高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、 第一節(jié) 中值定理一.費馬定理1.定義1.極值設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)對一切有或（），則稱在點處取得極大值（或極小值）；并稱為的極大值點（或極小值點）.注意：極大值、極小值在今后統(tǒng)稱為極值； 極大值點、極小值點在今后統(tǒng)稱為極值點；2.定理1.極值的必要條件（費馬定理）設(shè)在點的某鄰域內(nèi)有定義，且在處可導(dǎo),若為極值，則必有：.證明：不妨設(shè)為極大值。按極大值的定義，則的某個鄰域，使對一切此鄰域內(nèi)的有-（1） 所以，-（2）又因為存在，所以應(yīng)有-（3） 故，由（2）式及（3）式，必有.1 注意：使的點可能為的極大值點（或極小值點），也可能不是.比如：二中值定理1.定理2.羅爾中值定理：若值設(shè)函數(shù)滿足：（1

2、）在區(qū)間上連續(xù)； （2）在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（3）.則，必至少存在一點，使注意:羅爾定理的幾何意義是說，在每點處都有非垂直切線的一段曲線上，若兩端點處的高度相同，則在曲線上至少存在一條水平切線.（作圖說明）證明：由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，在上有最大值M及最小值m.（1） 若M=m，則，. 所以，任取，均滿足；（2） 若，則M和m中至少有一個不等于，因此則M和m中至少有一個在區(qū)間內(nèi)部某點處取到. 不妨設(shè)為的最大值，從而也是極大值。又因 在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則由費馬定理知，.注意：羅爾定理中的三條件如缺少其中任何一條，則結(jié)論可能不再成立. 反例1.（不滿足條件（1）；反例2.，（不滿足條件（2）；反例3.2.

3、定理3拉格朗日中值定理：若值設(shè)函數(shù)滿足：（1）在區(qū)間上連續(xù)； （2）在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則，必至少存在一點，使注意：（1）拉氏定理中，如仍有,則結(jié)論將變?yōu)椋罕刂辽俅嬖谝稽c，使.可見羅爾定理是拉氏定理的特殊情形；（3） 拉氏定理的幾何意義：在上曲線上至少存在一點，使該點處的切線平行于弦AB.證明：令， 則在上滿足羅爾定理的三個條件.所以，由羅爾定理知，使.即，.-（*）注意：（1）注意到（*）式當(dāng)時仍然成立； （2）為方便應(yīng)用，（*）式也常改寫為-（*）（*）式稱為拉格朗日中值公式；（3） 羅爾定理及拉氏定理僅指明，具體的位置是什么，定理本身并未明確指出.但在大多數(shù)問題中知道這一點已經(jīng)足夠了。因此我們

4、才稱上述兩定理為中值定理，這個“中”其實是“內(nèi)部”的意思，并非“正中間”.中值定理是利用導(dǎo)數(shù)的局部性態(tài)來研究函數(shù)整體性態(tài)的重要工具；（4）為了強(qiáng)調(diào)中值的位置特征，可記； （5）故拉氏定理又可寫為-（4） （6）由拉氏定理，上式稱為有限增量公式.例1.驗證：在上滿足拉氏定理的條件，并求出定理結(jié)論中的點.解：（一）1.由，知在處連續(xù)，從而在上連續(xù)；2.按左、右導(dǎo)數(shù)的定義不難求出從而在內(nèi)可導(dǎo)，且因此，在上滿足拉氏定理的條件.（二）由拉氏定理的結(jié)論：，使.不難算得：或。注意：中值定理中結(jié)論只保證中間值的存在性，至于是否唯一，不唯一時有幾個，如何求？定理本身并未指出.例2設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且證明：使

5、證明：（分析 尋找合適的輔助函數(shù)應(yīng)用羅爾中值定理，采用倒推的方法分析.命題只須證，使，或者.故令。顯然，且在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，從而由羅爾定理知，使例4.證明：.證明：設(shè)， 則， 所以，由推論1，例5（拉氏定理的推論2）.證明：若對于，則.證明：設(shè)，則有.所以，由推論1知，.例6證明：對.證明：設(shè)，則. 在上由拉氏定理知，,即：例7證明：對此不等式是個常用的結(jié)論，請大家記住.還有一個也要記住：例7.證明不等式：證明：將欲證之不等式改寫為： 上式右端正是函數(shù)在上兩端點處函數(shù)值之差，故只須對函數(shù)在上應(yīng)用拉氏定理.此題作為補(bǔ)充作業(yè)。例8若對于其中M為常數(shù)，則是常值函數(shù).證明：有，上式中，令，得：，所以

