六人、五人或四人中選。同樣，如果先考慮車工也會遇到同樣的問題。因此需對全能工人進行分類：（1）選出的6人中不含全能工人；（2）選出的6人中含有一名全能工人；（3）選出的6人中含2名全能工人；（4）選出的6人中含有3名全能工人。解：三、總結提煉分類討論是一種重要的數(shù)學思想方法，是一種數(shù)學解題策略，對于何時需要分類討論，則要視具體問題而定，并無死的規(guī)定。但可以在解題時不斷地總結經(jīng)驗。如果對于某個研究對象，若不對其分

7、類就不能說清楚，則應分類討論，另外，數(shù)學中的一些結論，公式、方法對于一般情形是正確的，但對某些特殊情形或說較為隱蔽的“個別”情況未必成立。這也是造成分類討論的原因，因此在解題時，應注意挖掘這些個別情形進行分類討論。常見的“個別”情形略舉以下幾例：（1）“方程有實數(shù)解”轉化為時忽略了了個別情形：當a=0時，方程有解不能轉化為0；（2）等比數(shù)列的前項和公式中有個別情形：時，公式不再成立，而是Sn=na1。 設直線方程時，一般可設直線的斜率為k，但有個別情形：當直線與x軸垂直時，直線無斜率，應另行考慮。(4)若直線在兩軸上的截距相等，常常設直線方程為，但有個別情形：a=0時，再不能如此設，應另行考慮

8、。四、強化練習：見優(yōu)化設計。【模擬試題】一. 選擇題： 1. 若的大小關系為（） A. B. C. D. ； 2. 若，且，則實數(shù)中的取值范圍是（） A. B. C. D. 3. 設A=（） A. 1B. C. D. 4. 設的值為（） A. 1B. 0C. 7D. 0或7 5. 一條直線過點（5，2），且在x軸，y軸上截距相等，則這直線方程為（） A. B. C. D. 6. 若（） A. 1B. C. D. 不能確定 7. 已知圓錐的母線為l，軸截面頂角為，則過此圓錐的頂點的截面面積的最大值為（） A. B. C. D. 以上均不對 8. 函數(shù)的圖象與x軸的交點至少有一個在原點的右側，則實

9、數(shù)m的取值范圍為（） A. B. C. D. 二. 填空題 9. 若圓柱的側面展開圖是邊長為4和2的矩形，則圓柱的體積是_。 10. 若，則a的取值范圍為_。 11. 與圓相切，且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為_。 12. 在50件產(chǎn)品中有4件是次品，從中任抽取5件，至少有3件次品的抽法共有_種（用數(shù)字作答） 13. 不等式的解集為_。三. 解答題： 14. 已知橢圓的中心在原點，集點在坐標軸上，焦距為，另一雙曲線與此橢圓有公共焦點，且其實軸比橢圓的長軸小8，兩曲線的離心率之比為3：7，求此橢圓、雙曲線的方程。 15. 設a>0且，試求使方程有解的k的取值范圍?！驹囶}答案】一. 選擇題

10、 1. C2. D3. D4. D5. C6. A7. D8. B提示：1. 欲比較p、q的大小，只需先比較的大小，再利用對數(shù)函數(shù)的單調性。而決定的大小的a值的分界點為使的a值：a=1，當a>1時，此時當即?？梢?，不論a>1還是0<a<1，都有p>q。 2. 若，即若可見當都有，故選（D） 3. 若若，則， 4. 由是1的7次方根，可得顯然，1是1的7次方根，故可能；若，則故選（D） 5. 設該直線在x軸，y軸上的截距均為a,當a=0時，直線過原點，此時直線方程為；當時，設直線方程為，方程為 6. 由于是總有，故選（A） 7. 當時，最大截面就是軸截面，其面積為；

11、當時，最大截面是兩母線夾角為的截面，其面積為可見，最大截面積為，故選（D） 8. 當時，滿足題意綜上可知，故選（B）二. 填空題 9. （提示：若長為4的邊作為圓柱底面圓周的展開圖，則；若長為2的邊作為圓柱底面圓周的展開圖，則） 10. （提示：對a分：兩種情況討論） 11. （提示：分截距相等均不為0與截距相等均為0兩種情形） 12. 4186種（提示：對抽取5件產(chǎn)品中的次品分類討論：（1）抽取的5件產(chǎn)品中恰好有3件次品；（2）抽取的5件產(chǎn)品中恰好有4件次品，于是列式如下：=4140+46=4186） 13. 若，則解集為若，則解集為（提示：設解之得對a分類：時，）三. 解答題 14. 解：（1）若橢圓與雙曲線的焦點在x軸上，可設它們方程分別為，依題意（2）若焦點在y軸上，則可設橢圓方程為