高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、 第一節(jié) 中值定理一.費(fèi)馬定理1.定義1.極值設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)對(duì)一切有或（），則稱在點(diǎn)處取得極大值（或極小值）；并稱為的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）.注意：極大值、極小值在今后統(tǒng)稱為極值； 極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)在今后統(tǒng)稱為極值點(diǎn)；2.定理1.極值的必要條件（費(fèi)馬定理）設(shè)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，且在處可導(dǎo),若為極值，則必有：.證明：不妨設(shè)為極大值。按極大值的定義，則的某個(gè)鄰域，使對(duì)一切此鄰域內(nèi)的有-（1） 所以，-（2）又因?yàn)榇嬖?，所以?yīng)有-（3） 故，由（2）式及（3）式，必有.1 注意：使的點(diǎn)可能為的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)），也可能不是.比如：二中值定理1.定理2.羅爾中值定理：若值設(shè)函數(shù)滿足：（1

2、）在區(qū)間上連續(xù)； （2）在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（3）.則，必至少存在一點(diǎn)，使注意:羅爾定理的幾何意義是說(shuō)，在每點(diǎn)處都有非垂直切線的一段曲線上，若兩端點(diǎn)處的高度相同，則在曲線上至少存在一條水平切線.（作圖說(shuō)明）證明：由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，在上有最大值M及最小值m.（1） 若M=m，則，. 所以，任取，均滿足；（2） 若，則M和m中至少有一個(gè)不等于，因此則M和m中至少有一個(gè)在區(qū)間內(nèi)部某點(diǎn)處取到. 不妨設(shè)為的最大值，從而也是極大值。又因 在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則由費(fèi)馬定理知，.注意：羅爾定理中的三條件如缺少其中任何一條，則結(jié)論可能不再成立. 反例1.（不滿足條件（1）；反例2.，（不滿足條件（2）；反例3.2.

3、定理3拉格朗日中值定理：若值設(shè)函數(shù)滿足：（1）在區(qū)間上連續(xù)； （2）在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則，必至少存在一點(diǎn)，使注意：（1）拉氏定理中，如仍有,則結(jié)論將變?yōu)椋罕刂辽俅嬖谝稽c(diǎn)，使.可見(jiàn)羅爾定理是拉氏定理的特殊情形；（3） 拉氏定理的幾何意義：在上曲線上至少存在一點(diǎn)，使該點(diǎn)處的切線平行于弦AB.證明：令， 則在上滿足羅爾定理的三個(gè)條件.所以，由羅爾定理知，使.即，.-（*）注意：（1）注意到（*）式當(dāng)時(shí)仍然成立； （2）為方便應(yīng)用，（*）式也常改寫(xiě)為-（*）（*）式稱為拉格朗日中值公式；（3） 羅爾定理及拉氏定理僅指明，具體的位置是什么，定理本身并未明確指出.但在大多數(shù)問(wèn)題中知道這一點(diǎn)已經(jīng)足夠了。因此我們

4、才稱上述兩定理為中值定理，這個(gè)“中”其實(shí)是“內(nèi)部”的意思，并非“正中間”.中值定理是利用導(dǎo)數(shù)的局部性態(tài)來(lái)研究函數(shù)整體性態(tài)的重要工具；（4）為了強(qiáng)調(diào)中值的位置特征，可記； （5）故拉氏定理又可寫(xiě)為-（4） （6）由拉氏定理，上式稱為有限增量公式.例1.驗(yàn)證：在上滿足拉氏定理的條件，并求出定理結(jié)論中的點(diǎn).解：（一）1.由，知在處連續(xù)，從而在上連續(xù)；2.按左、右導(dǎo)數(shù)的定義不難求出從而在內(nèi)可導(dǎo)，且因此，在上滿足拉氏定理的條件.（二）由拉氏定理的結(jié)論：，使.不難算得：或。注意：中值定理中結(jié)論只保證中間值的存在性，至于是否唯一，不唯一時(shí)有幾個(gè)，如何求？定理本身并未指出.例2設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且證明：使

5、證明：（分析 尋找合適的輔助函數(shù)應(yīng)用羅爾中值定理，采用倒推的方法分析.命題只須證，使，或者.故令。顯然，且在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，從而由羅爾定理知，使例4.證明：.證明：設(shè)， 則， 所以，由推論1，例5（拉氏定理的推論2）.證明：若對(duì)于，則.證明：設(shè)，則有.所以，由推論1知，.例6證明：對(duì).證明：設(shè)，則. 在上由拉氏定理知，,即：例7證明：對(duì)此不等式是個(gè)常用的結(jié)論，請(qǐng)大家記住.還有一個(gè)也要記住：例7.證明不等式：證明：將欲證之不等式改寫(xiě)為： 上式右端正是函數(shù)在上兩端點(diǎn)處函數(shù)值之差，故只須對(duì)函數(shù)在上應(yīng)用拉氏定理.此題作為補(bǔ)充作業(yè)。例8若對(duì)于其中M為常數(shù)，則是常值函數(shù).證明：有，上式中，令，得：，所以