6、，.注意到的任意性，故：.所以，.例9證明：若函數(shù)在可導(dǎo)，且，則在內(nèi)，必至少存在一點，使.證明：設(shè) （1）若在是常值函數(shù)，即，則對于任何一點，有； （2）若在不是常值函數(shù).不妨設(shè)，使.即，則根據(jù)極限的保號性：使；又使.已知在在上 連續(xù)，則在上 可取到最大值與最小值，且最大值不能是區(qū)間的端點；只能在開區(qū)間內(nèi).此時的最大值就是極大值，設(shè)此極大值點為，則由費馬定理，知：.例10證明：若在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)且，則至少存在一點，使.證明：由拉氏定理：，使：所以，.完全類似，使： 所以，.又，在區(qū)間上對函數(shù)由拉氏定理：，使：例11若在區(qū)間上存在二階導(dǎo)數(shù)，且，則至少存在，使：.證明：又，設(shè)，于是，

7、有：所以，.3.定理4.柯西中值定理：若函數(shù)和滿足： （1）在上連續(xù)； （2）在內(nèi)可導(dǎo)，且對，則，使：.證法：與拉氏定理的證明類似，也是構(gòu)造一個輔助函數(shù)，再應(yīng)用羅爾定理.不難看到，當(dāng)時，柯西定理轉(zhuǎn)化為拉氏定理.因此，構(gòu)造輔助函數(shù)的方法是，將在證明拉氏定理時所構(gòu)造的輔助函數(shù)中的單個字母分別用替換.于是，這里所構(gòu)造的輔助函數(shù)是證明：首先證明.用反證法。假設(shè). 根據(jù)羅爾定理，存在，使與已知條件矛盾. 其次，構(gòu)造輔助函數(shù)，則.不難驗證，在區(qū)間上滿足羅爾定理的條件.故根據(jù)羅爾定理：存在，使， 即：.例12設(shè)，在上可微，證明，使.證明：分析 由，變形原證等式為，使.令，對和在上，使用柯西定理即可. 中值定

8、理是理論證明的有力工具,時間上它在計算極限時也非常有效簡便.解:由拉格朗日中值定理, (介于之間)所以,解:由拉格朗日中值定理,(介于之間). 再由拉格朗日中值定理,(介于之間).所以,解:()解:解法二:取,由柯西中值定理, 有解:原式第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)第二節(jié) 洛必達(dá)法則一.型的洛必達(dá)法則1.定理1設(shè)函數(shù)滿足： （1）； （2）在的某個去心鄰域內(nèi)，都存在，且； （3）存在（或為）.則，存在（或為）.證明：存在與否與無關(guān)，故不妨設(shè).在此條件下，在的某個去心鄰域內(nèi)連續(xù). 對于，在或上連續(xù)；在在或內(nèi)可導(dǎo)。且.所以，由柯西定理知，存在或，使：.注意到：當(dāng)時，有，對上式兩端取極限，得：。注意：（1）當(dāng)將

9、極限過程改為其他時，也有類似的型的洛必達(dá)法則；（2）定理1也可連續(xù)使用多次，但要保證每次使用時都滿足條件.二型的洛必達(dá)法則定理2.設(shè)函數(shù)滿足： （1）； （2在的某個去心右鄰域內(nèi)，都存在，且； （3）存在（或為）.則，存在（或為）.證明:(一).若為實數(shù).由條件(1),均在內(nèi)不等于零.由(3),對于任給的,必存在,對滿足不等式的的有 (1)根據(jù)柯西定理,對于內(nèi)的任一點,必存在一點,使得由(1)式,就有 (2)另一方面由于(2),是式右端第一個因子是有界量,第二個因子對固定的,由條件(1)當(dāng)時是無窮小量,因此必存在正數(shù),使得時,有 (3)綜合(1)、(2)、(3),對一切滿足不等式的,有這就證明

10、了存在.類似地,請同學(xué)們自證當(dāng)時,命題亦成立.注意:上述定理對于的情形,有同樣的結(jié)論.推論: 設(shè)函數(shù)滿足： （1）； （2在的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且； （3）存在（或為）.則，存在（或為）.證明:作代換,則時,于是 由于在內(nèi)滿足定理1的條件,所以,故.例1.求例2.求越來越麻煩，說明洛必達(dá)法則雖在大多數(shù)情況下可簡化運算，但有時它可能并不是最簡單的做法。如能采用其他方法先行簡化欲求極限的函數(shù)，再使用洛必達(dá)法則，則效果可能會更好！例2的另一種作法：；例3.求；例4.求；例5.；例6.求；例7.求；例8.求.三其它類型的未定型1型 例9求；2型例10.求；3型例11求；4型例12求.注意：（1）若不存在