6、，.注意到的任意性，故：.所以，.例9證明：若函數(shù)在可導(dǎo)，且，則在內(nèi)，必至少存在一點(diǎn)，使.證明：設(shè) （1）若在是常值函數(shù)，即，則對(duì)于任何一點(diǎn)，有； （2）若在不是常值函數(shù).不妨設(shè)，使.即，則根據(jù)極限的保號(hào)性：使；又使.已知在在上 連續(xù)，則在上 可取到最大值與最小值，且最大值不能是區(qū)間的端點(diǎn)；只能在開(kāi)區(qū)間內(nèi).此時(shí)的最大值就是極大值，設(shè)此極大值點(diǎn)為，則由費(fèi)馬定理，知：.例10證明：若在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)且，則至少存在一點(diǎn)，使.證明：由拉氏定理：，使：所以，.完全類似，使： 所以，.又，在區(qū)間上對(duì)函數(shù)由拉氏定理：，使：例11若在區(qū)間上存在二階導(dǎo)數(shù)，且，則至少存在，使：.證明：又，設(shè)，于是，

7、有：所以，.3.定理4.柯西中值定理：若函數(shù)和滿足： （1）在上連續(xù)； （2）在內(nèi)可導(dǎo)，且對(duì)，則，使：.證法：與拉氏定理的證明類似，也是構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)，再應(yīng)用羅爾定理.不難看到，當(dāng)時(shí)，柯西定理轉(zhuǎn)化為拉氏定理.因此，構(gòu)造輔助函數(shù)的方法是，將在證明拉氏定理時(shí)所構(gòu)造的輔助函數(shù)中的單個(gè)字母分別用替換.于是，這里所構(gòu)造的輔助函數(shù)是證明：首先證明.用反證法。假設(shè). 根據(jù)羅爾定理，存在，使與已知條件矛盾. 其次，構(gòu)造輔助函數(shù)，則.不難驗(yàn)證，在區(qū)間上滿足羅爾定理的條件.故根據(jù)羅爾定理：存在，使， 即：.例12設(shè)，在上可微，證明，使.證明：分析 由，變形原證等式為，使.令，對(duì)和在上，使用柯西定理即可. 中值定

8、理是理論證明的有力工具,時(shí)間上它在計(jì)算極限時(shí)也非常有效簡(jiǎn)便.解:由拉格朗日中值定理, (介于之間)所以,解:由拉格朗日中值定理,(介于之間). 再由拉格朗日中值定理,(介于之間).所以,解:()解:解法二:取,由柯西中值定理, 有解:原式第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)第二節(jié) 洛必達(dá)法則一.型的洛必達(dá)法則1.定理1設(shè)函數(shù)滿足： （1）； （2）在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)，都存在，且； （3）存在（或?yàn)椋?則，存在（或?yàn)椋?證明：存在與否與無(wú)關(guān)，故不妨設(shè).在此條件下，在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)連續(xù). 對(duì)于，在或上連續(xù)；在在或內(nèi)可導(dǎo)。且.所以，由柯西定理知，存在或，使：.注意到：當(dāng)時(shí)，有，對(duì)上式兩端取極限，得：。注意：（1）當(dāng)將

9、極限過(guò)程改為其他時(shí)，也有類似的型的洛必達(dá)法則；（2）定理1也可連續(xù)使用多次，但要保證每次使用時(shí)都滿足條件.二型的洛必達(dá)法則定理2.設(shè)函數(shù)滿足： （1）； （2在的某個(gè)去心右鄰域內(nèi)，都存在，且； （3）存在（或?yàn)椋?則，存在（或?yàn)椋?證明:(一).若為實(shí)數(shù).由條件(1),均在內(nèi)不等于零.由(3),對(duì)于任給的,必存在,對(duì)滿足不等式的的有 (1)根據(jù)柯西定理,對(duì)于內(nèi)的任一點(diǎn),必存在一點(diǎn),使得由(1)式,就有 (2)另一方面由于(2),是式右端第一個(gè)因子是有界量,第二個(gè)因子對(duì)固定的,由條件(1)當(dāng)時(shí)是無(wú)窮小量,因此必存在正數(shù),使得時(shí),有 (3)綜合(1)、(2)、(3),對(duì)一切滿足不等式的,有這就證明

10、了存在.類似地,請(qǐng)同學(xué)們自證當(dāng)時(shí),命題亦成立.注意:上述定理對(duì)于的情形,有同樣的結(jié)論.推論: 設(shè)函數(shù)滿足： （1）； （2在的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且； （3）存在（或?yàn)椋?則，存在（或?yàn)椋?證明:作代換,則時(shí),于是 由于在內(nèi)滿足定理1的條件,所以,故.例1.求例2.求越來(lái)越麻煩，說(shuō)明洛必達(dá)法則雖在大多數(shù)情況下可簡(jiǎn)化運(yùn)算，但有時(shí)它可能并不是最簡(jiǎn)單的做法。如能采用其他方法先行簡(jiǎn)化欲求極限的函數(shù)，再使用洛必達(dá)法則，則效果可能會(huì)更好！例2的另一種作法：；例3.求；例4.求；例5.；例6.求；例7.求；例8.求.三其它類型的未定型1型 例9求；2型例10.求；3型例11求；4型例12求.注意：（1）若不存在

11、（并且也不是），則不能說(shuō)也不存在.比如：存在；但不存在.（2）法則不是萬(wàn)能的，也有失效的時(shí)候，比如：形成循環(huán)，永遠(yuǎn)也得不到結(jié)果.（4） 用洛必達(dá)法則時(shí)最好作一步，就及時(shí)檢查一步，看是否劃得來(lái).另外，如果在用洛必達(dá)法則時(shí)，還可以同時(shí)再結(jié)合其他的求極限方法，效果可能會(huì)更好.總之，我們的方針是：“百花齊放、百家爭(zhēng)鳴”.例13討論函數(shù)在處的連續(xù)性.解：； 令，則.所以，. 因?yàn)?，所以，在處連續(xù).例14求：例15.例16求例17若在的某個(gè)鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且，則對(duì)于，證明：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使證明：在上對(duì)用柯西定理：存在使； 在上再對(duì)用柯西定理：存在使.注意：更一般地，若在的某個(gè)鄰域內(nèi)n階可導(dǎo)，且，則對(duì)于

12、，證明：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.例18若存在，證明：.證明：.注意：本題中為何只用了一次洛必達(dá)法則，不連續(xù)使用兩次洛必達(dá)法則而直接得到結(jié)果？第四章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié) 泰勒公式一.泰勒公式 （引：在初等函數(shù)中，最簡(jiǎn)單的函數(shù)就是多項(xiàng)式，因?yàn)槎囗?xiàng)式只有加、減、乘三種運(yùn)算.如果能將其他類型的函數(shù)，尤其是無(wú)理函數(shù)、初等超越函數(shù)近似地用多項(xiàng)式函數(shù)表示，而由此產(chǎn)生的誤差又能滿足精度的要求，顯然這對(duì)函數(shù)性態(tài)的研究及函數(shù)值的近似計(jì)算都會(huì)帶來(lái)方便.事實(shí)上，我們已經(jīng)這樣做過(guò)：大家還記得，在微分一節(jié)里，我們講過(guò).其實(shí)就是用一次多項(xiàng)式來(lái)近似表示函數(shù).但，那種近似表示明顯地存在兩點(diǎn)不足： 1.精度不高，誤差僅為；

13、 2.無(wú)法具體估計(jì)、控制誤差. 事實(shí)上，為了得到精度更高的近似算法，我們需要用高次多項(xiàng)式來(lái)近似表示函數(shù).現(xiàn)在的問(wèn)題是 1.一個(gè)函數(shù)應(yīng)具備什么條件，才可以用多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)近似代替？ 2.如果可以，這個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)與又有什么本質(zhì)聯(lián)系？ 3.誤差如何估計(jì)？下面將要討論的泰勒公式完美地解決了上述三個(gè)問(wèn)題.（一）首先討論一種特殊的情形，即本身就是多項(xiàng)式：-（1）我們研究一下，的各系數(shù)與在處及其各階導(dǎo)數(shù)在處的值之間的關(guān)系.可證：-（2）所以，（3）這說(shuō)明多項(xiàng)式函數(shù)，其各次冪的系數(shù)可用其各階導(dǎo)數(shù)在處的值來(lái)表示. 注意：一般地，對(duì)于任何函數(shù)（未必是多項(xiàng)式函數(shù)），只要在內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，則總可以強(qiáng)行作出次多項(xiàng)式（

14、4）稱為在處的次泰勒多項(xiàng)式.我們有理由懷疑：1.，即； 2.若記，則這種近似計(jì)算的誤差如何估計(jì)？二.泰勒中值定理：若函數(shù)在內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)時(shí)，可表為：.其中，（5） （介與與之間）（6）證明：只需證明：. 由于 ，.1.對(duì)及在或上應(yīng)用柯西定理：，（2）對(duì)及在或上再次應(yīng)用柯西定理：， 如此，經(jīng)過(guò)次將得到：（7）（改記為，并注意到=） 所以，.即.，介與與之間.注意：（1）（8）稱為按的冪展開(kāi)的階泰勒公式；（2）稱（8）式中的為拉格朗日型余項(xiàng)；（3）余項(xiàng)還可有別的表示形式，最常用的是皮亞諾余項(xiàng)：；（9）（4）由泰勒定理可見(jiàn)， 以近似表示，其誤差，如果對(duì)某個(gè)固定的n，時(shí)，則,； （4）特別地

15、，當(dāng)時(shí)，泰勒公式變?yōu)椋?0）稱（10）式為的階麥克勞林展開(kāi)式； （5）當(dāng)時(shí)，（8）式即成為：，介與與之間,此即為拉氏定理.二.幾種常見(jiàn)的麥克勞林展開(kāi)式（一律帶皮亞諾余項(xiàng)）1.；2.；3.；4.；5. 特別地，時(shí)，+ =（注意到=0）這就是著名的二項(xiàng)式定理.以上公式要條條會(huì)背.下面僅證（2）式，其余各式的證明請(qǐng)同學(xué)們模仿我來(lái)證.例1.求的2n+1階麥克勞林展開(kāi)式.解：已知 故 具體寫(xiě)幾個(gè)，即是：， 所以，由麥克勞林展開(kāi)式：.其中，注意：（1）當(dāng)時(shí)，誤差； 當(dāng)時(shí)，誤差； 當(dāng)時(shí)，誤差； （2）顯然，用麥克勞林展開(kāi)式做近似計(jì)算要求很小很小.以上三式表明可分別用一次、二次、三次、五次多項(xiàng)式來(lái)近似代替，而