11、（并且也不是），則不能說也不存在.比如：存在；但不存在.（2）法則不是萬能的，也有失效的時候，比如：形成循環(huán)，永遠(yuǎn)也得不到結(jié)果.（4） 用洛必達(dá)法則時最好作一步，就及時檢查一步，看是否劃得來.另外，如果在用洛必達(dá)法則時，還可以同時再結(jié)合其他的求極限方法，效果可能會更好.總之，我們的方針是：“百花齊放、百家爭鳴”.例13討論函數(shù)在處的連續(xù)性.解：； 令，則.所以，. 因為，所以，在處連續(xù).例14求：例15.例16求例17若在的某個鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且，則對于，證明：在內(nèi)至少存在一點，使證明：在上對用柯西定理：存在使； 在上再對用柯西定理：存在使.注意：更一般地，若在的某個鄰域內(nèi)n階可導(dǎo)，且，則對于

12、，證明：在內(nèi)至少存在一點，使.例18若存在，證明：.證明：.注意：本題中為何只用了一次洛必達(dá)法則，不連續(xù)使用兩次洛必達(dá)法則而直接得到結(jié)果？第四章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié) 泰勒公式一.泰勒公式 （引：在初等函數(shù)中，最簡單的函數(shù)就是多項式，因為多項式只有加、減、乘三種運算.如果能將其他類型的函數(shù)，尤其是無理函數(shù)、初等超越函數(shù)近似地用多項式函數(shù)表示，而由此產(chǎn)生的誤差又能滿足精度的要求，顯然這對函數(shù)性態(tài)的研究及函數(shù)值的近似計算都會帶來方便.事實上，我們已經(jīng)這樣做過：大家還記得，在微分一節(jié)里，我們講過.其實就是用一次多項式來近似表示函數(shù).但，那種近似表示明顯地存在兩點不足： 1.精度不高，誤差僅為；

13、 2.無法具體估計、控制誤差. 事實上，為了得到精度更高的近似算法，我們需要用高次多項式來近似表示函數(shù).現(xiàn)在的問題是 1.一個函數(shù)應(yīng)具備什么條件，才可以用多項式函數(shù)來近似代替？ 2.如果可以，這個多項式函數(shù)與又有什么本質(zhì)聯(lián)系？ 3.誤差如何估計？下面將要討論的泰勒公式完美地解決了上述三個問題.（一）首先討論一種特殊的情形，即本身就是多項式：-（1）我們研究一下，的各系數(shù)與在處及其各階導(dǎo)數(shù)在處的值之間的關(guān)系.可證：-（2）所以，（3）這說明多項式函數(shù)，其各次冪的系數(shù)可用其各階導(dǎo)數(shù)在處的值來表示. 注意：一般地，對于任何函數(shù)（未必是多項式函數(shù)），只要在內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，則總可以強(qiáng)行作出次多項式（

14、4）稱為在處的次泰勒多項式.我們有理由懷疑：1.，即； 2.若記，則這種近似計算的誤差如何估計？二.泰勒中值定理：若函數(shù)在內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)時，可表為：.其中，（5） （介與與之間）（6）證明：只需證明：. 由于 ，.1.對及在或上應(yīng)用柯西定理：，（2）對及在或上再次應(yīng)用柯西定理：， 如此，經(jīng)過次將得到：（7）（改記為，并注意到=） 所以，.即.，介與與之間.注意：（1）（8）稱為按的冪展開的階泰勒公式；（2）稱（8）式中的為拉格朗日型余項；（3）余項還可有別的表示形式，最常用的是皮亞諾余項：；（9）（4）由泰勒定理可見， 以近似表示，其誤差，如果對某個固定的n，時，則,； （4）特別地

15、，當(dāng)時，泰勒公式變?yōu)椋?0）稱（10）式為的階麥克勞林展開式； （5）當(dāng)時，（8）式即成為：，介與與之間,此即為拉氏定理.二.幾種常見的麥克勞林展開式（一律帶皮亞諾余項）1.；2.；3.；4.；5. 特別地，時，+ =（注意到=0）這就是著名的二項式定理.以上公式要條條會背.下面僅證（2）式，其余各式的證明請同學(xué)們模仿我來證.例1.求的2n+1階麥克勞林展開式.解：已知 故 具體寫幾個，即是：， 所以，由麥克勞林展開式：.其中，注意：（1）當(dāng)時，誤差； 當(dāng)時，誤差； 當(dāng)時，誤差； （2）顯然，用麥克勞林展開式做近似計算要求很小很小.以上三式表明可分別用一次、二次、三次、五次多項式來近似代替，而

16、多項式的次數(shù)越高，或越靠近原點，其誤差越小.下面給出了和上述三個多項式函數(shù)的圖形.因為這些函數(shù)都是奇函數(shù)，故這里只給出的部分圖形.（作圖）直觀看到：多項式的次數(shù)越高，其圖形與的圖形越接近（即誤差越小）至于這些圖形是如何作出來的，在本章的最后一節(jié)，我們將專門討論函數(shù)的作圖問題.三.舉例.例2求解：注意：為何只展開到的4次冪？例3求解：例4求例5求解： 所以，解:解:我們有.解:所以,例9證明：當(dāng)時，.解：因為，所以，.在內(nèi)具有階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,在內(nèi)的泰勒公式為(1)證明:證明:在內(nèi)帶皮亞諾型余項的泰勒公式為(2)(1)-(2),得上式兩邊同除以,得 (3)于是 (4)(4)式兩邊取極限,得即第四章

17、 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值一.函數(shù)的單調(diào)性1.（單調(diào)的充要條件）定理1.若函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)遞增（或遞減的）的充要條件是：0（或），.證明：（必要性）已知在內(nèi)遞增，則 ，取， 當(dāng)時，從而，-（1）而當(dāng)時，從而，-（2）所以，無論，還是，都有（*）（*）式中，令，由導(dǎo)數(shù)的定義及極限的保號性，得：0.（充分性）任取，由拉氏定理：， 所以，即在內(nèi)遞增.注意：（1）這里的可以是無限區(qū)間，如； （2）其實，當(dāng)把改為有限的閉區(qū)間時，結(jié)論也成立,即：若函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)遞增（或遞減的）的充要條件是：0（或），； 當(dāng)將改為有限的半開半閉區(qū)間時，也有類似的結(jié)論.（3）有時我們關(guān)心的是在內(nèi)

18、是否嚴(yán)格單增（或單減），則有：2.定理2（嚴(yán)格單調(diào)的充分條件）若在內(nèi)可導(dǎo)，且對，則在內(nèi)嚴(yán)格單增（或單減）.證明：可參考定理1中充分性的證明.注意：我們說定理2的逆不成立，即：若在內(nèi)嚴(yán)格單增（或單減），且在內(nèi)可導(dǎo)，但未必有對.比如：但嚴(yán)格單增.3.（嚴(yán)格單調(diào)的充分必要條件）定理3：若在內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)嚴(yán)格單增（或單減）的充分必要條件是： （1）（或）； （2）在內(nèi)任何子區(qū)間上，不恒等于0.證明：（一）（必要性）1.設(shè)在內(nèi)嚴(yán)格單增，則由定理1知，.故條件（1）滿足；2.下面反證條件（2）也滿足.否則，假設(shè)在區(qū)間內(nèi)恒為0，則由拉氏定理的推論1知，這與在內(nèi)嚴(yán)格單增的假設(shè)前提相矛盾?。ǘǔ浞中裕┘僭O(shè)在

19、內(nèi)，確實滿足條件（1）及條件（2），下證在內(nèi)嚴(yán)格單增.仍然采用反證法. 事實上，假設(shè)存在，使.任取，因為單增，故，即在上取常值，這與條件（2）相矛盾！注意：（1）其實定理2可視作定理3之推論； （2）定理3告訴我們：只要，且使的點都是一些孤立的點，則在內(nèi)嚴(yán)格單增.如：.使的點雖然有無數(shù)多個，但他們都是孤立點，故仍然嚴(yán)格單調(diào)增加.例1討論的單調(diào)性.注意：（1）從例1可見，研究函數(shù)的單調(diào)性，更多的情形下是要求所謂的單調(diào)區(qū)間：即包含在定義域內(nèi)的而且使函數(shù)在其上單調(diào)的區(qū)間；(2)從例1可見：導(dǎo)數(shù)為0的點（稱為函數(shù)的駐點或穩(wěn)定點）是函數(shù)可能的單增與單減的分界點；（3）其實，導(dǎo)數(shù)不存在的點也可能是單調(diào)分界

20、點.4.求單調(diào)區(qū)間的方法與步驟（1）方法：若函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除有限個導(dǎo)數(shù)不存在的點外，導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則只要用的根及不存在的點來劃分定義區(qū)間，就能保證在各個部分區(qū)間內(nèi)保持固定的符號，即各部分區(qū)間必為單調(diào)區(qū)間.（2）步驟：第一步，求函數(shù)的定義域D；第二步，求；第三步，令，求的所有駐點及所有不可導(dǎo)點（其中不在定義域內(nèi)的要舍去）；第四步，列表判斷.例2.討論的單調(diào)性.解：（一）（二）（三）令,無不可導(dǎo)點.（四）列表判斷： （例3.討論的單調(diào)性.解：（一）；（二）； （三），在處不可導(dǎo)； （四）列表判斷： （例4.證明：解：令 則， 所以，單增.故 ，即：.例5.證明：當(dāng)時，.證明：令則. 所以