16、多項(xiàng)式的次數(shù)越高，或越靠近原點(diǎn)，其誤差越小.下面給出了和上述三個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)的圖形.因?yàn)檫@些函數(shù)都是奇函數(shù)，故這里只給出的部分圖形.（作圖）直觀看到：多項(xiàng)式的次數(shù)越高，其圖形與的圖形越接近（即誤差越?。┲劣谶@些圖形是如何作出來(lái)的，在本章的最后一節(jié)，我們將專門討論函數(shù)的作圖問(wèn)題.三.舉例.例2求解：注意：為何只展開(kāi)到的4次冪？例3求解：例4求例5求解： 所以，解:解:我們有.解:所以,例9證明：當(dāng)時(shí)，.解：因?yàn)?，所以?在內(nèi)具有階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,在內(nèi)的泰勒公式為(1)證明:證明:在內(nèi)帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式為(2)(1)-(2),得上式兩邊同除以,得 (3)于是 (4)(4)式兩邊取極限,得即第四章

17、 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值一.函數(shù)的單調(diào)性1.（單調(diào)的充要條件）定理1.若函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)遞增（或遞減的）的充要條件是：0（或），.證明：（必要性）已知在內(nèi)遞增，則 ，取， 當(dāng)時(shí)，從而，-（1）而當(dāng)時(shí)，從而，-（2）所以，無(wú)論，還是，都有（*）（*）式中，令，由導(dǎo)數(shù)的定義及極限的保號(hào)性，得：0.（充分性）任取，由拉氏定理：， 所以，即在內(nèi)遞增.注意：（1）這里的可以是無(wú)限區(qū)間，如； （2）其實(shí)，當(dāng)把改為有限的閉區(qū)間時(shí)，結(jié)論也成立,即：若函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)遞增（或遞減的）的充要條件是：0（或），； 當(dāng)將改為有限的半開(kāi)半閉區(qū)間時(shí)，也有類似的結(jié)論.（3）有時(shí)我們關(guān)心的是在內(nèi)

18、是否嚴(yán)格單增（或單減），則有：2.定理2（嚴(yán)格單調(diào)的充分條件）若在內(nèi)可導(dǎo)，且對(duì)，則在內(nèi)嚴(yán)格單增（或單減）.證明：可參考定理1中充分性的證明.注意：我們說(shuō)定理2的逆不成立，即：若在內(nèi)嚴(yán)格單增（或單減），且在內(nèi)可導(dǎo)，但未必有對(duì).比如：但嚴(yán)格單增.3.（嚴(yán)格單調(diào)的充分必要條件）定理3：若在內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)嚴(yán)格單增（或單減）的充分必要條件是： （1）（或）； （2）在內(nèi)任何子區(qū)間上，不恒等于0.證明：（一）（必要性）1.設(shè)在內(nèi)嚴(yán)格單增，則由定理1知，.故條件（1）滿足；2.下面反證條件（2）也滿足.否則，假設(shè)在區(qū)間內(nèi)恒為0，則由拉氏定理的推論1知，這與在內(nèi)嚴(yán)格單增的假設(shè)前提相矛盾?。ǘǔ浞中裕┘僭O(shè)在

19、內(nèi)，確實(shí)滿足條件（1）及條件（2），下證在內(nèi)嚴(yán)格單增.仍然采用反證法. 事實(shí)上，假設(shè)存在，使.任取，因?yàn)閱卧?，故，即在上取常值，這與條件（2）相矛盾！注意：（1）其實(shí)定理2可視作定理3之推論； （2）定理3告訴我們：只要，且使的點(diǎn)都是一些孤立的點(diǎn)，則在內(nèi)嚴(yán)格單增.如：.使的點(diǎn)雖然有無(wú)數(shù)多個(gè)，但他們都是孤立點(diǎn)，故仍然嚴(yán)格單調(diào)增加.例1討論的單調(diào)性.注意：（1）從例1可見(jiàn)，研究函數(shù)的單調(diào)性，更多的情形下是要求所謂的單調(diào)區(qū)間：即包含在定義域內(nèi)的而且使函數(shù)在其上單調(diào)的區(qū)間；(2)從例1可見(jiàn)：導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)（稱為函數(shù)的駐點(diǎn)或穩(wěn)定點(diǎn)）是函數(shù)可能的單增與單減的分界點(diǎn)；（3）其實(shí)，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是單調(diào)分界

20、點(diǎn).4.求單調(diào)區(qū)間的方法與步驟（1）方法：若函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外，導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則只要用的根及不存在的點(diǎn)來(lái)劃分定義區(qū)間，就能保證在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定的符號(hào)，即各部分區(qū)間必為單調(diào)區(qū)間.（2）步驟：第一步，求函數(shù)的定義域D；第二步，求；第三步，令，求的所有駐點(diǎn)及所有不可導(dǎo)點(diǎn)（其中不在定義域內(nèi)的要舍去）；第四步，列表判斷.例2.討論的單調(diào)性.解：（一）（二）（三）令,無(wú)不可導(dǎo)點(diǎn).（四）列表判斷： （例3.討論的單調(diào)性.解：（一）；（二）； （三），在處不可導(dǎo)； （四）列表判斷： （例4.證明：解：令 則， 所以，單增.故 ，即：.例5.證明：當(dāng)時(shí)，.證明：令則. 所以

21、，單增.故，即：.例6.證明：當(dāng)時(shí)，證明：原命題等價(jià)于。 令， 則. 所以，單增.故，即： 當(dāng)時(shí)，.另解:取在上,由柯西中值定理,有.立得.例7.證明：當(dāng)時(shí)，證：注意到，當(dāng)時(shí)，只須等價(jià)證明令，則的符號(hào)一眼看不出來(lái)，下面再求.因?yàn)?，所以單減，則所以，單減，則即例8.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:函數(shù)的定義域?yàn)?且所以,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以,函數(shù)在內(nèi)單增;在單減;在單增;在單減.二.極值1.費(fèi)馬定理已告訴我們極值的必要條件，即：設(shè)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，且在處可導(dǎo)。若為極值，則必有：.下面我們繼續(xù)討論極值的充分條件2.定理4.（極值的第一充分條件）設(shè)在點(diǎn)處連續(xù)，在可導(dǎo).（1）若 當(dāng)時(shí)，；而當(dāng)

22、時(shí)， 則為極大值；（2）若 當(dāng)時(shí)，；而當(dāng)時(shí)， 則為極小值；（3）若 當(dāng)時(shí)，及當(dāng)時(shí)的符號(hào)相同， 則非極值。證明：定理4的結(jié)論非常明顯，在此不證了.只是要請(qǐng)大家注意：定理5并不要求存在！3定理5（極值的第二充分條件）設(shè)在一階可導(dǎo)，在點(diǎn)處二階可導(dǎo)，且,則（1）若，則為極大值；（2）若，則為極小值.證明：僅證明（1） 因?yàn)椋?（1） 所以，根據(jù)函數(shù)極限的保號(hào)性定理，存在， 使當(dāng)時(shí)，-（2） 故當(dāng)時(shí)，；而當(dāng)時(shí).所以，由定理4知，為極大值.例9.求的極值.解一：（一）;（二）;（三）令.無(wú)不可導(dǎo)點(diǎn). （四）列表判斷： （1 3 0 0 極大 2 極小-2 解二：（一）;（二）;（三）令。無(wú)不可導(dǎo)點(diǎn);（四）

23、.因?yàn)?，所以為極大值； 又因?yàn)椋詾闃O小值.4定理6（極值的第三充分條件）設(shè)在存在直到階的導(dǎo)函數(shù)，在點(diǎn)處階可導(dǎo)，且,則（1）若為偶數(shù)時(shí)，為極值，且當(dāng)，時(shí)，為極大值；當(dāng)，時(shí)，為極小值；（2）若為偶數(shù)時(shí)，則非極值.三最值 設(shè)，則在上必可取到最大值與最小值.最值的達(dá)到只有兩種情況：（1）或即為最值；（2）最值在內(nèi)取到，則此時(shí)的最值也就是極值.因此，求可導(dǎo)函數(shù)在上的最值的方法如下： （1）求出所有可能的極值點(diǎn)（無(wú)須判斷）：； （2）將值全部求出，并進(jìn)行比較，其中最大的即為最大值；最小的即為最小值.例10.求的最值.解：（一）； （二）令，得駐點(diǎn)（舍）；（三）因?yàn)?，所以，?jīng)比較：例11討論方程有幾個(gè)實(shí)

24、根？解：令 則. 令.當(dāng)時(shí)，所以單增；當(dāng)時(shí)，所以單減.因此為在的最大值.又顯然在連續(xù)，且.所以至多只有兩個(gè)實(shí)根.1 當(dāng)，即時(shí)，直線與軸只有一根；2當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有兩實(shí)根；3。當(dāng)時(shí)，即時(shí)，無(wú)實(shí)根.例12.設(shè)在上連續(xù)，且當(dāng)時(shí)，單增，且有為常數(shù)）試證明：若，則方程在上有且僅有一個(gè)實(shí)根.證明：對(duì)函數(shù)在用拉氏定理：又因?yàn)椋裕筛刀ɡ恚?至少存在一點(diǎn)，使；又因?yàn)閱卧觯手挥幸粋€(gè)實(shí)根.（1） 證明：是極小值點(diǎn)；（2）說(shuō)明在極小值點(diǎn)處是否滿足極值的第一及第二充分條件.解：（1）當(dāng)時(shí)，而，故是的極小值點(diǎn).（2）因?yàn)?，所以在處連續(xù)；當(dāng)時(shí)，由導(dǎo)數(shù)的定義得，.即 取，則，于是對(duì)于任何的，總存在，使得所以在極小值點(diǎn)

25、處不滿足第一充分條件.又因?yàn)椋栽跇O小值點(diǎn)處也不滿足第二充分條件.例14.證明：若函數(shù)在點(diǎn)處有則為的極大（小）值點(diǎn).證明：假設(shè)由及極限的保號(hào)性知，使得當(dāng)時(shí)，于是此時(shí)有同理，由及極限的保號(hào)性知，使得當(dāng)時(shí)，于是此時(shí)有取，則當(dāng)時(shí)，有，故為的極大值點(diǎn).第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第五節(jié) 曲線的凸性與漸進(jìn)線一.曲線凹凸性的定義 大家熟知的函數(shù) 的圖形在上方的一段都是上升的，但仔細(xì)研究后可以發(fā)現(xiàn)它們之間有細(xì)微的差別：一種是“昂首向上升”，一種卻是“俯首向下升”.線所表現(xiàn)出的這兩種不同性態(tài)，我們分別稱做“曲線下凸（或上凹同濟(jì)版簡(jiǎn)稱下凸為凹）”或“曲線上凸”（或下凹，同濟(jì)版簡(jiǎn)稱上凸為凸）.我們采用本書(shū)的說(shuō)法.體地講，