21、，單增.故，即：.例6.證明：當(dāng)時，證明：原命題等價于。 令， 則. 所以，單增.故，即： 當(dāng)時，.另解:取在上,由柯西中值定理,有.立得.例7.證明：當(dāng)時，證：注意到，當(dāng)時，只須等價證明令，則的符號一眼看不出來，下面再求.因為，所以單減，則所以，單減，則即例8.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:函數(shù)的定義域為,且所以,當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,.所以,函數(shù)在內(nèi)單增;在單減;在單增;在單減.二.極值1.費馬定理已告訴我們極值的必要條件，即：設(shè)在點的某鄰域內(nèi)有定義，且在處可導(dǎo)。若為極值，則必有：.下面我們繼續(xù)討論極值的充分條件2.定理4.（極值的第一充分條件）設(shè)在點處連續(xù)，在可導(dǎo).（1）若 當(dāng)時，；而當(dāng)

22、時， 則為極大值；（2）若 當(dāng)時，；而當(dāng)時， 則為極小值；（3）若 當(dāng)時，及當(dāng)時的符號相同， 則非極值。證明：定理4的結(jié)論非常明顯，在此不證了.只是要請大家注意：定理5并不要求存在！3定理5（極值的第二充分條件）設(shè)在一階可導(dǎo)，在點處二階可導(dǎo)，且,則（1）若，則為極大值；（2）若，則為極小值.證明：僅證明（1） 因為，-（1） 所以，根據(jù)函數(shù)極限的保號性定理，存在， 使當(dāng)時，-（2） 故當(dāng)時，；而當(dāng)時.所以，由定理4知，為極大值.例9.求的極值.解一：（一）;（二）;（三）令.無不可導(dǎo)點. （四）列表判斷： （1 3 0 0 極大 2 極小-2 解二：（一）;（二）;（三）令。無不可導(dǎo)點;（四）

23、.因為，所以為極大值； 又因為，所以為極小值.4定理6（極值的第三充分條件）設(shè)在存在直到階的導(dǎo)函數(shù)，在點處階可導(dǎo)，且,則（1）若為偶數(shù)時，為極值，且當(dāng)，時，為極大值；當(dāng)，時，為極小值；（2）若為偶數(shù)時，則非極值.三最值 設(shè)，則在上必可取到最大值與最小值.最值的達(dá)到只有兩種情況：（1）或即為最值；（2）最值在內(nèi)取到，則此時的最值也就是極值.因此，求可導(dǎo)函數(shù)在上的最值的方法如下： （1）求出所有可能的極值點（無須判斷）：； （2）將值全部求出，并進(jìn)行比較，其中最大的即為最大值；最小的即為最小值.例10.求的最值.解：（一）； （二）令，得駐點（舍）；（三）因為，所以，經(jīng)比較：例11討論方程有幾個實

24、根？解：令 則. 令.當(dāng)時，所以單增；當(dāng)時，所以單減.因此為在的最大值.又顯然在連續(xù)，且.所以至多只有兩個實根.1 當(dāng)，即時，直線與軸只有一根；2當(dāng)時，即時，有兩實根；3。當(dāng)時，即時，無實根.例12.設(shè)在上連續(xù)，且當(dāng)時，單增，且有為常數(shù)）試證明：若，則方程在上有且僅有一個實根.證明：對函數(shù)在用拉氏定理：又因為，所以，由根值定理： 至少存在一點，使；又因為單增，故只有一個實根.（1） 證明：是極小值點；（2）說明在極小值點處是否滿足極值的第一及第二充分條件.解：（1）當(dāng)時，而，故是的極小值點.（2）因為，所以在處連續(xù)；當(dāng)時，由導(dǎo)數(shù)的定義得，.即 取，則，于是對于任何的，總存在，使得所以在極小值點

25、處不滿足第一充分條件.又因為，所以在極小值點處也不滿足第二充分條件.例14.證明：若函數(shù)在點處有則為的極大（?。┲迭c.證明：假設(shè)由及極限的保號性知，使得當(dāng)時，于是此時有同理，由及極限的保號性知，使得當(dāng)時，于是此時有取，則當(dāng)時，有，故為的極大值點.第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第五節(jié) 曲線的凸性與漸進(jìn)線一.曲線凹凸性的定義 大家熟知的函數(shù) 的圖形在上方的一段都是上升的，但仔細(xì)研究后可以發(fā)現(xiàn)它們之間有細(xì)微的差別：一種是“昂首向上升”，一種卻是“俯首向下升”.線所表現(xiàn)出的這兩種不同性態(tài)，我們分別稱做“曲線下凸（或上凹同濟(jì)版簡稱下凸為凹）”或“曲線上凸”（或下凹，同濟(jì)版簡稱上凸為凸）.我們采用本書的說法.體地講，