26、下凸的曲線具有這樣的特點(diǎn)：在其曲線上任取兩個(gè)不同的點(diǎn)M,N則總在的上方.作圖） 這個(gè)特點(diǎn)可以用數(shù)學(xué)式子來(lái)描述為：，對(duì)成立. (1)或者，對(duì)成立. (2)（因?yàn)?，的參?shù)方程為：，其中。）如記，則（2）式可以寫(xiě)成更對(duì)稱的形式： (3)1.定義1(下凸函數(shù)的定義）：設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，如果對(duì)和，都有：（4）則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為下凸的.注意：（1）稱（4）式為琴聲不等式（Jesen）（2）如果對(duì)和，都有：，即不等式嚴(yán)格成立，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為嚴(yán)格下凸；（2）完全類似，可定義上凸函數(shù)：設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，如果對(duì)和，都有：則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為上凸的.2.定義1的等價(jià)定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，如果對(duì)，都有

27、：（5）則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為下凸的.3.定義1的另一種等價(jià)定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在一階導(dǎo)數(shù)，且，有，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為下凸的.二函數(shù)凹、凸性的判定1定理1.設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)且（或則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為下凸（或上凸）的.證明：任取。 記，對(duì)分別在區(qū)間用拉氏定理： ， -（6） ， -（7）（6）（7），得：-（8）對(duì)在區(qū)間再用拉氏定理： ， -（9）所以， 即：，所以. 因此，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為下凸的.例1.確定的上（下）凸性.例2.確定的上（下）凸性.2拐點(diǎn)的定義：稱曲線上凸與下凸的分界點(diǎn)為其拐點(diǎn)，或變曲點(diǎn).3拐點(diǎn)的必要條件定理2.如果在附近具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)且為曲線的拐點(diǎn)，則.證明：（反證）假

28、設(shè)。不妨假設(shè).由于連續(xù)，所以-（10）根據(jù)函數(shù)極限的保號(hào)性定理知，必存在，使當(dāng)時(shí)，就有：，于是由定理1知：當(dāng)時(shí)，是下凸的，這與為曲線的拐點(diǎn)相矛盾！注意：從例3可見(jiàn)，二階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)可能是拐點(diǎn)；一會(huì) 兒通過(guò)例子表明：二階不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是拐點(diǎn).4求函數(shù)上（下）凸區(qū)間及拐點(diǎn)的方法、步驟 （1）求函數(shù)的定義域D; （2）求；（3）令，求出的所有的根及所有二階不可導(dǎo)點(diǎn)；（不在D內(nèi)的要舍去）； （4）用這些點(diǎn)劃分定義域D，列表判斷.例4.求曲線上（下）凸區(qū)間及拐點(diǎn).解：（一）；（二），；（三）令.無(wú)二階不可導(dǎo)點(diǎn). （四）列表判斷： （ 00 0 拐點(diǎn)（0，1） 拐點(diǎn)（例4,求上（下）凸區(qū)間及拐點(diǎn).:解：一

29、）； （二），；（三）令，無(wú)解；在處二階不可導(dǎo)點(diǎn). （四）列表判斷： （ 2不存在拐點(diǎn)（2，0） :三.利用函數(shù)的凸性證明不等式例5.證明：當(dāng)時(shí)，.證明：若不等式兩邊同時(shí)除以2，即得：.可見(jiàn)，如果設(shè)，然后只須證明內(nèi)是下凸的即可.例6.若函數(shù)在區(qū)間I是下凸的，則對(duì)于任何的和，都有即-(11)如果函數(shù)是嚴(yán)格下凸的函數(shù)，并且不全相同，那么，即-（12）證明：用數(shù)學(xué)歸納法.對(duì)于，琴生不等式顯然成立.（這就是下凸函數(shù)的定義）； 假設(shè)對(duì)于n=k不等式成立.我們來(lái)考察n=k+1的情形：設(shè)， 記 ，則有，并且， 和 于是 =.我們指出，如果函數(shù)是嚴(yán)格下凸的函數(shù)，并且不全相同，那么應(yīng)有 嚴(yán)格的不等式：為了證明這

30、一事實(shí)，我們重新審查上面的歸納證明.首先，對(duì)于n=2的情形，顯然有嚴(yán)格的不等式（這就是嚴(yán)格下凸函數(shù)的定義）.再來(lái)考察n=k+1的情形.這時(shí)有兩種可能：一種是不全相等；另一種是，但與這些數(shù)不同.對(duì)前一種可能的情形，上面的歸納證明中最后一個(gè)不等號(hào)應(yīng)該是嚴(yán)格的（根據(jù)歸納法的假設(shè)）.對(duì)于后一種情形，應(yīng)有，因此上述的歸納證明中的倒數(shù)第二個(gè)不等號(hào)應(yīng)該是嚴(yán)格的.推論：函數(shù)在區(qū)間I是下凸的函數(shù)，則對(duì)于任何的和，都有.-（13） 最后，我們指出：為上凸函數(shù)（或嚴(yán)格上凸函數(shù)）的充分必要條件是為下凸（或嚴(yán)格下凸）函數(shù).因此上述關(guān)于下凸（或嚴(yán)格下凸）函數(shù)的一切結(jié)果，都可以翻譯成相應(yīng)上凸（或嚴(yán)格上凸）函數(shù)的相應(yīng)結(jié)果.例

31、7證明AM-GM均值不等式證明：考察 因?yàn)?所以，在是嚴(yán)格下凸函數(shù).因而，對(duì)于任何以下的琴生不等式成立：，-（14） 對(duì)任何 ，.由此得到，-（15） 對(duì)任何 ，.成立.上式中的等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.（14）中取，則有,此即AM-GM均值不等式.例8設(shè)，試證：等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立.-（16）證明：（16）正是例7中n=2情形.例9設(shè)是不全為零的非負(fù)實(shí)數(shù)，也是不全為零的非負(fù)實(shí)數(shù)，.對(duì)于用例8中的不等式(16)，得：-（17）（17）兩邊對(duì)求和，得：-（18）.-（19）（19）對(duì)于全為零，或者全為零的情形，顯然也成立. 于是，我們證明了著名的 霍爾德不等式：,常遇到的一種特殊情形是：p=q=2.此時(shí)霍爾