26、下凸的曲線具有這樣的特點：在其曲線上任取兩個不同的點M,N則總在的上方.作圖） 這個特點可以用數(shù)學(xué)式子來描述為：，對成立. (1)或者，對成立. (2)（因為，的參數(shù)方程為：，其中。）如記，則（2）式可以寫成更對稱的形式： (3)1.定義1(下凸函數(shù)的定義）：設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，如果對和，都有：（4）則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為下凸的.注意：（1）稱（4）式為琴聲不等式（Jesen）（2）如果對和，都有：，即不等式嚴(yán)格成立，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為嚴(yán)格下凸；（2）完全類似，可定義上凸函數(shù)：設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，如果對和，都有：則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為上凸的.2.定義1的等價定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，如果對，都有

27、：（5）則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為下凸的.3.定義1的另一種等價定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在一階導(dǎo)數(shù)，且，有，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為下凸的.二函數(shù)凹、凸性的判定1定理1.設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)且（或則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為下凸（或上凸）的.證明：任取。 記，對分別在區(qū)間用拉氏定理： ， -（6） ， -（7）（6）（7），得：-（8）對在區(qū)間再用拉氏定理： ， -（9）所以， 即：，所以. 因此，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為下凸的.例1.確定的上（下）凸性.例2.確定的上（下）凸性.2拐點的定義：稱曲線上凸與下凸的分界點為其拐點，或變曲點.3拐點的必要條件定理2.如果在附近具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)且為曲線的拐點，則.證明：（反證）假

28、設(shè)。不妨假設(shè).由于連續(xù)，所以-（10）根據(jù)函數(shù)極限的保號性定理知，必存在，使當(dāng)時，就有：，于是由定理1知：當(dāng)時，是下凸的，這與為曲線的拐點相矛盾！注意：從例3可見，二階導(dǎo)數(shù)為0的點可能是拐點；一會 兒通過例子表明：二階不可導(dǎo)點也可能是拐點.4求函數(shù)上（下）凸區(qū)間及拐點的方法、步驟 （1）求函數(shù)的定義域D; （2）求；（3）令，求出的所有的根及所有二階不可導(dǎo)點；（不在D內(nèi)的要舍去）； （4）用這些點劃分定義域D，列表判斷.例4.求曲線上（下）凸區(qū)間及拐點.解：（一）；（二），；（三）令.無二階不可導(dǎo)點. （四）列表判斷： （ 00 0 拐點（0，1） 拐點（例4,求上（下）凸區(qū)間及拐點.:解：一

29、）； （二），；（三）令，無解；在處二階不可導(dǎo)點. （四）列表判斷： （ 2不存在拐點（2，0） :三.利用函數(shù)的凸性證明不等式例5.證明：當(dāng)時，.證明：若不等式兩邊同時除以2，即得：.可見，如果設(shè)，然后只須證明內(nèi)是下凸的即可.例6.若函數(shù)在區(qū)間I是下凸的，則對于任何的和，都有即-(11)如果函數(shù)是嚴(yán)格下凸的函數(shù)，并且不全相同，那么，即-（12）證明：用數(shù)學(xué)歸納法.對于，琴生不等式顯然成立.（這就是下凸函數(shù)的定義）； 假設(shè)對于n=k不等式成立.我們來考察n=k+1的情形：設(shè)， 記 ，則有，并且， 和 于是 =.我們指出，如果函數(shù)是嚴(yán)格下凸的函數(shù)，并且不全相同，那么應(yīng)有 嚴(yán)格的不等式：為了證明這

30、一事實，我們重新審查上面的歸納證明.首先，對于n=2的情形，顯然有嚴(yán)格的不等式（這就是嚴(yán)格下凸函數(shù)的定義）.再來考察n=k+1的情形.這時有兩種可能：一種是不全相等；另一種是，但與這些數(shù)不同.對前一種可能的情形，上面的歸納證明中最后一個不等號應(yīng)該是嚴(yán)格的（根據(jù)歸納法的假設(shè)）.對于后一種情形，應(yīng)有，因此上述的歸納證明中的倒數(shù)第二個不等號應(yīng)該是嚴(yán)格的.推論：函數(shù)在區(qū)間I是下凸的函數(shù)，則對于任何的和，都有.-（13） 最后，我們指出：為上凸函數(shù)（或嚴(yán)格上凸函數(shù)）的充分必要條件是為下凸（或嚴(yán)格下凸）函數(shù).因此上述關(guān)于下凸（或嚴(yán)格下凸）函數(shù)的一切結(jié)果，都可以翻譯成相應(yīng)上凸（或嚴(yán)格上凸）函數(shù)的相應(yīng)結(jié)果.例

31、7證明AM-GM均值不等式證明：考察 因為 所以，在是嚴(yán)格下凸函數(shù).因而，對于任何以下的琴生不等式成立：，-（14） 對任何 ，.由此得到，-（15） 對任何 ，.成立.上式中的等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立.（14）中取，則有,此即AM-GM均值不等式.例8設(shè)，試證：等號僅當(dāng)時成立.-（16）證明：（16）正是例7中n=2情形.例9設(shè)是不全為零的非負(fù)實數(shù)，也是不全為零的非負(fù)實數(shù)，.對于用例8中的不等式(16)，得：-（17）（17）兩邊對求和，得：-（18）.-（19）（19）對于全為零，或者全為零的情形，顯然也成立. 于是，我們證明了著名的 霍爾德不等式：,常遇到的一種特殊情形是：p=q=2.此時霍爾

32、德不等式變?yōu)椋?（20）稱（20）式為柯西不等式.例10證明：若在區(qū)間I上下凸，即對，都有：則對于有：.（21）證明：（一） n=2時，命題顯然成立；（二） 現(xiàn)證時，命題也成立，事實上（22）即證明了時，命題也成立；（三）一般說來，對時，重復(fù)上面的方法，可證命題也成立.即： （23） （四）下證對于任何自然數(shù)n,命題也成立.事實上，對于任何自然數(shù)，可取某個正整數(shù)m，使.令，（24）則所以，.（25）即：.例11.證明:若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)且則對和，都有：證明:令，顯然，將在處展開成一階泰勒公式：介于之間.-（6）分別將代入（6）式，得到：-（7）-（8） -（9）因為，-（10）故，（9

33、）式變成：四漸進(jìn)線1定義4：若曲線C上的動點P沿曲線C無限地遠(yuǎn)離原點時，點p與某一條定直線L的距離趨于零，則稱直線L為曲線C的一條漸進(jìn)線.2漸進(jìn)線的分類 （1）水平漸進(jìn)線 若存在，則稱直線為曲線的一條水平漸進(jìn)線； （2）垂直漸進(jìn)線 若則稱直線為曲線的一條垂直漸進(jìn)線； （3）斜漸進(jìn)線 若存在，且存在，則稱直線為曲線的一條斜漸進(jìn)線。注意：有時曲線會有兩條斜漸進(jìn)線，此時應(yīng)分別考慮及的情況。例10求曲線漸進(jìn)線。解：（一）因為，所以無水平漸進(jìn)線； （二）在處間斷.因為 ；且.所以直線及直線均為垂直漸進(jìn)線.（三）因為 ，且。所以，直線為斜漸進(jìn)線.五.函數(shù)的描點作圖 在開始作圖之前，應(yīng)對函數(shù)的一般狀況做一個

34、大致的考察，并找出最能反映函數(shù)變化特征的一些關(guān)鍵性的點. 函數(shù)的描點作圖法的一般步驟 （一）考察函數(shù)的定義域，以確定在怎樣的范圍內(nèi)選點； （二）考察函數(shù)的奇偶性與周期性，以減少描點時的計算工作量； （三）求函數(shù)圖形的漸進(jìn)線； （四）令，求的所有駐點及所有不可導(dǎo)點（其中不在定義域內(nèi)的要舍去），進(jìn)而求出的單調(diào)區(qū)間，以了解函數(shù)曲線在各段的升、降與極值的情況； （五）求的根及所有二階不可導(dǎo)點（其中不在定義域內(nèi)的要舍去），進(jìn)而求出的上（下）凸區(qū)間，以了解函數(shù)在各段的上（下）凸情況與拐點；（六）再有選擇地標(biāo)出一些有代表性的點，例如圖形與各坐標(biāo)軸的交點等。 下面就舉一個具體的例子例11.求作的圖形。解：（一

35、）； （二）非奇非偶，也非周期函數(shù)； （三）漸進(jìn)線 1.因為，所以無水平漸進(jìn)線；（具體地講；.）；2.因為函數(shù)在處無定義，且，故有垂直漸進(jìn)線；3.因為，均存在，所以，有斜漸進(jìn)線。（四）令；（五）令； 由（四）、（五）可得下表：（0 3 + 0 + 不存在 0 + 0 +不存在+ +升 拐點 升間斷 降 升（六）描點作圖 描出六個關(guān)鍵點（基本點）注意：點還是斜漸進(jìn)線與曲線的交點.作圖在此略去.第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第六節(jié) 曲率引:前面我們利用導(dǎo)數(shù)這個工具研究了函數(shù)的許多性質(zhì),如單調(diào)性、極值、最值、凸性、拐點等.但是還有一個問題沒有討論,即曲線的彎曲程度,如曲線,其各點處的彎曲程度是不同的.如何利用