32、德不等式變?yōu)椋?（20）稱（20）式為柯西不等式.例10證明：若在區(qū)間I上下凸，即對(duì)，都有：則對(duì)于有：.（21）證明：（一） n=2時(shí)，命題顯然成立；（二） 現(xiàn)證時(shí)，命題也成立，事實(shí)上（22）即證明了時(shí)，命題也成立；（三）一般說(shuō)來(lái)，對(duì)時(shí)，重復(fù)上面的方法，可證命題也成立.即： （23） （四）下證對(duì)于任何自然數(shù)n,命題也成立.事實(shí)上，對(duì)于任何自然數(shù)，可取某個(gè)正整數(shù)m，使.令，（24）則所以，.（25）即：.例11.證明:若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)且則對(duì)和，都有：證明:令，顯然，將在處展開(kāi)成一階泰勒公式：介于之間.-（6）分別將代入（6）式，得到：-（7）-（8） -（9）因?yàn)椋?（10）故，（9

33、）式變成：四漸進(jìn)線1定義4：若曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P沿曲線C無(wú)限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)p與某一條定直線L的距離趨于零，則稱直線L為曲線C的一條漸進(jìn)線.2漸進(jìn)線的分類 （1）水平漸進(jìn)線 若存在，則稱直線為曲線的一條水平漸進(jìn)線； （2）垂直漸進(jìn)線 若則稱直線為曲線的一條垂直漸進(jìn)線； （3）斜漸進(jìn)線 若存在，且存在，則稱直線為曲線的一條斜漸進(jìn)線。注意：有時(shí)曲線會(huì)有兩條斜漸進(jìn)線，此時(shí)應(yīng)分別考慮及的情況。例10求曲線漸進(jìn)線。解：（一）因?yàn)?，所以無(wú)水平漸進(jìn)線； （二）在處間斷.因?yàn)?；且.所以直線及直線均為垂直漸進(jìn)線.（三）因?yàn)?，且。所以，直線為斜漸進(jìn)線.五.函數(shù)的描點(diǎn)作圖 在開(kāi)始作圖之前，應(yīng)對(duì)函數(shù)的一般狀況做一個(gè)

34、大致的考察，并找出最能反映函數(shù)變化特征的一些關(guān)鍵性的點(diǎn). 函數(shù)的描點(diǎn)作圖法的一般步驟 （一）考察函數(shù)的定義域，以確定在怎樣的范圍內(nèi)選點(diǎn)； （二）考察函數(shù)的奇偶性與周期性，以減少描點(diǎn)時(shí)的計(jì)算工作量； （三）求函數(shù)圖形的漸進(jìn)線； （四）令，求的所有駐點(diǎn)及所有不可導(dǎo)點(diǎn)（其中不在定義域內(nèi)的要舍去），進(jìn)而求出的單調(diào)區(qū)間，以了解函數(shù)曲線在各段的升、降與極值的情況； （五）求的根及所有二階不可導(dǎo)點(diǎn)（其中不在定義域內(nèi)的要舍去），進(jìn)而求出的上（下）凸區(qū)間，以了解函數(shù)在各段的上（下）凸情況與拐點(diǎn)；（六）再有選擇地標(biāo)出一些有代表性的點(diǎn)，例如圖形與各坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等。 下面就舉一個(gè)具體的例子例11.求作的圖形。解：（一

35、）； （二）非奇非偶，也非周期函數(shù)； （三）漸進(jìn)線 1.因?yàn)椋詿o(wú)水平漸進(jìn)線；（具體地講；.）；2.因?yàn)楹瘮?shù)在處無(wú)定義，且，故有垂直漸進(jìn)線；3.因?yàn)?，均存在，所以，有斜漸進(jìn)線。（四）令；（五）令； 由（四）、（五）可得下表：（0 3 + 0 + 不存在 0 + 0 +不存在+ +升 拐點(diǎn) 升間斷 降 升（六）描點(diǎn)作圖 描出六個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（基本點(diǎn)）注意：點(diǎn)還是斜漸進(jìn)線與曲線的交點(diǎn).作圖在此略去.第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第六節(jié) 曲率引:前面我們利用導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具研究了函數(shù)的許多性質(zhì),如單調(diào)性、極值、最值、凸性、拐點(diǎn)等.但是還有一個(gè)問(wèn)題沒(méi)有討論,即曲線的彎曲程度,如曲線,其各點(diǎn)處的彎曲程度是不同的.如何利用