36、導(dǎo)數(shù)這個工具來研究曲線的彎曲程度呢?本節(jié)就來解決這個問題.作為曲率的預(yù)備知識,我們先來介紹弧微分的概念. 1定義1.設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),為內(nèi)的定點,為內(nèi)的任意一點,分別為曲線上與,表示曲線上由基點到點的一段弧的長度并附以一定的符號.規(guī)定:當(dāng)在點的右邊時,;當(dāng)在點的左邊時,;當(dāng)與點重合時,.顯然這樣定義的是的單調(diào)增加函數(shù).顯然,但的具體表達(dá)式不知道,因此. 以定義: 如圖所示,設(shè)和分別為內(nèi)兩個鄰近的點,分別為曲線上,的對應(yīng)點.(注意,就是之長度,其實與基點的取法無關(guān),請解釋一下這是什么原因?)于是易見,故兩邊開方,得令時,此時,所以,(自學(xué)叢書上把這一極限稱做原理,許多書上都未證明.)又因為所以

37、,.注意到是的單調(diào)增加函數(shù),故 (1) 稱(1)式為弧微分公式. 由弧微分公式:,兩邊平方: (2)故弧微分的幾何意義是以為直角邊的直角三角形的斜邊之長. 引:我們直覺地會感覺到直線沒有彎曲,各種曲線的彎曲程度也不一樣,如乒乓球、籃球都過球心剖開,得到兩個圓,它們的彎曲程度不一樣,乒乓求彎曲的程度大一些.在工程技術(shù)中,有時需要研究曲線的彎曲程度.例如:鋼梁、機(jī)床主軸等,它們在荷載作用下要產(chǎn)生彎曲變形,在設(shè)計時,對它們的彎曲程度必須有一定的限制,這就要求定量地研究它們的彎曲程度.為此,首先眼研究如何用數(shù)量來反映曲線的彎曲程度.(1)曲線段的切線方向變化的角度,等長的兩段弧,兩端點處切線的轉(zhuǎn)角越大

38、,則弧越彎曲;(2)曲線弧段的長度,如兩段弧在兩端點處切線的轉(zhuǎn)角相同,則弧長越短,弧越彎曲. 如圖,設(shè)弧段的長度為,當(dāng)動點從點移動到點時切線的轉(zhuǎn)角為,則稱比值為這段弧的平均曲率.3.曲率 如圖,設(shè)為曲線上不同的兩個點,如果當(dāng)沿曲線趨近于時,弧段的平均曲率的極限存在,即則稱此極限值就是曲線上點處的曲率.4.曲率的計算 按定義計算曲率有時是很不容易的. 如圖設(shè)曲線是光滑的(即在連續(xù)).在上點對應(yīng)的弧長為,點處的切線傾角為;上點附近一點對應(yīng)的弧長為,點處的切線傾角為.記.則的長度為根據(jù)曲率的定義,則曲線上點處的曲率為 (3)在存在的情況下,也可以表示為 (4)因為 (5)(5)式兩邊關(guān)于求導(dǎo),得故

39、(6)所以, (7)又由(1)式 (8)從而 (9)注意;若曲線由參數(shù)方程給出,則 (10)例1.求直線在任意一點處的曲率.解:由曲率計算公式(9),知由此說明:直線上各點處的曲率相等,且都為0.這與我們的直覺是相吻合的.例2.求半徑為的圓周曲線在任意一點處的曲率.解:半徑為的圓周曲線的參數(shù)方程為由曲率計算公式(10),知由此由此說明:半徑為的圓周上各點處的曲率相等,且都為.且半徑越大,其曲率越小,這符合我們的直覺.三.曲率圓及曲率半徑我們考慮選取一種幾何上的直觀來衡量的無窮多個圓,在點上點處的彎曲程度應(yīng)該與怎樣的圓相當(dāng)?在點處曲線的法線上凹向的一側(cè)取點使(其中是曲線上點處的曲率).以為圓心,

40、以為半徑的圓稱為曲線在點處的曲率圓.稱為在點處的曲率中心.為在點處的曲率半徑.由前面所講的例子知,在點處的曲率圓與處原曲線具有相同的的切線、凹向、曲率都一樣.因此在實際問題中常用曲率圓代替原曲線.上曲率半徑為最小的點的坐標(biāo).解:則曲線上任意一點處的曲率為故點的曲率半徑為 由,得(舍去).因為當(dāng)而當(dāng)故當(dāng)時,的曲率半徑及曲率圓圓心.解:由題設(shè)得則曲率為設(shè)曲率圓的圓心為,則故曲率圓中心為附:本章中較難習(xí)題參考答案:在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且證明:對任意的實數(shù),必存在,使證明:令.易驗證在上滿足羅爾中值定理的三個條件,故由羅爾定理知,存在,使又故有所以,在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),證明:必有點,使證:記.將其變形,得到即可令則,從而在上滿足羅爾中值定理的三個條件,故由羅爾定理知,存在,使即另證: :令.對在上使用羅爾中值定理即