36、導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具來(lái)研究曲線的彎曲程度呢?本節(jié)就來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題.作為曲率的預(yù)備知識(shí),我們先來(lái)介紹弧微分的概念. 1定義1.設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),為內(nèi)的定點(diǎn),為內(nèi)的任意一點(diǎn),分別為曲線上與,表示曲線上由基點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧的長(zhǎng)度并附以一定的符號(hào).規(guī)定:當(dāng)在點(diǎn)的右邊時(shí),;當(dāng)在點(diǎn)的左邊時(shí),;當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí),.顯然這樣定義的是的單調(diào)增加函數(shù).顯然,但的具體表達(dá)式不知道,因此. 以定義: 如圖所示,設(shè)和分別為內(nèi)兩個(gè)鄰近的點(diǎn),分別為曲線上,的對(duì)應(yīng)點(diǎn).(注意,就是之長(zhǎng)度,其實(shí)與基點(diǎn)的取法無(wú)關(guān),請(qǐng)解釋一下這是什么原因?)于是易見(jiàn),故兩邊開(kāi)方,得令時(shí),此時(shí),所以,(自學(xué)叢書(shū)上把這一極限稱做原理,許多書(shū)上都未證明.)又因?yàn)樗?/p>

37、,.注意到是的單調(diào)增加函數(shù),故 (1) 稱(1)式為弧微分公式. 由弧微分公式:,兩邊平方: (2)故弧微分的幾何意義是以為直角邊的直角三角形的斜邊之長(zhǎng). 引:我們直覺(jué)地會(huì)感覺(jué)到直線沒(méi)有彎曲,各種曲線的彎曲程度也不一樣,如乒乓球、籃球都過(guò)球心剖開(kāi),得到兩個(gè)圓,它們的彎曲程度不一樣,乒乓求彎曲的程度大一些.在工程技術(shù)中,有時(shí)需要研究曲線的彎曲程度.例如:鋼梁、機(jī)床主軸等,它們?cè)诤奢d作用下要產(chǎn)生彎曲變形,在設(shè)計(jì)時(shí),對(duì)它們的彎曲程度必須有一定的限制,這就要求定量地研究它們的彎曲程度.為此,首先眼研究如何用數(shù)量來(lái)反映曲線的彎曲程度.(1)曲線段的切線方向變化的角度,等長(zhǎng)的兩段弧,兩端點(diǎn)處切線的轉(zhuǎn)角越大

38、,則弧越彎曲;(2)曲線弧段的長(zhǎng)度,如兩段弧在兩端點(diǎn)處切線的轉(zhuǎn)角相同,則弧長(zhǎng)越短,弧越彎曲. 如圖,設(shè)弧段的長(zhǎng)度為,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)切線的轉(zhuǎn)角為,則稱比值為這段弧的平均曲率.3.曲率 如圖,設(shè)為曲線上不同的兩個(gè)點(diǎn),如果當(dāng)沿曲線趨近于時(shí),弧段的平均曲率的極限存在,即則稱此極限值就是曲線上點(diǎn)處的曲率.4.曲率的計(jì)算 按定義計(jì)算曲率有時(shí)是很不容易的. 如圖設(shè)曲線是光滑的(即在連續(xù)).在上點(diǎn)對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)為,點(diǎn)處的切線傾角為;上點(diǎn)附近一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)為,點(diǎn)處的切線傾角為.記.則的長(zhǎng)度為根據(jù)曲率的定義,則曲線上點(diǎn)處的曲率為 (3)在存在的情況下,也可以表示為 (4)因?yàn)?(5)(5)式兩邊關(guān)于求導(dǎo),得故

39、(6)所以, (7)又由(1)式 (8)從而 (9)注意;若曲線由參數(shù)方程給出,則 (10)例1.求直線在任意一點(diǎn)處的曲率.解:由曲率計(jì)算公式(9),知由此說(shuō)明:直線上各點(diǎn)處的曲率相等,且都為0.這與我們的直覺(jué)是相吻合的.例2.求半徑為的圓周曲線在任意一點(diǎn)處的曲率.解:半徑為的圓周曲線的參數(shù)方程為由曲率計(jì)算公式(10),知由此由此說(shuō)明:半徑為的圓周上各點(diǎn)處的曲率相等,且都為.且半徑越大,其曲率越小,這符合我們的直覺(jué).三.曲率圓及曲率半徑我們考慮選取一種幾何上的直觀來(lái)衡量的無(wú)窮多個(gè)圓,在點(diǎn)上點(diǎn)處的彎曲程度應(yīng)該與怎樣的圓相當(dāng)?在點(diǎn)處曲線的法線上凹向的一側(cè)取點(diǎn)使(其中是曲線上點(diǎn)處的曲率).以為圓心,

40、以為半徑的圓稱為曲線在點(diǎn)處的曲率圓.稱為在點(diǎn)處的曲率中心.為在點(diǎn)處的曲率半徑.由前面所講的例子知,在點(diǎn)處的曲率圓與處原曲線具有相同的的切線、凹向、曲率都一樣.因此在實(shí)際問(wèn)題中常用曲率圓代替原曲線.上曲率半徑為最小的點(diǎn)的坐標(biāo).解:則曲線上任意一點(diǎn)處的曲率為故點(diǎn)的曲率半徑為 由,得(舍去).因?yàn)楫?dāng)而當(dāng)故當(dāng)時(shí),的曲率半徑及曲率圓圓心.解:由題設(shè)得則曲率為設(shè)曲率圓的圓心為,則故曲率圓中心為附:本章中較難習(xí)題參考答案:在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且證明:對(duì)任意的實(shí)數(shù),必存在,使證明:令.易驗(yàn)證在上滿足羅爾中值定理的三個(gè)條件,故由羅爾定理知,存在,使又故有所以,在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),證明:必有點(diǎn),使證:記.將其變形,得到即可令則,從而在上滿足羅爾中值定理的三個(gè)條件,故由羅爾定理知,存在,使即另證: :令.對(duì)在上使用羅爾中值定理即